Birinci Dereceden Denklemler
Denklem ve çözüm kümesi, paydalı ve ondalıklı denklemler, ax + b = 0 ve parametre, iki ve üç bilinmeyenli sistemler, doğruların kesişmesi ve denklem kurma.
- Denklem, özdeşlik, kök ve çözüm kümesi kavramlarını; eşitliği koruyan işlemleri
- Parantezli, paydalı ve ondalıklı birinci dereceden denklemleri hatasız çözmeyi
- \(ax + b = 0\) denkleminde tek çözüm, boş küme ve sonsuz çözüm durumlarını; parametreli denklemleri
- İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerini yok etme ve yerine koyma yöntemleriyle çözmeyi
- Bir sistemin tek çözümlü, çözümsüz ya da sonsuz çözümlü olduğunu katsayı oranlarından ve grafikten anlamayı
- Sistemden istenen ifadeyi (\(x + y\), \(x - y\), \(x \cdot y\)) kısa yoldan bulmayı ve sözel ifadeleri denkleme çevirmeyi
Denklem, kök ve çözüm kümesi
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin yalnızca bazı değerleri için doğru olan eşitliğe denklem denir. \(2x + 5 = 11\) eşitliği \(x = 3\) iken doğrudur, \(x\) yerine başka hangi sayıyı koyarsan koy yanlış olur. Denklemi doğru yapan değere denklemin kökü (ya da çözümü), bütün köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Bu denklemin çözüm kümesi \(\{3\}\)'tür.
Her eşitlik denklem değildir. \(2(x + 1) = 2x + 2\) eşitliği \(x\) yerine hangi gerçek sayı yazılırsa yazılsın doğrudur; böyle eşitliklere özdeşlik denir. Özdeşliğin çözüm kümesi, bilinmeyenin alabileceği bütün değerlerin kümesidir (gerçek sayılarda \(\mathbb{R}\)). Öte yandan \(x + 3 = x + 5\) eşitliği hiçbir \(x\) için doğru değildir; çözüm kümesi boş küme \(\varnothing\) olur. Bir eşitliğe bakınca kafandaki soru hep şudur: "Bilinmeyenin hangi değerleri bu eşitliği doğru yapıyor?" Cevap tek bir sayı, hiçbir sayı ya da bütün sayılar olabilir.
Bilinmeyenin denklemdeki en büyük kuvvetine denklemin derecesi denir. \(a\) ve \(b\) gerçek sayılar ve \(a \neq 0\) olmak üzere
biçimine getirilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. \(3x - 7 = 0\), \(\frac{x}{2} + 1 = 4\) ve \(0{,}2x = 1{,}4 - x\) birinci derecedendir; \(x^2 - 4 = 0\) ikinci derecedendir. Soru "\((a - 2)x^2 + 3x + 1 = 0\) denklemi birinci dereceden ise" diye başlıyorsa \(x^2\)'nin katsayısı sıfır olmalı, yani \(a = 2\) alınmalıdır.
Çözüm kümesi, denklemin hangi sayı kümesinde çözüldüğüne de bağlıdır. \(3x = 2\) denkleminin kökü \(\frac{2}{3}\)'tür. Bu denklem tam sayılarda çözülürse çözüm kümesi boş küme, rasyonel ya da gerçek sayılarda çözülürse \(\left\{\frac{2}{3}\right\}\) olur. Soruda "\(x\) bir doğal sayı" ya da "\(x\) bir tam sayı" gibi bir bilgi varsa bulduğun kökün o kümede olup olmadığını mutlaka denetle.
Eşitliği koruyan işlemler: terazi modeli
Bir denklemi dengedeki bir terazi gibi düşünebilirsin. Terazinin iki kefesine aynı ağırlığı koyar ya da iki kefeden aynı ağırlığı alırsan denge bozulmaz. İki kefedeki yükü aynı sayıyla çarpar ya da bölersen de denge korunur. Denklem çözmenin bütün kuralları bu iki gözleme dayanır:
Aşağıdaki terazide sol kefede üç \(x\) kutusu ve 2 birim, sağ kefede bir \(x\) kutusu ve 8 birim var: \(3x + 2 = x + 8\). İki kefeden birer kutu ve ikişer birim alınca geriye \(2x = 6\) kalır. İki kutu 6 birimi dengelediğine göre bir kutu 3 birimdir.
"Terimi karşı tarafa işaret değiştirerek atmak" dediğimiz kısa yol da aslında iki yana aynı sayıyı eklemektir. \(x - 7 = 5\) denkleminde iki yana 7 eklenince \(x = 12\) olur; sol yandaki \(-7\) sağa \(+7\) olarak "geçmiş" gibi görünür. Kuralın nereden geldiğini bilmek, işaret hatalarını önemli ölçüde azaltır.
Neden sıfırla çarpmak yasaktır? Çünkü iki yanı sıfırla çarpınca her denklem \(0 = 0\) özdeşliğine dönüşür ve denklemin taşıdığı bilgi kaybolur. Benzer biçimde iki yanı içinde bilinmeyen olan bir ifadeye bölerken o ifadenin sıfır olabileceğini unutmamak gerekir. \(x(x - 5) = 3x\) denkleminde iki yanı \(x\)'e bölen biri yalnızca \(x = 8\) kökünü bulur ve \(x = 0\) kökünü kaybeder.
Parantezli, paydalı ve ondalıklı denklemler
Birinci dereceden bir denklem ne kadar karışık görünürse görünsün aynı sırayla sadeleşir:
- Paydaları yok etmek için iki yanı paydaların EKOK'uyla, ondalıkları yok etmek için 10'un uygun kuvvetiyle çarp.
- Parantezleri aç; parantezin önündeki eksi işaretini içerideki her terime dağıt.
- Bilinmeyenli terimleri bir yanda, sayıları öbür yanda topla.
- İki yanı bilinmeyenin katsayısına böl ve sonucu ilk denklemde dene.
Örneğin \(\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = \frac{1}{6}\) denkleminde paydaların EKOK'u 12'dir. İki yan 12 ile çarpılınca \(4(x - 1) - 3(x + 2) = 2\) olur. Burada kesir çizgisinin bir parantez gibi davrandığına dikkat et: \(-\frac{x + 2}{4}\) terimi 12 ile çarpılınca \(-3x - 6\) olur, \(-3x + 6\) değil. Parantezler açılınca \(x - 10 = 2\) ve \(x = 12\) bulunur.
Ondalıklı denklemlerde de aynı düşünce geçerlidir. \(0{,}4(x + 2) - 0{,}15x = 1{,}3\) denkleminde en çok iki ondalık basamak olduğu için iki yan 100 ile çarpılır: \(40(x + 2) - 15x = 130\). Buradan \(25x = 50\) ve \(x = 2\) bulunur. Çarparken eşitliğin her terimini çarpmayı unutma; sağ yandaki 1,3'ü 130 yapmadan bırakmak en sık görülen hatadır.
Paydada bilinmeyen varsa
Bilinmeyen paydadaysa denklem önce paydayı sıfır yapan değerler dışarıda bırakılarak çözülür. \(\frac{2}{x - 1} + 3 = \frac{x + 1}{x - 1}\) denkleminde \(x \neq 1\) olmalıdır. İki yan \(x - 1\) ile çarpılınca \(2 + 3(x - 1) = x + 1\), yani \(3x - 1 = x + 1\) ve \(x = 1\) bulunur. Ama \(x = 1\) paydayı sıfır yaptığı için kök olamaz; çözüm kümesi boş kümedir. Çarpma işlemi sırasında "\(x - 1 \neq 0\)" varsayımını yaptığımız için bu varsayıma uymayan sonucu atmak zorundayız.
ax + b = 0 denkleminin üç durumu
Bütün birinci dereceden denklemler sadeleşince \(ax = c\) biçimine gelir (\(c = -b\)). Bu denklemin kaç çözümü olduğunu yalnızca \(a\) ve \(c\) belirler:
- \(a \neq 0\) ise iki yan \(a\)'ya bölünür ve tek çözüm vardır: \(x = \frac{c}{a}\).
- \(a = 0\) ve \(c \neq 0\) ise denklem \(0 \cdot x = c\) olur. Sıfırla çarpılınca sıfırdan farklı bir sayı veren bir sayı yoktur; çözüm kümesi \(\varnothing\)'dir.
- \(a = 0\) ve \(c = 0\) ise denklem \(0 \cdot x = 0\) olur. Her gerçek sayı bu eşitliği sağlar; çözüm kümesi \(\mathbb{R}\)'dir.
Bu üç durum, katsayılarında harf bulunan parametreli denklemlerin temelidir. "\((m^2 - 4)x = m + 2\) denkleminin çözüm kümesi boş küme ise \(m\) kaçtır?" sorusunda önce \(x\)'in katsayısı sıfır yapılır: \(m^2 - 4 = 0\), yani \(m = 2\) ya da \(m = -2\). Sonra sağ yan denetlenir. \(m = 2\) için sağ yan \(4 \neq 0\)'dır ve denklem \(0 = 4\) olur, çözüm yoktur. \(m = -2\) için sağ yan \(0\)'dır ve denklem \(0 = 0\) olur, her sayı çözümdür. Demek ki boş küme için \(m = 2\), sonsuz çözüm için \(m = -2\)'dir. Yalnızca katsayıya bakıp iki değeri birden cevap saymak, ÖSYM'nin bu tür sorulardaki tuzağıdır.
Çözüm kümesinin \(\mathbb{R}\) olması istenirse iki koşul birden yazılır: \(x\)'in katsayısı sıfır ve sabit terim sıfır. \((2a - 1)x + b + 4 = 3x + 1\) denkleminde her şey sol yana toplanınca \((2a - 4)x + (b + 3) = 0\) olur. Her \(x\) için doğru olması \(2a - 4 = 0\) ve \(b + 3 = 0\) demektir: \(a = 2\), \(b = -3\).
İki bilinmeyenli doğrusal denklemler
\(a\) ve \(b\)'nin ikisi birden sıfır olmamak üzere \(ax + by = c\) biçimindeki denklemlere iki bilinmeyenli birinci dereceden (doğrusal) denklem denir. Böyle tek bir denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. \(x + y = 5\) denklemini \((0, 5)\), \((1, 4)\), \((2{,}5;\ 2{,}5)\), \((-1, 6)\) gibi sayısız sıralı ikili sağlar. Bu ikilileri analitik düzlemde işaretlersen hepsinin aynı doğru üzerinde olduğunu görürsün; "doğrusal denklem" adı buradan gelir. Bir doğruyu çizmek için iki noktası yeterlidir: çoğu zaman \(x = 0\) alınarak doğrunun \(y\) eksenini, \(y = 0\) alınarak \(x\) eksenini kestiği noktalar bulunur.
İki bilinmeyeni tek tek bulmak için iki ayrı bilgi gerekir. İki denklemin birlikte yazılmasına denklem sistemi, iki denklemi birden sağlayan \((x, y)\) ikililerinin kümesine de sistemin çözüm kümesi denir. Sistemi çözmenin iki temel yolu vardır.
Yok etme yöntemi: Denklemlerden biri ya da ikisi uygun sayılarla çarpılarak bir bilinmeyenin katsayıları eşit ya da zıt yapılır, sonra denklemler taraf tarafa çıkarılır ya da toplanır. \(3x - 2y = 1\) ve \(5x + 4y = 31\) sisteminde birinci denklem 2 ile çarpılırsa \(6x - 4y = 2\) olur. İki denklem toplanınca \(y\)'ler yok olur: \(11x = 33\), \(x = 3\). Birinci denklemden \(9 - 2y = 1\), yani \(y = 4\) bulunur.
Yerine koyma yöntemi: Denklemlerden birinde bir bilinmeyen yalnız bırakılır ve öteki denklemde yerine yazılır. \(y = 2x - 3\) ve \(3x + 2y = 22\) sisteminde ikinci denklem \(3x + 2(2x - 3) = 22\) olur; buradan \(7x = 28\), \(x = 4\) ve \(y = 5\) bulunur. Bir bilinmeyenin katsayısı zaten 1 ya da \(-1\) ise bu yöntem daha hızlıdır.
Sistemin tek çözümlü, çözümsüz ya da sonsuz çözümlü olması
İki doğru düzlemde üç biçimde durabilir: bir noktada kesişir, hiç kesişmez (paralel) ya da üst üste biner (çakışık). Sistemin çözüm sayısı da buna göre 1, 0 ya da sonsuzdur. Bunu çizim yapmadan katsayılardan anlayabiliriz. \(a_1x + b_1y = c_1\) ve \(a_2x + b_2y = c_2\) sistemi için (paydadaki katsayılar sıfırdan farklıyken):
Bu kuralın nedeni, sistemi bir önceki bölümdeki \(ax = c\) denklemine indirgemektir. Birinci denklemi \(b_2\) ile, ikinciyi \(b_1\) ile çarpıp çıkarırsak \(y\)'ler gider ve
kalır. \(a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0\), yani \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) ise \(x\) tek türlü bulunur. Katsayı sıfırsa ve sağ yan sıfır değilse denklem \(0 = \text{sayı}\) olur ve çözüm yoktur. İkisi de sıfırsa iki denklem aslında birbirinin katıdır; biri öbürünün aynısı olduğundan elimizde tek bir doğru, yani sonsuz çözüm kalır. Örneğin \(x + 2y = 4\) ile \(2x + 4y = 8\) aynı doğrudur. \(2x + 4y = 9\) ise bu doğruya paraleldir: sol yanı \(2(x + 2y) = 8\) olması gereken bir ifade 9'a eşitlenemez.
İstenen ifadeyi doğrudan bulmak
ÖSYM çoğu zaman \(x\) ile \(y\)'yi ayrı ayrı sormaz; \(x + y\), \(x - y\) ya da \(x \cdot y\) gibi bir ifade sorar. Katsayılar "çapraz" duruyorsa taraf tarafa toplama ve çıkarma işi bir satırda bitirir. \(4x + 3y = 26\) ve \(3x + 4y = 23\) sisteminde iki denklem toplanınca \(7x + 7y = 49\), yani \(x + y = 7\); çıkarılınca \(x - y = 3\) bulunur. İstenen \(x^2 - y^2\) ise iki kare farkından \((x - y)(x + y) = 21\) olur ve \(x\) ile \(y\)'yi hiç hesaplamaya gerek kalmaz.
Tek bir denklemden bile bir ifadenin değeri bulunabilir. \(3x - 2y = 4\) ise \(6x - 4y = 8\)'dir; dolayısıyla \(\frac{6x - 4y + 2}{9x - 6y - 4} = \frac{8 + 2}{12 - 4} = \frac{5}{4}\) olur. Burada \(x\) ile \(y\) tek tek belli değildir ama sorulan ifade yalnızca \(3x - 2y\)'ye bağlıdır.
Üç bilinmeyenli basit sistemler
Üç bilinmeyen için genellikle üç denklem gerekir. TYT'de gelen sistemler çoğunlukla simetriktir ve taraf tarafa toplama ile çözülür. \(x + y = 11\), \(y + z = 15\), \(x + z = 14\) sisteminde üç denklem toplanınca her bilinmeyen iki kez sayılır: \(2(x + y + z) = 40\), yani \(x + y + z = 20\). Bu toplamdan her denklem çıkarılınca bilinmeyenler tek tek bulunur: \(z = 20 - 11 = 9\), \(x = 20 - 15 = 5\), \(y = 20 - 14 = 6\).
Aynı fikir \(2x + y + z = 17\), \(x + 2y + z = 19\), \(x + y + 2z = 24\) gibi sistemlerde de işler: toplayınca \(4(x + y + z) = 60\) ve \(x + y + z = 15\) olur. Birinci denklem \(x + (x + y + z) = 17\) diye okunursa \(x = 2\) bulunur; aynı yolla \(y = 4\) ve \(z = 9\) elde edilir.
Sözel ifadeyi denkleme çevirmek
Problem çözmenin en önemli adımı, Türkçe cümleyi doğru denkleme çevirmektir. Bilinmeyene bir harf ver, cümleyi parça parça oku ve her parçayı bir terim olarak yaz. Bazı kalıplar sık karıştırılır:
| Sözel ifade | Denklem dili |
|---|---|
| Bir sayının 3 katının 5 eksiği | \(3x - 5\) |
| Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı | \(3(x - 5)\) |
| Bir sayının yarısının 4 fazlası | \(\frac{x}{2} + 4\) |
| Bir sayının 4 fazlasının yarısı | \(\frac{x + 4}{2}\) |
| Ardışık iki tam sayı | \(n\) ve \(n + 1\) |
| Ardışık üç çift sayı | \(n\), \(n + 2\), \(n + 4\) |
İki çokluk birden bilinmiyorsa iki harf kullanıp bir sistem kurmak çoğu zaman en temiz yoldur. Bir sinemada tam bilet 120 TL, öğrenci bileti 80 TL olsun. 45 kişilik bir grup toplam 4 400 TL ödediyse tam bilet alanların sayısına \(t\), öğrencilerin sayısına \(s\) diyelim. Kişi sayısından \(t + s = 45\), paradan \(120t + 80s = 4\,400\) yazılır. İlk denklemden \(t = 45 - s\) çekilip ikinciye konunca \(5\,400 - 40s = 4\,400\) ve \(s = 25\) bulunur: 25 öğrenci ve 20 tam bilet. Para üstü, madeni para ve kumbara soruları da aynı kalıba oturur: adet bilgisi bir denklemi, toplam değer bilgisi ikinci denklemi verir.
Bulunan sonucu bağlama göre yorumlamayı da unutma. Kişi, bilet ya da banknot sayısı negatif ya da kesirli çıkamaz; çıkıyorsa ya denklem yanlış kurulmuştur ya da soru başka bir şey sormaktadır. Bu bölümde denklem kurmanın temelini görüyoruz; yaş, işçi, yüzde ve hareket problemleri sonraki konularda ayrıca ele alınacak.
Formüller
Çözümlü örnekler
\(\dfrac{x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{4} = \dfrac{1}{6}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
- Paydaların EKOK'u 12'dir. Her terim 12 ile çarpılır: \(4(x - 1) - 3(x + 2) = 2\).
- Eksi işareti parantezin içindeki iki terime de dağıtılır: \(4x - 4 - 3x - 6 = 2\).
- \(x - 10 = 2\), yani \(x = 12\). Denetim: \(\frac{11}{3} - \frac{14}{4} = \frac{44 - 42}{12} = \frac{1}{6}\).
Cevap: \(\{12\}\)
\(0{,}4(x + 2) - 0{,}15x = 1{,}3\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
- En çok iki ondalık basamak var; her terim 100 ile çarpılır: \(40(x + 2) - 15x = 130\).
- Parantez açılır: \(40x + 80 - 15x = 130\), yani \(25x = 50\).
- \(x = 2\). Denetim: \(0{,}4 \cdot 4 - 0{,}3 = 1{,}6 - 0{,}3 = 1{,}3\).
Cevap: 2
\(x\)'e bağlı \((m^2 - 4)x = m + 2\) denkleminin çözüm kümesi boş küme ise \(m\) kaçtır? Çözüm kümesi \(\mathbb{R}\) ise \(m\) kaçtır?
- Çözüm kümesinin tek elemanlı olmaması için \(x\)'in katsayısı sıfır olmalıdır: \(m^2 - 4 = 0\), yani \(m = 2\) ya da \(m = -2\).
- \(m = 2\) için denklem \(0 \cdot x = 4\) olur; hiçbir \(x\) bunu sağlamaz, çözüm kümesi \(\varnothing\).
- \(m = -2\) için denklem \(0 \cdot x = 0\) olur; her gerçek sayı çözümdür, çözüm kümesi \(\mathbb{R}\).
- \(m\)'nin bunlardan farklı her değerinde tek kök vardır: \(x = \frac{m + 2}{m^2 - 4} = \frac{1}{m - 2}\).
Cevap: Boş küme için \(m = 2\); \(\mathbb{R}\) için \(m = -2\)
\(\dfrac{2}{x - 1} + 3 = \dfrac{x + 1}{x - 1}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
- Payda sıfır olamaz: \(x \neq 1\).
- İki yan \(x - 1\) ile çarpılır: \(2 + 3(x - 1) = x + 1\), yani \(3x - 1 = x + 1\).
- \(2x = 2\) ve \(x = 1\) bulunur. Ama bu değer paydayı sıfır yapar, kök olamaz.
- Başka aday kalmadığı için denklemin çözümü yoktur.
Cevap: \(\varnothing\)
\(3x - 2y = 1\) ve \(5x + 4y = 31\) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz ve grafikte yorumlayınız.
- \(y\)'lerin katsayılarını zıt yapmak için birinci denklem 2 ile çarpılır: \(6x - 4y = 2\).
- Bu denklem ikinci denklemle toplanır: \(11x = 33\), \(x = 3\).
- \(3 \cdot 3 - 2y = 1\) için \(y = 4\). Denetim: \(5 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 31\).
- Katsayı oranları \(\frac{3}{5} \neq \frac{-2}{4}\) olduğundan tek çözüm vardır; iki doğru \((3, 4)\) noktasında kesişir.
Cevap: \(\{(3, 4)\}\)
\(4x + 3y = 26\) ve \(3x + 4y = 23\) olduğuna göre \(x^2 - y^2\) kaçtır?
- Denklemler taraf tarafa toplanır: \(7x + 7y = 49\), yani \(x + y = 7\).
- Birinciden ikinci çıkarılır: \(x - y = 3\).
- İki kare farkı: \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 3 \cdot 7 = 21\). (Tek tek \(x = 5\), \(y = 2\) bulunur ve sonuç aynıdır.)
Cevap: 21
\((m - 1)x + 4y = 6\) ve \(3x + (m + 3)y = 9\) denklem sistemi \(m\)'nin hangi değerinde çözümsüzdür? Hangi değerinde sonsuz çözümlüdür?
- Çözümsüz ya da sonsuz çözümlü olması için \(\frac{m - 1}{3} = \frac{4}{m + 3}\) olmalıdır: \((m - 1)(m + 3) = 12\).
- \(m^2 + 2m - 15 = 0\), yani \((m + 5)(m - 3) = 0\); \(m = -5\) ya da \(m = 3\).
- \(m = 3\) için oranlar \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{6}\) ve \(\frac{6}{9}\) olur; üçü de eşittir, doğrular çakışıktır.
- \(m = -5\) için oranlar \(\frac{-6}{3} = -2\), \(\frac{4}{-2} = -2\) ve \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) olur; sabitlerin oranı farklıdır, doğrular paraleldir.
Cevap: Çözümsüz için \(m = -5\); sonsuz çözüm için \(m = 3\)
\(x + y = 11\), \(y + z = 15\) ve \(x + z = 14\) olduğuna göre \(x\), \(y\) ve \(z\) kaçtır?
- Üç denklem taraf tarafa toplanır: \(2x + 2y + 2z = 40\), yani \(x + y + z = 20\).
- Toplamdan \(y + z = 15\) çıkarılınca \(x = 5\); \(x + z = 14\) çıkarılınca \(y = 6\).
- \(x + y = 11\) çıkarılınca \(z = 9\). Denetim: \(5 + 6 = 11\), \(6 + 9 = 15\), \(5 + 9 = 14\).
Cevap: \(x = 5\), \(y = 6\), \(z = 9\)
Bir sinemada tam bilet 120 TL, öğrenci bileti 80 TL'dir. 45 kişilik bir grup bilet için toplam 4 400 TL ödemiştir. Grupta kaç öğrenci vardır?
- Tam bilet alanların sayısı \(t\), öğrencilerin sayısı \(s\) olsun: \(t + s = 45\) ve \(120t + 80s = 4\,400\).
- Birinci denklemden \(t = 45 - s\) yazılıp ikinciye konur: \(120(45 - s) + 80s = 4\,400\).
- \(5\,400 - 40s = 4\,400\) için \(s = 25\) ve \(t = 20\) bulunur.
- Denetim: \(20 \cdot 120 + 25 \cdot 80 = 2\,400 + 2\,000 = 4\,400\) TL.
Cevap: 25 öğrenci (ve 20 tam bilet)
Sık yapılan hatalar
- Paydaları yok ederken eşitliğin bir terimini (çoğu zaman sağ yandaki tam sayıyı) EKOK ile çarpmayı unutmak.
- Kesrin önündeki eksi işaretini payın yalnızca ilk terimine uygulamak: \(-\frac{x + 2}{4}\) ifadesi 12 ile çarpılınca \(-3x - 6\) olur.
- \(ax = c\) denkleminde \(a = 0\) durumunu atlayıp iki yanı \(a\)'ya bölmek; parametre sorularında \(a = 0\) yapan değerleri sabit terimle denetlememek.
- Paydada bilinmeyen olan denklemde paydayı sıfır yapan "kökü" çözüm kümesine yazmak.
- İki yanı bilinmeyen içeren bir ifadeye bölüp kök kaybetmek: \(x(x - 5) = 3x\) denkleminde \(x = 0\) kökü.
- Sistemin çözümsüz olması için yalnızca \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) yazıp sabitlerin oranını denetlememek; böylece çakışık doğruları paralel saymak.
- Sözel ifadeyi çevirirken "3 katının 5 eksiği" ile "5 eksiğinin 3 katı" kalıplarını karıştırmak.
- Bulunan sonucun bağlama uyup uymadığına bakmamak: kişi ya da para adedi negatif ya da kesirli çıkamaz.
Sıcaklık ölçen iki yaygın birim arasında birinci dereceden bir bağıntı vardır: Fahrenheit derecesi \(F\), Celsius derecesi \(C\) olmak üzere \(F = 1{,}8C + 32\)'dir. Suyun donma noktası 0 °C = 32 °F, kaynama noktası ise deniz seviyesinde 100 °C = 212 °F'tır. Hangi sıcaklıkta iki termometrenin aynı sayıyı göstereceğini bulmak için \(C = 1{,}8C + 32\) denklemini çözmek yeter: \(-0{,}8C = 32\) ve \(C = -40\). Gerçekten de −40 °C ile −40 °F aynı sıcaklıktır. Grafikte düşünürsek bu sayı, \(F = 1{,}8C + 32\) doğrusu ile \(F = C\) doğrusunun kesişim noktasıdır.
Konu testi
26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
\(3(x - 2) - 2(x + 1) = 5\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
Parantezler açılır: \(3x - 6 - 2x - 2 = 5\), yani \(x - 8 = 5\). \(x = 13\). İkinci parantezdeki eksiyi yalnızca \(x\)'e dağıtmak (\(-2x + 2\)) 9 sonucunu verir.
\(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 1}{3} = 2\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
Her terim 6 ile çarpılır: \(3x - 2(x - 1) = 12\). \(3x - 2x + 2 = 12\) için \(x = 10\). Kesrin önündeki eksiyi yalnızca \(x\)'e uygulamak 14 sonucunu verir.
\(0{,}3x + 1{,}2 = 0{,}5x - 0{,}4\) denkleminin kökü kaçtır?
Her terim 10 ile çarpılır: \(3x + 12 = 5x - 4\). \(16 = 2x\) için \(x = 8\). Denetim: \(2{,}4 + 1{,}2 = 3{,}6\) ve \(4 - 0{,}4 = 3{,}6\).
Bir sayının 4 katının 9 eksiği, bu sayının yarısının 5 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
Sayı \(x\) olsun: \(4x - 9 = \frac{x}{2} + 5\). İki yan 2 ile çarpılır: \(8x - 18 = x + 10\), yani \(7x = 28\) ve \(x = 4\). "Yarısı" yerine "2 katı" yazılırsa \(4x - 9 = 2x + 5\) ve 7 bulunur.
\(2x + y = 11\) ve \(x - y = 1\) olduğuna göre \(x \cdot y\) çarpımı kaçtır?
Denklemler taraf tarafa toplanır: \(3x = 12\), \(x = 4\). \(4 - y = 1\) için \(y = 3\). Çarpım \(4 \cdot 3 = 12\).
\(3(x - 2) + 4 = 3x - 2\) denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Sol yan \(3x - 6 + 4 = 3x - 2\) olur; denklem \(3x - 2 = 3x - 2\) özdeşliğine dönüşür. Her gerçek sayı eşitliği sağlar; çözüm kümesi \(\mathbb{R}\)'dir.
\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(x\)'e bağlı \((2a - 1)x + b + 4 = 3x + 1\) denkleminin çözüm kümesi gerçek sayılar kümesidir. Buna göre \(a \cdot b\) çarpımı kaçtır?
Bütün terimler sol yana toplanır: \((2a - 4)x + (b + 3) = 0\). Her \(x\) için doğru olması için \(2a - 4 = 0\) ve \(b + 3 = 0\): \(a = 2\), \(b = -3\). \(a \cdot b = -6\).
\(x\)'e bağlı \((m - 4)x + 3 = 2x + m\) denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre \(m\) kaçtır?
Terimler toplanır: \((m - 6)x = m - 3\). Çözüm olmaması için \(x\)'in katsayısı sıfır, sağ yan sıfırdan farklı olmalıdır: \(m = 6\) için denklem \(0 = 3\) olur. Sağ yandaki \(2x\)'i unutup yalnızca \(m - 4 = 0\) yazmak 4 sonucunu verir.
\(\dfrac{x + 3}{x - 2} - 1 = \dfrac{5}{x - 2}\) denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Payda sıfır olamaz: \(x \neq 2\). Sol yan \(\frac{x + 3 - (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{x - 2}\) olur; eşitlik \(x \neq 2\) olan her gerçek sayı için doğrudur. Çözüm kümesi \(\mathbb{R} - \{2\}\)'dir; \(x = 2\)'de iki yan da tanımsızdır.
\(a\) bir gerçek sayı olmak üzere \(x\)'e bağlı \(\dfrac{x + a}{2} - \dfrac{x - a}{4} = a + 1\) denkleminin kökü, \(a\)'nın 3 katına eşittir. Buna göre \(a\) kaçtır?
Her terim 4 ile çarpılır: \(2x + 2a - x + a = 4a + 4\), yani \(x = a + 4\). Kök \(3a\) olduğundan \(a + 4 = 3a\) ve \(a = 2\). Bu durumda kök 6'dır.
\(5x + 3y = 31\) ve \(3x + 5y = 25\) olduğuna göre \(x - y\) farkı kaçtır?
Birinci denklemden ikinci çıkarılır: \(2x - 2y = 6\), yani \(x - y = 3\). Denetim için toplama: \(8x + 8y = 56\), \(x + y = 7\); buradan \(x = 5\), \(y = 2\).
\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(2x - 3y = 5\) ve \(ax + 6y = b\) denklem sisteminin sonsuz çözümü olduğuna göre \(a + b\) toplamı kaçtır?
Sonsuz çözüm için üç oran eşit olmalıdır: \(\frac{a}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{b}{5} = -2\). \(a = -4\), \(b = -10\) ve \(a + b = -14\). Oranın işaretini kaçırmak 14 sonucunu verir.
\(k\) bir gerçek sayı olmak üzere \(x + ky = 3\) ve \(2x + 6y = 5\) denklem sisteminin tek çözümü vardır. Buna göre \(k\) aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Tek çözüm için \(\frac{1}{2} \neq \frac{k}{6}\), yani \(k \neq 3\) olmalıdır. \(k = 3\) için \(2x + 6y\) ifadesi hem 6'ya hem 5'e eşit olmak zorunda kalır; doğrular paraleldir, çözüm yoktur.
\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(x\)'e bağlı \(ax + b = 0\) denklemi veriliyor.
- I.\(a \neq 0\) ise denklemin tek kökü vardır.
- II.\(a = 0\) ise denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
- III.Denklemin birbirinden farklı iki kökü varsa \(a = b = 0\) olur.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
I: \(a \neq 0\) ise \(x = -\frac{b}{a}\) tek köktür; doğru. II: \(a = 0\) ve \(b = 0\) ise denklem \(0 = 0\) olur ve çözüm kümesi \(\mathbb{R}\)'dir; her zaman doğru değil. III: \(x_1 \neq x_2\) iki kök ise \(ax_1 + b = ax_2 + b\), yani \(a(x_1 - x_2) = 0\) ve \(a = 0\) olur; o zaman \(b = 0\) da gerekir. Doğru.
Analitik düzlemde \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları aşağıda verilmiştir. \(d_1\) doğrusu eksenleri \((8, 0)\) ve \((0, 4)\) noktalarında, \(d_2\) doğrusu eksenleri \((3, 0)\) ve \((0, -6)\) noktalarında kesmektedir.
\(d_1\) ile \(d_2\) doğrularının kesişim noktası \(P(a, b)\) olduğuna göre \(a \cdot b\) çarpımı kaçtır?
\(d_1\) doğrusu \(x + 2y = 8\) denklemiyle verilir; \((8, 0)\) ve \((0, 4)\) bu denklemi sağlar. \(d_2\) doğrusu \(2x - y = 6\) denklemiyle verilir; \((3, 0)\) ve \((0, -6)\) bu denklemi sağlar. İkinci denklemden \(y = 2x - 6\); birinciye konunca \(x + 4x - 12 = 8\), \(x = 4\) ve \(y = 2\). \(P(4, 2)\) için \(a \cdot b = 8\).
Özdeş kutular ve özdeş toplar kullanılarak kurulan iki terazi aşağıdaki gibi dengededir. Birinci terazide 2 kutu ve 1 top 11 kg'lık bir ağırlıkla, ikinci terazide 1 kutu ve 3 top 13 kg'lık bir ağırlıkla dengededir.
Buna göre 1 kutu ile 1 topun kütleleri toplamı kaç kg'dır?
Kutunun kütlesi \(k\), topunki \(t\) olsun: \(2k + t = 11\) ve \(k + 3t = 13\). İkinci denklemden \(k = 13 - 3t\); birinciye konunca \(26 - 6t + t = 11\), \(t = 3\) ve \(k = 4\). \(k + t = 7\) kg.
Bir tiyatroda tam bilet 150 TL, öğrenci bileti 90 TL'dir. Bir gösteriye 120 seyirci gelmiş ve bilet satışından 13 800 TL gelir elde edilmiştir. Bütün seyircilerin bilet aldığı bu gösteriyi kaç öğrenci izlemiştir?
Tam bilet alanlar \(t\), öğrenciler \(s\) olsun: \(t + s = 120\) ve \(150t + 90s = 13\,800\). \(150(120 - s) + 90s = 13\,800\) için \(18\,000 - 60s = 13\,800\) ve \(s = 70\). Tam bilet alanlar 50 kişidir; 50 sonucu yanlış bilinmeyeni yanıtlamaktır.
Bir müşteri 1 000 TL verip 640 TL'lik alışveriş yapıyor. Kasada yalnızca 10 TL'lik ve 50 TL'lik banknotlar kaldığı için kasiyer para üstünü bu banknotlardan toplam 16 tane vererek ödüyor. Kasiyerin verdiği 50 TL'lik banknot sayısı kaçtır?
Para üstü \(1\,000 - 640 = 360\) TL'dir. 10 TL'lik \(a\), 50 TL'lik \(b\) tane olsun: \(a + b = 16\) ve \(10a + 50b = 360\). İlk denklem 10 ile çarpılıp çıkarılır: \(40b = 200\), \(b = 5\) ve \(a = 11\).
\(x\)'e bağlı \((m^2 - 9)x = m^2 - 2m - 3\) denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre \(m\) kaçtır?
Çözüm olmaması için \(x\)'in katsayısı sıfır olmalıdır: \(m^2 = 9\), yani \(m = 3\) ya da \(m = -3\). \(m = 3\) için sağ yan \(9 - 6 - 3 = 0\) olur; denklem \(0 = 0\) ve çözüm kümesi \(\mathbb{R}\)'dir. \(m = -3\) için sağ yan \(9 + 6 - 3 = 12\) olur; denklem \(0 = 12\) ve çözüm kümesi boştur.
\(m\) bir gerçek sayı olmak üzere \(x\)'e bağlı \(\dfrac{x + m}{x - 4} = 3\) denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre \(m\) kaçtır?
\(x \neq 4\) iken \(x + m = 3x - 12\), yani \(x = \frac{m + 12}{2}\) tek adaydır. Bu aday 4'e eşit olursa paydayı sıfır yapar ve çözüm kalmaz: \(\frac{m + 12}{2} = 4\) için \(m = -4\). Denetim: \(m = -4\) için sol yan \(x \neq 4\) iken 1'e eşittir ve hiçbir zaman 3 olamaz.
\(m\) ve \(n\) gerçek sayılar olmak üzere \(mx + 2y = 4\) ve \(8x + my = n\) denklem sisteminin sonsuz çözümü olduğuna göre \(m \cdot n\) çarpımı kaçtır?
Sonsuz çözüm için \(\frac{m}{8} = \frac{2}{m} = \frac{4}{n}\) olmalıdır. İlk eşitlikten \(m^2 = 16\), \(m = 4\) ya da \(m = -4\). \(m = 4\) için oran \(\frac{1}{2}\) ve \(n = 8\); \(m = -4\) için oran \(-\frac{1}{2}\) ve \(n = -8\). İki durumda da \(m \cdot n = 32\). \(m\) için iki değer çıkması cevabı belirsiz yapmaz; sorulan çarpım iki durumda aynıdır.
\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere analitik düzlemde \(ax + 3y = 6\) ve \(2x + by = 4\) doğruları veriliyor.
- I.\(a = 2\) ve \(b = 3\) ise doğrular çakışıktır.
- II.\(a \cdot b \neq 6\) ise doğrular tek bir noktada kesişir.
- III.\(a \cdot b = 6\) ise doğrular paraleldir.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
I: \(2x + 3y = 6\) ve \(2x + 3y = 4\) olur; sol yanlar aynı, sağ yanlar farklı. Doğrular paraleldir; yanlış. II: Yok etme ile \((ab - 6)x = 6b - 12\) bulunur; \(ab \neq 6\) ise \(x\) ve ardından \(y\) tek türlü bulunur. Doğru. III: \(a = 3\), \(b = 2\) için iki denklem de \(x + y = 2\) olur ve doğrular çakışır; her zaman paralel değildir. Yanlış.
\(2x + y + z = 17\), \(x + 2y + z = 19\) ve \(x + y + 2z = 24\) olduğuna göre \(z\) kaçtır?
Üç denklem toplanır: \(4x + 4y + 4z = 60\), yani \(x + y + z = 15\). Üçüncü denklem \(z + (x + y + z) = 24\) diye okunur: \(z = 24 - 15 = 9\). Aynı yolla \(x = 2\), \(y = 4\) bulunur ve üç denklem de sağlanır.
Toplamları 40 olan iki doğal sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 3, kalan 4 oluyor. Bu iki sayının farkı kaçtır?
Küçük sayı \(y\), büyük sayı \(x\) olsun. Bölme bağıntısından \(x = 3y + 4\) ve \(4 < y\). \(3y + 4 + y = 40\) için \(y = 9\), \(x = 31\). Kalan 4, bölen 9'dan küçük olduğu için uygundur. Fark \(31 - 9 = 22\). Kalanı çıkararak \(x = 3y - 4\) yazmak 18 sonucunu verir.
Bir müzede yetişkin bileti 200 TL, öğrenci bileti 100 TL'dir; 65 yaş ve üzerindeki ziyaretçiler ücretsiz girmektedir. Bir gün müzeyi 300 kişi ziyaret etmiş ve bilet gelirinden 38 000 TL elde edilmiştir. O gün gelen öğrenci sayısı, yetişkin bileti alanların sayısının 2 katından 20 eksiktir. Buna göre o gün müzeye ücretsiz giren kaç ziyaretçi vardır?
Yetişkin bileti alanlar \(y\), öğrenciler \(s\), ücretsiz girenler \(u\) olsun: \(y + s + u = 300\), \(200y + 100s = 38\,000\) ve \(s = 2y - 20\). \(200y + 100(2y - 20) = 38\,000\) için \(400y = 40\,000\), \(y = 100\) ve \(s = 180\). \(u = 300 - 100 - 180 = 20\). "20 eksik" yerine "20 fazla" yazmak 10 sonucunu verir.
Bir kumbarada yalnızca 1 TL'lik ve 50 kuruşluk madeni paralar vardır. Kumbaradaki 60 madeni paranın toplam değeri 42 TL'dir. Kumbaraya kaç tane 50 kuruşluk madeni para eklenirse 1 TL'liklerin toplam değeri ile 50 kuruşlukların toplam değeri birbirine eşit olur?
1 TL'likler \(a\), 50 kuruşluklar \(b\) tane olsun: \(a + b = 60\) ve \(a + 0{,}5b = 42\). Çıkarınca \(0{,}5b = 18\), \(b = 36\) ve \(a = 24\). 1 TL'liklerin değeri 24 TL, 50 kuruşlukların değeri 18 TL'dir; aradaki fark 6 TL'dir. 6 TL'yi 50 kuruşluklarla kapatmak için \(6 \div 0{,}5 = 12\) madeni para eklenmelidir.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.