AYT 12. sınıf · 11. konu

Düzgün Çembersel Hareket

Periyot, frekans, çizgisel ve açısal hız, merkezcil ivme ve kuvvet; virajlar, düşey çembersel hareket, dönme kinetik enerjisi ve açısal momentum.

Bu konuda öğreneceklerin

Periyot, frekans, açısal ve çizgisel hız ilişkisini
Merkezcil ivmeyi ve merkezcil kuvveti sağlayan kuvvetleri
Viraj, dönen platform ve düşey çember problemlerini
Eylemsizlik momenti ve açısal momentumun korunumunu

Temel kavramlar

Sabit süratle çember üzerinde dolanan bir cisim düzgün çembersel hareket yapar. Bir turun süresi periyot $T$, saniyedeki tur sayısı frekans $f = 1/T$'dir.

$$ v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} \qquad v = \omega\,r $$

Açısal hız $\omega$ (rad/s) dönen cismin bütün noktaları için aynıdır; çizgisel hız ise merkezden uzaklaştıkça artar. Sürat sabit olsa da hızın yönü sürekli değiştiği için cisim ivmelidir.

Merkezcil ivme ve kuvvet

Hızın yönünü değiştiren ivme her an çemberin merkezine doğrudur:

$$ a_m = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \qquad F_m = \frac{m v^2}{r} $$

Merkezcil kuvvet ayrı bir kuvvet türü değildir; bu görevi başka bir kuvvet üstlenir: - İpe bağlı döndürülen taşta ip gerilmesi, - Virajı dönen otomobilde sürtünme kuvveti, - Dünya çevresindeki uyduda kütle çekim kuvveti, - Çekirdek çevresindeki elektronda elektriksel kuvvet.

İp koparsa cisim çemberin teğeti doğrultusunda düz bir çizgide gider.

Virajlar

Yatay virajda kaymadan dönebilmek için sürtünme gereken merkezcil kuvveti karşılamalıdır: $k\,m\,g \ge m v^2/r$. Buradan en büyük güvenli hız:

$$ v_{\max} = \sqrt{k\,g\,r} $$

Güvenli hız kütleye bağlı değildir. Yollara verilen eğim de merkezcil kuvvete katkı sağlar; sürtünmesiz eğimli virajda $\tan\theta = v^2/(r g)$.

Düşey düzlemde çembersel hareket

İpe bağlı düşey çember çizen cisimde en üst noktada ağırlık ve gerilme ikisi birden merkeze doğrudur: $T + mg = mv^2/r$. İpin gevşememesi için en üst noktadaki hız en az $v_{\min} = \sqrt{g r}$ olmalıdır. En alt noktada gerilme en büyüktür: $T - mg = mv^2/r$.

Dönme ve açısal momentum

Dönen bir cismin dönmeye karşı eylemsizliğine eylemsizlik momenti $I$ denir; kütle eksenden uzakta toplandıkça büyür. Dönme kinetik enerjisi $E = \tfrac12 I \omega^2$, açısal momentum $L = I\,\omega$'dır. Net dış tork sıfırsa açısal momentum korunur: $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. Buz patencisi kollarını kendine çektiğinde eylemsizlik momenti azalır ve daha hızlı döner.

Formüller

$$v = \frac{2\pi r}{T}$$

Çizgisel hız

$$\omega = \frac{2\pi}{T},\quad v = \omega r$$

Açısal hız

$$a_m = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

Merkezcil ivme

$$F_m = \frac{m v^2}{r}$$

Merkezcil kuvvet

$$v_{\max} = \sqrt{k g r}$$

Yatay virajda güvenli hız

$$L = I\,\omega$$

Açısal momentum

Çözümlü örnekler

Örnek 1Viraj

Yarıçapı 40 m olan yatay bir virajda lastiklerle yol arasındaki sürtünme katsayısı 0,4'tür. Bir otomobil virajı kaymadan en fazla kaç m/s hızla dönebilir? ($g = 10\ \text{m/s}^2$)

Örnek 2İpe bağlı taş

0,5 kg'lık bir taş 1 m uzunluğundaki iple yatay düzlemde saniyede 2 tur atacak biçimde döndürülüyor. İpteki gerilme kuvveti nedir? ($\pi^2 \approx 10$)

Sık yapılan hatalar

Sürat sabit olduğu için ivmenin sıfır olduğunu sanmak: yön değiştiği için ivme vardır.
"Merkezkaç kuvveti" diye dışa doğru gerçek bir kuvvet çizmek: eylemsiz gözlemciye göre yalnızca merkezcil kuvvet vardır.
Açısal hızın merkezden uzaklıkla arttığını düşünmek: artan çizgisel hızdır.
İp koptuğunda cismin merkezden dışa doğru (yarıçap boyunca) uçtuğunu sanmak: teğet doğrultusunda gider.

Günlük hayatta

Çamaşır makinesinin sıkma programında kazan çok hızlı döner. Çamaşırlar kazan duvarıyla birlikte dönmeye zorlanır ama su damlaları deliklerden teğet doğrultusunda kaçar ve çamaşırlar kurur.

Konu testi

10 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

Periyodu 2 s olan düzgün çembersel hareketin frekansı kaç hertzdir?

2Kolay

Yarıçapı 2 m olan çembersel yolda 4 m/s süratle dolanan bir cismin merkezcil ivmesi kaç m/s²'dir?

3Orta

3 kg kütleli bir cisim, yarıçapı 2 m olan çembersel yolda 4 m/s süratle dolanıyor. Cisme etki eden merkezcil kuvvet kaç newtondur?

4Kolay

Düzgün çembersel hareket yapan bir cisim için hangisi doğrudur?

5Orta

Yatay virajı dönen bir otomobilde merkezcil kuvveti hangi kuvvet sağlar?

6Zor

Yarıçapı 40 m olan yatay virajda sürtünme katsayısı 0,4'tür. Kaymadan dönebilmek için en büyük hızın karesi (v²) kaç m²/s²'dir? ($g = 10\ \text{m/s}^2$)

7Orta

Dönen bir plak üzerinde merkeze yakın A noktası ile kenardaki B noktası için hangisi doğrudur?

8Zor

Uzunluğu 0,9 m olan ipe bağlı bir taş düşey çemberde döndürülüyor. İpin en üst noktada gevşememesi için taşın oradaki hızı en az kaç m/s olmalıdır? ($g = 10\ \text{m/s}^2$)

9Orta

İpe bağlı döndürülen bir taşın ipi aniden koparsa taş nasıl hareket eder?

10Orta

Dönen bir buz patencisi kollarını vücuduna çektiğinde ne olur?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.