AYT 12. sınıf · 13. konu

Basit Harmonik Hareket

Yay–kütle sistemi ve basit sarkaç, periyot, genlik, hız ve ivmenin konuma göre değişimi, enerji dönüşümleri ve rezonans.

Bu konuda öğreneceklerin

Basit harmonik hareketin geri çağırıcı kuvvetini
Yay–kütle sisteminin ve basit sarkacın periyodunu
Hız, ivme ve enerjinin konuma göre nasıl değiştiğini
Periyodun hangi niceliklere bağlı olduğunu

Basit harmonik hareket nedir?

Denge konumu çevresinde, uzanımla orantılı ve denge konumuna doğru yönelmiş bir kuvvet etkisinde yapılan salınım hareketine basit harmonik hareket (BHH) denir:

$$ F = -k\,x $$

Eksi işareti kuvvetin her zaman denge noktasına doğru olduğunu gösterir. Denge noktasından en büyük uzaklık genlik $A$'dır; bir tam salınımın süresi periyot $T$'dir.

Hız, ivme ve enerji

Denge noktasında: Kuvvet ve ivme sıfır, hız en büyüktür: $v_{\max} = \omega A$.
Uç noktalarda: Hız sıfır, kuvvet ve ivme en büyüktür: $a_{\max} = \omega^2 A$.

Burada $\omega = 2\pi/T$'dir. Konum zamanla $x = A\cos(\omega t)$ biçiminde değişir; BHH, düzgün çembersel hareketin bir çap üzerindeki izdüşümüdür. Sürtünmesiz sistemde toplam enerji sabittir ve genliğin karesiyle orantılıdır:

$$ E = \tfrac12 k A^2 $$

Uç noktalarda bütün enerji potansiyel, denge noktasında bütün enerji kinetiktir.

Yay–kütle sistemi

Yay sabiti $k$ olan yaya bağlı $m$ kütleli cismin periyodu:

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$

Periyot genliğe ve yer çekimine bağlı değildir; aynı sistem Ay'da da aynı periyotla salınır. Kütle 4 katına çıkarsa periyot 2 katına çıkar. Yaylar seri bağlanırsa eşdeğer yay sabiti küçülür (periyot artar), paralel bağlanırsa büyür (periyot azalır).

Basit sarkaç

Uzunluğu $L$ olan ipin ucuna bağlı küçük bir kütle, küçük açılarla salındırılırsa:

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} $$

Sarkacın periyodu kütleye ve genliğe bağlı değildir (küçük açılarda); yalnızca ip uzunluğuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır. Ay'da $g$ küçük olduğu için aynı sarkaç daha yavaş salınır. Galileo bu özelliği kilisedeki bir avizenin salınımını nabzıyla ölçerek fark etmiştir; sarkaçlı saatler bu ilkeyle çalışır.

Rezonans

Bir sisteme kendi doğal frekansında dışarıdan periyodik bir etki uygulanırsa genlik çok büyür. Salıncağı doğru anlarda itmek, şarkıcının sesiyle kadehin kırılması ve rüzgârın köprüleri salındırması rezonans örnekleridir.

Formüller

$$F = -k\,x$$

Geri çağırıcı kuvvet

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Yay–kütle periyodu

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Basit sarkaç periyodu

$$v_{\max} = \omega A,\quad a_{\max} = \omega^2 A$$

En büyük hız ve ivme

$$E = \tfrac12 k A^2$$

Toplam enerji

Çözümlü örnekler

Örnek 1Yay–kütle periyodu

Yay sabiti 160 N/m olan yaya bağlı 0,4 kg'lık cisim salınıyor. Periyot kaç saniyedir? ($\pi \approx 3$)

Örnek 2Sarkacın uzunluğu

Periyodu 2 s olan bir sarkacın uzunluğu yaklaşık kaç metredir? ($g = 10\ \text{m/s}^2$, $\pi^2 \approx 10$)

Sık yapılan hatalar

Sarkacın periyodunun kütleye bağlı olduğunu sanmak.
Yay–kütle sisteminin periyodunun yer çekimine bağlı olduğunu sanmak.
Uç noktalarda ivmenin de sıfır olduğunu düşünmek: hız sıfırdır, ivme en büyüktür.
Genlik iki katına çıkınca periyodun da iki katına çıktığını sanmak: periyot genlikten bağımsızdır, enerji 4 katına çıkar.

Günlük hayatta

Gökdelenlerin tepesine yerleştirilen yüzlerce tonluk "ayarlı kütle sönümleyiciler", rüzgârla salınan binanın tersine salınarak sallanmayı azaltır. Taipei 101'deki 660 tonluk sarkaç bunun en ünlü örneğidir.

Konu testi

10 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

Basit harmonik hareket yapan bir cismin hızı hangi noktada en büyüktür?

2Kolay

Basit harmonik hareket yapan bir cismin ivmesi hangi noktada en büyüktür?

3Orta

Bir yay–kütle sisteminde kütle 4 katına çıkarılırsa periyot ne olur?

4Orta

Bir basit sarkacın kütlesi iki katına çıkarılırsa periyot ne olur? (Küçük açılar)

5Orta

Bir sarkacın ip uzunluğu 4 katına çıkarılırsa periyodu ne olur?

6Orta

Dünya'da periyodu T olan bir yay–kütle sistemi, yer çekimi ivmesinin Dünya'dakinin 1/6'sı olduğu Ay'a götürülüyor. Periyodu ne olur?

7Zor

Yay sabiti 160 N/m olan yaya bağlı 0,4 kg'lık cismin periyodu kaç saniyedir? ($\pi \approx 3$)

8Orta

Bir yay–kütle sisteminin genliği iki katına çıkarılırsa toplam enerjisi ne olur?

9Zor

Periyodu 2 s olan bir basit sarkacın ip uzunluğu kaç metredir? ($g = 10\ \text{m/s}^2$, $\pi^2 \approx 10$)

10Kolay

Bir salıncağı, salınım frekansıyla aynı aralıklarla itmek genliğin hızla büyümesine yol açar. Bu olaya ne ad verilir?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.