Vektörler ve Bağıl Hareket
Vektörlerin toplanması ve bileşenlerine ayrılması, bileşke kuvvet, bağıl hız ve nehir problemleri.
- Vektörleri uç uca ekleme ve paralelkenar yöntemiyle toplamayı
- Bileşkenin alabileceği değerleri ve özel açıları
- Bir vektörü yatay ve düşey bileşenlerine ayırmayı
- Bağıl hız ve nehir problemlerini çözmeyi
Vektör ve bileşke
Vektör; büyüklüğü, doğrultusu ve yönü olan bir niceliktir ve okla gösterilir. İki vektörün toplamına (bileşkesine) uç uca ekleme ya da paralelkenar yöntemiyle ulaşılır. Aralarındaki açı \(\alpha\) olan iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü:
Bileşke her zaman \(|A - B| \le R \le A + B\) aralığındadır: aynı yöndeyse en büyük (\(A+B\)), zıt yöndeyse en küçük (\(|A-B|\)) olur. Sık kullanılan durumlar: - Dik vektörler (90°): \(R = \sqrt{A^2 + B^2}\). 3 ve 4'ün bileşkesi 5'tir. - Eşit büyüklükte iki vektör 60° açıyla: \(R = A\sqrt{3}\); 120° açıyla: \(R = A\).
Bir vektörü çıkarmak, zıt yönlüsünü eklemektir: \(\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})\).
Bileşenler
Yatayla \(\theta\) açısı yapan \(A\) vektörünün bileşenleri:
Sınavlarda genellikle \(\sin 37° = 0{,}6\) ve \(\cos 37° = 0{,}8\) verilir; 3–4–5 üçgeni bu açıları kullanır. Birden fazla vektörün bileşkesini bulmak için bütün vektörler bileşenlerine ayrılır, yatay ve düşey bileşenler ayrı ayrı toplanır.
Bağıl hareket
Bir cismin hızı, gözlemciye göre değişir. B gözlemcisine göre A cisminin hızı:
Aynı yönde giden iki araçta hızlar çıkarılır, zıt yönde gidenlerde hızların büyüklükleri toplanır. Yağmur damlası düşey düşerken hareket eden araçtaki yolcu damlaları eğik görür: yolcuya göre damlanın hızı, damlanın hızına aracın hızının zıttının eklenmesiyle bulunur.
Nehir problemleri
Akıntı hızı \(v_a\) olan bir nehirde, suya göre hızı \(v_k\) olan bir kayık karşıya doğru (akıntıya dik) yola çıkarsa: - Karşıya geçme süresi yalnızca dik bileşene bağlıdır: \(t = d / v_k\). - Kayık akıntı yönünde \(x = v_a \cdot t\) kadar sürüklenir. - Yere göre hızı \(\sqrt{v_k^2 + v_a^2}\) olur.
Akıntı karşıya geçme süresini değiştirmez; yalnızca kayığın nereye varacağını değiştirir.
Formüller
Çözümlü örnekler
Genişliği 60 m olan bir nehirde akıntı hızı 4 m/s'dir. Suya göre hızı 3 m/s olan bir kayık, burnu karşı kıyıya dik olacak şekilde yola çıkıyor. Kayık kaç saniyede karşıya geçer ve akıntı yönünde kaç metre sürüklenir?
- Karşıya geçiş süresi yalnızca dik hıza bağlı: \(t = 60/3 = 20\) s.
- Sürüklenme: \(x = 4 \cdot 20 = 80\) m.
- Yere göre hız \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) m/s.
Cevap: 20 s ve 80 m
Yağmur damlaları yere göre 6 m/s hızla düşey düşüyor. 8 m/s hızla yatay giden bir araçtaki yolcuya göre damlaların hızı kaç m/s'dir?
- Yolcuya göre damlanın hızı: \(\vec{v}_d - \vec{v}_a\); damlanın düşey 6 m/s hızına aracın hızının zıttı (geriye 8 m/s) eklenir.
- İki bileşen dik: \(\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) m/s.
Cevap: 10 m/s (öne doğru eğik geliyormuş gibi)
Sık yapılan hatalar
- Vektörlerin büyüklüklerini her zaman doğrudan toplamak: bileşke açıya bağlıdır.
- Bağıl hızda sırayı karıştırmak: "B'ye göre A" demek \(\vec v_A - \vec v_B\) demektir.
- Akıntının karşıya geçme süresini uzattığını sanmak: süre yalnızca dik bileşene bağlıdır.
- sin ve cos'u karıştırmak: açının bitişiğindeki bileşen cos ile bulunur.
Uçaklar rüzgârlı havada burunlarını hedefin biraz yanına çevirerek uçar; rüzgârın etkisiyle bileşke hız tam hedefe yönelir. Pilotlar bunu her uçuşta vektör toplamıyla hesaplar.
Konu testi
10 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
Büyüklükleri 3 N ve 4 N olan iki kuvvet birbirine dik etki ediyor. Bileşke kuvvet kaç newtondur?
\(R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) N.
Büyüklükleri 6 N ve 8 N olan iki kuvvetin bileşkesi aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Bileşke 8 − 6 = 2 N ile 8 + 6 = 14 N arasında olmalıdır; 1 N bu aralığın dışındadır.
Büyüklükleri F olan iki kuvvet arasındaki açı 120°'dir. Bileşke kuvvetin büyüklüğü nedir?
\(R^2 = F^2 + F^2 + 2F^2\cos120° = 2F^2 - F^2 = F^2\), yani \(R = F\).
Büyüklüğü 10 N olan bir kuvvet yatayla 37° açı yapıyor. Kuvvetin yatay bileşeni kaç newtondur? (\(\sin37° = 0{,}6\), \(\cos37° = 0{,}8\))
\(F_x = F\cos37° = 10 \cdot 0{,}8 = 8\) N. Düşey bileşen 6 N'dur.
Doğuya doğru A aracı 20 m/s, B aracı 15 m/s hızla gidiyor. A'daki bir gözlemciye göre B'nin hızı nedir?
\(\vec v_{B,A} = \vec v_B - \vec v_A = 15 - 20 = -5\) m/s; yani 5 m/s batı. A'daki gözlemci B'yi geride kalıyor görür.
A aracı 20 m/s hızla doğuya, B aracı 15 m/s hızla batıya gidiyor. B'deki gözlemciye göre A'nın hızı nedir?
\(\vec v_{A,B} = \vec v_A - \vec v_B = 20 - (-15) = 35\) m/s doğu.
Genişliği 60 m, akıntı hızı 4 m/s olan bir nehirde, suya göre 3 m/s hızlı kayık akıntıya dik yönde yola çıkıyor. Kayık karşıya kaç saniyede geçer?
Süre yalnızca dik bileşene bağlıdır: \(t = 60/3 = 20\) s.
Genişliği 60 m, akıntı hızı 4 m/s olan bir nehirde, suya göre 3 m/s hızlı bir kayık akıntıya dik yönde yola çıkıyor. Kayık karşı kıyıya varıncaya kadar akıntı yönünde kaç metre sürüklenir?
\(x = v_a \cdot t = 4 \cdot 20 = 80\) m.
Yağmur damlaları yere göre 6 m/s hızla düşey olarak düşüyor. Yatay yolda 8 m/s hızla giden bir otobüsteki yolcuya göre damlaların hızının büyüklüğü kaç m/s'dir?
Yolcuya göre damlanın hızı, damlanın düşey 6 m/s hızı ile otobüsün hızının zıttı olan yatay 8 m/s'nin bileşkesidir: \(\sqrt{36 + 64} = 10\) m/s.
Yatay ve düşey bileşenleri sırasıyla 12 N ve 5 N olan bir kuvvetin büyüklüğü kaç newtondur?
\(F = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\) N.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.