Türev ve Türev Alma Kuralları
Türevin limit tanımı, teğetin eğimi, türevlenebilirlik ve süreklilik, çarpım, bölüm ve zincir kuralı, üstel, logaritmik, trigonometrik ve ters fonksiyonun türevi, L'Hospital.
- Ortalama değişim hızı ile anlık değişim hızını ayırmayı ve türevi limitle tanımlamayı
- Türevi bir teğetin eğimi olarak yorumlamayı ve teğet doğrusunun denklemini yazmayı
- Bir fonksiyonun bir noktada türevli olup olmadığına sağdan ve soldan türevle karar vermeyi; köşe, sıçrama ve dikey teğeti tanımayı
- Sabit, kuvvet, toplam, çarpım, bölüm ve zincir kurallarını gerekçeleriyle kullanmayı
- Üstel, logaritmik, trigonometrik ve ters fonksiyonların türevini; yüksek mertebeden türevi bulmayı
- Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların türevini almayı ve belirsiz limitlerde L'Hospital kuralını uygulamayı
Ortalama değişim hızından anlık değişim hızına
Bir otomobil 2 saatte 160 km yol aldıysa ortalama hızı saatte 80 km'dir. Oysa yolculuk boyunca hız göstergesi hiç durmadan değişir: bazen 50, bazen 110 gösterir. Göstergede okunan değer, o anda "çok kısa bir süreye" düşen yolun o süreye oranıdır. Türev tam olarak bu fikrin matematiğidir.
Bir \(f\) fonksiyonu için \([a, a + h]\) aralığındaki ortalama değişim hızı
oranıdır. Bu oran grafikte \((a, f(a))\) ve \((a + h, f(a + h))\) noktalarını birleştiren kirişin eğimidir. \(h\) sıfıra yaklaştıkça ikinci nokta birinciye yaklaşır ve oran bir sayıya yaklaşıyorsa bu sayıya \(f\)'nin \(a\) noktasındaki anlık değişim hızı, yani türevi denir:
Aynı tanım \(x = a + h\) yazılarak \(f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) biçiminde de kullanılır. Bu limit bir gerçek sayıysa \(f\) fonksiyonu \(a\) noktasında türevlidir. Tanımdaki limit her zaman \(\frac{0}{0}\) belirsizliğidir; bu yüzden türev hesabı aslında bu belirsizliği sadeleştirerek gidermektir.
Küçük bir örnekle görelim. \(f(x) = x^2\) için \(a = 1\) alalım. \(f(1 + h) - f(1) = 1 + 2h + h^2 - 1 = 2h + h^2\) olur. \(h\)'ye bölünce \(2 + h\) kalır ve \(h \to 0\) iken limit 2'dir. Yani \(f'(1) = 2\). Aynı hesap genel \(x\) için yapılırsa \(\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = 2x + h\) çıkar ve \(f'(x) = 2x\) bulunur. Her \(x\) için türevi veren bu yeni fonksiyona türev fonksiyonu denir ve \(f'(x)\), \(y'\) ya da \(\frac{dy}{dx}\) ile gösterilir.
Türevin geometrik anlamı: teğetin eğimi
Kirişin bir ucunu sabit tutup öteki ucunu eğri boyunca kaydırdığımızı düşünelim. \(h\) küçüldükçe kirişler belirli bir doğruya yaklaşır; bu sınır doğruya eğrinin o noktadaki teğeti denir. Kirişlerin eğimleri türev tanımındaki orana eşit olduğu için teğetin eğimi de bu oranın limitidir:
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi yazılabildiği için \(x = a\) apsisli noktadaki teğetin denklemi
olur. Bu denklemi kurmak için iki sayı gerekir: değmenin olduğu noktanın ordinatı \(f(a)\) ve eğim \(f'(a)\). Sık yapılan hata, eğim yerine \(f'(x)\) ifadesini olduğu gibi bırakmak ya da ordinat için \(f'(a)\) kullanmaktır. Örneğin \(f(x) = x^2\) eğrisinin \(x = 1\)'deki teğeti \(y - 1 = 2(x - 1)\), yani \(y = 2x - 1\)'dir.
Grafik sorularında bu ilişki ters yönde kullanılır: teğet doğrusu şekilde çizilmişse üzerindeki iki noktadan eğimi bulunur ve bu eğim doğrudan \(f'(a)\) değeridir. Teğetin yatay olduğu noktada \(f'(a) = 0\), teğet sağa doğru yükseliyorsa \(f'(a) > 0\), alçalıyorsa \(f'(a) < 0\) olur.
Türevlenebilirlik ve süreklilik
Tanımdaki limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Bu iki limite sağdan türev ve soldan türev denir:
\(f\) fonksiyonu \(a\) noktasında ancak bu iki değer eşit ve sonlu ise türevlidir. Üç tipik türevsiz nokta vardır:
- Köşe: Grafik bir noktada kırılır. \(f(x) = |x|\) için \(x = 0\)'da soldan türev \(-1\), sağdan türev \(1\)'dir; türev yoktur ama fonksiyon süreklidir.
- Süreksizlik: Sıçrama ya da boşluk olan noktada fonksiyon türevli olamaz.
- Dikey teğet: \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) için \(x = 0\)'da kiriş eğimleri sonsuza gider; teğet dikeydir, eğimi tanımsızdır.
Bu tablonun arkasında önemli bir teorem vardır: \(f\), \(a\) noktasında türevli ise bu noktada süreklidir. Nedeni kısa bir hesaptır: \(x \neq a\) için \(f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a)\) yazılır. \(x \to a\) iken birinci çarpan \(f'(a)\)'ya, ikinci çarpan 0'a gider, çarpım 0'a gider ve \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) olur. Teoremin tersi doğru değildir: \(|x|\) her yerde süreklidir ama 0'da türevli değildir. Kısacası süreklilik türevlenebilirliğin gerekli ama yeterli olmayan koşuludur.
Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların türevi
Parçalı bir fonksiyonun türevi her açık aralıkta o aralıktaki kuralın türevidir. Asıl iş birleşme noktalarındadır. \(x = a\)'da iki parça birleşiyorsa türevli olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır:
- Süreklilik: Sol parçanın \(a\)'daki değeri, sağ parçanın \(a\)'daki değerine eşit olmalıdır.
- Eğimlerin eşitliği: Sol parçanın türevinin \(a\)'daki değeri, sağ parçanın türevinin \(a\)'daki değerine eşit olmalıdır.
Parametreli sorularda bu iki koşul iki bilinmeyenli bir denklem sistemi verir. Örneğin \(x < 1\) için \(ax^2 + 3\), \(x \ge 1\) için \(bx + 1\) olan fonksiyonun her yerde türevli olması için \(a + 3 = b + 1\) ve \(2a = b\) gerekir; buradan \(a = 2\), \(b = 4\) bulunur. Birinci koşulu atlayıp yalnızca türevleri eşitlemek, bu soruların en sık rastlanan hatasıdır.
Mutlak değerli fonksiyonlarda önce mutlak değerin içinin işaretine göre fonksiyon parçalı yazılır. \(|g(x)|\), \(g(x) \ge 0\) olan yerlerde \(g(x)\), \(g(x) < 0\) olan yerlerde \(-g(x)\)'tir. Türev bu parçalarda ayrı ayrı alınır. \(g\)'nin tek katlı kökünde grafik genellikle kırılır ve türev yoktur; çift katlı kökünde ise kırılma olmaz. Örneğin \(|x^2 - 4|\) fonksiyonu \(x = \pm 2\)'de türevli değildir, ama \(|(x - 1)^2|\) zaten \((x - 1)^2\)'ye eşittir ve her yerde türevlidir. Benzer biçimde \((x - 2)\,|x - 2|\) fonksiyonu \(x = 2\)'de türevlidir, çünkü sağdan da soldan da türev 0'dır.
Temel türev kuralları
Her türevi limitle hesaplamak zahmetlidir; bu yüzden limit tanımından bir kez çıkarılan kurallar kullanılır.
- Sabit: \(c\) sabitse \((c)' = 0\). Grafik yatay bir doğrudur, eğimi 0'dır.
- Kuvvet: \((x^n)' = n\,x^{n - 1}\). Bu kural bütün gerçek \(n\) üsleri için geçerlidir: \((\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -\frac{1}{x^2}\).
- Sabitle çarpım ve toplam: \((c\,f)' = c\,f'\), \((f \pm g)' = f' \pm g'\). Bu yüzden bir polinomun türevi terim terim alınır.
- Çarpım: \((f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\).
- Bölüm: \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\) \((g \neq 0)\).
Kuvvet kuralının doğal sayılar için nedeni binom açılımıdır: \((x + h)^n = x^n + n x^{n - 1} h + (h^2 \text{ ve daha yüksek kuvvetli terimler})\). \(x^n\) çıkarılıp \(h\)'ye bölününce geriye \(n x^{n - 1}\) ve \(h\) içeren terimler kalır; limitte yalnız \(n x^{n - 1}\) kalır.
Çarpım kuralının neden "türevlerin çarpımı" olmadığını görmek için bir dikdörtgen düşünün. Kenarları \(f\) ve \(g\) olan dikdörtgenin alanı \(f \cdot g\)'dir. Kenarlar biraz değişince alan iki şeritle büyür: \(\Delta f \cdot g\) ve \(f \cdot \Delta g\) (köşedeki küçük kare \(\Delta f \cdot \Delta g\) limitte ihmal edilir). Bu iki şerit kuralın iki terimidir. \((f \cdot g)' = f' \cdot g'\) yazmak sınavlarda en çok yapılan hatadır: \(x \cdot x = x^2\)'nin türevi \(2x\)'tir, \(1 \cdot 1 = 1\) değildir.
Bölüm kuralında paydaki sıra önemlidir: önce payın türevi çarpı payda, sonra pay çarpı paydanın türevi. Sırayı değiştirmek sonucun işaretini değiştirir. Paydası sabit olan bir bölümde kural gerekmez: \(\left(\frac{x^3}{6}\right)' = \frac{x^2}{2}\).
Zincir kuralı: bileşke fonksiyonun türevi
\(h(x) = f(g(x))\) olsun. \(x\) biraz değişince önce \(g\) değişir, \(g\)'deki değişim de \(f\)'yi değiştirir. İki değişim oranı çarpılır:
Kural "dıştakinin türevi, içteki olduğu gibi bırakılarak; çarpı içtekinin türevi" diye okunur. Örneğin \((x^2 + 1)^5\) için dış fonksiyon \(u^5\), iç fonksiyon \(u = x^2 + 1\)'dir; türev \(5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x\) olur. İçin türevi olan \(2x\) çarpanını unutmak en yaygın zincir kuralı hatasıdır. Kök için de aynı yol izlenir: \(\left(\sqrt{g(x)}\right)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\).
Tablo sorularında \(h'(a)\) istendiğinde sıra şöyledir: önce \(g(a)\) bulunur, sonra \(f'\) bu noktada okunur, en son \(g'(a)\) ile çarpılır. \(f'(a)\) okumak, yani iç fonksiyonun değerini atlamak, tablo sorularında çeldirici olarak mutlaka bulunur. Zincir kuralı ters yönde de kullanılır: \(f(2x - 1) = x^3 - x\) verilip \(f'(3)\) istenirse iki taraf \(x\)'e göre türetilir: \(2\,f'(2x - 1) = 3x^2 - 1\). \(2x - 1 = 3\) için \(x = 2\) alınır ve \(f'(3) = \frac{11}{2}\) bulunur.
Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi
\(e \approx 2{,}718\) sayısının özelliği, \(e^x\) fonksiyonunun türevinin kendisine eşit olmasıdır. Grafikte bu, her noktadaki teğet eğiminin o noktanın ordinatına eşit olduğu anlamına gelir. Diğer tabanlar \(a^x = e^{x \ln a}\) yazılarak zincir kuralıyla türetilir:
Zincir kuralıyla birleşince \((e^{g(x)})' = g'(x)\,e^{g(x)}\) ve \((\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}\) olur. Logaritmanın türevinde bir kolaylık vardır: \(\ln(3x) = \ln 3 + \ln x\) olduğundan türevi yine \(\frac{1}{x}\)'tir; sabit çarpan logaritmanın içinden toplam olarak çıkar ve türevde kaybolur.
Trigonometrik fonksiyonların türevi
Açılar radyan cinsinden ölçülürken \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\) olduğu için temel türevler şunlardır:
Tanjantın türevi bölüm kuralından gelir: \(\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\). Kosinüs ve kotanjantın türevindeki eksi işareti çok unutulur. Zincir kuralıyla \((\sin(kx))' = k\cos(kx)\) ve \((\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\) olur. Derece kullanılırsa bu formüller geçerli olmaz; sorudaki açılar her zaman radyandır.
Ters fonksiyonun ve kapalı fonksiyonun türevi
\(f\) bire bir ve türevli, \(g = f^{-1}\) olsun. Her \(x\) için \(f(g(x)) = x\)'tir. İki tarafın türevi alınırsa zincir kuralından \(f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1\) olur:
Geometrik anlamı açıktır: \(f\) ile \(f^{-1}\) grafikleri \(y = x\) doğrusuna göre simetriktir ve simetride eğim tersine döner. \(f\) üzerinde \((a, b)\) noktasındaki eğim \(m\) ise \(f^{-1}\) üzerinde \((b, a)\) noktasındaki eğim \(\frac{1}{m}\)'dir. Uygulamada önce \(f(a) = b\) denklemi çözülerek \(a = f^{-1}(b)\) bulunur, sonra \(f'(a)\)'nın tersi alınır. \(\frac{1}{f'(b)}\) yazmak tipik hatadır.
Bazı eğriler \(y = f(x)\) biçiminde değil, \(x\) ile \(y\) arasındaki bir bağıntıyla verilir; bunlara kapalı fonksiyon denir. Böyle bir bağıntıda iki taraf \(x\)'e göre türetilir ve \(y\)'nin her türevine zincir kuralı gereği \(y'\) çarpanı eklenir. Örneğin \(x^2 + y^2 = 25\) çemberinde \(2x + 2y\,y' = 0\) olur ve \(y' = -\frac{x}{y}\) bulunur; \((3, 4)\) noktasında teğetin eğimi \(-\frac{3}{4}\)'tür. Kapalı türev için bu kısa fikri bilmek yeterlidir.
Yüksek mertebeden türevler
Türev fonksiyonunun da türevi alınabilir. \(f'\)'nin türevine ikinci türev denir ve \(f''\) ile, sonrakiler \(f'''\), \(f^{(4)}\), \(\ldots\), \(f^{(n)}\) ile gösterilir. Konum fonksiyonunun birinci türevi hız, ikinci türevi ivmedir. Polinomda her türev dereceyi bir düşürür: \(n\). dereceden polinomun \((n + 1)\). türevi sıfırdır. Bazı fonksiyonların türevleri dönerek tekrar eder: \(\sin x\)'in türevleri \(\cos x\), \(-\sin x\), \(-\cos x\), \(\sin x\) diye 4 adımda başa döner. Bu yüzden \(f(x) = \sin 2x\) için \(f^{(4)}(x) = 16\sin 2x\) olur; her türevde zincir kuralından bir 2 çarpanı gelir. \(e^{kx}\)'in \(n\). türevi de \(k^n e^{kx}\)'tir.
L'Hospital kuralı
Türev, belirsiz limitleri hesaplamak için de güçlü bir araçtır. \(f(a) = g(a) = 0\) ve \(f\), \(g\) türevli olsun. \(x \to a\) iken \(\frac{f(x)}{g(x)}\) oranı, \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) ile \(\frac{g(x) - g(a)}{x - a}\) oranlarının bölümüdür ve bu iki oran türevlere yaklaşır. Sonuç L'Hospital kuralıdır:
Kural pay ve paydanın türevini ayrı ayrı almayı söyler; bölümün türevi alınmaz. Türev aldıktan sonra yine belirsizlik çıkarsa kural yeniden uygulanır. Örneğin \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\) için bir kez türev almak \(\frac{\sin x}{2x}\) verir, yine \(\frac{0}{0}\)'dır; bir kez daha türev almak \(\frac{\cos x}{2} \to \frac{1}{2}\) sonucunu verir. Belirsizlik yokken kuralı uygulamak yanlış sonuç verir: \(\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}\)'dir, türevlerin oranı olan 1 değildir.
Formüller
Çözümlü örnekler
\(f(x) = x^2 - 3x\) fonksiyonunun \(x = 2\) noktasındaki türevini limit tanımını kullanarak bulunuz.
- \(f(2) = 4 - 6 = -2\) ve \(f(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = -2 + h + h^2\).
- Fark \(f(2 + h) - f(2) = h + h^2\); \(h\)'ye bölünce \(1 + h\) kalır.
- \(f'(2) = \lim_{h \to 0} (1 + h) = 1\). Kuralla denetim: \(f'(x) = 2x - 3\), \(f'(2) = 1\).
Cevap: 1
\(f(x) = x^3 - 2x^2 + 3\) eğrisinin \(x = 2\) apsisli noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. Bu teğet eksenleri hangi noktalarda keser?
- Değme noktasının ordinatı \(f(2) = 8 - 8 + 3 = 3\); nokta \((2, 3)\).
- \(f'(x) = 3x^2 - 4x\) olduğundan eğim \(f'(2) = 12 - 8 = 4\).
- Teğet: \(y - 3 = 4(x - 2)\), yani \(y = 4x - 5\).
- \(x = 0\) için \(y = -5\); \(y = 0\) için \(x = \frac{5}{4}\). Teğet eksenleri \((0, -5)\) ve \(\left(\frac{5}{4}, 0\right)\) noktalarında keser.
Cevap: \(y = 4x - 5\); \((0, -5)\) ve \(\left(\frac{5}{4}, 0\right)\)
\(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\) ve \(g(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)\) olduğuna göre \(f'(1)\) ve \(g'(1)\) değerlerini bulunuz.
- Bölüm kuralı: \(f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}\).
- \(x = 1\) için pay \(2 \cdot 2 - 2 = 2\), payda \(4\); \(f'(1) = \frac{1}{2}\).
- Çarpım kuralı: \(g'(x) = 2(x^2 + 3) + (2x - 1) \cdot 2x\).
- \(g'(1) = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 10\). Türevlerin çarpımını almak \(2 \cdot 2 = 4\) gibi yanlış bir sonuç verirdi.
Cevap: \(f'(1) = \frac{1}{2}\), \(g'(1) = 10\)
Türevli bir \(f\) fonksiyonu için \(f(1) = 3\), \(f'(1) = -2\) ve \(f'(3) = 5\) veriliyor. \(h(x) = f(x^2 + 2x - 2)\), \(k(x) = f(f(x))\) ve \(m(x) = \big(f(x)\big)^3\) olduğuna göre \(h'(1)\), \(k'(1)\) ve \(m'(1)\) değerlerini bulunuz.
- \(h'(x) = f'(x^2 + 2x - 2) \cdot (2x + 2)\). \(x = 1\)'de iç fonksiyon \(1 + 2 - 2 = 1\), türevi 4: \(h'(1) = f'(1) \cdot 4 = -8\).
- \(k'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)\). \(k'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1) = f'(3) \cdot (-2) = 5 \cdot (-2) = -10\).
- \(m'(x) = 3\big(f(x)\big)^2 \cdot f'(x)\). \(m'(1) = 3 \cdot 9 \cdot (-2) = -54\).
- Her üçünde de önce iç fonksiyonun değeri bulunup dış fonksiyonun türevi o noktada okunmuştur.
Cevap: \(h'(1) = -8\), \(k'(1) = -10\), \(m'(1) = -54\)
\(f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3, & x < 1 \\ bx + 1, & x \ge 1 \end{cases}\) fonksiyonu her gerçek sayıda türevli olduğuna göre \(a\) ve \(b\) kaçtır?
- Parçalar polinom olduğundan tek şüpheli nokta \(x = 1\)'dir.
- Süreklilik: \(a \cdot 1 + 3 = b \cdot 1 + 1\), yani \(a - b = -2\).
- Eğimler: sol parçanın türevi \(2ax\), \(x = 1\)'de \(2a\); sağ parçanın türevi \(b\). Koşul \(2a = b\).
- \(a - 2a = -2\) olduğundan \(a = 2\), \(b = 4\). Denetim: iki parça da \(x = 1\)'de 5 değerini ve 4 eğimini verir.
Cevap: \(a = 2\), \(b = 4\)
\(f(x) = |x^2 - 2x - 3|\) fonksiyonunun türevli olmadığı noktaları bulunuz; \(f'(0)\) ve \(f'(4)\) değerlerini hesaplayınız.
- \(x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)\); kökler \(-1\) ve 3, ikisi de tek katlı. İfade \((-1, 3)\) aralığında negatif, dışında pozitiftir.
- \((-1, 3)\) aralığında \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\), \(f'(x) = -2x + 2\) ve \(f'(0) = 2\).
- \(x > 3\) için \(f(x) = x^2 - 2x - 3\), \(f'(x) = 2x - 2\) ve \(f'(4) = 6\).
- \(x = 3\)'te soldan türev \(-2 \cdot 3 + 2 = -4\), sağdan türev \(2 \cdot 3 - 2 = 4\); farklı oldukları için türev yoktur. \(x = -1\)'de de soldan \(-4\), sağdan \(4\) çıkar.
Cevap: \(x = -1\) ve \(x = 3\)'te türevsiz; \(f'(0) = 2\), \(f'(4) = 6\)
\(f(x) = \ln(\cos x) + e^{\tan x}\) olduğuna göre \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\) kaçtır?
- Zincir kuralıyla \(\big(\ln(\cos x)\big)' = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x\).
- \(\big(e^{\tan x}\big)' = e^{\tan x} \cdot (1 + \tan^2 x)\).
- \(x = \frac{\pi}{4}\) için \(\tan x = 1\): \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 + e \cdot 2\).
- Sonuç \(2e - 1\) olur. \(\ln\)'in türevinde iç fonksiyonun türevini (\(-\sin x\)) unutmak \(\frac{1}{\cos x}\) gibi yanlış bir terim doğurur.
Cevap: \(2e - 1\)
\(f(x) = x^3 + 3x - 2\) fonksiyonu bire bir ve örtendir. \((f^{-1})'(2)\) değerini bulunuz ve \(f^{-1}\) grafiğinin \(x = 2\) apsisli noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
- Önce \(f(a) = 2\) çözülür: \(a^3 + 3a - 2 = 2\), \(a^3 + 3a - 4 = 0\); \(a = 1\) köktür. \(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\) olduğundan başka kök yoktur. Yani \(f^{-1}(2) = 1\).
- \(f'(1) = 6\) olduğundan \((f^{-1})'(2) = \frac{1}{6}\).
- \(f^{-1}\) grafiğinde nokta \((2, 1)\), eğim \(\frac{1}{6}\): teğet \(y - 1 = \frac{1}{6}(x - 2)\), yani \(y = \frac{x}{6} + \frac{2}{3}\).
- \(\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{15}\) yazmak yanlıştır; türev \(f\)'nin ters görüntüsünde, yani \(x = 1\)'de alınır.
Cevap: \(\frac{1}{6}\); \(y = \frac{x}{6} + \frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\ln x - x + 1}{(x - 1)^2}\) limitinin değeri kaçtır?
- \(x = 1\) için pay \(0 - 1 + 1 = 0\), payda 0; belirsizlik \(\frac{0}{0}\).
- Pay ve paydanın türevleri: \(\dfrac{\frac{1}{x} - 1}{2(x - 1)}\). \(x = 1\)'de yine \(\frac{0}{0}\).
- Bir kez daha türev: \(\dfrac{-\frac{1}{x^2}}{2}\). \(x = 1\) için \(-\frac{1}{2}\).
- İkinci adımda sadeleştirme de aynı sonucu verir: \(\frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{2(x - 1)} = -\frac{1}{2x} \to -\frac{1}{2}\).
Cevap: \(-\frac{1}{2}\)
Sık yapılan hatalar
- Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak: \((f \cdot g)' \neq f' \cdot g'\); doğru kural \(f'g + fg'\)'dür.
- Bölüm kuralında paydaki terimlerin sırasını değiştirmek ve sonucu ters işaretli bulmak.
- Zincir kuralında için türevini unutmak: \(\big(\sin 3x\big)' = 3\cos 3x\)'tir, \(\cos 3x\) değil.
- Tablo sorularında \(f'(g(a))\) yerine \(f'(a)\) okumak.
- Parçalı fonksiyonda yalnızca türevleri eşitleyip süreklilik koşulunu atlamak; süreksiz noktada türev olmaz.
- Teğet denkleminde ordinat yerine türev değerini yazmak ya da eğim olarak \(f'(x)\) ifadesini bırakmak.
- Ters fonksiyonun türevinde \(\frac{1}{f'(b)}\) yazmak; doğrusu \(f(a) = b\) olan \(a\) için \(\frac{1}{f'(a)}\)'dır.
- L'Hospital kuralını belirsizlik olmadan uygulamak ya da bölümün türevini almak.
Otomobillerdeki hız göstergesi anlık değişim hızını, yani konumun zamana göre türevini gösterir; bir yolculuğun sonunda hesaplanan ortalama hız ise kirişin eğimine karşılık gelir. Türkiye'deki bazı otoyol ve kara yollarında kullanılan ortalama hız denetimi bu iki kavramın farkına dayanır: iki kamera arasındaki mesafe geçiş süresine bölünür ve ortalama hız bulunur. Ortalama hız sınırı aşmışsa, ortalama değer teoremi gereği aracın yolun en az bir anında sınırın üzerinde gittiği kesindir; hız göstergesine hiç bakılmadan bu sonuca varılabilmesi türevin en somut uygulamalarından biridir.
Konu testi
27 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
\(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7\) olduğuna göre \(f'(2)\) kaçtır?
\(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\) olur. \(f'(2) = 24 - 20 + 4 = 8\).
\(f(x) = x^3 - 2x\) olduğuna göre \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}\) limitinin değeri kaçtır?
İstenen limit türevin tanımıdır; değeri \(f'(2)\)'dir. \(f'(x) = 3x^2 - 2\) olduğundan \(f'(2) = 12 - 2 = 10\). 4 sonucu \(f(2)\) değeridir.
\(f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\) olduğuna göre \(f'(1)\) kaçtır?
Çarpım kuralı: \(f'(x) = 2x(x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 1\). \(f'(1) = 2 \cdot (-2) + 2 = -2\). Türevlerin çarpımı \(2 \cdot 1 = 2\) yanlış sonuçtur.
\(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) olduğuna göre \(f'(2)\) kaçtır?
Bölüm kuralı: \(f'(x) = \dfrac{2(x - 1) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}\). \(f'(2) = -3\). Paydaki sırayı değiştirmek 3 sonucunu verir.
\(f(x) = x^2 \sin x\) olduğuna göre \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) kaçtır?
\(f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x\). \(x = \frac{\pi}{2}\) için \(\sin x = 1\), \(\cos x = 0\): \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\). \(\frac{\pi^2}{4}\) fonksiyonun kendi değeridir.
\(f(x) = e^{2x} + \ln(3x)\) olduğuna göre \(f'(1)\) kaçtır?
\((e^{2x})' = 2e^{2x}\) ve \((\ln 3x)' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}\). \(f'(1) = 2e^2 + 1\). \(\ln(3x)\)'in türevini \(\frac{1}{3x}\) almak \(2e^2 + \frac{1}{3}\) hatasına götürür.
Yerden düşey olarak yukarı atılan bir topun \(t\) saniye sonraki yerden yüksekliği \(h(t) = 40t - 5t^2\) metre ile veriliyor. Topun \(t = 1\) saniyedeki anlık hızı saniyede kaç metredir?
Anlık hız konumun türevidir: \(h'(t) = 40 - 10t\). \(h'(1) = 30\) m/s. 35 değeri o andaki yüksekliktir, hız değildir.
\(y = x^3 - 3x + 1\) eğrisinin \(x = 2\) apsisli noktasındaki teğeti \(y\) eksenini hangi ordinatlı noktada keser?
Değme noktası \((2, 3)\); eğim \(y' = 3x^2 - 3\) ile \(9\). Teğet \(y - 3 = 9(x - 2)\), yani \(y = 9x - 15\). \(x = 0\) için \(y = -15\).
\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b, & x < 2 \\ 3x - 1, & x \ge 2 \end{cases}\) fonksiyonu her gerçek sayıda türevlidir. Buna göre \(a \cdot b\) çarpımı kaçtır?
Süreklilik: \(4 + 2a + b = 5\). Eğimlerin eşitliği: \(2 \cdot 2 + a = 3\). \(a = -1\) ve \(b = 3\) bulunur; \(a \cdot b = -3\).
Aşağıda \(f\) fonksiyonunun grafiği ve grafiğe \(A\) noktasında teğet olan \(d\) doğrusu verilmiştir.
\(g(x) = x^2 \cdot f(x)\) olduğuna göre \(g'(2)\) kaçtır?
Grafikten \(f(2) = 3\). \(d\) doğrusu \((0, -1)\) ve \((2, 3)\) noktalarından geçer; eğimi \(\frac{3 - (-1)}{2 - 0} = 2\), yani \(f'(2) = 2\). \(g'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)\) olduğundan \(g'(2) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 20\).
\(f(x) = x^3 + 2x + 1\) fonksiyonu bire bir ve örtendir. Buna göre \((f^{-1})'(4)\) kaçtır?
\(f(a) = 4\) için \(a^3 + 2a - 3 = 0\), \(a = 1\) (fonksiyon artan olduğundan tek kök). \(f'(x) = 3x^2 + 2\), \(f'(1) = 5\); \((f^{-1})'(4) = \frac{1}{5}\). \(\frac{1}{f'(4)} = \frac{1}{50}\) tipik hatadır.
\(f(x) = \sin^2(3x)\) olduğuna göre \(f'\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) kaçtır?
Zincir kuralı iki kez: \(f'(x) = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 3\sin(6x)\). \(x = \frac{\pi}{12}\) için \(3\sin\frac{\pi}{2} = 3\). İçteki 3 çarpanını unutmak 1 sonucunu verir.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}\) limitinin değeri kaçtır?
\(\frac{0}{0}\) belirsizliği var. L'Hospital: \(\frac{2e^{2x} - 2}{2x}\), yine \(\frac{0}{0}\). Bir kez daha: \(\frac{4e^{2x}}{2} \to 2\). İkinci türevde zincirden gelen 2 çarpanını unutmak 1 sonucunu verir.
\(f(x) = |x^2 - 4| + 3x\) olduğuna göre \(f'(1) + f'(3)\) toplamı kaçtır?
\(x = 1\)'de \(x^2 - 4 < 0\): \(f(x) = 4 - x^2 + 3x\), \(f'(1) = -2 + 3 = 1\). \(x = 3\)'te \(x^2 - 4 > 0\): \(f'(x) = 2x + 3\), \(f'(3) = 9\). Toplam 10. Mutlak değeri açmadan türev almak 14 verir.
\([-4, 5]\) aralığında tanımlı \(f\) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. Grafik \(x = 3\) noktasında doğru parçasından parabol parçasına geçmektedir ve parabolün tepe noktası \((4, -3)\)'tür.
Buna göre \(f\) fonksiyonu \((-4, 5)\) aralığındaki kaç farklı \(x\) değerinde türevli değildir?
\(x = -2\)'de sıçrama, \(x = -1\)'de fonksiyon değeri grafikten ayrık (süreksiz) olduğu için türev yoktur. \(x = 1\)'de grafik kırılır (soldan eğim 1, sağdan eğim \(-2\)); türev yoktur. \(x = 3\)'te doğrunun eğimi \(-2\), parabolün \((x - 4)^2 - 3\) eğimi de \(2(3 - 4) = -2\); geçiş pürüzsüzdür. Tepe noktası \(x = 4\)'te türev 0'dır. Toplam 3 nokta.
\(f(x) = \sin 2x\) olduğuna göre \(f^{(4)}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) kaçtır?
Türevler: \(2\cos 2x\), \(-4\sin 2x\), \(-8\cos 2x\), \(16\sin 2x\). \(f^{(4)}\left(\frac{\pi}{12}\right) = 16\sin\frac{\pi}{6} = 8\).
\(f(x) = x \tan x\) olduğuna göre \(f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) kaçtır?
\(f'(x) = \tan x + x(1 + \tan^2 x)\). \(x = \frac{\pi}{4}\) için \(1 + \frac{\pi}{4} \cdot 2 = 1 + \frac{\pi}{2}\).
Türevli \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
\(h(x) = f(g(x))\) ve \(k(x) = g(f(x))\) olduğuna göre \(h'(1) - k'(3)\) farkı kaçtır?
\(h'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\). \(k'(3) = g'(f(3)) \cdot f'(3) = g'(2) \cdot 5 = -5\). Fark \(12 - (-5) = 17\). İşaret hatası 7 sonucunu verir.
Türevli bir \(f\) fonksiyonu her \(x\) gerçek sayısı için \(f(2x - 1) = x^3 - x\) eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre \(f'(3)\) kaçtır?
İki tarafın türevi: \(2\,f'(2x - 1) = 3x^2 - 1\). \(2x - 1 = 3\) için \(x = 2\): \(2f'(3) = 11\), \(f'(3) = \frac{11}{2}\). İçin türevi olan 2'yi unutmak 11 sonucunu verir.
Gerçek sayılarda tanımlı ve türevli \(f\) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. Grafiğin tepe noktası \(x = -1\), çukur noktası \(x = 2\) apsislidir.
- I.\(f'(-2) \cdot f'(0) < 0\)
- II.\(f'(1) > f'(3)\)
- III.\(f'(-1) = f'(2)\)
ifadelerinden hangileri doğrudur?
\(x = -2\)'de grafik yükselir, teğet eğimi pozitiftir; \(x = 0\)'da grafik alçalır, eğim negatiftir. Çarpım negatif, I doğru. \(x = 1\)'de eğim negatif, \(x = 3\)'te pozitiftir; \(f'(1) < f'(3)\), II yanlış. Tepe ve çukur noktalarında teğet yataydır: \(f'(-1) = f'(2) = 0\), III doğru.
Aşağıda \(f\) fonksiyonunun grafiği ile grafiğe \(A\) noktasında teğet olan \(d_1\) ve \(B\) noktasında teğet olan \(d_2\) doğruları verilmiştir. \(d_1\) doğrusu \(y\) eksenini \((0, 2)\), \(d_2\) doğrusu \((0, 8)\) noktasında kesmektedir.
\(h(x) = f(f(x))\) olduğuna göre \(h'(1)\) kaçtır?
Grafikten \(A(1, 4)\) ve \(B(4, 6)\). \(d_1\) eğimi \(\frac{4 - 2}{1 - 0} = 2\), yani \(f'(1) = 2\); \(d_2\) eğimi \(\frac{6 - 8}{4 - 0} = -\frac{1}{2}\), yani \(f'(4) = -\frac{1}{2}\). Zincir kuralı: \(h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1) = f'(4) \cdot 2 = -1\). \(f'(1) \cdot f'(1) = 4\) yazmak iç fonksiyonun değerini atlamaktır.
\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(f(x) = \begin{cases} ax^3 + bx, & x \le 1 \\ bx^2 + 4, & x > 1 \end{cases}\) fonksiyonu her gerçek sayıda türevlidir. Buna göre \(f'(0) + f'(2)\) toplamı kaçtır?
Süreklilik: \(a + b = b + 4\), buradan \(a = 4\). Eğimler: \(3a + b = 2b\), buradan \(b = 3a = 12\). \(f'(0) = 3a \cdot 0 + b = 12\), \(f'(2) = 2b \cdot 2 = 48\). Toplam 60.
\(f(x) = x^3 + ax^2 + b\) eğrisinin \(x = 1\) apsisli noktasındaki teğetinin denklemi \(y = 7x - 3\)'tür. Buna göre \(f(2)\) kaçtır?
Eğim: \(f'(1) = 3 + 2a = 7\), \(a = 2\). Değme noktası teğet üzerindedir: \(f(1) = 7 - 3 = 4\), yani \(1 + 2 + b = 4\), \(b = 1\). \(f(2) = 8 + 8 + 1 = 17\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}\) limitinin değeri kaçtır?
Üç kez \(\frac{0}{0}\) belirsizliği çıkar: \(\frac{1 - \cos x}{3x^2}\), sonra \(\frac{\sin x}{6x}\), sonra \(\frac{\cos x}{6}\). Limit \(\frac{1}{6}\). Her adımda paydadaki katsayıyı (3, sonra 6) korumak gerekir.
Fonksiyonlarla ilgili aşağıdaki ifadeler veriliyor.
- I.Bir noktada sürekli olan her fonksiyon o noktada türevlidir.
- II.\(f\) fonksiyonu \(x = a\) noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
- III.\(f(x) = (x - 2)\,|x - 2|\) fonksiyonu \(x = 2\) noktasında türevlidir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
I yanlış: \(|x|\) fonksiyonu 0'da süreklidir ama soldan türev \(-1\), sağdan türev \(1\)'dir. II doğru: türevlilik sürekliliği gerektirir. III doğru: \(x \ge 2\) için \((x - 2)^2\), \(x < 2\) için \(-(x - 2)^2\); iki yandan türev de 0'dır.
\(f(x) = x^3 + x\) fonksiyonunun tersi \(g\) ve \(h(x) = g(2x)\) olduğuna göre \(h'(1)\) kaçtır?
Zincir kuralı: \(h'(1) = 2\,g'(2)\). \(f(1) = 2\) olduğundan \(g(2) = 1\) ve \(g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}\). \(h'(1) = \frac{1}{2}\). \(\frac{2}{f'(2)} = \frac{2}{13}\) yazmak ters fonksiyon kuralını yanlış uygulamaktır.
\(f(x) = x^3 - x\) olduğuna göre \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h}\) limitinin değeri kaçtır?
Paya \(-f(2) + f(2)\) eklenir: \(3 \cdot \frac{f(2 + 3h) - f(2)}{3h} + \frac{f(2 - h) - f(2)}{-h}\). Limit \(3f'(2) + f'(2) = 4f'(2)\) olur. \(f'(x) = 3x^2 - 1\), \(f'(2) = 11\); sonuç 44.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.