Bölüm 1

Vektör Analizi

Vektör cebiri, konum ve ayrım vektörleri; gradyan, diverjans, rotasyonel ve Laplasyen; çarpım kuralları ve ikinci türevler; çizgi, yüzey ve hacim integralleri; gradyan, Gauss ve Stokes teoremleri; küresel ve silindirik koordinatlar; Dirac delta fonksiyonu; Helmholtz teoremi ve potansiyeller.

33 dk okuma12 çözümlü örnek6 şekil19 problem

Bu bölümde

Elektromanyetizmanın dilini: vektör alanlarını, konum ve ayrım vektörlerini
Gradyan, diverjans ve rotasyoneli hesaplamayı ve geometrik anlamlarını yorumlamayı
Vektör türevleri için çarpım kurallarını ve ikinci türevlerin özdeşliklerini
Çizgi, yüzey ve hacim integrallerini ve onları birbirine bağlayan üç temel teoremi
Küresel ve silindirik koordinatlarda türev almayı ve integral hesaplamayı
Dirac delta fonksiyonunu ve $\hat{\vb{r}}/r^2$ alanının diverjansındaki "paradoksun" çözümünü
Bir vektör alanının diverjansı ve rotasyoneli ile nasıl belirlendiğini (Helmholtz teoremi) ve potansiyelleri

1.1Elektromanyetizmanın dili

Elektromanyetizma bir alan kuramıdır. Elektrik alan $\vb{E}$ ve manyetik alan $\vb{B}$, uzayın her noktasında tanımlı vektörlerdir; zamanla da değişirler. Bu kuramın yasaları, alanların bir noktadan komşu noktaya nasıl değiştiğini anlatır. Bunu ifade etmenin doğal dili vektör analizidir: vektörlerin türevleri ve integralleri. Maxwell denklemlerinin dördü de bu dilde, yalnızca birkaç sembolle yazılır:

$$ \begin{aligned} &\nabla\cdot\vb{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, &\qquad &\nabla\times\vb{E} = -\frac{\partial\vb{B}}{\partial t},\\ &\nabla\cdot\vb{B} = 0, &\qquad &\nabla\times\vb{B} = \mu_0\vb{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vb{E}}{\partial t} \end{aligned} $$

Bu bölümün sonunda bu denklemlerin her bir sembolünün ne anlama geldiğini, onları integral biçimine nasıl çevireceğimizi ve çözerken hangi araçları kullanacağımızı bileceğiz. Bölüm uzun ve matematikseldir; ama sonraki on bir bölümün hepsi onun üzerine kurulur. Vektör cebirinin temelleri (skaler, vektörel ve üçlü çarpımlar), Klasik Mekanik kitabının 1. bölümünde ayrıntılı olarak işlenmiştir. Burada onları kısaca hatırlatıp asıl konumuz olan vektör türevlerine ve integrallerine geçeceğiz.

1.2Vektör cebiri

Bir $\vb{A}$ vektörü, Kartezyen bileşenleriyle $\vb{A} = A_x\uv{x} + A_y\uv{y} + A_z\uv{z}$ biçiminde yazılır. İki vektörün skaler çarpımı ve vektörel çarpımı

$$ \vb{A}\cdot\vb{B} = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z, \quad \vb{A}\times\vb{B} = \begin{vmatrix}\uv{x} & \uv{y} & \uv{z}\\ A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix} $$

(1.1)

dir. $|\vb{A}\times\vb{B}| = AB\sin\theta$, iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanıdır; yönü sağ el kuralıyla belirlenir. Bu bölümde sık sık kullanacağımız iki özdeşlik:

$$ \begin{aligned} \vb{A}\cdot(\vb{B}\times\vb{C}) &= \vb{B}\cdot(\vb{C}\times\vb{A}) = \vb{C}\cdot(\vb{A}\times\vb{B}),\\ \vb{A}\times(\vb{B}\times\vb{C}) &= \vb{B}(\vb{A}\cdot\vb{C}) - \vb{C}(\vb{A}\cdot\vb{B}) \end{aligned} $$

(1.2)

Birincisi, üç vektörün oluşturduğu paralelyüzün hacmidir; ikincisi "BAC eksi CAB" kuralıdır.

Konum ve ayrım vektörleri. Bir noktanın orijine göre konumu konum vektörüyle verilir: $\vb{r} = x\uv{x} + y\uv{y} + z\uv{z}$. Büyüklüğü $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, birim vektörü $\hat{\vb{r}} = \vb{r}/r$'dir. Elektromanyetizmada çoğu zaman iki noktayla uğraşırız: alanı yaratan yükün bulunduğu kaynak noktası $\vb{r}'$ ve alanı hesapladığımız alan noktası $\vb{r}$. Kaynak noktasından alan noktasına uzanan vektöre ayrım vektörü denir (Şekil 1.1):

$$ \pmb{\mathcal{R}} = \vb{r} - \vb{r}', \qquad \mathcal{R} = |\vb{r} - \vb{r}'|, \qquad \hat{\pmb{\mathcal{R}}} = \frac{\vb{r} - \vb{r}'}{|\vb{r} - \vb{r}'|} $$

(1.3)

Bu gösterimi kitap boyunca kullanacağız. Örneğin Coulomb yasası, $\vb{r}'$'deki bir $q$ yükünün $\vb{r}$'de yarattığı alanı $\vb{E} = q\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/(4\pi\epsilon_0\mathcal{R}^2)$ olarak verir.

Ayrım vektörü — **Şekil 1.1.** Kaynak noktası $\vb{r}'$, alan noktası $\vb{r}$ ve kaynaktan alan noktasına uzanan ayrım vektörü $\pmb{\mathcal{R}} = \vb{r} - \vb{r}'$.

Bileşenlerin dönüşümü. "Vektör" sözcüğünü yalnızca üç sayı için değil, koordinat eksenleri döndürülünce konum vektörü gibi dönüşen üç sayı için kullanırız. Eksenler $z$ ekseni çevresinde $\phi$ açısı kadar döndürülürse bileşenler

$$ \begin{pmatrix}\bar{A}_x\\ \bar{A}_y\\ \bar{A}_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_x\\ A_y\\ A_z\end{pmatrix} $$

ile dönüşür. Örneğin $(x^2, y, z)$ üçlüsü bu kurala uymaz ve bir vektör değildir. Bu dönüşüm kuralı, 12. bölümde dört boyutlu uzay-zamandaki vektörleri tanımlarken aynı biçimde genelleşecek.

1.3Diferansiyel hesap: gradyan

Tek değişkenli bir $f(x)$ fonksiyonunun türevi, $x$ biraz değişince $f$'nin ne kadar değiştiğini söyler: $\dd f = (\dd f/\dd x)\,\dd x$. Üç boyutta bir skaler alan $T(x, y, z)$ (örneğin bir odadaki sıcaklık) düşünelim. Üç yönde birden küçük bir yer değiştirme yaparsak

$$ \dd T = \frac{\partial T}{\partial x}\dd x + \frac{\partial T}{\partial y}\dd y + \frac{\partial T}{\partial z}\dd z = (\nabla T)\cdot\dd\vb{l} $$

(1.4)

olur. Burada $\dd\vb{l} = \dd x\,\uv{x} + \dd y\,\uv{y} + \dd z\,\uv{z}$ yer değiştirmedir ve

$$ \nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\uv{x} + \frac{\partial T}{\partial y}\uv{y} + \frac{\partial T}{\partial z}\uv{z} $$

(1.5)

$T$'nin gradyanıdır. Gradyan bir vektördür ve geometrik anlamı (1.4)'ten okunur: $\dd T = |\nabla T|\,|\dd\vb{l}|\cos\theta$. Belirli bir uzunlukta adım için $T$'deki değişim en çok, adım $\nabla T$ yönündeyken ($\theta = 0$) olur. Dolayısıyla:

$\nabla T$, $T$'nin en hızlı arttığı yönü gösterir;
$|\nabla T|$, bu yöndeki eğimdir (birim uzunluk başına artış);
$\nabla T$, $T = \text{sabit}$ yüzeylerine (iki boyutta eğrilerine) diktir, çünkü bu yüzeyler boyunca $\dd T = 0$'dır.

Bir $\hat{\vb{n}}$ birim vektörü yönündeki değişim hızına yönlü türev denir: $\dd T/\dd l = \nabla T\cdot\hat{\vb{n}}$.

**Şekil 1.2.** Bir tepenin eş-yükselti eğrileri, $h(x, y) = 2e^{-(x^2 + 2y^2)/4}$, ve çeşitli noktalardaki gradyan yönleri. Gradyan her noktada eş-yükselti eğrisine diktir ve yokuş yukarıyı gösterir.

Örnek 1.1Bir tepede en dik yol

Bir tepenin yüksekliği (km cinsinden) $h(x, y) = 2e^{-(x^2 + 2y^2)/4}$ ile veriliyor (Şekil 1.2; $x$ doğuya, $y$ kuzeye doğru, km). $(1, 1)$ noktasında (a) yükseklik nedir, (b) doğuya doğru yürüyen bir kişi hangi eğimle yükselir, (c) en dik çıkış hangi yöndedir ve eğimi nedir?

Çözüm

(a) $h(1, 1) = 2e^{-3/4} = 0{,}945$ km. (b) $\nabla h = (-x/2,\, -y)\,h$: $(1, 1)$'de $\nabla h = (-0{,}472,\, -0{,}945)$. Doğu yönündeki yönlü türev $\nabla h\cdot\uv{x} = -0{,}472$: yükselmez, alçalır; her yatay kilometrede 472 m (eğim %47). (c) En dik çıkış $\nabla h$ yönündedir, yani $(-1, -2)/\sqrt{5}$ birim vektörü yönünde: güneybatıya, ama daha çok güneye doğru (güney yönüyle 26,6° açı yapar). Eğim $|\nabla h| = 1{,}056$: her yatay kilometrede yaklaşık 1,06 km yükselme, yani 46,6°'lik bir yokuş. Bu yön tepenin doruğunu tam olarak göstermez (doruk $(-1, -1)$ yönündedir); çünkü tepe kuzey–güney doğrultusunda daha dik, eş-yükselti eğrileri elipstir ve gradyan bu elipslere diktir.

Nabla işlemcisi. (1.5)'i, nabla (ya da del) adı verilen

$$ \nabla = \uv{x}\frac{\partial}{\partial x} + \uv{y}\frac{\partial}{\partial y} + \uv{z}\frac{\partial}{\partial z} $$

(1.6)

vektör işlemcisinin $T$'ye uygulanması olarak görebiliriz. $\nabla$ tek başına bir anlam taşımaz; bir şeye uygulanmayı bekleyen bir "vektör"dür. Sıradan bir vektörün üç tür çarpımı olduğu gibi, $\nabla$'nın da üç tür etkisi vardır: bir skaler alana (gradyan $\nabla T$), bir vektör alanla skaler çarpım (diverjans $\nabla\cdot\vb{v}$) ve vektörel çarpım (rotasyonel $\nabla\times\vb{v}$).

Örnek 1.2Uzaklığın gradyanı

$\nabla r$, $\nabla(1/r)$ ve ayrım vektörü için $\nabla(1/\mathcal{R})$'yi bulun. $\nabla'$ (kaynak koordinatlarına göre türev) ile sonucu karşılaştırın.

Çözüm

$\partial r/\partial x = x/r$ ve benzerleri: $\nabla r = \vb{r}/r = \hat{\vb{r}}$. Uzaklık, en hızlı radyal doğrultuda artar ve eğimi 1'dir; beklendiği gibi. Zincir kuralıyla $\nabla(1/r) = -\nabla r/r^2 = -\hat{\vb{r}}/r^2$. $\mathcal{R} = |\vb{r} - \vb{r}'|$ aynı yapıdadır; $\vb{r}$'ye göre türev alınınca $\nabla(1/\mathcal{R}) = -\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2$. $\mathcal{R}$ yalnızca $\vb{r} - \vb{r}'$ farkına bağlı olduğundan kaynak koordinatlarına göre türevin işareti terstir: $\nabla'(1/\mathcal{R}) = +\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2$. Coulomb alanı, bir noktasal yükün potansiyelinin gradyanının eksi işaretlisidir; bu, 2. bölümün başlangıç noktası olacak.

1.4Diverjans ve rotasyonel

Bir vektör alanı $\vb{v}(x, y, z)$ için iki türev vardır. Diverjans (ıraksama),

$$ \nabla\cdot\vb{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} $$

(1.7)

bir skaler alandır. Geometrik olarak, $\vb{v}$'nin bir noktadan ne kadar dışarı yayıldığını ölçer. $\vb{v}$'yi bir akışkanın hızı gibi düşünürsek, diverjansı pozitif olan bir nokta bir kaynaktır (akışkan oradan dışarı fışkırır), negatif olan bir nokta bir kuyudur. Kesin anlamını Teorem 1.1'de göreceğiz: diverjans, küçük bir hacimden çıkan net akının hacme oranıdır.

Rotasyonel (rot),

$$ \nabla\times\vb{v} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\uv{x} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\uv{y} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\uv{z} $$

(1.8)

bir vektör alanıdır. $\vb{v}$'nin bir nokta çevresinde ne kadar dolandığını ölçer. Akışkanın içine küçük bir çark koyduğumuzu düşünelim: rotasyonel sıfır değilse çark döner. Rotasyonelin yönü, çarkın en hızlı döndüğü eksendir (sağ el kuralıyla), büyüklüğü dönme hızının iki katıdır (Örnek 1.4). Kesin anlamını Teorem 1.2'de göreceğiz: rotasyonel, küçük bir halka çevresindeki dolanımın halkanın alanına oranıdır.

Diverjans ve rotasyonel — **Şekil 1.3.** Üç vektör alanı. Solda her yönde dışarı yayılan bir alan: diverjansı pozitif, rotasyoneli sıfır. Ortada orijin çevresinde dolanan bir alan: diverjansı sıfır, rotasyoneli $+\uv{z}$ yönünde. Sağda kayma akışı: akış çizgileri düz olduğu hâlde rotasyoneli sıfır değildir.

Örnek 1.3Üç alanın diverjansı

(a) $\vb{v}_a = x\uv{x} + y\uv{y}$, (b) $\vb{v}_b = -y\uv{x} + x\uv{y}$, (c) $\vb{r} = x\uv{x} + y\uv{y} + z\uv{z}$ ve (d) $\hat{\vb{r}}/r^2$ alanlarının diverjanslarını bulun.

Çözüm

(a) $\nabla\cdot\vb{v}_a = 1 + 1 = 2$: her yerde dışarı yayılır (Şekil 1.3, solda). (b) $\nabla\cdot\vb{v}_b = \partial(-y)/\partial x + \partial x/\partial y = 0$: alan dolanır, ama hiçbir yerde birikmez ya da tükenmez. (c) $\nabla\cdot\vb{r} = 3$. (d) $\hat{\vb{r}}/r^2 = \vb{r}/r^3$; $\partial(x/r^3)/\partial x = 1/r^3 - 3x^2/r^5$, üç terimin toplamı $3/r^3 - 3r^2/r^5 = 0$. Bu sonuç şaşırtıcıdır: $\hat{\vb{r}}/r^2$ alanı açıkça orijinden dışarı doğru yayılır, ama diverjansı sıfır çıkar. Bu "paradoks" Coulomb alanının ta kendisidir ve çözümü (Kısım 1.9) Dirac delta fonksiyonunu gerektirir. Burada yaptığımız hesap $r = 0$'da geçersizdir, çünkü alan orada tanımlı değildir.

Örnek 1.4Dönen bir cismin hız alanı

$z$ ekseni çevresinde sabit $\omega$ açısal hızıyla dönen katı bir cismin hız alanı $\vb{v} = \boldsymbol{\omega}\times\vb{r}$'dir ($\boldsymbol{\omega} = \omega\uv{z}$). Rotasyonelini bulun. Şekil 1.3'teki üçüncü alanın rotasyoneli nedir ve neden sıfır değildir?

Çözüm

$\vb{v} = \omega(-y\uv{x} + x\uv{y})$. (1.8)'de yalnızca $z$ bileşeni kalır: $\omega[\partial x/\partial x - \partial(-y)/\partial y] = 2\omega$. Yani $\nabla\times\vb{v} = 2\boldsymbol{\omega}$: rotasyonel, dönme açısal hızının iki katıdır. Kayma akışı $\vb{v} = y\uv{x}$ için $\nabla\times\vb{v} = -\uv{z}$. Akış çizgileri düz olduğu hâlde alana konan küçük bir çark döner: üst kenarına alt kenarından daha hızlı akış çarpar ve çark saat yönünde ($-\uv{z}$) döner. Rotasyonel, akış çizgilerinin eğriliğini değil, çevredeki hız farklarını ölçer. Tersine, akış çizgileri orijin çevresinde dolandığı hâlde rotasyoneli (eksen dışında) sıfır olan alanlar da vardır (Problem 1.17).

1.5Çarpım kuralları ve ikinci türevler

Sıradan türevin çarpım kuralı $\dd(fg)/\dd x = f\,\dd g/\dd x + g\,\dd f/\dd x$'in vektör türevlerinde altı karşılığı vardır. İki skaler ya da iki vektörün çarpımından bir skaler ($fg$, $\vb{A}\cdot\vb{B}$) ya da bir vektör ($f\vb{A}$, $\vb{A}\times\vb{B}$) yapılabilir; bunların gradyanları, diverjansları ve rotasyonelleri:

$$ \begin{aligned} \nabla(fg) &= f\nabla g + g\nabla f\\ \nabla(\vb{A}\cdot\vb{B}) &= \vb{A}\times(\nabla\times\vb{B}) + \vb{B}\times(\nabla\times\vb{A}) + (\vb{A}\cdot\nabla)\vb{B} + (\vb{B}\cdot\nabla)\vb{A}\\ \nabla\cdot(f\vb{A}) &= f(\nabla\cdot\vb{A}) + \vb{A}\cdot(\nabla f)\\ \nabla\cdot(\vb{A}\times\vb{B}) &= \vb{B}\cdot(\nabla\times\vb{A}) - \vb{A}\cdot(\nabla\times\vb{B})\\ \nabla\times(f\vb{A}) &= f(\nabla\times\vb{A}) - \vb{A}\times(\nabla f)\\ \nabla\times(\vb{A}\times\vb{B}) &= (\vb{B}\cdot\nabla)\vb{A} - (\vb{A}\cdot\nabla)\vb{B} + \vb{A}(\nabla\cdot\vb{B}) - \vb{B}(\nabla\cdot\vb{A}) \end{aligned} $$

(1.9)

Burada $(\vb{A}\cdot\nabla) = A_x\partial/\partial x + A_y\partial/\partial y + A_z\partial/\partial z$, $\vb{A}$ yönündeki türev işlemcisidir. Bu formülleri ezberlemek gerekmez; gerektiğinde bileşenlerle kanıtlanabilir (Örnek 1.5, Problem 1.9) ya da bir tablodan bakılır. Ama işaretlerine dikkat edilmelidir: $\nabla\cdot(\vb{A}\times\vb{B})$'deki eksi işareti, üçlü çarpımın döngüsel yapısından gelir.

Örnek 1.5Bir çarpım kuralının kanıtı

$\nabla\cdot(f\vb{A}) = f(\nabla\cdot\vb{A}) + \vb{A}\cdot(\nabla f)$ olduğunu gösterin. Bunu $\vb{A} = \vb{r}$, $f = r^n$ için kullanarak $\nabla\cdot(r^n\vb{r})$'yi bulun.

Çözüm

$\nabla\cdot(f\vb{A}) = \sum_i\partial(fA_i)/\partial x_i = \sum_i(f\,\partial A_i/\partial x_i + A_i\,\partial f/\partial x_i) = f\nabla\cdot\vb{A} + \vb{A}\cdot\nabla f$ ✓. $\nabla r^n = nr^{n-1}\hat{\vb{r}}$ (Örnek 1.2'deki zincir kuralı) ve $\nabla\cdot\vb{r} = 3$ ile $\nabla\cdot(r^n\vb{r}) = 3r^n + \vb{r}\cdot nr^{n-1}\hat{\vb{r}} = (n + 3)r^n$. $r^n\vb{r} = r^{n+1}\hat{\vb{r}}$ olduğundan bu, $\nabla\cdot(r^m\hat{\vb{r}}) = (m + 2)r^{m-1}$ demektir. $m = -2$ için sıfır: Örnek 1.3'teki sonuç ✓.

İkinci türevler. $\nabla$'yı iki kez uygulayarak beş ikinci türev kurabiliriz. Bunların ikisi her zaman sıfırdır:

$$ \nabla\times(\nabla T) = 0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\vb{v}) = 0 $$

(1.10)

(Kanıt: kısmi türevlerin sırası değiştirilebildiğinden terimler ikişer ikişer birbirini götürür; Problem 1.10.) Bir gradyanın rotasyoneli ve bir rotasyonelin diverjansı yoktur. Bu iki özdeşlik, Kısım 1.10'da potansiyellerin varlığının temelidir. Gradyanın diverjansına Laplasyen denir:

$$ \nabla^2 T = \nabla\cdot(\nabla T) = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} $$

(1.11)

Laplasyen elektrostatiğin en önemli işlemcisidir: 3. bölümün büyük bölümü $\nabla^2 V = 0$ Laplace denkleminin çözümüne ayrılmıştır. Bir vektöre uygulanan Laplasyen, Kartezyen bileşenlere tek tek uygulanır. Son ikinci türev, rotasyonelin rotasyonelidir:

$$ \nabla\times(\nabla\times\vb{v}) = \nabla(\nabla\cdot\vb{v}) - \nabla^2\vb{v} $$

(1.12)

Bu özdeşlik "BAC eksi CAB" kuralının $\nabla$ ile yazılmış biçimidir ve 9. bölümde Maxwell denklemlerinden dalga denklemini çıkarırken kullanılacaktır.

1.6İntegral hesap

Elektromanyetizmada üç tür integral karşımıza çıkar.

Çizgi integralleri. Bir $\mathcal{P}$ yolu boyunca

$$ \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\vb{v}\cdot\dd\vb{l} $$

integrali, yolu küçük $\dd\vb{l}$ parçalarına bölüp her parçada $\vb{v}$'nin yola paralel bileşeniyle parçanın uzunluğunu çarparak toplar. Kapalı bir yol için $\oint\vb{v}\cdot\dd\vb{l}$ yazılır ve dolanım adı verilir. Mekanikte bir kuvvetin yaptığı iş bir çizgi integralidir. Genel olarak sonuç, uç noktalar kadar yola da bağlıdır. Ama yoldan bağımsız olduğu özel ve çok önemli bir alan sınıfı vardır (Kısım 1.7).

Yüzey integralleri. Bir $\mathcal{S}$ yüzeyi üzerinde

$$ \int_{\mathcal{S}}\vb{v}\cdot\dd\vb{a} $$

integralinde $\dd\vb{a}$, büyüklüğü küçük bir yüzey parçasının alanı, yönü yüzeye dik olan bir vektördür. Bu integrale $\vb{v}$'nin yüzeyden geçen akısı denir: $\vb{v}$ bir akışkanın hızıysa, birim zamanda yüzeyden geçen akışkan hacmidir. Bir yüzeyin iki yüzü olduğundan $\dd\vb{a}$'nın yönünü seçmek gerekir. Kapalı bir yüzeyde ($\oint$) gelenek gereği dışarı doğru seçilir. Açık bir yüzeyde yön keyfidir, ama sınır eğrisinin dolanma yönüyle sağ el kuralına göre ilişkilidir (Teorem 1.2).

Hacim integralleri. $\int_{\mathcal{V}}T\,\dd\tau$ biçimindedir; burada $\dd\tau = \dd x\,\dd y\,\dd z$ hacim öğesidir. $T$ bir yük yoğunluğuysa integral toplam yüktür. Vektör alanların hacim integrali de alınabilir; her Kartezyen bileşen ayrı ayrı integrallenir.

1.7Temel teoremler

Tek değişkenli kalkülüsün temel teoremi, bir türevin integralinin yalnızca sınırdaki değerlere bağlı olduğunu söyler: $\int_a^b(\dd f/\dd x)\,\dd x = f(b) - f(a)$. Vektör analizinde gradyan, diverjans ve rotasyonelin her birinin böyle bir temel teoremi vardır. Üçü de aynı yapıdadır: bir bölgedeki türevin integrali, bölgenin sınırındaki değerlerle verilir.

Gradyan teoremi

(1.4)'e göre $\dd T = \nabla T\cdot\dd\vb{l}$. Bir yol boyunca toplarsak

$$ \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}(\nabla T)\cdot\dd\vb{l} = T(\mathbf{b}) - T(\mathbf{a}) $$

(1.13)

Yolun sınırı, yalnızca iki uç noktasıdır. Sonuç yoldan bağımsızdır ve kapalı bir yol için $\oint(\nabla T)\cdot\dd\vb{l} = 0$'dır. Bir gradyanın çizgi integrali her zaman yoldan bağımsızdır. Bu tür alanlara korunumlu alanlar denir; mekanikteki korunumlu kuvvetler, potansiyel enerjinin gradyanının eksi işaretlisidir.

Örnek 1.6İki yol, aynı sonuç

$\vb{v} = 2xy\,\uv{x} + (x^2 + z)\uv{y} + y\,\uv{z}$ alanının $(0, 0, 0)$'dan $(1, 1, 1)$'e çizgi integralini (a) doğru boyunca, (b) $(t, t^2, t^3)$ eğrisi boyunca hesaplayın. Sonucu açıklayın.

Çözüm

(a) $x = y = z = t$, $\dd\vb{l} = (1, 1, 1)\,\dd t$: $\vb{v} = (2t^2,\, t^2 + t,\, t)$, $\vb{v}\cdot\dd\vb{l} = (2t^2 + t^2 + t + t)\,\dd t = (3t^2 + 2t)\,\dd t$; $\int_0^1 = 1 + 1 = 2$. (b) $\dd\vb{l} = (1, 2t, 3t^2)\,\dd t$: Bu yolda $\vb{v} = (2t^3,\, t^2 + t^3,\, t^2)$ ve $\vb{v}\cdot\dd\vb{l} = [2t^3 + 2t(t^2 + t^3) + 3t^2\cdot t^2]\,\dd t = (4t^3 + 5t^4)\,\dd t$; $\int_0^1 = 1 + 1 = 2$. Aynı sonuç, çünkü $\vb{v} = \nabla T$, $T = x^2y + yz$ (denetim: $\partial T/\partial x = 2xy$, $\partial T/\partial y = x^2 + z$, $\partial T/\partial z = y$ ✓). (1.13): $T(1, 1, 1) - T(0, 0, 0) = 2$ ✓; hesaba hiç gerek yoktu. Ayrıca $\nabla\times\vb{v} = 0$'dır, (1.10) ile uyumlu.

Gauss teoremi

Gauss teoremi (diverjans teoremi), bir hacimdeki diverjansın integralini hacmi çevreleyen kapalı yüzeyden geçen akıya bağlar:

Teorem 1.1Gauss (diverjans) teoremi

$$ \int_{\mathcal{V}}(\nabla\cdot\vb{v})\,\dd\tau = \oint_{\mathcal{S}}\vb{v}\cdot\dd\vb{a} $$

(1.14)

Burada $\mathcal{S}$, $\mathcal{V}$ hacminin sınırı olan kapalı yüzeydir ve $\dd\vb{a}$ dışarı doğrudur.

Kanıtın ana fikri. Kenarları $\dd x$, $\dd y$, $\dd z$ olan küçük bir kutu düşünelim. $x$ yönüne dik iki yüzden dışarı akan net akı $[v_x(x + \dd x) - v_x(x)]\,\dd y\,\dd z = (\partial v_x/\partial x)\,\dd\tau$'dur. Üç yön toplanınca kutudan çıkan net akı $(\nabla\cdot\vb{v})\,\dd\tau$ olur: diverjans, birim hacimden çıkan akıdır. Büyük bir hacmi bu tür kutulara bölelim. İki komşu kutunun ortak yüzünden geçen akı birinde dışarı, ötekinde içeri sayılır ve birbirini götürür. Toplamda yalnızca dış yüzeyden geçen akı kalır. ∎

Akışkan diliyle: bir hacmin içindeki kaynakların toplamı (sol taraf), hacimden dışarı akan toplam akışkana (sağ taraf) eşittir. Elektrostatikte bu, Gauss yasasının diferansiyel ve integral biçimleri arasındaki köprüdür (2. bölüm).

Örnek 1.7Birim küpte Gauss teoremi

$\vb{v} = x^2\uv{x} + yz\,\uv{y} + xy\,\uv{z}$ alanı için, bir köşesi orijinde olan ve kenarları 1 olan küpte Gauss teoremini doğrulayın.

Çözüm

$\nabla\cdot\vb{v} = 2x + z + 0$. $\int_0^1\!\int_0^1\!\int_0^1(2x + z)\,\dd x\,\dd y\,\dd z = 1 + \tfrac12 = \tfrac32$. Akı, altı yüz için: $x = 1$ yüzünde $\dd\vb{a} = \uv{x}\,\dd y\,\dd z$, $v_x = 1$: akı 1. $x = 0$'da $v_x = 0$: 0. $y = 1$'de $v_y = z$: $\int_0^1\!\int_0^1 z\,\dd x\,\dd z = \tfrac12$. $y = 0$'da $v_y = 0$: 0. $z = 1$'de $v_z = xy$: $\tfrac14$; $z = 0$'da $\dd\vb{a} = -\uv{z}\,\dd x\,\dd y$ ve $v_z = xy$: $-\tfrac14$. Toplam akı $1 + \tfrac12 + 0 = \tfrac32$ ✓. $z$ yüzlerindeki akıların birbirini götürmesi, $v_z$'nin $z$'ye bağlı olmamasındandır: $\partial v_z/\partial z = 0$.

Stokes teoremi

Stokes teoremi, bir yüzey üzerinde rotasyonelin akısını yüzeyin sınır eğrisi çevresindeki dolanıma bağlar:

Teorem 1.2Stokes teoremi

$$ \int_{\mathcal{S}}(\nabla\times\vb{v})\cdot\dd\vb{a} = \oint_{\mathcal{C}}\vb{v}\cdot\dd\vb{l} $$

(1.15)

Burada $\mathcal{C}$, açık $\mathcal{S}$ yüzeyinin sınır eğrisidir; $\mathcal{C}$'nin dolanma yönü ile $\dd\vb{a}$'nın yönü sağ el kuralıyla bağlıdır.

Kanıt, Gauss teoreminin kanıtına benzer: yüzey küçük halkalara bölünür; küçük bir halkanın çevresindeki dolanım $(\nabla\times\vb{v})\cdot\dd\vb{a}$'dır ve komşu halkaların ortak kenarları zıt yönlerde dolanıldığı için birbirini götürür. Yalnızca dış sınır kalır. Rotasyonel, birim alan başına dolanımdır.

Stokes teoreminin şaşırtıcı bir sonucu vardır: sağ taraf yalnızca sınır eğrisine bağlıdır, yüzeyin biçimine bağlı değildir. Aynı sınıra sahip her yüzey aynı sonucu verir. Kapalı bir yüzeyin sınırı yoktur ve bu yüzden $\oint(\nabla\times\vb{v})\cdot\dd\vb{a} = 0$'dır; Gauss teoremiyle bu, $\nabla\cdot(\nabla\times\vb{v}) = 0$ özdeşliğinin (1.10) integral biçimidir.

Örnek 1.8Dolanan alanın dolanımı

$\vb{v} = -y\,\uv{x} + x\,\uv{y}$ alanının, $xy$ düzleminde orijin merkezli yarıçapı $R$ olan çember çevresindeki dolanımını (saat yönünün tersine) hesaplayın. Stokes teoremini (a) çemberin içindeki disk, (b) aynı çemberin üstündeki yarım küre yüzeyi için doğrulayın.

Çözüm

Çemberde $x = R\cos\phi$, $y = R\sin\phi$, $\dd\vb{l} = R(-\sin\phi, \cos\phi, 0)\,\dd\phi$; $\vb{v} = R(-\sin\phi, \cos\phi, 0)$. $\vb{v}\cdot\dd\vb{l} = R^2\,\dd\phi$, $\oint = 2\pi R^2$. (a) $\nabla\times\vb{v} = 2\uv{z}$ (Örnek 1.4), disk için $\dd\vb{a} = \uv{z}\,\dd a$: $\int 2\,\dd a = 2\pi R^2$ ✓. (b) Yarım kürede $\dd\vb{a} = \hat{\vb{r}}R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi$ ve $\uv{z}\cdot\hat{\vb{r}} = \cos\theta$: $\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}2\cos\theta\,R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi = 2\pi R^2$ ✓. Yüzey değişti, sonuç değişmedi.

Kısmi integral

Çarpım kuralları ile temel teoremler birleşince kısmi integral formülleri elde edilir. Örneğin $\nabla\cdot(f\vb{A}) = f\nabla\cdot\vb{A} + \vb{A}\cdot\nabla f$'yi bir hacim üzerinde integrallersek ve Gauss teoremini kullanırsak

$$ \int_{\mathcal{V}}f(\nabla\cdot\vb{A})\,\dd\tau = -\int_{\mathcal{V}}\vb{A}\cdot(\nabla f)\,\dd\tau + \oint_{\mathcal{S}}f\vb{A}\cdot\dd\vb{a} $$

(1.16)

buluruz. Türev bir çarpandan ötekine aktarılır; bedeli bir eksi işareti ve bir sınır terimidir. Fizikte sınır çoğu zaman sonsuzdadır ve alanlar orada yeterince hızlı sıfıra gittiği için sınır terimi kaybolur. Bu hile, 8. bölümde enerji ve momentum korunumunu türetirken sık sık kullanılacaktır.

1.8Eğrisel koordinatlar

Küresel ya da silindirik simetrili problemlerde (bir noktasal yük, düz bir tel, bir küre) Kartezyen koordinatlar elverişsizdir. Bu koordinatların asıl incelikleri, birim vektörlerin noktadan noktaya yön değiştirmesinden gelir.

Küresel koordinatlar

Bir noktanın küresel koordinatları $(r, \theta, \phi)$: orijine uzaklık $r$, $z$ ekseniyle yapılan açı $\theta$ (kutup açısı, $0 \le \theta \le \pi$) ve $xy$ düzlemine izdüşümünün $x$ ekseniyle yaptığı açı $\phi$ (azimut açısı, $0 \le \phi < 2\pi$) (Şekil 1.5):

$$ x = r\sin\theta\cos\phi, \qquad y = r\sin\theta\sin\phi, \qquad z = r\cos\theta $$

(1.17)

Her noktada, ilgili koordinatın artış yönünü gösteren üç birim vektör vardır:

$$ \begin{aligned} \hat{\vb{r}} &= \sin\theta\cos\phi\,\uv{x} + \sin\theta\sin\phi\,\uv{y} + \cos\theta\,\uv{z}\\ \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \cos\theta\cos\phi\,\uv{x} + \cos\theta\sin\phi\,\uv{y} - \sin\theta\,\uv{z}\\ \hat{\boldsymbol{\phi}} &= -\sin\phi\,\uv{x} + \cos\phi\,\uv{y} \end{aligned} $$

(1.18)

Birbirine diktirler ve sağ elli bir takım oluştururlar: $\hat{\vb{r}}\times\hat{\boldsymbol{\theta}} = \hat{\boldsymbol{\phi}}$. Ama Kartezyen birim vektörlerden farklı olarak konuma bağlıdırlar: $\hat{\vb{r}}$ her noktada başka bir yönü gösterir. Bu yüzden, örneğin, bir vektör alanının hacim integralini alırken $\hat{\vb{r}}$ integralin dışına çıkarılamaz; önce Kartezyen bileşenlere geçmek gerekir (Problem 1.14).

**Şekil 1.5.** Küresel koordinatlar $(r, \theta, \phi)$ ve bir noktadaki birim vektörler $\hat{\vb{r}}$, $\hat{\boldsymbol{\theta}}$, $\hat{\boldsymbol{\phi}}$. $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ güneye (artan $\theta$), $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ doğuya (artan $\phi$) doğrudur.

Bir koordinatı biraz değiştirirsek nokta ne kadar yer değiştirir? $r$ yönünde $\dd r$, $\theta$ yönünde $r\,\dd\theta$ (yarıçapı $r$ olan bir çember yayı), $\phi$ yönünde $r\sin\theta\,\dd\phi$ (yarıçapı $r\sin\theta$ olan bir çember yayı). Bu yüzden

$$ \dd\vb{l} = \dd r\,\hat{\vb{r}} + r\,\dd\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\sin\theta\,\dd\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}}, \qquad \dd\tau = r^2\sin\theta\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\phi $$

(1.19)

Yarıçapı $R$ olan bir kürenin yüzeyinde $\dd\vb{a} = R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi\,\hat{\vb{r}}$'dir. Gradyan, (1.4)'ün $\dd\vb{l}$ ile yazılmasından gelir; diverjans ve rotasyonel, küçük bir hacim öğesi üzerinde akı ve dolanım hesaplanarak türetilir. Sonuçlar:

$$ \begin{aligned} \nabla T &= \frac{\partial T}{\partial r}\hat{\vb{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}\\ \nabla\cdot\vb{v} &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2v_r\right) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\,v_\theta\right) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi}\\ \nabla\times\vb{v} &= \frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\,v_\phi\right) - \frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right]\hat{\vb{r}} + \frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{\partial}{\partial r}\left(rv_\phi\right)\right]\hat{\boldsymbol{\theta}}\\ &\quad + \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(rv_\theta\right) - \frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right]\hat{\boldsymbol{\phi}}\\ \nabla^2T &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2T}{\partial\phi^2} \end{aligned} $$

(1.20)

(Bu dört formül, bölümün figür programında Kartezyen formüllerle karşılaştırılarak sembolik olarak doğrulanmıştır.)

Örnek 1.9Küresel koordinatlarda Gauss teoremi

$\vb{v} = r^2\hat{\vb{r}}$ alanı için, yarıçapı $R$ olan ve merkezi orijinde olan bir kürede Gauss teoremini doğrulayın.

Çözüm

(1.20): $\nabla\cdot\vb{v} = (1/r^2)\,\partial(r^4)/\partial r = 4r$. Hacim integrali $\int_0^R 4r\cdot 4\pi r^2\,\dd r = 4\pi R^4$ (açısal integral $\int\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi = 4\pi$). Yüzeyde $\vb{v}\cdot\dd\vb{a} = R^2\cdot R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi$, akı $4\pi R^4$ ✓. Kartezyen koordinatlarda aynı hesap çok daha uzun olurdu.

Silindirik koordinatlar

Silindirik koordinatlar $(\rho, \phi, z)$: $z$ eksenine uzaklık $\rho$, azimut açısı $\phi$ (küresel koordinatlardakiyle aynı) ve $z$:

$$ \begin{aligned} &x = \rho\cos\phi, \quad y = \rho\sin\phi, \quad z = z;\\ &\hat{\boldsymbol{\rho}} = \cos\phi\,\uv{x} + \sin\phi\,\uv{y}, \quad \hat{\boldsymbol{\phi}} = -\sin\phi\,\uv{x} + \cos\phi\,\uv{y} \end{aligned} $$

(1.21)

$\dd\vb{l} = \dd\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}} + \rho\,\dd\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}} + \dd z\,\uv{z}$, $\dd\tau = \rho\,\dd\rho\,\dd\phi\,\dd z$ ve

$$ \begin{aligned} \nabla T &= \frac{\partial T}{\partial\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{\partial T}{\partial z}\uv{z}\\ \nabla\cdot\vb{v} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho v_\rho\right) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\\ \nabla\times\vb{v} &= \left[\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial\phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right]\hat{\boldsymbol{\rho}} + \left[\frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial\rho}\right]\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho v_\phi\right) - \frac{\partial v_\rho}{\partial\phi}\right]\uv{z}\\ \nabla^2T &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial T}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2T}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2T}{\partial z^2} \end{aligned} $$

(1.22)

Örnek 1.10Silindirik koordinatlarda rotasyonel

Örnek 1.4'teki $\vb{v} = \omega(-y\uv{x} + x\uv{y})$ alanını silindirik koordinatlarda yazın ve rotasyonelini (1.22) ile hesaplayın.

Çözüm

$-y\uv{x} + x\uv{y} = \rho(-\sin\phi\,\uv{x} + \cos\phi\,\uv{y}) = \rho\hat{\boldsymbol{\phi}}$; yani $\vb{v} = \omega\rho\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$: katı cisim dönmesinde hız eksene uzaklıkla orantılıdır ve teğettir. Yalnızca $v_\phi = \omega\rho$ sıfırdan farklıdır; $\uv{z}$ bileşeni $(1/\rho)\,\partial(\omega\rho^2)/\partial\rho = 2\omega$ ✓. Kartezyen hesapla aynı sonuç: rotasyonel bir vektördür ve hangi koordinatlarla hesaplandığına bağlı değildir.

1.9Dirac delta fonksiyonu

Örnek 1.3'te $\vb{v} = \hat{\vb{r}}/r^2$ alanının diverjansının $r \neq 0$ için sıfır olduğunu bulduk. Oysa bu alanın, merkezi orijinde olan ve yarıçapı $R$ olan bir küreden akısı

$$ \oint\vb{v}\cdot\dd\vb{a} = \int\frac{1}{R^2}\,R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi = 4\pi $$

dir ve $R$'den bağımsızdır. Gauss teoremi $\int\nabla\cdot\vb{v}\,\dd\tau = 4\pi$ olmasını gerektirir. Diverjans her yerde sıfırsa integral nasıl $4\pi$ olabilir? Çözüm: diverjansın bütün katkısı tek bir noktadan, orijinden gelir. Alan orada sonsuz büyüktür ve "sonsuz büyük ama integrali sonlu" bir nicelik gerekir.

Tek boyutta delta. Dirac delta "fonksiyonu" $\delta(x)$,

$$ \delta(x) = 0 \ (x \neq 0), \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,\dd x = 1 $$

(1.23)

özelliklerine sahip bir nesnedir. Sıradan anlamda bir fonksiyon değildir (sıfır dışında her yerde sıfır olan bir fonksiyonun integrali sıfırdır); matematikçiler ona dağılım (genelleştirilmiş fonksiyon) der. Ama onu, alanı 1 kalarak giderek daralan ve yükselen fonksiyonların limiti olarak düşünebiliriz (Şekil 1.6). Bir fizikçi için en somut örnek bir noktasal yükün yoğunluğudur: hacmi sıfır, yükü sonlu.

Dirac delta — **Şekil 1.6.** Genişliği $\sigma$ olan Gauss fonksiyonları, $e^{-x^2/2\sigma^2}/(\sigma\sqrt{2\pi})$. Her birinin altındaki alan 1'dir; $\sigma \to 0$ iken tepe sonsuza, genişlik sıfıra gider ve limit $\delta(x)$'tir.

Deltanın asıl özelliği, bir integralin içinde bir fonksiyonun değerini "seçmesidir": $f$ sürekli bir fonksiyonsa

$$ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(x - a)\,\dd x = f(a) $$

(1.24)

çünkü $\delta(x - a)$ yalnızca $x = a$'da sıfırdan farklıdır ve orada $f$ sabit $f(a)$ gibidir. Ayrıca $\delta(kx) = \delta(x)/|k|$ (Problem 1.6).

Üç boyutta delta. $\delta^3(\vb{r}) = \delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z)$, orijin dışında sıfırdır ve bütün uzayda integrali 1'dir: $\int\delta^3(\vb{r})\,\dd\tau = 1$, $\int f(\vb{r})\,\delta^3(\vb{r} - \vb{a})\,\dd\tau = f(\vb{a})$. Paradoksun çözümü:

$$ \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\vb{r}}}{r^2}\right) = 4\pi\,\delta^3(\vb{r}) $$

(1.25)

Bu, orijin dışında sıfırdır ve orijini içeren her hacimde integrali $4\pi$'dir; ikisi de istenen özelliklerdir. Ayrım vektörüyle genelleştirilmiş hâli, $\nabla(1/\mathcal{R}) = -\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2$ (Örnek 1.2) ile birlikte:

$$ \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\pmb{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}\right) = 4\pi\,\delta^3(\pmb{\mathcal{R}}), \qquad \nabla^2\frac{1}{\mathcal{R}} = -4\pi\,\delta^3(\pmb{\mathcal{R}}) $$

(1.26)

Bu iki denklem elektrostatiğin kalbidir: ilki noktasal bir yükün Gauss yasasını, ikincisi Poisson denklemini verir (2. bölüm).

Örnek 1.11Delta ile bir integral

Merkezi orijinde ve yarıçapı $R$ olan bir küre üzerinden $\int(r^2 + 2)\,\nabla\cdot(\hat{\vb{r}}/r^2)\,\dd\tau$ integralini (a) (1.25) ile, (b) kısmi integralle hesaplayın.

Çözüm

(a) $\int(r^2 + 2)\,4\pi\delta^3(\vb{r})\,\dd\tau = 4\pi(0 + 2) = 8\pi$. (b) (1.16) ile, $f = r^2 + 2$, $\vb{A} = \hat{\vb{r}}/r^2$: $\nabla f = 2r\hat{\vb{r}}$. Hacim terimi $-\int(\hat{\vb{r}}/r^2)\cdot 2r\hat{\vb{r}}\,\dd\tau = -\int(2/r)\,4\pi r^2\,\dd r = -4\pi R^2$. Sınır terimi $\oint(R^2 + 2)(1/R^2)\,R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi = 4\pi(R^2 + 2)$. Toplam $-4\pi R^2 + 4\pi R^2 + 8\pi = 8\pi$ ✓. Sonuç $R$'den bağımsızdır; delta yalnızca orijinde "yaşar".

Tarihçe

Maxwell, 1873'teki büyük kitabı Elektrik ve Manyetizma Üzerine İnceleme'de denklemlerini bileşenlerle ve kısmen Hamilton'ın kuaterniyonlarıyla yazmıştı; bugünkü dört kısa denklem bu kitapta yoktur. Bugün kullandığımız vektör analizini 1880'lerde, birbirinden bağımsız olarak Amerikalı Josiah Willard Gibbs ve İngiliz Oliver Heaviside kurdu. Heaviside, Maxwell'in yirmi denklemlik sistemini bugünkü dört denkleme indirgedi. Diverjans teoremini Lagrange (1762), Gauss (1813) ve Ostrogradski (1826) farklı biçimlerde buldu; Stokes teoremini ise William Thomson (Lord Kelvin) 1850'de Stokes'a bir mektupta bildirdi ve Stokes onu 1854'te Cambridge'deki Smith Ödülü sınavında öğrencilere soru olarak sordu. Paul Dirac, delta fonksiyonunu 1930'daki kuantum mekaniği kitabında yaygınlaştırdı; matematikçiler onu ancak 1940'larda Laurent Schwartz'ın dağılımlar kuramıyla sağlam bir temele oturttular.

1.10Vektör alanları kuramı

Bir vektör alanının diverjansını ve rotasyonelini bilirsek alanın kendisini bulabilir miyiz? Elektrostatikte tam da bu durumdayız: Maxwell denklemleri $\vb{E}$'nin diverjansını (yük yoğunluğu) ve rotasyonelini (durgun durumda sıfır) verir. Yanıt, uygun sınır koşulları altında evettir.

Teorem 1.3Helmholtz teoremi

Diverjansı $D(\vb{r})$ ve rotasyoneli $\vb{C}(\vb{r})$ bilinen ($\nabla\cdot\vb{C} = 0$ olmak zorundadır) ve sonsuzda sıfıra giden bir $\vb{F}$ alanı, $D$ ve $\vb{C}$ sonsuzda yeterince hızlı ($1/r^2$'den hızlı) sıfıra gidiyorsa, tek olarak belirlenir:

$$ \begin{aligned} \vb{F} &= -\nabla U + \nabla\times\vb{W},\\ U(\vb{r}) &= \frac{1}{4\pi}\int\frac{D(\vb{r}')}{\mathcal{R}}\,\dd\tau', \qquad \vb{W}(\vb{r}) = \frac{1}{4\pi}\int\frac{\vb{C}(\vb{r}')}{\mathcal{R}}\,\dd\tau' \end{aligned} $$

(1.27)

Doğruluğu (1.26) ile denetlenebilir: $\nabla\cdot\vb{F} = -\nabla^2U = -(1/4\pi)\int D(\vb{r}')\nabla^2(1/\mathcal{R})\,\dd\tau' = D(\vb{r})$ ✓ (rotasyonelin kısmı (1.12) ile benzer biçimde; Problem 1.18). 2. ve 5. bölümlerde elektrik ve manyetik alanları yük ve akım dağılımlarından tam olarak bu integrallerle hesaplayacağız.

Potansiyeller. Helmholtz teoreminin özel durumları potansiyellerin temelidir:

Teorem 1.4Skaler ve vektör potansiyel

$\nabla\times\vb{F} = 0$ her yerdeyse (dönmesiz alan), $\vb{F} = -\nabla V$ olacak biçimde bir skaler potansiyel $V$ vardır. Bu durumda $\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\vb{F}\cdot\dd\vb{l}$ yoldan bağımsızdır ve $\oint\vb{F}\cdot\dd\vb{l} = 0$'dır.
$\nabla\cdot\vb{F} = 0$ her yerdeyse (kaynaksız ya da solenoidal alan), $\vb{F} = \nabla\times\vb{A}$ olacak biçimde bir vektör potansiyel $\vb{A}$ vardır. Bu durumda $\int\vb{F}\cdot\dd\vb{a}$ yalnızca yüzeyin sınırına bağlıdır ve kapalı yüzeyler için sıfırdır.

(Eksi işareti elektrostatikteki gelenektir.) Durgun elektrik alan dönmesizdir ve skaler potansiyelden (elektrik potansiyeli) türer; manyetik alan her zaman kaynaksızdır ve vektör potansiyelden türer. Potansiyeller tek değildir: $V$'ye bir sabit, $\vb{A}$'ya herhangi bir skalerin gradyanı eklenebilir ($\nabla\times\nabla\lambda = 0$). Bu ayar özgürlüğü 10. bölümün ana konularından biri olacak.

Örnek 1.12Düzgün bir alanın vektör potansiyeli

Düzgün $\vb{B} = B_0\uv{z}$ alanı için bir vektör potansiyel bulun. $\vb{A} = \tfrac12\vb{B}\times\vb{r}$'nin bir çözüm olduğunu ve diverjansının sıfır olduğunu gösterin.

Çözüm

$\nabla\cdot\vb{B} = 0$ olduğundan bir $\vb{A}$ vardır. $\vb{A} = \tfrac12 B_0\uv{z}\times(x, y, z) = \tfrac12 B_0(-y, x, 0)$. Örnek 1.4'teki hesapla $\nabla\times\vb{A} = \tfrac12 B_0\cdot 2\uv{z} = B_0\uv{z}$ ✓ ve $\nabla\cdot\vb{A} = 0$. Silindirik koordinatlarda $\vb{A} = \tfrac12 B_0\rho\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$: $z$ ekseni çevresinde dolanır. Başka bir çözüm $\vb{A}' = B_0x\,\uv{y}$'dir (Problem 1.13); ikisinin farkı bir gradyandır.

Özet

Ayrım vektörü $\pmb{\mathcal{R}} = \vb{r} - \vb{r}'$ kaynak noktasından alan noktasına uzanır (1.3).
Gradyan $\nabla T$ en hızlı artış yönünü ve eğimi verir; $\dd T = \nabla T\cdot\dd\vb{l}$ (1.4). Diverjans $\nabla\cdot\vb{v}$ birim hacimden çıkan akıyı, rotasyonel $\nabla\times\vb{v}$ birim alan başına dolanımı ölçer.
Gradyanın rotasyoneli ve rotasyonelin diverjansı sıfırdır (1.10); $\nabla\times(\nabla\times\vb{v}) = \nabla(\nabla\cdot\vb{v}) - \nabla^2\vb{v}$ (1.12).
Temel teoremler: $\int(\nabla T)\cdot\dd\vb{l} = T(\mathbf{b}) - T(\mathbf{a})$ (1.13), $\int(\nabla\cdot\vb{v})\,\dd\tau = \oint\vb{v}\cdot\dd\vb{a}$ (1.14), $\int(\nabla\times\vb{v})\cdot\dd\vb{a} = \oint\vb{v}\cdot\dd\vb{l}$ (1.15).
Küresel ve silindirik koordinatlarda birim vektörler konuma bağlıdır; türev formülleri (1.20) ve (1.22)'dedir.
$\nabla\cdot(\hat{\vb{r}}/r^2) = 4\pi\delta^3(\vb{r})$ ve $\nabla^2(1/\mathcal{R}) = -4\pi\delta^3(\pmb{\mathcal{R}})$ (1.26).
Bir alan, diverjansı ve rotasyoneliyle belirlenir (1.27). Dönmesiz alanlar bir skaler potansiyelin, kaynaksız alanlar bir vektör potansiyelin türevidir.

Problemler

Problem 1.1İki vektör arasındaki açı★☆☆

$\vb{A} = \uv{x} + 2\uv{y} + 2\uv{z}$ ile $\vb{B} = 2\uv{x} - \uv{y} + 2\uv{z}$ arasındaki açıyı bulun. $\vb{A}\times\vb{B}$'yi hesaplayın ve her iki vektöre de dik olduğunu doğrulayın.

Çözümü göster

$\vb{A}\cdot\vb{B} = 2 - 2 + 4 = 4$, $A = B = 3$: $\cos\theta = 4/9$, $\theta = 63{,}6°$. (1.1): $\vb{A}\times\vb{B} = (2\cdot 2 - 2\cdot(-1))\uv{x} - (1\cdot 2 - 2\cdot 2)\uv{y} + (1\cdot(-1) - 2\cdot 2)\uv{z} = 6\uv{x} + 2\uv{y} - 5\uv{z}$. $\vb{A}\cdot(\vb{A}\times\vb{B}) = 6 + 4 - 10 = 0$ ✓, $\vb{B}\cdot(\vb{A}\times\vb{B}) = 12 - 2 - 10 = 0$ ✓. Büyüklüğü $\sqrt{65} = AB\sin\theta = 9\sqrt{1 - 16/81} = \sqrt{65}$ ✓.

Problem 1.2Ayrım vektörü★☆☆

Bir yük $\vb{r}' = (1, 2, 0)$ m noktasında, alan noktası $\vb{r} = (3, 1, 2)$ m'dedir. $\pmb{\mathcal{R}}$, $\mathcal{R}$ ve $\hat{\pmb{\mathcal{R}}}$'yi bulun.

Çözümü göster

$\pmb{\mathcal{R}} = (2, -1, 2)$ m, $\mathcal{R} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ m, $\hat{\pmb{\mathcal{R}}} = (2, -1, 2)/3$.

Problem 1.3Bir gradyan★☆☆

$f = x^2y + yz^3$ için $\nabla f$'yi bulun ve $(1, 1, 1)$ noktasında hesaplayın. Bu noktada $f$ hangi yönde en hızlı artar?

Çözümü göster

$\nabla f = 2xy\,\uv{x} + (x^2 + z^3)\uv{y} + 3yz^2\,\uv{z}$; $(1, 1, 1)$'de $(2, 2, 3)$. En hızlı artış $(2, 2, 3)/\sqrt{17}$ yönündedir ve bu yöndeki artış hızı $\sqrt{17} = 4{,}12$'dir.

Problem 1.4Diverjans ve rotasyonel★☆☆

$\vb{v} = x^2\uv{x} + 3xz^2\uv{y} - 2xz\,\uv{z}$ alanının diverjansını ve rotasyonelini hesaplayın. Bu alan bir vektör potansiyelden türetilebilir mi, bir skaler potansiyelden türetilebilir mi?

Çözümü göster

$\nabla\cdot\vb{v} = 2x + 0 - 2x = 0$. $\nabla\times\vb{v} = (0 - 6xz)\uv{x} + (0 + 2z)\uv{y} + (3z^2 - 0)\uv{z} = -6xz\,\uv{x} + 2z\,\uv{y} + 3z^2\uv{z}$. Diverjansı sıfır olduğundan bir vektör potansiyelin rotasyonelidir; rotasyoneli sıfır olmadığından bir skaler potansiyelin gradyanı değildir.

Problem 1.5Konum vektörünün akısı★☆☆

$\vb{v} = \vb{r}$ alanı için, yarıçapı $R$ olan bir kürede Gauss teoremini doğrulayın.

Çözümü göster

$\nabla\cdot\vb{r} = 3$: $\int 3\,\dd\tau = 4\pi R^3$. Yüzeyde $\vb{r}\cdot\dd\vb{a} = R\cdot R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi$: akı $4\pi R^3$ ✓.

Problem 1.6Delta ile integraller★☆☆

(a) $\int_{-5}^{5}x^3\delta(x - 2)\,\dd x$, (b) $\int_{-1}^{1}\delta(3x)\,\dd x$, (c) $\int_0^3 x\,\delta(x + 1)\,\dd x$ integrallerini hesaplayın. (b)'den yola çıkarak $\delta(kx) = \delta(x)/|k|$ olduğunu gösterin.

Çözümü göster

(a) $2^3 = 8$. (b) $u = 3x$ ile $\int_{-3}^{3}\delta(u)\,\dd u/3 = 1/3$. (c) Delta $x = -1$'de, aralığın dışında: 0. Genel olarak $\int f(x)\delta(kx)\,\dd x$'te $u = kx$ değişkeni ($k < 0$ ise integral sınırları yer değiştirir ve bir eksi işareti çıkar) $f(0)/|k|$ verir; bu, $\delta(kx) = \delta(x)/|k|$ demektir.

Problem 1.7$r^n$'nin türevleri★★☆

$\nabla(r^n) = nr^{n-1}\hat{\vb{r}}$ ve $\nabla^2(r^n) = n(n + 1)r^{n-2}$ olduğunu gösterin. $n = -1$ için ne olur? $n = 2$ için sonucu Kartezyen koordinatlarda denetleyin.

Çözümü göster

Zincir kuralı ve $\nabla r = \hat{\vb{r}}$ ile birincisi. Küresel Laplasyenle (1.20) $\nabla^2 r^n = (1/r^2)\,\dd(r^2\cdot nr^{n-1})/\dd r = n(n + 1)r^{n-2}$. $n = -1$ için sıfır ($r \neq 0$); orijinde (1.26)'daki $-4\pi\delta^3$ vardır. $n = 2$: $2 \times 3 = 6$; Kartezyen: $\nabla^2(x^2 + y^2 + z^2) = 2 + 2 + 2 = 6$ ✓.

Problem 1.8Küresel koordinatlarda diverjans★★☆

$\vb{v} = \hat{\vb{r}}/r$ alanının diverjansını küresel koordinatlarda hesaplayın. Sonucu, merkezi orijinde ve yarıçapı $R$ olan bir küre için Gauss teoremiyle denetleyin.

Çözümü göster

$\nabla\cdot\vb{v} = (1/r^2)\,\dd(r^2\cdot r^{-1})/\dd r = 1/r^2$. Hacim integrali $\int_0^R(1/r^2)4\pi r^2\,\dd r = 4\pi R$. Akı $(1/R)\cdot 4\pi R^2 = 4\pi R$ ✓. Burada orijinde delta yoktur: integrand $1/r^2$, $r^2\sin\theta$ hacim öğesiyle birlikte sonludur.

Problem 1.9Bir çarpım kuralı daha★★☆

$\nabla\cdot(\vb{A}\times\vb{B}) = \vb{B}\cdot(\nabla\times\vb{A}) - \vb{A}\cdot(\nabla\times\vb{B})$ olduğunu bileşenlerle gösterin.

Çözümü göster

$\nabla\cdot(\vb{A}\times\vb{B}) = \partial_x(A_yB_z - A_zB_y) + \partial_y(A_zB_x - A_xB_z) + \partial_z(A_xB_y - A_yB_x)$. Türevler $\vb{A}$'ya etki eden ve $\vb{B}$'ye etki eden terimler olarak ayrılınca $\vb{B}$'nin katsayıları $B_x(\partial_yA_z - \partial_zA_y) + B_y(\partial_zA_x - \partial_xA_z) + B_z(\partial_xA_y - \partial_yA_x) = \vb{B}\cdot(\nabla\times\vb{A})$; $\vb{A}$'nın katsayıları da benzer biçimde $-\vb{A}\cdot(\nabla\times\vb{B})$ verir ✓.

Problem 1.10Sıfır olan ikinci türevler★★☆

$\nabla\times(\nabla T) = 0$ ve $\nabla\cdot(\nabla\times\vb{v}) = 0$ olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$\nabla\times\nabla T$'nin $x$ bileşeni $\partial_y\partial_zT - \partial_z\partial_yT = 0$ (karışık kısmi türevler eşittir); diğerleri de benzer. $\nabla\cdot(\nabla\times\vb{v}) = \partial_x(\partial_yv_z - \partial_zv_y) + \partial_y(\partial_zv_x - \partial_xv_z) + \partial_z(\partial_xv_y - \partial_yv_x)$; altı terim ikişer ikişer birbirini götürür ✓. (Türevlerin sürekli olması gerekir; (1.25) gibi tekil durumlarda dikkat.)

Problem 1.11Rotasyonelin rotasyoneli★★☆

(1.12)'yi $x$ bileşeni için kanıtlayın.

Çözümü göster

$[\nabla\times(\nabla\times\vb{v})]_x = \partial_y(\nabla\times\vb{v})_z - \partial_z(\nabla\times\vb{v})_y = \partial_y(\partial_xv_y - \partial_yv_x) - \partial_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z) = \partial_x(\partial_yv_y + \partial_zv_z) - (\partial_y^2 + \partial_z^2)v_x$. $\partial_x^2v_x$'i ekleyip çıkarırsak $\partial_x(\nabla\cdot\vb{v}) - \nabla^2v_x$ ✓.

Problem 1.12Bir skaler potansiyel bulun★★☆

$\vb{F} = (2xy + z^3)\uv{x} + x^2\uv{y} + 3xz^2\uv{z}$ alanının dönmesiz olduğunu gösterin ve $\vb{F} = \nabla f$ olacak biçimde bir $f$ bulun. $(0, 0, 0)$'dan $(1, 2, 1)$'e $\int\vb{F}\cdot\dd\vb{l}$ nedir?

Çözümü göster

$\nabla\times\vb{F}$: $x$ bileşeni $0 - 0$; $y$ bileşeni $3z^2 - 3z^2 = 0$; $z$ bileşeni $2x - 2x = 0$ ✓. $\partial f/\partial x = 2xy + z^3$ ⇒ $f = x^2y + xz^3 + g(y, z)$; $\partial f/\partial y = x^2 + \partial g/\partial y = x^2$ ⇒ $g = g(z)$; $\partial f/\partial z = 3xz^2 + g'(z) = 3xz^2$ ⇒ $g$ sabit. $f = x^2y + xz^3$. İntegral $f(1, 2, 1) - f(0, 0, 0) = 2 + 1 = 3$, yoldan bağımsız. (Bu problemde $\vb{F} = +\nabla f$ aldık; elektrostatikte $\vb{E} = -\nabla V$ geleneği kullanılır.)

Problem 1.13Ayar dönüşümü★★☆

$\vb{A}' = B_0x\,\uv{y}$'nin de $\vb{B} = B_0\uv{z}$ verdiğini gösterin. $\vb{A}' - \vb{A}$'nın (Örnek 1.12) bir skalerin gradyanı olduğunu gösterin ve o skaleri bulun.

Çözümü göster

$\nabla\times\vb{A}' = (\partial A'_y/\partial x)\uv{z} = B_0\uv{z}$ ✓. $\vb{A}' - \vb{A} = (\tfrac12 B_0y,\, \tfrac12 B_0x,\, 0) = \nabla(\tfrac12 B_0xy)$ ✓. Gradyanın rotasyoneli sıfır olduğundan iki potansiyel aynı alanı verir.

Problem 1.14Bir vektörün yüzey integrali★★☆

Yarıçapı $R$ olan bir yarım kürenin ($z \ge 0$) yüzeyi üzerinde $\int\hat{\vb{r}}\,\dd a$ vektör integralini hesaplayın. Neden $\hat{\vb{r}}$'yi integralin dışına çıkarıp "$\hat{\vb{r}}\cdot 2\pi R^2$" yazamayız?

Çözümü göster

$\hat{\vb{r}}$ her noktada farklı yönü gösterir; Kartezyen bileşenlere geçmek gerekir (1.18). $x$ ve $y$ bileşenleri $\int_0^{2\pi}\cos\phi\,\dd\phi = 0$ yüzünden sıfırdır. $z$ bileşeni $\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,R^2\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\phi = \pi R^2$. Sonuç $\pi R^2\uv{z}$: yarım kürenin tabanının alan vektörü. (Bu bir rastlantı değildir: kapalı bir yüzey için $\oint\dd\vb{a} = 0$'dır, Problem 1.15.)

Problem 1.15Kapalı yüzeyin alan vektörü★★☆

Gauss teoremini sabit bir $\vb{c}$ vektörüyle çarpılmış bir alana uygulayarak her kapalı yüzey için $\oint\dd\vb{a} = 0$ olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$\vb{v} = T\vb{c}$ alanına Gauss teoremi: $\int\nabla\cdot(T\vb{c})\,\dd\tau = \vb{c}\cdot\int\nabla T\,\dd\tau = \vb{c}\cdot\oint T\,\dd\vb{a}$. $T = 1$ alınca sol taraf sıfırdır: $\vb{c}\cdot\oint\dd\vb{a} = 0$. $\vb{c}$ keyfi olduğundan $\oint\dd\vb{a} = 0$ ✓. (Ara sonuç $\int\nabla T\,\dd\tau = \oint T\,\dd\vb{a}$ de kullanışlı bir teoremdir.)

Problem 1.16Üç boyutta delta★★☆

$\vb{a} = (1, 2, 3)$ noktasını içeren bir $\mathcal{V}$ hacmi üzerinde $\int(r^2 + \vb{r}\cdot\vb{a} + a^2)\,\delta^3(\vb{r} - \vb{a})\,\dd\tau$ integralini hesaplayın. $\mathcal{V}$, $\vb{a}$'yı içermeseydi ne olurdu?

Çözümü göster

Delta $\vb{r} = \vb{a}$'yı seçer: $a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 = 3 \times 14 = 42$. Hacim $\vb{a}$'yı içermeseydi integral sıfır olurdu.

Problem 1.17Rotasyoneli sıfır olan dolanan alan★★☆

$\vb{v} = (-y\,\uv{x} + x\,\uv{y})/(x^2 + y^2)$ alanının $z$ ekseni dışında rotasyonelinin sıfır olduğunu, ama orijin çevresindeki her çemberde dolanımının $2\pi$ olduğunu gösterin. Bu, Stokes teoremiyle nasıl bağdaşır?

Çözümü göster

Silindirik koordinatlarda $\vb{v} = \hat{\boldsymbol{\phi}}/\rho$. (1.22): $\uv{z}$ bileşeni $(1/\rho)\,\partial(\rho\cdot\rho^{-1})/\partial\rho = 0$ ($\rho \neq 0$). Yarıçapı $R$ olan çemberde $\vb{v}\cdot\dd\vb{l} = (1/R)\,R\,\dd\phi$, $\oint = 2\pi$. Çemberi sınır alan her yüzey $z$ eksenini keser ve alan orada tekildir; rotasyonel, eksen üzerinde bir delta fonksiyonu içerir: $\nabla\times\vb{v} = 2\pi\delta(x)\delta(y)\uv{z}$. Stokes teoremi korunur. Bu alan, sonsuz uzun düz bir telin manyetik alanıyla aynı biçimdedir (5. bölüm): rotasyonelinin delta fonksiyonu, telde akan akımdır.

Problem 1.18Helmholtz teoreminin denetimi★★★

(1.27)'deki $\vb{F}$'nin rotasyonelinin $\vb{C}$ olduğunu, $\nabla\cdot\vb{C} = 0$ koşulunu ve kısmi integrali kullanarak gösterin.

Çözümü göster

$\nabla\times\vb{F} = \nabla\times(\nabla\times\vb{W}) = \nabla(\nabla\cdot\vb{W}) - \nabla^2\vb{W}$ (1.12). $\nabla^2\vb{W} = (1/4\pi)\int\vb{C}(\vb{r}')\nabla^2(1/\mathcal{R})\,\dd\tau' = -\vb{C}(\vb{r})$. $\nabla\cdot\vb{W} = (1/4\pi)\int\vb{C}\cdot\nabla(1/\mathcal{R})\,\dd\tau' = -(1/4\pi)\int\vb{C}\cdot\nabla'(1/\mathcal{R})\,\dd\tau'$ (Örnek 1.2). Kısmi integralle bu $(1/4\pi)\int(1/\mathcal{R})\nabla'\cdot\vb{C}\,\dd\tau'$ eksi bir sınır terimine eşittir; $\nabla'\cdot\vb{C} = 0$ ve $\vb{C}$ sonsuzda yeterince hızlı sıfıra gittiği için ikisi de sıfırdır. Sonuç $\nabla\times\vb{F} = \vb{C}$ ✓. Gradyan teriminin rotasyoneli sıfırdır.

Problem 1.19Teklik★★★

Hem diverjansı hem rotasyoneli her yerde sıfır olan ve sonsuzda sıfıra giden bir $\vb{F}$ alanının her yerde sıfır olduğunu gösterin. Bundan Helmholtz teoremindeki tekliği çıkarın.

Çözümü göster

$\nabla\times\vb{F} = 0$ ⇒ $\vb{F} = -\nabla V$; $\nabla\cdot\vb{F} = 0$ ⇒ $\nabla^2V = 0$. Kısmi integral: $\int|\nabla V|^2\,\dd\tau = \oint V\nabla V\cdot\dd\vb{a} - \int V\nabla^2V\,\dd\tau$. Son terim sıfırdır; büyük bir küre için sınır terimi de, alan sonsuzda yeterince hızlı küçüldüğü için ($V \sim 1/r$, $\nabla V \sim 1/r^2$, yüzey $\sim r^2$: terim $\sim 1/r$) sıfıra gider. $\int|\vb{F}|^2\,\dd\tau = 0$ ⇒ $\vb{F} = 0$. Aynı diverjans ve rotasyonele sahip iki alanın farkı bu tür bir alandır, dolayısıyla sıfırdır: alan tektir.

İleri okuma

D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 1. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That, 4. baskı (W. W. Norton, 2005): vektör analizinin elektrostatik örnekleriyle çok sezgisel bir anlatımı.
M. L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3. baskı (Wiley, 2006), 6. bölüm: vektör analizi ve integral teoremleri üzerine bol alıştırma.
G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7. baskı (Academic Press, 2013), 1–3. bölümler: eğrisel koordinatlar ve Dirac deltası.
M. J. Crowe, A History of Vector Analysis (Dover, 1994): kuaterniyonlardan Gibbs ve Heaviside'a vektör analizinin tarihi.