Cahit Arf: Adı Cebire ve Topolojiye Yazılan Türk Matematikçi

Türkiye’de bir kişinin cüzdanında her gün gezdirdiği matematikçi var: 2009’dan itibaren dolaşıma giren 10 liralık banknotun arka yüzünde, bir bilim insanının portresi yer alır. Bu portre Cahit Arf’a aittir: cebirin ve sayılar kuramının dünya çapında tanınan Türk matematikçisine.

Selanik’ten Göttingen’e

Cahit Arf, 11 Ekim 1910’da Selanik’te doğdu; ailesiyle birlikte İstanbul’a geldi ve eğitimini burada sürdürdü. Cumhuriyet’in ilk yıllarında, devletin yurtdışına gönderdiği yetenekli öğrenciler arasına girdi ve matematik eğitimi için Fransa’ya, Paris’teki École Normale Supérieure’e gitti. Daha sonra Almanya’nın Göttingen Üniversitesi’ne geçti. Göttingen, Hilbert ve Emmy Noether gibi isimlerle yüzyılın ilk yarısında matematiğin başkenti sayılıyordu; 1933’ten sonra birçok bilim insanı Nazi Almanyası’ndan ayrılmak zorunda kalınca şehrin parlaklığı azalmıştı, ama gelenek sürüyordu. Bu şehirde Cahit Arf, sayılar kuramının önde gelen isimlerinden Helmut Hasse’nin öğrencisi oldu ve doktorasını 1938’de verdi.

Doktora çalışması, yirminci yüzyıl matematiğinde kalıcı bir isim bırakacaktı: Arf değişmezi. Çalışmasını 1941’de yayımladı ve bu yazıyla adı, cebirin ve topolojinin kitaplarına kazındı. Türkiye’ye döndüğünde İstanbul Üniversitesi’nde ders verdi; ardından Ankara’da Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nin kuruluş yıllarında çalıştı.

Matematik köşesi: bir yarım dakikalık Arf değişmezi

Arf değişmezi, “karakteristiği 2” olan cisimler üzerinde tanımlı ikinci dereceden formlara (quadratic forms) verdiği bir etikettir. En basit durumu görelim: yalnızca 0 ve 1 değerlerini alan, toplamları 2’ye göre alınan değişkenler üzerinde iki değişkenli bir form düşünelim. Örneğin \(q(x,y)=xy\) için dört olası \((x,y)\) çiftinde değerler \(0,0,0,1\) çıkar; yani form çoğunlukla 0 değerini alır. \(q(x,y)=x^2+xy+y^2\) için ise değerler \(0,1,1,1\) olur; yani çoğunlukla 1. Arf değişmezi, formun hangi değeri “çoğunlukla” aldığını söyler: ilk formda 0, ikincisinde 1. Bu sade kural, daha büyük boyutlarda da geçerlidir ve (dejenere olmayan) iki formun birbirine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini tek bir bit ile ayırt eder.

Bu kadar basit bir ayrım bile, matematikte güçlü bir araca dönüştü. Topolojide, yüzeylerin ve manifoldların sınıflandırılmasında ortaya çıkan “Kervaire değişmezi” Arf’ın fikrinin bir kuzenidir. Hangi boyutlarda Arf–Kervaire değişmezi bir olan manifoldlar bulunabilir? Bu soru yarım yüzyıldan uzun süre açık kaldı; 2009’da Hill, Hopkins ve Ravenel, 126’dan büyük boyutlarda böyle manifoldların bulunmadığını gösterdi; 126. boyutta ise böyle bir manifoldun var olduğu 2024’te Lin, Wang ve Xu tarafından gösterildi. Arf’ın 1941’deki küçük fikri, böylece günümüzün en zor topoloji problemlerinden birine anahtar oldu. Aynı kavram, bazı topolojik kuantum modellerinin sınıflandırılmasında da karşımıza çıkar.

Arf halkaları

İkinci büyük katkısı 1949’da geldi. Cebirsel eğrilerin tekil noktalarında “çokluk dizisi” denilen sayı dizilerini inceledi ve bu dizilerin hangi koşullarda gerçekten bir eğrinin yerel halkasından geldiğini gösteren bir karakterizasyon verdi. Bu, bugün “Arf halkası” (Arf ring) olarak anılan cebirsel yapıya yol açtı. Matematikçiler adını, cebirsel geometride hâlâ Arf halkaları ve Arf kapanışı gibi terimlerle anıyor. Yani Arf’ın adı, tek bir teoremde değil, iki ayrı alanın dilinde yaşıyor.

Bir bilim insanı olarak Türkiye’de

Arf, araştırmayla birlikte bilimin ülkede yerleşmesine de yıllarını verdi. 1974’te TÜBİTAK Bilim Ödülü’nü aldı. Öğrencilerine yalnızca teoremleri değil, soru sormayı da öğretmeye çalıştı. Adı bugün Türkiye’de matematik etkinliklerine ve anma günlerine veriliyor.

Yukarıdaki fotoğrafta, İstanbul’da bir duvara yazılmış sözü okunuyor; söz, evrenin sırrını arayanlara sayıların yolunu gösteriyor. Matematiğin evrenin dilini konuştuğuna olan bu inanç fizikçilere de tanıdık gelir: Fizik yasaları en sonunda hep birer matematiksel ilişkidir.

Veda

Cahit Arf, 26 Aralık 1997’de Ankara’da öldü. Geriye, bugün hâlâ yaşayan kavramlar ve adı sayılara bağlı bir bilim insanı kimliği kaldı. Bugün onu anmak için en iyi yol, belki de cebinizdeki banknota bir kez daha dikkatle bakmak. Matematiğin ülkemizdeki yerinin bir simgesi orada duruyor.

Kaynaklar: C. Arf, “Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 148 (1941); C. Arf, “Une interprétation algébrique de la suite des ordres de multiplicité d’une branche algébrique”, Proc. London Math. Soc. 50, 256 (1949); M. A. Hill, M. J. Hopkins ve D. C. Ravenel, “On the nonexistence of elements of Kervaire invariant one”, Annals of Mathematics 184, 1 (2016); TÜBİTAK ve Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası arşivleri.