AYT 12. sınıf · 8. konu

Diziler

Dizi tanımı ve genel terim, indirgemeli diziler, aritmetik ve geometrik dizi, ilk n terim toplamı, sonsuz geometrik seri, toplam sembolü ve dizi problemleri.

Bu konuda öğreneceklerin

Diziyi pozitif tam sayılarda tanımlı bir fonksiyon olarak görmeyi, genel terimden terim bulmayı ve bir ifadenin dizi olup olmadığına karar vermeyi
Terimleri verilen bir dizinin genel terimini bulmayı ve indirgemeli (rekürsif) dizilerle çalışmayı
Aritmetik dizide ortak farkı, genel terimi, ortadaki terimi ve ilk n terim toplamını kullanmayı
Geometrik dizide ortak çarpanı, geometrik ortalamayı ve ilk n terim toplamını kullanmayı; $S_n$ verildiğinde $a_n$'yi bulmayı
Sonsuz geometrik serinin toplamını hesaplamayı ve devirli ondalık sayıları bu yolla yorumlamayı
Toplam sembolünü, özelliklerini ve $\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$ formüllerini uygulamalarda (oturma düzeni, sekerek düşen top, birikim, örüntü) kullanmayı

Dizi nedir?

Bir sinemada ilk sırada 12, ikinci sırada 14, üçüncü sırada 16 koltuk olduğunu düşün. Her sıra numarasına bir koltuk sayısı karşılık gelir: 1'e 12, 2'ye 14, 3'e 16. Burada önemli olan sayıların bir sırası olmasıdır; birinci, ikinci, üçüncü diye sayabiliriz. Matematikte bu düşüncenin adı dizidir. Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}^+$ olan ve gerçek sayılara giden her fonksiyona gerçek sayı dizisi ya da kısaca dizi denir:

$$ f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{R}, \qquad f(n) = a_n $$

Fonksiyon gösteriminde $f(1), f(2), f(3), \ldots$ yazacağımız değerleri dizilerde $a_1, a_2, a_3, \ldots$ diye yazarız ve bunlara dizinin terimleri deriz. $a_n$ ifadesine dizinin genel terimi, dizinin kendisine de $(a_n)$ denir. Örneğin $a_n = 3n - 2$ genel terimli dizinin terimleri $1, 4, 7, 10, \ldots$ olur. Genel terim, dizinin istediğimiz terimini sırasıyla hesaplamadan doğrudan bulmamızı sağlar: 100. terim $3 \cdot 100 - 2 = 298$'dir.

Tanım kümesi bütün pozitif tam sayılar olduğunda diziye sonsuz dizi, tanım kümesi $\{1, 2, \ldots, n\}$ gibi sonlu bir küme olduğunda sonlu dizi denir. Bir sınıftaki öğrencilerin okul numaraları sonlu bir dizidir; tek doğal sayıların dizisi sonsuzdur. Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir: $a_n = 5$ dizisinin her terimi 5'tir.

Dizinin grafiği de fonksiyonların grafiği gibi çizilir, ama yalnızca $n = 1, 2, 3, \ldots$ noktalarında değer vardır. Bu yüzden grafik bir eğri değil, ayrık noktalardan oluşur. $a_n = 3n - 2$ dizisinin noktaları $y = 3x - 2$ doğrusunun üzerindedir, ama aradaki noktalar diziye ait değildir; çünkü 1,5. terim diye bir şey yoktur.

Bir ifade ne zaman dizi belirtir?

Bir ifadenin dizi olması için her pozitif tam sayı $n$ için tanımlı ve gerçek sayı olması gerekir. Tek bir $n$ değerinde bile tanımsız kalıyorsa ifade bir dizi belirtmez. Tanımsızlığın tipik kaynakları şunlardır: paydanın sıfır olması, çift dereceli kökün içinin negatif olması, logaritmanın içinin pozitif olmaması.

Örneğin $a_n = \frac{n+1}{n-3}$ dizi değildir, çünkü $n = 3$ için payda sıfırdır. Buna karşılık $a_n = \frac{n+1}{n+3}$ bir dizidir; payda $n = -3$'te sıfır olur ama $-3$ pozitif tam sayı değildir. Paydada ikinci dereceden bir ifade olduğunda soru şöyle gelir: "$a_n = \frac{3n+2}{n^2 - 7n + m}$ bir dizi ise $m$ hangi değerleri alamaz?" Payda sıfır olsun dersek $m = 7n - n^2 = n(7 - n)$ bulunur. $n = 1, 2, 3, \ldots$ için bu değerler 6, 10, 12, 12, 10, 6, 0, $-8$, $-18$, … olur. $m$ bu sayılardan biri olursa en az bir terim tanımsız kalır.

Terimleri verilen diziyi tanımak ve indirgemeli diziler

Bazen genel terim yerine ilk birkaç terim verilir: $2, 6, 12, 20, 30, \ldots$ Bu durumda ardışık terimler arasındaki farklara bakmak iyi bir başlangıçtır. Burada farklar 4, 6, 8, 10'dur; farklar sabit değil ama farkların farkı sabittir (2). Bu, genel terimin $n$'ye göre ikinci dereceden olduğunu gösterir. Terimleri $1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots$ diye yazınca $a_n = n(n+1) = n^2 + n$ bulunur. Farklar sabitse genel terim birinci derecedendir: $an + b$ biçimindedir. Ardışık bölümler sabitse bir sonraki başlıkta göreceğimiz geometrik diziyle karşı karşıyayız. Önerdiğin genel terimi her zaman verilen bütün terimlerde denetle; yalnızca ilk iki terime uyan bir formül yanlış olabilir.

Bir diziyi tanımlamanın ikinci yolu, her terimi kendinden önceki terimlere bağlamaktır. İlk terim (ya da ilk birkaç terim) ve bir kural verilir; böyle dizilere indirgemeli ya da rekürsif dizi denir. Örneğin $a_1 = 2$ ve $a_{n+1} = 3a_n - 1$ kuralıyla $a_2 = 5$, $a_3 = 14$, $a_4 = 41$ bulunur. En ünlü örnek Fibonacci dizisidir: $a_1 = a_2 = 1$ ve $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ kuralıyla $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ elde edilir.

İndirgeme bağıntısı $a_{n+1} = a_n + f(n)$ biçimindeyse uzak bir terimi bulmak için bütün terimleri tek tek yazmak gerekmez. Bağıntıyı $n = 1, 2, \ldots, k-1$ için alt alta yazıp toplarsan aradaki terimler sadeleşir:

$$ a_k = a_1 + f(1) + f(2) + \cdots + f(k-1) $$

Bu "teleskop" toplama tekniği, $a_{n+1} = a_n \cdot g(n)$ türündeki bağıntılarda çarpma ile aynı biçimde uygulanır. Dikkat edilecek nokta son terimdir: $a_k$'yi bulmak için $f(1)$'den $f(k)$'ye değil, $f(k-1)$'e kadar toplanır.

Aritmetik dizi

Ardışık iki teriminin farkı hep aynı olan diziye aritmetik dizi, bu sabit farka ortak fark denir ve $d$ ile gösterilir: $a_{n+1} - a_n = d$. Sinema örneğindeki koltuk sayıları $d = 2$ olan bir aritmetik dizidir. İlk terimden başlayıp her adımda $d$ eklediğimiz için $n$'inci terime gelene kadar $n - 1$ kez $d$ eklemiş oluruz:

$$ a_n = a_1 + (n-1)\,d $$

Aynı düşünce iki herhangi terim arasında da geçerlidir: $a_k$'den $a_n$'ye giderken $n - k$ adım atılır, yani $a_n = a_k + (n-k)\,d$ olur. Bu yüzden iki terim verildiğinde ortak fark hemen bulunur: $a_3 = 11$ ve $a_8 = 26$ ise $5d = 15$, $d = 3$'tür. Genel terim $n$'ye göre birinci dereceden bir ifadedir ($a_n = dn + (a_1 - d)$) ve grafikteki noktalar eğimi $d$ olan bir doğru üzerindedir. $d > 0$ ise dizi artan, $d < 0$ ise azalan, $d = 0$ ise sabittir.

Aritmetik dizinin en kullanışlı özelliği simetridir. Herhangi bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır:

$$ a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2} $$

Bunun nedeni, $a_{n-k}$'nin $a_n$'den $kd$ kadar küçük, $a_{n+k}$'nin $kd$ kadar büyük olmasıdır; toplamda farklar götürür. Genel olarak indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir: $m + n = p + q$ ise $a_m + a_n = a_p + a_q$. Örneğin $a_4 + a_{10} = a_2 + a_{12} = 2a_7$'dir. Üç sayı $a, b, c$ bu sırayla aritmetik dizi oluşturuyorsa $b = \frac{a+c}{2}$ olur; $b$'ye $a$ ile $c$'nin aritmetik ortalaması denir.

Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı

Rivayete göre küçük Gauss'tan 1'den 100'e kadar sayıları toplaması istenmiş; o da sayıları baştan ve sondan eşleyerek $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 101$ olduğunu fark etmiş ve 50 çift için 5 050 bulmuş. Bu fikir her aritmetik dizide işe yarar. $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ toplamını bir de tersten yazıp alt alta toplarsak her sütunda $a_1 + a_n$ çıkar ve $n$ sütun vardır:

$$ 2S_n = n\,(a_1 + a_n) \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,[2a_1 + (n-1)d]}{2} $$

Formülü "terim sayısı çarpı ilk ve son terimin ortalaması" diye okumak, ezberden daha sağlamdır. Terim sayısı tek ise ortalama, tam ortadaki terimdir: 9 terimin toplamı $9 \cdot a_5$'tir.

Gauss'un yöntemi — İki eş merdiven ters çevrilip birleştirilince $5 \cdot 6$'lık dikdörtgen oluşur. Bir merdivenin karesi bunun yarısı, $\frac{5 \cdot 6}{2} = 15$'tir.

İki sayı arasına terim yerleştirme soruları da bu konuya bağlıdır. 5 ile 61 arasına 7 terim yerleştirilerek aritmetik dizi oluşturulursa dizide toplam 9 terim olur; 5 birinci, 61 dokuzuncu terimdir. $61 = 5 + 8d$ eşitliğinden $d = 7$ bulunur. Yerleştirilen terimlerin toplamı ise 7 terimin toplamıdır ve simetriden dolayı $7 \cdot \frac{5 + 61}{2} = 231$'dir.

Toplamı verilen dizi: $S_n$'den $a_n$'ye

Bazı sorularda genel terim yerine ilk $n$ terimin toplamı $S_n$ verilir. $S_n$ ile $S_{n-1}$ arasındaki tek fark $a_n$ terimi olduğundan

$$ a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2), \qquad a_1 = S_1 $$

yazılır. $S_n = 3n^2 - 2n$ ise $a_{10} = S_{10} - S_9 = 280 - 225 = 55$ olur. Genel olarak $a_n = 3n^2 - 2n - [3(n-1)^2 - 2(n-1)] = 6n - 5$ bulunur; bu ortak farkı 6 olan bir aritmetik dizidir ve $a_1 = 1 = S_1$ tutarlıdır.

Formüldeki $n \ge 2$ koşulu süs değildir. $S_n = n^2 + 3n + 2$ olsun. $n \ge 2$ için $a_n = S_n - S_{n-1} = 2n + 2$ çıkar, ama bu formül $n = 1$'de 4 verir; oysa $a_1 = S_1 = 6$'dır. Yani bu dizi ikinci terimden sonra aritmetik gider ama ilk terimi "kuralın dışında" kalır. Genel kural şudur: $S_n = An^2 + Bn + C$ biçimindeki toplam, ancak $C = 0$ ise aritmetik bir diziye aittir ve bu durumda ortak fark $2A$'dır.

Geometrik dizi

Ardışık iki teriminin oranı hep aynı olan diziye geometrik dizi, bu sabit orana ortak çarpan (ortak oran) denir ve $r$ ile gösterilir: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$. Terimlerin hiçbiri sıfır olmamalıdır. Aritmetik dizide her adımda ekleme yaparken burada çarparız; bu yüzden formüller benzer, yalnızca toplamanın yerini çarpma, çarpmanın yerini üs alır:

$$ a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}, \qquad a_n = a_k \cdot r^{\,n-k} $$

$a_2 = 6$ ve $a_5 = 162$ verilirse $a_5 = a_2 \cdot r^3$ olduğundan $r^3 = 27$, $r = 3$ bulunur. Üs çift olduğunda dikkat gerekir: $a_1 = 4$ ve $a_5 = 324$ ise $r^4 = 81$ ve $r = 3$ ya da $r = -3$ olabilir. Soruda "pozitif terimli" denmemişse iki durumu da düşünmek gerekir. $r < 0$ ise terimlerin işaretleri sırayla değişir.

Aritmetik dizideki simetri burada çarpım olarak karşımıza çıkar: $m + n = p + q$ ise $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$ olur ve özel olarak $a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}$ yazılır. Pozitif $a, b, c$ sayıları bu sırayla geometrik dizi oluşturuyorsa $b^2 = ac$, yani $b = \sqrt{ac}$ olur; $b$'ye $a$ ile $c$'nin geometrik ortalaması denir. 4 ile 36'nın aritmetik ortalaması 20, geometrik ortalaması 12'dir. Pozitif iki sayının geometrik ortalaması aritmetik ortalamasından hiçbir zaman büyük değildir; eşitlik yalnızca iki sayı eşitse olur.

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı

$S_n = a_1 + a_1 r + \cdots + a_1 r^{n-1}$ toplamını $r$ ile çarparsak her terim bir sonrakine dönüşür: $rS_n = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^n$. İki eşitliği taraf tarafa çıkarınca ortadaki bütün terimler sadeleşir ve $S_n - rS_n = a_1 - a_1 r^n$ kalır. Buradan $r \neq 1$ için

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

bulunur. $r = 1$ ise dizi sabittir ve $S_n = n\,a_1$'dir. Örneğin $3 + 6 + 12 + \cdots + 384$ toplamında $r = 2$ ve $384 = 3 \cdot 2^7$ olduğundan son terim sekizinci terimdir; toplam $3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 765$ olur. Formülde terim sayısının $n$ olduğunu, son terimin üssünün ise $n - 1$ olduğunu karıştırmamak gerekir.

Geometrik toplamın biçimine de dikkat et: $S_n = \frac{a_1}{r-1} \cdot r^n - \frac{a_1}{r-1}$, yani $S_n = K \cdot r^n - K$ biçimindedir. Bu yüzden $S_n = K \cdot r^n + L$ olarak verilen bir toplamın geometrik diziye ait olması için $L = -K$ olmalıdır.

Sonsuz geometrik seri ve devirli ondalık sayılar

$|r| < 1$ ise $r^n$, $n$ büyüdükçe sıfıra yaklaşır: $(\frac{1}{2})^{10}$ bininde birden küçüktür. Bu durumda $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$ toplamı $\frac{a_1}{1-r}$ değerine istediğimiz kadar yaklaşır. Bu sınır değere sonsuz geometrik serinin toplamı denir:

$$ a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} = \frac{a_1}{1 - r} \qquad (|r| < 1) $$

Sonsuz tane pozitif sayının toplamının sonlu çıkması ilk anda şaşırtıcıdır. Aşağıdaki şekil nedenini gösterir: birim karenin yarısını, sonra kalanın yarısını, sonra onun yarısını boyadıkça boyalı alan 1'i aşmadan 1'e yaklaşır. $|r| \ge 1$ ise terimler küçülmez ve toplam sonlu bir sayıya yaklaşmaz; formül bu durumda kullanılamaz.

Devirli ondalık sayılar sonsuz geometrik serinin en doğal örneğidir. $0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots$ toplamında $a_1 = \frac{3}{10}$ ve $r = \frac{1}{10}$ olduğundan değer $\frac{3/10}{9/10} = \frac{1}{3}$'tür. Aynı hesap $0{,}999\ldots = 1$ sonucunu da verir; bu bir yaklaşım değil, gerçek bir eşitliktir. Devretmeyen bir kısım varsa önce o ayrılır: $0{,}2777\ldots = \frac{2}{10} + \frac{7/100}{1 - 1/10} = \frac{2}{10} + \frac{7}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$.

Toplam sembolü ve özellikleri

Uzun toplamları kısaca yazmak için Yunan harfi $\sum$ (sigma) kullanılır:

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $$

Burada $k$'ye indis denir; alt sınırdan üst sınıra kadar bütün tam sayı değerlerini alır. Terim sayısı "üst sınır − alt sınır + 1"dir: $\sum_{k=3}^{12}$ toplamında 10 terim vardır. Toplam sembolünün temel özellikleri, toplamanın değişme ve dağılma özelliklerinden gelir:

$\sum_{k=1}^{n} (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k$
$\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$ ve $\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c$ ($c$ sabit)
$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$; bu yüzden $\sum_{k=m+1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m} a_k$
İndis kaydırma: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1}$

Çarpım için böyle bir kural yoktur: $\sum a_k b_k$ genellikle $\sum a_k \cdot \sum b_k$'ye eşit değildir. Sabit terimlerde de sık hata yapılır: $\sum_{k=1}^{15} (2k + 3)$ toplamındaki 3, 15 kez toplanır ve sonuç $2 \cdot 120 + 45 = 285$ olur.

Üç toplam formülü bu konuda sürekli kullanılır:

$$ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 $$

Birincisi Gauss'un yöntemidir. İkincisi teleskop toplamayla gösterilebilir: $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ eşitliğini $k = 1, \ldots, n$ için toplayınca sol yanda yalnızca $(n+1)^3 - 1$ kalır; sağ yandan $\sum k^2$ çekilir. Üçüncüsü ilginç bir sonuç söyler: ilk $n$ küpün toplamı, ilk $n$ sayının toplamının karesidir. Örneğin $1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2$.

Uygulamalar: oturma düzeni, top, birikim ve örüntüler

Dizilerle çözülen problemlerin çoğunda ilk iş dizinin türünü fark etmektir. "Her sırada bir öncekinden 2 koltuk fazla", "her ay 50 TL daha fazla" gibi ifadeler sabit bir ekleme anlatır: aritmetik dizi. "Her sıçramada yüksekliğin $\frac{2}{3}$'ü", "her yıl %10 artış" gibi ifadeler sabit bir çarpma anlatır: geometrik dizi.

Sekerek düşen top problemi iki dizinin hangisinin olduğunu ve nelerin toplandığını iyi ayırmayı ister. $h$ yüksekliğinden bırakılan top her çarpmadan sonra bir önceki yüksekliğin $r$ katı kadar yükseliyorsa ilk düşüş $h$ yolunu, sonraki her sıçrama ise bir çıkış ve bir iniş, yani iki kez $hr, hr^2, \ldots$ yolunu oluşturur. Top durana kadar alınan yol

$$ h + 2\,(hr + hr^2 + \cdots) = h + \frac{2hr}{1 - r} $$

olur. Toplam yol sorulurken en sık yapılan hata sıçramaları bir kez saymak, ya da ilk düşüşü de iki kez saymaktır. Yalnızca belirli bir çarpmaya kadar olan yol soruluyorsa sonsuz toplam değil sonlu toplam kullanılır.

Sekerek düşen top — 12 m'den bırakılan top her çarpmadan sonra önceki yüksekliğin $\frac{2}{3}$'ü kadar yükselir: 8 m, $\frac{16}{3}$ m, $\frac{32}{9}$ m…

Para biriktirme problemlerinde de iki tür vardır. Her ay sabit miktarda artan bir birikim aritmetiktir. Bileşik faiz ise geometriktir: yıllık %10 faizle bankaya yatırılan para her yıl 1,1 ile çarpılır. Her yılın başında aynı miktar yatırıldığında hesaptaki para, her yatırımın farklı sayıda yıl faiz aldığı bir geometrik toplamdır. Örüntü sorularında ise önce ilk birkaç adımın sayıları yazılır, farklara bakılır ve genel terim kurulur; ardından genel terim ilk adımlarda denetlenir.

Formüller

$$f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{R},\ f(n) = a_n$$

Dizi: pozitif tam sayılarda tanımlı fonksiyon

$$a_n = a_1 + (n-1)\,d$$

Aritmetik dizinin genel terimi

$$a_n = a_k + (n-k)\,d$$

Aritmetik dizide iki terim arasındaki ilişki

$$m + n = p + q \Rightarrow a_m + a_n = a_p + a_q$$

Aritmetik dizide simetri; ortadaki terim ortalamadır

$$S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}$$

Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı

$$a_n = S_n - S_{n-1}\ (n \ge 2),\quad a_1 = S_1$$

Toplamdan genel terime

$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$

Geometrik dizinin genel terimi

$$b^2 = a\,c$$

a, b, c geometrik dizi; b geometrik ortalama

$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}\quad (r \neq 1)$$

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} = \frac{a_1}{1 - r}\quad (|r| < 1)$$

Sonsuz geometrik seri

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

İlk n pozitif tam sayının toplamı

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Kareler toplamı

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

Küpler toplamı

$$h + \frac{2hr}{1 - r}$$

Sekerek düşen topun durana kadar aldığı yol

Çözümlü örnekler

Örnek 1Genel terimden terim bulma

Genel terimi $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$ olan dizinin 4. terimi kaçtır? Bu dizinin kaçıncı terimi 2'dir?

Örnek 2İndirgemeli dizide uzak terim

$a_1 = 1$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $a_{n+1} = a_n + 2n$ olan dizinin 10. terimi kaçtır?

Örnek 3İki terimi verilen aritmetik dizi

Bir aritmetik dizide $a_3 = 11$ ve $a_8 = 26$'dır. Bu dizinin 20. terimi ve ilk 20 teriminin toplamı kaçtır?

Örnek 4Toplamı verilen dizi

Bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = 3n^2 - 2n$ olarak veriliyor. Bu dizinin 10. terimi kaçtır? Dizi aritmetik midir?

Örnek 5Geometrik dizinin toplamı

Bir geometrik dizide $a_2 = 6$ ve $a_5 = 162$'dir. Bu dizinin ilk 6 teriminin toplamı kaçtır?

Örnek 6Toplam sembolüyle hesap

$\displaystyle\sum_{k=3}^{12} (k^2 + 2k)$ toplamı kaçtır?

Örnek 7Dizi olma koşulu

$m$ pozitif bir tam sayı ve $m < 15$ olmak üzere $a_n = \dfrac{3n + 2}{n^2 - 7n + m}$ ifadesi bir dizinin genel terimidir. $m$'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

Örnek 8Sekerek düşen top

Bir top 12 m yükseklikten serbest bırakılıyor. Top yere her çarptıktan sonra bir önceki düştüğü yüksekliğin $\frac{2}{3}$'ü kadar yükseliyor. Top duruncaya kadar toplam kaç metre yol alır?

Örnek 9Aritmetik dizinin terimlerinden geometrik dizi

Ortak farkı sıfırdan farklı bir aritmetik dizide $a_1 = 2$'dir. Bu dizinin $a_1$, $a_3$ ve $a_9$ terimleri bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. Aritmetik dizinin 10. terimi kaçtır?

Sık yapılan hatalar

Genel terimde $n - 1$ yerine $n$ kullanmak: $a_n = a_1 + nd$ ya da $a_n = a_1 r^n$ yazmak.
Dizi olma koşulunu sadeleştirdikten sonra denetlemek; $\frac{n-2}{(n-2)(n+3)}$ ifadesi $n = 2$'de tanımsızdır.
$a_n = S_n - S_{n-1}$ formülünü $n = 1$ için de kullanmak; ilk terim her zaman $a_1 = S_1$ ile bulunur.
Arada terim yerleştirmede terim sayısını yanlış saymak: iki sayı arasına $k$ terim konursa dizide $k + 2$ terim, $k + 1$ adım vardır.
$r^4 = 81$ gibi çift üslü denklemlerde $r = -3$ olasılığını unutmak ya da "pozitif terimli" koşulunu gözden kaçırmak.
Sonsuz geometrik seri formülünü $|r| \ge 1$ iken kullanmak; ya da $8 - 4 + 2 - \cdots$ toplamında $r$'yi pozitif almak.
Toplam sembolünde sabit terimi yalnız bir kez eklemek ya da alt sınır 1 değilken baştaki terimleri çıkarmayı unutmak.
Sekerek düşen top probleminde sıçramaları tek yönlü saymak ya da ilk düşüşü iki kez saymak.

Günlük hayatta

Piyanonun tuşları bir geometrik dizi oluşturur. Bugünkü eşit aralıklı akort düzeninde bir oktav 12 yarım sese bölünür ve bir oktav yukarıdaki notanın frekansı tam iki katıdır; bu yüzden ardışık iki tuşun frekans oranı $2^{1/12} \approx 1{,}0595$'tir. Standart bir piyanoda 88 tuş vardır. En pesteki La (A0) 27,5 Hz'dir; 49. tuş olan La'nın frekansı $27{,}5 \cdot 2^{48/12} = 27{,}5 \cdot 16 = 440$ Hz'dir ve bu değer orkestraların akort için kullandığı uluslararası standart La'dır. En tizdeki 88. tuş (C8) yaklaşık $27{,}5 \cdot 2^{87/12} \approx 4\,186$ Hz'dir. Kulağımız frekansları farkla değil oranla algıladığı için eşit adımlar duyduğumuz notalar, aslında ortak çarpanı $2^{1/12}$ olan bir geometrik dizinin terimleridir.

Konu testi

28 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

Genel terimi $a_n = 2^n - 3n$ olan dizinin 5. terimi kaçtır?

2Kolay

İlk terimi 7 ve ortak farkı −3 olan aritmetik dizinin 12. terimi kaçtır?

3Kolay

İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin 6. terimi kaçtır?

4Kolay

Bir aritmetik dizide $a_4 + a_{10} = 38$ olduğuna göre $a_2 + a_7 + a_{12}$ toplamı kaçtır?

5Kolay

4, $x$, 36 sayıları bu sırayla pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık üç terimi; 4, $y$, 36 sayıları ise bu sırayla bir aritmetik dizinin ardışık üç terimidir. Buna göre $y - x$ farkı kaçtır?

6Kolay

$\displaystyle\sum_{k=1}^{20} (2k + 1)$ toplamı kaçtır?

7Orta

Bir aritmetik dizide $a_5 = 17$ ve $a_{12} = 45$'tir. Bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

8Orta

Pozitif terimli bir geometrik dizide $a_3 \cdot a_7 = 144$ ve $a_9 = 48$'dir. Buna göre dizinin ilk terimi kaçtır?

9Orta

8 ile 80 sayıları arasına 11 terim yerleştirilerek bir aritmetik dizi oluşturuluyor. Yerleştirilen terimlerin toplamı kaçtır?

10Orta

$8 - 4 + 2 - 1 + \frac{1}{2} - \cdots$ sonsuz toplamının değeri kaçtır?

11Orta

$x = 0{,}4555\ldots$ devirli ondalık sayısı $\dfrac{4}{10} + \dfrac{5}{100} + \dfrac{5}{1000} + \cdots$ biçiminde yazılabilir. Buna göre $x$ kaçtır?

12Orta

$\displaystyle\sum_{k=1}^{12} (k^2 - 4k)$ toplamı kaçtır?

13Orta

$2 + 6 + 18 + \cdots + 1\,458$ toplamı kaçtır?

14Orta

$(a_n)$ ortak farkı $d$ olan bir aritmetik dizi olmak üzere

I.$(2a_n + 3)$ dizisi aritmetik dizidir.
II.$(a_n^2)$ dizisi aritmetik dizidir.
III.$(a_{2n})$ dizisi aritmetik dizidir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

15Orta

Bir konser salonunda ilk sırada 14 koltuk vardır ve her sırada bir önceki sıradan 2 koltuk fazladır. Salonda toplam 660 koltuk olduğuna göre son sırada kaç koltuk vardır?

16Orta

Ece birikim yapmaya karar veriyor: ilk ay 200 TL biriktiriyor ve sonraki her ay bir önceki aydan 50 TL fazla biriktiriyor. Ece'nin toplam birikimi ilk kez kaçıncı ayın sonunda 10 000 TL'ye ulaşır ya da onu geçer?

17Orta

Aşağıdakilerden hangileri bir dizinin genel terimi olabilir?

I.$a_n = \dfrac{n + 1}{n - 3}$
II.$a_n = \dfrac{n - 2}{n^2 + n - 6}$
III.$a_n = \sqrt{n^2 - 4n + 4}$

18Orta

İlk beş terimi $3, 8, 15, 24, 35$ olan bir dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

19Zor

Bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = 2n^2 + n + 3$ olarak veriliyor. Buna göre $a_1 + a_{10}$ toplamı kaçtır?

20Zor

$a_1 = 3$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ olan dizinin 20. terimi kaçtır?

21Zor

Aşağıda kibrit çöpleriyle oluşturulan bir örüntünün ilk üç adımı verilmiştir. Her adımda birim karelerden bir merdiven yapılır: $n$'inci adımdaki merdivenin en alt sırasında $n$, üstündeki sırada $n - 1$ kare vardır ve en üst sırada 1 kare bulunur. Komşu karelerin ortak kenarında tek bir kibrit çöpü kullanılır.

Bu örüntünün 270 kibrit çöpü kullanılan adımında kaç birim kare vardır?

22Zor

Bir öğrenci her yılın başında bankadaki hesabına 1 000 TL yatırıyor. Banka yıllık %10 bileşik faiz uyguluyor ve hesaptan hiç para çekilmiyor. Öğrencinin ilk para yatırmasından itibaren 3. yılın sonunda hesapta kaç TL bulunur?

23Zor

Bir top 16 m yükseklikten serbest bırakılıyor. Top yere her çarptıktan sonra bir önceki düştüğü yüksekliğin yarısı kadar yükseliyor.

Top yere 5. kez çarptığı ana kadar toplam kaç metre yol almış olur?

24Zor

Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi $a$, $b$, $c$ ve $a + b + c = 15$'tir. $a$, $b + 1$, $c + 5$ sayıları ise bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. Buna göre $c$ kaçtır?

25Zor

$n$ pozitif bir tam sayı ve $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = 3\,025$ olduğuna göre $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ toplamı kaçtır?

26Zor

Terimleri sıfırdan farklı bir sonsuz geometrik serinin toplamı 12, terimlerinin karelerinden oluşan serinin toplamı ise 48'dir. Buna göre serinin ilk terimi kaçtır?

27Zor

Bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = 3^{n+1} + k$ olarak veriliyor. Bu dizi bir geometrik dizi olduğuna göre $k$ kaçtır?

28Zor

Ortak farkı sıfırdan farklı bir aritmetik dizinin 2., 5. ve 14. terimleri bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. Bu geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.

Dizi nedir?

Bir ifade ne zaman dizi belirtir?

Terimleri verilen diziyi tanımak ve indirgemeli diziler

Aritmetik dizi

Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı

Toplamı verilen dizi: \(S_n\)'den \(a_n\)'ye

Geometrik dizi

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı

Sonsuz geometrik seri ve devirli ondalık sayılar

Toplam sembolü ve özellikleri

Uygulamalar: oturma düzeni, top, birikim ve örüntüler

Formüller

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar