AYT 12. sınıf · 12. konu

Kütle Çekim ve Kepler Yasaları

Newton'un kütle çekim yasası, yer çekimi ivmesinin değişimi, uyduların hareketi, kurtulma hızı, Kepler'in üç yasası ve ağırlıksızlık.

Bu konuda öğreneceklerin

Newton'un evrensel kütle çekim yasasını
Bir gezegende yer çekimi ivmesini ve yükseklikle değişimini
Uyduların yörünge hızını ve periyodunu
Kepler yasalarını ve ağırlıksızlık hissini

Evrensel kütle çekim yasası

Kütleli her iki cisim birbirini çeker. Kütleleri $m_1$ ve $m_2$, merkezleri arasındaki uzaklık $d$ olan iki cisim arasındaki kuvvet:

$$ F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2} \qquad G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2 $$

Kuvvet uzaklığın karesiyle ters orantılıdır ve iki cisme eşit büyüklükte, zıt yönde etki eder. Elma ile Dünya'nın birbirini çektiği kuvvetler eşittir; elmanın kütlesi küçük olduğu için hareket eden odur.

Yer çekimi ivmesi

Kütlesi $M$, yarıçapı $R$ olan bir gezegenin yüzeyinde:

$$ g = G\,\frac{M}{R^2} $$

Yüzeyden $h$ yükseklikte ivme $g' = G\dfrac{M}{(R+h)^2}$ olur; $h = R$ iken yüzeydekinin dörtte biridir. Dünya tam küre olmadığı ve döndüğü için $g$ kutuplarda ekvatordakinden biraz büyüktür. Kütle her yerde aynıdır, ağırlık $mg$ ise gezegenden gezegene değişir.

Uydular

Bir gezegen çevresinde dairesel yörüngede dolanan uydu için merkezcil kuvveti kütle çekimi sağlar:

$$ \frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $$

Yörünge hızı uydunun kütlesine bağlı değildir; yörünge yarıçapı büyüdükçe hız azalır, periyot artar. Periyodu 24 saat olan ve ekvator üzerinde dolanan yer eş zamanlı uydular Dünya'dan bakınca gökyüzünde sabit görünür; televizyon ve iletişim uyduları böyledir.

Bir cismin gezegenin çekiminden tamamen kurtulması için yüzeyden atılması gereken en küçük hız kurtulma hızıdır: $v_k = \sqrt{2GM/R}$. Dünya için yaklaşık 11,2 km/s'dir.

Kepler yasaları

Yörüngeler yasası: Gezegenler Güneş çevresinde, Güneş'in odaklardan birinde bulunduğu elips yörüngelerde dolanır.
Alanlar yasası: Güneş'i gezegene birleştiren doğru eşit sürelerde eşit alanlar tarar. Bu nedenle gezegen Güneş'e yakınken (günberi) hızlı, uzakken (günöte) yavaş hareket eder.
Periyotlar yasası: Periyodun karesi, yörüngenin ortalama yarıçapının küpüyle orantılıdır:

$$ \frac{T^2}{r^3} = \text{sabit} $$

Bu sabit yalnızca merkezdeki kütleye bağlıdır; aynı yıldızın gezegenleri için aynıdır.

Ağırlıksızlık

Uluslararası Uzay İstasyonu'nda astronotlara etkiyen kütle çekimi yüzeydekinin yaklaşık %90'ıdır. Astronotların süzülmesinin nedeni çekimin olmaması değil, istasyonla birlikte sürekli serbest düşmeleridir: istasyon da astronot da aynı ivmeyle düştüğü için tabana bir tepki kuvveti uygulanmaz.

Formüller

$$F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2}$$

Kütle çekim kuvveti

$$g = G\,\frac{M}{R^2}$$

Yüzeyde çekim ivmesi

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Dairesel yörünge hızı

$$v_k = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

Kurtulma hızı

$$\frac{T^2}{r^3} = \text{sabit}$$

Kepler'in üçüncü yasası

Çözümlü örnekler

Örnek 1Başka bir gezegende ağırlık

Kütlesi Dünya'nın 4 katı, yarıçapı Dünya'nın 2 katı olan bir gezegende 60 kg kütleli bir astronotun ağırlığı kaç newtondur? (Dünya'da $g = 10\ \text{m/s}^2$)

Örnek 2Kepler'in üçüncü yasası

Bir gezegenin yörünge yarıçapı diğerinin 4 katıdır. İç gezegenin periyodu 1 yıl ise dış gezegenin periyodu kaç yıldır?

Sık yapılan hatalar

Uzaklık olarak yüzeyden yüksekliği almak: kuvvet merkezler arası uzaklıkla hesaplanır.
Uzay istasyonunda kütle çekiminin sıfır olduğunu sanmak.
Ağır uydunun daha hızlı dolanması gerektiğini düşünmek: yörünge hızı uydunun kütlesine bağlı değildir.
Kepler'in üçüncü yasasında kare ile küpü ters yazmak.

Günlük hayatta

Telefonlardaki GPS, yaklaşık 20 000 km yükseklikte ve 12 saat periyotla dolanan uyduların sinyallerini kullanır. Konumun metre hassasiyetinde bulunabilmesi için uyduların saatleri görelilik etkilerine göre düzeltilir.

Konu testi

10 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

Aralarındaki uzaklık d olan iki kütle birbirini F kuvvetiyle çekiyor. Uzaklık 3d olursa çekim kuvveti ne olur?

2Orta

Yarıçapı Dünya'nınkine eşit, kütlesi Dünya'nın 2 katı olan bir gezegenin yüzeyinde çekim ivmesi kaç m/s²'dir? ($g_{Dünya} = 10\ \text{m/s}^2$)

3Orta

Kütlesi Dünya'nın 4 katı, yarıçapı 2 katı olan bir gezegende 60 kg'lık bir cismin ağırlığı kaç newtondur? ($g_{Dünya} = 10\ \text{m/s}^2$)

4Orta

Dünya yüzeyinden, Dünya yarıçapı kadar yükseklikteki bir noktada çekim ivmesi yüzeydekinin kaç katıdır?

5Zor

Bir gezegenin Güneş'e ortalama uzaklığı Dünya'nınkinin 4 katıdır. Bu gezegenin bir yılı kaç Dünya yılıdır?

6Kolay

Bir gezegen elips yörüngesinde Güneş'e en yakın konumdayken hızı için hangisi doğrudur?

7Orta

Bir uydunun dairesel yörüngesinin yarıçapı artırılırsa yörünge hızı ve periyodu nasıl değişir?

8Kolay

Uzay istasyonundaki astronotların süzülmesinin nedeni nedir?

9Orta

Aynı yörüngede dolanan iki uydudan birinin kütlesi diğerinin iki katıdır. Yörünge hızları için ne söylenebilir?

10Kolay

Kepler'in birinci yasasına göre gezegenlerin yörüngeleri nasıldır?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.