Bölüm 9

Elektromanyetik Dalgalar

Dalga denklemi ve sinüzoidal dalgalar; Maxwell denklemlerinden boşlukta elektromanyetik dalgalar; enine dalgalar, kutuplanma ve tayf; dalgaların enerjisi ve momentumu; doğrusal ortamlarda dalgalar ve kırılma indisi; dik ve eğik gelişte yansıma ve kırılma, Fresnel denklemleri, Brewster açısı ve tam iç yansıma; iletkenlerde soğurma ve deri kalınlığı; dağılma ve plazma frekansı; dalga kılavuzları.

24 dk okuma7 çözümlü örnek6 şekil16 problem

Bu bölümde

Dalga denklemini, sinüzoidal dalgaları ve karmaşık gösterimi
Maxwell denklemlerinin ışık hızıyla ilerleyen enine dalgalar öngördüğünü
Dalgaların kutuplanmasını, enerji ve momentum taşımasını
İki ortamın sınırında yansıma ve kırılma yasalarını, Fresnel denklemlerini, Brewster açısını ve tam iç yansımayı
İletkenlerde dalgaların sönümlenmesini ve deri kalınlığını
Dağılmanın kaynağını, plazma frekansını ve dalga kılavuzlarını

9.1Dalga denklemi

Gerilmiş bir ipi bir ucundan sallarsak bir bozulma ip boyunca biçimini koruyarak ilerler. Bu bozulmanın $f(z, t)$ yer değiştirmesi, ipin bir parçasına etki eden net kuvvetin hesaplanmasıyla bulunan

$$ \frac{\partial^2f}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2} $$

(9.1)

dalga denklemine uyar ($v = \sqrt{T/\mu}$, gerilme ve birim uzunluk kütlesiyle). Denklemin genel çözümü, $z - vt$ ve $z + vt$'nin keyfi fonksiyonlarının toplamıdır: $f = g(z - vt) + h(z + vt)$. Birincisi $+z$, ikincisi $-z$ yönünde $v$ hızıyla ilerleyen, biçimini değiştirmeyen bir dalgadır.

En önemli çözümler sinüzoidal dalgalardır: $f(z, t) = A\cos(kz - \omega t + \delta)$. Burada $A$ genlik, $k = 2\pi/\lambda$ dalga sayısı, $\omega = kv = 2\pi f$ açısal frekans, $\delta$ faz sabitidir. Fourier'in teoremine göre (Klasik Mekanik kitabının 5. bölümü) her dalga sinüzoidal dalgaların toplamıdır. Hesapları kolaylaştırmak için karmaşık gösterim kullanılır:

$$ \tilde{f}(z, t) = \tilde{A}\,e^{i(kz - \omega t)}, \qquad f = \mathrm{Re}(\tilde{f}), \qquad \tilde{A} = Ae^{i\delta} $$

(9.2)

Doğrusal işlemler (toplama, türev) karmaşık sayılarla yapılıp sonunda gerçek kısım alınır. Dikkat: enerji gibi karesel nicelikler gerçek alanlarla hesaplanmalıdır.

9.2Boşlukta elektromanyetik dalgalar

Yük ve akım olmayan bir bölgede Maxwell denklemleri

$$ \nabla\cdot\vb{E} = 0, \quad \nabla\cdot\vb{B} = 0, \quad \nabla\times\vb{E} = -\frac{\partial\vb{B}}{\partial t}, \quad \nabla\times\vb{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vb{E}}{\partial t} $$

olur. Faraday yasasının rotasyonelini alıp 1. bölümdeki $\nabla\times(\nabla\times\vb{E}) = \nabla(\nabla\cdot\vb{E}) - \nabla^2\vb{E}$ özdeşliğini ve Ampère–Maxwell yasasını kullanalım:

$$ -\nabla^2\vb{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vb{B}) = -\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vb{E}}{\partial t^2} $$

Aynı işlem $\vb{B}$ için de yapılınca

$$ \nabla^2\vb{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vb{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2\vb{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vb{B}}{\partial t^2} $$

(9.3)

bulunur. Her bileşen üç boyutlu bir dalga denklemine uyar ve dalgalar

$$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} = 2{,}998\times10^8\ \text{m/s} $$

(9.4)

hızıyla ilerler. 1860'larda ışık hızının ölçülen değeri bununla uyuşuyordu: ışık bir elektromanyetik dalgadır. Bugün SI birimlerinde $c$ tanım gereği tam olarak 299 792 458 m/s'dir.

Düzlem dalgalar. $z$ yönünde ilerleyen tek frekanslı bir dalgayı $\tilde{\vb{E}} = \tilde{\vb{E}}_0e^{i(kz - \omega t)}$, $\tilde{\vb{B}} = \tilde{\vb{B}}_0e^{i(kz - \omega t)}$ olarak yazalım ($\omega = ck$). Diverjans denklemleri $(\tilde{\vb{E}}_0)_z = (\tilde{\vb{B}}_0)_z = 0$ verir: elektromanyetik dalgalar eninedir, alanlar ilerleme yönüne diktir. Faraday yasası alanları birbirine bağlar:

$$ \tilde{\vb{B}}_0 = \frac{1}{c}\,\uv{z}\times\tilde{\vb{E}}_0, \qquad B_0 = \frac{E_0}{c} $$

(9.5)

$\vb{E}$ ve $\vb{B}$ aynı fazdadır, birbirine diktir ve $\vb{E}\times\vb{B}$ ilerleme yönündedir (Şekil 9.1). Genel bir $\hat{\vb{k}}$ yönü için $\vb{k}\cdot\vb{r}$ ile $\tilde{\vb{E}} = \tilde{E}_0\hat{\vb{n}}e^{i(\vb{k}\cdot\vb{r} - \omega t)}$, $\vb{B} = (1/c)\hat{\vb{k}}\times\vb{E}$.

Düzlem dalga — **Şekil 9.1.** $z$ yönünde ilerleyen, $x$ yönünde doğrusal kutuplanmış bir düzlem elektromanyetik dalga. Elektrik ve manyetik alanlar aynı fazdadır, birbirine ve ilerleme yönüne diktir; Poynting vektörü ilerleme yönündedir.

Kutuplanma. Elektrik alanın yönü $\hat{\vb{n}}$, dalganın kutuplanmasıdır. $\hat{\vb{n}}$ sabitse dalga doğrusal kutuplanmıştır. Eşit genlikli, aralarında 90° faz farkı bulunan iki dik doğrusal dalganın toplamında ($E_x = E_0\cos(kz - \omega t)$, $E_y = E_0\sin(kz - \omega t)$) alanın büyüklüğü sabit kalır ama yönü döner: dairesel kutuplanma. Genel durumda uç nokta bir elips çizer. Güneş ışığı gibi doğal ışık kutuplanmamıştır: kutuplanma yönü rastgele ve çok hızlı değişir.

Tayf. Dalga denklemi hiçbir frekansı kayırmaz; bütün frekanslar $c$ hızıyla ilerler. Elektromanyetik tayf radyo dalgalarından gama ışınlarına kadar yirmiden fazla mertebeye yayılır (Şekil 9.2); gözümüzün gördüğü 380–750 nm aralığı, bu aralığın çok küçük bir dilimidir.

Enerji ve momentum. 8. bölümdeki yoğunluklar düzlem dalga için $B^2/\mu_0 = \epsilon_0E^2$ olduğundan, elektrik ve manyetik enerjiler eşittir: $u = \epsilon_0E^2$. Enerji akışı $\vb{S} = cu\,\hat{\vb{k}}$, momentum yoğunluğu $\vb{g} = (u/c)\hat{\vb{k}}$'dir. Ölçülen nicelik zaman ortalamasıdır: $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ile yoğunluk

$$ I = \langle S\rangle = \frac12c\epsilon_0E_0^2 $$

(9.6)

Örnek 9.1Bir lazer ışınının alanı

1,0 mW'lık bir lazer işaretçisinin ışını 1,0 mm çaplıdır. Yoğunluğu ve elektrik alanın genliğini bulun.

Çözüm

$I = 10^{-3}/(\pi \times (0{,}5\times10^{-3})^2) = 1{,}27\times10^3\ \text{W/m}^2$, güneş ışığına yakın. $E_0 = \sqrt{2I/(c\epsilon_0)} = 980$ V/m. Lazer ışığını göze tehlikeli yapan, yoğunluğunun büyüklüğünden çok, tek doğrultuda gelmesi ve gözün merceği tarafından retinada mikrometre boyutunda bir noktaya odaklanabilmesidir.

9.3Maddede dalgalar

Serbest yük ve akım olmayan doğrusal ve türdeş bir ortamda Maxwell denklemleri, boşluktakilerle aynı biçimdedir; yalnızca $\mu_0\epsilon_0$ yerine $\mu\epsilon$ gelir. Dalgalar

$$ v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} = \frac{c}{n}, \qquad n = \sqrt{\frac{\epsilon\mu}{\epsilon_0\mu_0}} \approx \sqrt{\epsilon_r} $$

(9.7)

hızıyla ilerler. $n$, ortamın kırılma indisidir; çoğu saydam maddede $\mu \approx \mu_0$ olduğundan $n \approx \sqrt{\epsilon_r}$. Bu bağıntı ilk bakışta su için çelişkili görünür: suyun durgun dielektrik sabiti 80'dir ve $\sqrt{80} = 8{,}9$ eder, ama görünür ışık için kırılma indisi 1,33'tür. Çözüm, $\epsilon_r$'nin frekansa bağlı olmasıdır: su moleküllerinin yönelmesi, saniyede $10^{14}$'ten fazla salınan bir alanı izleyemez (Kısım 9.7). Ortamda $\vb{E}$ ve $\vb{B}$ yine birbirine diktir ve $B = E/v$'dir; yoğunluk $I = \tfrac12\epsilon vE_0^2$.

Sınır koşulları. İki ortamın sınırında (serbest yük ve akım yok) 7. bölümdeki koşullar geçerlidir: $\epsilon_1E_1^\perp = \epsilon_2E_2^\perp$, $\vb{E}_1^\parallel = \vb{E}_2^\parallel$, $B_1^\perp = B_2^\perp$, $\vb{B}_1^\parallel/\mu_1 = \vb{B}_2^\parallel/\mu_2$. Yansıma ve kırılmanın bütün yasaları bu dört koşuldan çıkar.

9.4Dik gelişte yansıma ve geçme

$z = 0$ düzlemi iki ortamı ayırsın. Soldan, birinci ortamdan bir dalga dik olarak geliyor: $\tilde{E}_G e^{i(k_1z - \omega t)}\uv{x}$. Sınırda bir yansıyan dalga $\tilde{E}_Ye^{i(-k_1z - \omega t)}\uv{x}$ ve bir geçen dalga $\tilde{E}_Te^{i(k_2z - \omega t)}\uv{x}$ oluşur. Teğet $\vb{E}$'nin sürekliliği $\tilde{E}_G + \tilde{E}_Y = \tilde{E}_T$, teğet $\vb{B}/\mu$'nün sürekliliği ($\mu_1 \approx \mu_2$) $n_1(\tilde{E}_G - \tilde{E}_Y) = n_2\tilde{E}_T$ verir (yansıyan dalgada $\vb{B}$ ters yöndedir). Çözüm:

$$ \tilde{E}_Y = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\tilde{E}_G, \qquad \tilde{E}_T = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}\tilde{E}_G $$

(9.8)

Daha yoğun bir ortamdan ($n_2 > n_1$) yansıyan dalganın işareti tersine döner: 180° faz kayması. Yansıyan ve geçen yoğunlukların gelen yoğunluğa oranları, yansıtma ve geçirgenlik:

$$ R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, \qquad T = \frac{4n_1n_2}{(n_1 + n_2)^2}, \qquad R + T = 1 $$

(9.9)

(Geçirgenlikte ortamların farklı $\epsilon v$ çarpanları hesaba katılmıştır.)

Örnek 9.2Bir cam pencere

Havadan camın ($n = 1{,}5$) yüzeyine dik gelen ışığın ne kadarı yansır? Bir pencere camının iki yüzeyinden geçen ışık ne kadardır (camın içindeki çoklu yansımaları ihmal edin)?

Çözüm

$R = (0{,}5/2{,}5)^2 = 0{,}040$: her yüzey %4 yansıtır. İki yüzeyden geçen $0{,}96^2 = 0{,}92$. Gece aydınlık bir odanın penceresinde kendi görüntümüzü görmemizin nedeni bu %4'tür. Fotoğraf makinesi objektiflerinde onlarca cam yüzeyi bulunduğundan, yansımalar dalga boyunun dörtte biri kalınlığında ince yansıma önleyici kaplamalarla azaltılır.

9.5Eğik gelişte yansıma ve kırılma

Gelen dalga sınıra, normalle $\theta_G$ açısı yaparak gelsin. Yansıyan ve kırılan dalgalarla birlikte sınır koşulları sınır düzleminin her noktasında ve her anda sağlanmalıdır. Bu, üç dalganın sınır üzerindeki fazlarının aynı olmasını gerektirir: $\omega$'lar eşit olmalı ve dalga vektörlerinin sınıra paralel bileşenleri eşit olmalıdır. Bundan, alanların genliklerine hiç bakmadan, üç yasa çıkar:

Üç dalganın frekansı aynıdır, dalga vektörleri aynı düzlemdedir (geliş düzlemi).
Yansıma açısı geliş açısına eşittir: $\theta_Y = \theta_G$.
Snell yasası: $n_1\sin\theta_G = n_2\sin\theta_T$.

Geometrik optiğin bütün temel yasaları, Maxwell denklemlerinin sınırda faz uyumu gerektirmesinin sonucudur.

Fresnel denklemleri. Genliklerin oranları kutuplanmaya bağlıdır. Elektrik alan geliş düzlemine dik ise (s ya da TE kutuplanması) ve paralel ise (p ya da TM kutuplanması), sınır koşulları ($\mu_1 = \mu_2$)

$$ r_s = \frac{n_1\cos\theta_G - n_2\cos\theta_T}{n_1\cos\theta_G + n_2\cos\theta_T}, \qquad r_p = \frac{n_2\cos\theta_G - n_1\cos\theta_T}{n_2\cos\theta_G + n_1\cos\theta_T} $$

(9.10)

verir (Problem 9.7). Yansıtmalar $R = r^2$'dir (Şekil 9.3); geçirgenlikler $R + T = 1$ koşuluyla bulunur. Dik gelişte iki formül de (9.8)'e indirgenir.

Fresnel katsayıları — **Şekil 9.3.** Yansıtmanın geliş açısına bağlılığı, s ve p kutuplanmaları için. Solda havadan cama: p kutuplanması Brewster açısında hiç yansımaz. Sağda camdan havaya: kritik açının ötesinde bütün ışık yansır (tam iç yansıma).

Brewster açısı. p kutuplanması için $r_p = 0$ olan bir açı vardır: $n_2\cos\theta_G = n_1\cos\theta_T$. Snell yasasıyla bu, $\theta_G + \theta_T = 90°$ ya da

$$ \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} $$

(9.11)

koşuluna eşdeğerdir. Bu açıda yansıyan ışık tamamen s kutuplanmıştır. Fiziksel nedeni, ikinci ortamdaki elektronların, kırılan dalganın alanı yönünde titreşmesi ve bir dipolün kendi ekseni doğrultusunda ışınım yapmamasıdır (11. bölüm): $\theta_G + \theta_T = 90°$ iken yansıma doğrultusu tam bu eksen doğrultusudur.

Örnek 9.3Polarize güneş gözlükleri

Cam ($n = 1{,}5$) ve su ($n = 1{,}33$) için Brewster açısını bulun. Polarize güneş gözlüklerinin kutuplanma ekseni neden düşeydir?

Çözüm

Cam: $\arctan 1{,}5 = 56{,}3°$; su: $\arctan 1{,}33 = 53{,}1°$. Yatay yüzeylerden (deniz, ıslak yol) yansıyan parlamalar, Brewster açısının yakınında büyük ölçüde s kutuplanmıştır; yani elektrik alanları yataydır. Düşey eksenli bir kutuplayıcı bu yatay bileşeni soğurur ve parlamayı keser. Lazerlerde, Brewster açısında yerleştirilmiş pencereler p kutuplanmasını hiç kayıpsız geçirir.

Tam iç yansıma. Işık daha yoğun bir ortamdan daha az yoğun bir ortama geçerken ($n_1 > n_2$) Snell yasası $\sin\theta_T = (n_1/n_2)\sin\theta_G$ verir; bu, $\sin\theta_G > n_2/n_1$ için 1'den büyüktür. Kritik açının $\theta_k = \arcsin(n_2/n_1)$ ötesinde kırılan dalga yoktur ve bütün enerji yansır. İkinci ortamda alan sıfır değildir, ama sınırdan uzaklaştıkça üstel olarak söner (sönümlenen dalga, Problem 9.9); ortalama olarak sınırdan enerji geçmez. Optik lifler ve elmasların parlaklığı tam iç yansımaya dayanır.

Örnek 9.4Optik lif

Camdan havaya ve sudan havaya geçişte kritik açıları bulun. Çekirdeğinin kırılma indisi 1,48, kaplamasınınki 1,46 olan bir optik lifte ışık lif eksenine en çok hangi açıyla yol alabilir?

Çözüm

Cam: $\arcsin(1/1{,}5) = 41{,}8°$; su: $\arcsin(1/1{,}33) = 48{,}8°$ (havuzun dibindeki birine göre dış dünya, tepe açısı yaklaşık 98° olan bir koni içinde görünür). Lif: $\theta_k = \arcsin(1{,}46/1{,}48) = 80{,}6°$; ışık, çekirdek–kaplama sınırının normaline en az 80,6° yapmalı, yani lif ekseniyle en çok 9,4° yapabilir. Bu küçük açı, farklı yollar arasındaki gecikme farklarını sınırlar.

9.6İletkenlerde dalgalar

Bir iletkende serbest akım $\vb{J}_f = \sigma\vb{E}$ vardır ve Ampère–Maxwell yasası $\nabla\times\vb{B} = \mu\sigma\vb{E} + \mu\epsilon\,\partial\vb{E}/\partial t$ olur. Dalga denklemi bir sönüm terimi kazanır: $\nabla^2\vb{E} = \mu\epsilon\,\partial^2\vb{E}/\partial t^2 + \mu\sigma\,\partial\vb{E}/\partial t$. Düzlem dalga çözümü $\tilde{\vb{E}} = \tilde{\vb{E}}_0e^{i(\tilde{k}z - \omega t)}$, bu kez karmaşık bir dalga sayısıyla: $\tilde{k}^2 = \mu\epsilon\omega^2 + i\mu\sigma\omega$. $\tilde{k} = k + i\kappa$ yazılırsa alan $e^{-\kappa z}e^{i(kz - \omega t)}$ gibidir: ilerlerken üstel olarak söner. İyi bir iletkende ($\sigma \gg \omega\epsilon$, 7. bölümdeki ölçüt) $k \approx \kappa \approx \sqrt{\mu\sigma\omega/2}$ ve alanın $1/e$'ye indiği uzaklık

$$ \delta = \frac1\kappa = \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}} $$

(9.12)

deri kalınlığıdır (Şekil 9.4). İletkenin içinde $\vb{B}$, $\vb{E}$'den 45° geride kalır ve manyetik enerji elektrik enerjisinden çok büyüktür.

Örnek 9.5Bakırda deri kalınlığı

Bakırda ($\sigma = 5{,}96\times10^7$ S/m) 50 Hz'te, 1 GHz'te ve mikrodalga fırın frekansında (2,45 GHz) deri kalınlığını bulun.

Çözüm

(9.12): 50 Hz'te $\delta = \sqrt{2/(2\pi \times 50 \times 4\pi\times10^{-7} \times 5{,}96\times10^7)} = 9{,}2$ mm; 1 GHz'te $2{,}1\ \mu\text{m}$; 2,45 GHz'te $1{,}3\ \mu\text{m}$. Şebeke frekansında kalın kabloların iç kısmı akım taşımaz; yüksek gerilim hatlarında bu yüzden ortası çelik, dışı alüminyum iletkenler kullanılır. Gigahertz frekanslarında akım yalnızca birkaç mikrometrelik bir yüzey katmanında akar: mikrodalga devrelerinde gümüş ya da altın kaplama bu yüzden yeterlidir ve bir mikrodalga fırının metal duvarları, çok ince olsalar bile dalgaları dışarı sızdırmaz.

Metallerden yansıma. İyi bir iletkenin "kırılma indisi" çok büyüktür ve karmaşıktır; (9.8)'deki yansıma katsayısı mutlak değerce 1'e çok yakındır. Kızıl ötesinde bakırın yansıtması yaklaşık $1 - 2\sqrt{2\omega\epsilon_0/\sigma}$'dir (Hagen–Rubens bağıntısı), 10 $\mu$m'de %98,5. Metallerin parlak olmasının nedeni, serbest elektronların gelen dalganın alanını yüzeyde yok edecek biçimde salınmasıdır.

9.7Dağılma

Kırılma indisi frekansa bağlıysa farklı renkler farklı hızlarla ilerler ve farklı açılarla kırılır: buna dağılma denir. Prizmanın beyaz ışığı renklerine ayırması, gökkuşağı ve optik liflerde atımların yayılması dağılmanın sonuçlarıdır. Kaynağını anlamak için, Lorentz'in modelinde bir yalıtkanın elektronlarını, atomlarına yaylarla bağlı sönümlü salınıcılar olarak düşünelim (Klasik Mekanik kitabının 5. bölümü): doğal frekans $\omega_0$, sönüm $\gamma$. Bir $E_0e^{-i\omega t}$ alanında her elektron zorlanmış salınım yapar ve dipol momenti $\tilde{p} = (q^2/m)E/(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)$ olur. Birim hacimde $N$ elektron için

$$ \tilde{\epsilon}_r = 1 + \frac{Nq^2}{m\epsilon_0}\,\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega} $$

(9.13)

ve karmaşık kırılma indisi $\tilde{n} = \sqrt{\tilde{\epsilon}_r} = n + i\kappa_n$. Gerçek kısım dalganın hızını, sanal kısım soğurmayı belirler (Şekil 9.5). Rezonansın altında $n$ frekansla artar (normal dağılma: mavi ışık kırmızıdan daha çok kırılır); rezonansın çevresinde $n$ frekansla azalır (olağan dışı dağılma) ve madde güçlü biçimde soğurur. Camın mor ötesi rezonansları görünür bölgenin hemen üstündedir: cam görünür ışığa saydamdır, mor ötesini soğurur ve görünürde normal dağılma gösterir.

Dağılma — **Şekil 9.5.** Tek rezonanslı Lorentz modelinde kırılma indisi (mavi) ve soğurma katsayısı (turuncu), frekansa göre. Rezonansın altında normal dağılma, rezonans çevresinde güçlü soğurma ve olağan dışı dağılma görülür.

Plazma frekansı. Serbest elektronlar için ($\omega_0 = 0$, sönüm ihmal) (9.13)

$$ \epsilon_r = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, \qquad \omega_p = \sqrt{\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0}} $$

(9.14)

verir. $\omega_p$, plazma frekansıdır. $\omega < \omega_p$ iken $\epsilon_r < 0$, dalga sayısı sanaldır ve dalga plazmaya giremez: tamamen yansır. $\omega > \omega_p$ iken plazma saydamdır.

Örnek 9.6İyonosfer ve metaller

Dünya'nın iyonosferinde elektron yoğunluğu gündüz yaklaşık $10^{12}\ \text{m}^{-3}$'tür. Plazma frekansını bulun ve kısa dalga radyo yayınlarının ufkun ötesine neden ulaşabildiğini açıklayın. Sodyum metalinde iletim elektronu yoğunluğu $2{,}5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$'tür; hangi dalga boyunun altında saydamlaşır?

Çözüm

$f_p = \omega_p/2\pi = 8{,}98\sqrt{N}$ Hz ($N$, m⁻³): iyonosfer için $9{,}0$ MHz. Bundan düşük frekanslı dalgalar (orta ve kısa dalga) iyonosferden yansır ve Dünya ile iyonosfer arasında sekerek okyanus aşırı yol alabilir; Marconi 1901'de Atlantik'in öbür yakasına sinyal gönderdiğinde, bunun mümkün olduğu henüz bilinmiyordu. FM radyo (100 MHz) ve uydu iletişimi plazma frekansının çok üstündedir ve iyonosferden geçer. Sodyumda $f_p = 1{,}43\times10^{15}$ Hz, $\lambda_p = c/f_p = 210$ nm: sodyum görünür ışığı yansıtır (parlaktır), ama 210 nm'nin altındaki mor ötesine saydamdır. Bu "alkali metallerin mor ötesi saydamlığı" 1933'te R. W. Wood tarafından gözlendi.

9.8Dalga kılavuzları

Mükemmel iletken duvarlı içi boş bir boru elektromanyetik dalgaları iletebilir. Duvarlarda teğet $\vb{E}$ ve dik $\vb{B}$ sıfır olmalıdır. Kenarları $a > b$ olan dikdörtgen bir kılavuzda $z$ yönünde ilerleyen dalgaları arayalım. Boşluktakinden farklı olarak, kılavuzdaki dalgalar tam enine olamaz: ya $E_z = 0$ (enine elektrik, TE modları) ya da $B_z = 0$ (enine manyetik, TM modları) olur. TE modlarında $B_z$ için değişkenlere ayırma (3. bölüm) $\cos(m\pi x/a)\cos(n\pi y/b)$ çözümlerini verir ve dalga sayısı

$$ k = \frac1c\sqrt{\omega^2 - \omega_{mn}^2}, \qquad \omega_{mn} = c\pi\sqrt{\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}} $$

(9.15)

olur. $\omega < \omega_{mn}$ iken $k$ sanaldır ve mod ilerlemez: her modun bir kesim frekansı vardır (Şekil 9.6). En düşük kesim frekansı TE₁₀ modununkidir, $\omega_{10} = c\pi/a$: dalga boyu kılavuzun genişliğinin iki katından küçük olmalıdır.

Kılavuzdaki dalganın faz hızı $v_f = \omega/k = c/\sqrt{1 - (\omega_{mn}/\omega)^2}$ ışık hızından büyüktür; ama enerji, grup hızıyla $v_g = \dd\omega/\dd k = c\sqrt{1 - (\omega_{mn}/\omega)^2}$ ilerler ve bu $c$'den küçüktür. $v_fv_g = c^2$. Görelilikle çelişki yoktur: faz hızı, bilgi taşımayan bir desen hızıdır.

Örnek 9.7X bandı dalga kılavuzu

Standart WR-90 kılavuzunun iç boyutları 22,86 mm × 10,16 mm'dir. İlk üç modun kesim frekanslarını bulun. Kılavuz hangi frekans aralığında yalnızca tek bir modu taşır? 10 GHz'te grup hızı nedir?

Çözüm

$f_{mn} = (c/2)\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$: TE₁₀ 6,56 GHz, TE₂₀ 13,11 GHz, TE₀₁ 14,75 GHz. Tek mod aralığı 6,56–13,11 GHz; pratikte 8,2–12,4 GHz (X bandı) kullanılır. 10 GHz'te $v_g = c\sqrt{1 - (6{,}56/10)^2} = 0{,}755c$. Radarlar, parçacık hızlandırıcıları ve mikrodalga fırınlar dalga kılavuzlarıyla beslenir.

Tarihçe

Maxwell'in ışığın elektromanyetik bir dalga olduğu öngörüsü yirmi yıl boyunca doğrudan sınanamadı. 1887–1888'de Karlsruhe'de Heinrich Hertz, bir kıvılcım aralığıyla birkaç metre dalga boylu dalgalar üretti, onları başka bir kıvılcım aralığıyla algıladı ve yansıdıklarını, kırıldıklarını, kutuplandıklarını ve ışık hızıyla ilerlediklerini gösterdi. Hertz bu dalgaların pratik bir kullanımı olmayacağını düşünüyordu; on yıl sonra Guglielmo Marconi onlarla telsiz telgrafı kurdu. Augustin Fresnel, yansıma ve kırılma formüllerini 1823'te, ışığı esnek bir eterin enine titreşimleri olarak düşünerek buldu; aynı formüller yarım yüzyıl sonra Maxwell'in kuramından hiçbir mekanik model gerektirmeden çıktı. David Brewster, yansıyan ışığın tamamen kutuplandığı açıyı 1815'te deneysel olarak bulmuştu.

Özet

Maxwell denklemleri boşlukta $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$ hızıyla ilerleyen dalgalar öngörür (bkz. (9.3) ve (9.4)). Dalgalar eninedir; $\vb{B} = \hat{\vb{k}}\times\vb{E}/c$ (9.5).
Yoğunluk $I = \tfrac12c\epsilon_0E_0^2$ (9.6); elektrik ve manyetik enerjiler eşittir.
Doğrusal ortamda $v = c/n$, $n \approx \sqrt{\epsilon_r}$ (9.7). Dik gelişte $R = [(n_1 - n_2)/(n_1 + n_2)]^2$ (9.9).
Faz uyumu yansıma ve Snell yasalarını verir; genlikler Fresnel denklemleriyle hesaplanır (9.10). Brewster açısı $\tan\theta_B = n_2/n_1$ (9.11); kritik açının ötesinde tam iç yansıma vardır.
İletkenlerde dalga $\delta = \sqrt{2/\mu\sigma\omega}$ deri kalınlığıyla söner (9.12).
Dağılma, bağlı elektronların rezonanslarından gelir (9.13); serbest elektronlu bir plazma, plazma frekansının altındaki dalgaları yansıtır (9.14).
Dalga kılavuzlarında her modun bir kesim frekansı vardır (9.15); $v_fv_g = c^2$.

Problemler

Problem 9.1Dalga denklemini sağlamak★☆☆

$f(z, t) = Ae^{-b(z - vt)^2}$'nin (9.1)'i sağladığını gösterin. Bu dalga hangi yönde ilerler?

Çözümü göster

$u = z - vt$: $\partial^2f/\partial z^2 = f''(u)$, $\partial^2f/\partial t^2 = v^2f''(u)$ ✓. $+z$ yönünde $v$ hızıyla ilerleyen bir Gauss atımı.

Problem 9.2Dalga boyları★☆☆

FM radyonun (100 MHz), bir mikrodalga fırının (2,45 GHz) ve yeşil ışığın ($5{,}5\times10^{14}$ Hz) dalga boylarını bulun.

Çözümü göster

$\lambda = c/f$: 3,0 m; 12,2 cm; 545 nm.

Problem 9.3Pencereden geçen ışık★☆☆

Havadan cama dik geliş için $R + T = 1$ olduğunu (9.9)'dan doğrulayın. Camdan havaya çıkışta yansıtma nedir?

Çözümü göster

$R = 0{,}04$, $T = 4 \times 1 \times 1{,}5/2{,}5^2 = 0{,}96$ ✓. Camdan havaya: $R = (1{,}5 - 1)^2/2{,}5^2 = 0{,}04$, aynı; işaret ise (faz kayması) farklıdır.

Problem 9.4Dairesel kutuplanma★☆☆

$\vb{E} = E_0[\cos(kz - \omega t)\uv{x} + \sin(kz - \omega t)\uv{y}]$ dalgasında $|\vb{E}|$'nin sabit olduğunu ve $z = 0$'da alanın hangi yönde döndüğünü gösterin.

Çözümü göster

$|\vb{E}|^2 = E_0^2(\cos^2 + \sin^2) = E_0^2$. $z = 0$'da $\vb{E} = E_0(\cos\omega t\,\uv{x} - \sin\omega t\,\uv{y})$: dalga gelirken (dalgaya karşıdan, $+z$'den bakınca) saat yönünde döner.

Problem 9.5Lazerin alanı ve basıncı★★☆

Örnek 9.1'deki ışının manyetik alan genliğini ve ışını tamamen soğuran bir yüzeye uyguladığı basıncı bulun.

Çözümü göster

$B_0 = E_0/c = 3{,}3\ \mu\text{T}$. $P = I/c = 1\,273/3\times10^8 = 4{,}2\ \mu\text{Pa}$.

Problem 9.6Faz uyumundan Snell yasası★★☆

Üç düzlem dalganın fazlarının sınır düzleminde her noktada eşit olması koşulundan yansıma ve Snell yasalarını türetin.

Çözümü göster

Sınır $z = 0$: $\vb{k}_G\cdot\vb{r} = \vb{k}_Y\cdot\vb{r} = \vb{k}_T\cdot\vb{r}$ her $x$, $y$ için ⇒ teğet bileşenler eşit. $\vb{k}_G$ $xz$ düzlemindeyse hepsinin $y$ bileşeni sıfırdır (aynı düzlem). $x$ bileşenleri: $k_G\sin\theta_G = k_Y\sin\theta_Y = k_T\sin\theta_T$. $k_Y = k_G$ (aynı ortam) ⇒ $\theta_Y = \theta_G$; $k = n\omega/c$ ⇒ $n_1\sin\theta_G = n_2\sin\theta_T$ ✓.

Problem 9.7Fresnel denklemleri (s kutuplanması)★★☆

s kutuplanması için (9.10)'daki $r_s$'yi teğet $\vb{E}$ ve teğet $\vb{H}$'nin sürekliliğinden türetin.

Çözümü göster

$\vb{E}$ sınıra paralel ($\uv{y}$): $E_G + E_Y = E_T$. $\vb{H} = (n/\mu_0c)\hat{\vb{k}}\times\vb{E}$'nin teğet ($x$) bileşeni $-(n/\mu_0c)E\cos\theta$ (gelen ve kırılan), yansıyanda işaret ters: $n_1(E_G - E_Y)\cos\theta_G = n_2E_T\cos\theta_T$. İki denklemden $r_s = E_Y/E_G = (n_1\cos\theta_G - n_2\cos\theta_T)/(n_1\cos\theta_G + n_2\cos\theta_T)$ ✓.

Problem 9.8Brewster koşulu★★☆

$r_p = 0$ koşulunun Snell yasasıyla birlikte $\theta_G + \theta_T = 90°$'ye ve $\tan\theta_B = n_2/n_1$'e eşdeğer olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$r_p = 0$: $n_2\cos\theta_G = n_1\cos\theta_T$. Snell: $n_1\sin\theta_G = n_2\sin\theta_T$. Bölüp: $\sin\theta_G\cos\theta_G = \sin\theta_T\cos\theta_T$, yani $\sin 2\theta_G = \sin 2\theta_T$; $\theta_G \neq \theta_T$ için $2\theta_G = \pi - 2\theta_T$ ✓. O zaman $\sin\theta_T = \cos\theta_G$ ve Snell $n_1\sin\theta_G = n_2\cos\theta_G$ ✓.

Problem 9.9Sönümlenen dalga★★☆

Camdan ($n = 1{,}5$) havaya 60° ile gelen 500 nm'lik ışık tam iç yansımaya uğrar. Havadaki alanın sönme uzunluğunu bulun.

Çözümü göster

Havadaki dalga vektörünün teğet bileşeni $k_x = n(2\pi/\lambda)\sin 60°$, $k_x > 2\pi/\lambda$ olduğundan $k_z = i\kappa$, $\kappa = (2\pi/\lambda)\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1} = 1{,}04\times10^7\ \text{m}^{-1}$. Sönme uzunluğu $1/\kappa = 96$ nm. İkinci bir cam yüzey bu uzaklığa getirilirse ışık aralıktan "tünel" yapar (engellenmiş tam iç yansıma); kuantum tünellemesinin optik karşılığıdır.

Problem 9.10Alüminyum kablo★★☆

Yüksek gerilim hatlarında kullanılan alüminyumun ($\sigma = 3{,}77\times10^7$ S/m) 50 Hz'teki deri kalınlığını bulun. 3 cm çaplı bir iletken neden ekonomik değildir?

Çözümü göster

$\delta = \sqrt{2/(\mu_0\sigma\omega)} = 11{,}6$ mm. 3 cm çaplı bir iletkende akım, merkezden 4 mm'den daha içeride çok zayıftır; metalin bir kısmı boşa gider. Kalın hatlar bu yüzden ince iletken demetlerinden ya da ortası çelik çekirdekli tellerden yapılır.

Problem 9.11Denizaltı iletişimi★★☆

Deniz suyunda ($\sigma = 5$ S/m) 10 kHz ve 100 Hz'te deri kalınlığını bulun. 100 m derinlikteki bir denizaltıya ulaşan alan, 10 kHz'te yüzeydekinin ne kadarıdır?

Çözümü göster

10 kHz: $\delta = 2{,}25$ m; 100 Hz: 22,5 m. 10 kHz'te 100 m'de $e^{-100/2{,}25} = e^{-44} \approx 5\times10^{-20}$: ulaşmaz. 100 Hz'te $e^{-4{,}4} = 0{,}012$. Çok alçak frekanslı (ÇAF) sistemler bu yüzden on hertzler mertebesindeki frekansları kullanır.

Problem 9.12Plazma frekansı★★☆

(9.13)'ten serbest elektronlar için (9.14)'ü türetin. $\omega < \omega_p$ iken dalganın plazmaya ne kadar girebildiğini bulun.

Çözümü göster

$\omega_0 = 0$, $\gamma = 0$: $\epsilon_r = 1 + Nq^2/(m\epsilon_0)\cdot(-1/\omega^2)$ ✓. $\omega < \omega_p$: $k = (\omega/c)\sqrt{\epsilon_r} = i(1/c)\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}$; alan $e^{-z/\ell}$ ile söner, $\ell = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}$. Düşük frekansta $\ell \approx c/\omega_p$; iyonosfer için 5 m.

Problem 9.13Dalga kılavuzunda faz ve grup hızı★★☆

(9.15)'ten $v_f$ ve $v_g$'yi türetin ve $v_fv_g = c^2$ olduğunu gösterin. Kesim frekansına yaklaşırken ne olur?

Çözümü göster

$\omega^2 = c^2k^2 + \omega_{mn}^2$: $v_f = \omega/k = c/\sqrt{1 - \omega_{mn}^2/\omega^2}$; $2\omega\,\dd\omega = 2c^2k\,\dd k$, $v_g = c^2k/\omega = c^2/v_f$ ✓. Kesimde $k \to 0$: $v_f \to \infty$, $v_g \to 0$; dalga duvarlar arasında dik olarak gidip gelir ve kılavuz boyunca hiç ilerlemez.

Problem 9.14Kılavuzda dalga, yansıyan düzlem dalgalardır★★☆

TE₁₀ modunun, kılavuzun iki dar duvarı arasında zikzak çizerek yansıyan iki düzlem dalganın toplamı olduğunu gösterin. Düzlem dalgaların kılavuz ekseniyle yaptığı açı nedir?

Çözümü göster

$\sin(\pi x/a)e^{i(kz - \omega t)} = (1/2i)[e^{i(\pi x/a + kz - \omega t)} - e^{i(-\pi x/a + kz - \omega t)}]$: dalga vektörleri $(\pm\pi/a, 0, k)$, büyüklükleri $\sqrt{(\pi/a)^2 + k^2} = \omega/c$ ✓ (boşluk dalgaları). Eksenle açı $\theta$: $\cos\theta = ck/\omega$; $v_g = c\cos\theta$ (enerji eksen boyunca bu hızla ilerler), $v_f = c/\cos\theta$.

Problem 9.15Fresnel denklemlerinde enerji korunumu★★★

s kutuplanması için $R_s + T_s = 1$ olduğunu, $T_s = (n_2\cos\theta_T/n_1\cos\theta_G)t_s^2$ ve $t_s = 2n_1\cos\theta_G/(n_1\cos\theta_G + n_2\cos\theta_T)$ ile gösterin. $\cos\theta$ çarpanının nedeni nedir?

Çözümü göster

$a = n_1\cos\theta_G$, $b = n_2\cos\theta_T$: $R_s = (a - b)^2/(a + b)^2$, $T_s = (b/a)\cdot 4a^2/(a + b)^2 = 4ab/(a + b)^2$. Toplam $(a^2 - 2ab + b^2 + 4ab)/(a + b)^2 = 1$ ✓. Yoğunluk birim dalga cephesi alanı başınadır; sınırın birim alanından geçen güç $I\cos\theta$'dır ve kırılan ışın farklı bir açıyla ilerler.

Problem 9.16Lorentz modelinin türetilmesi★★★

Kütlesi $m$, yükü $q$ olan bir elektron $m\ddot{x} + m\gamma\dot{x} + m\omega_0^2x = qE_0e^{-i\omega t}$ denklemine uyuyor. Kalıcı çözümün dipol momentini bulun ve (9.13)'ü türetin. Seyreltik bir ortamda $n \approx 1 + \chi_e/2$ olduğunu kullanarak $n$'nin rezonansın altında frekansla neden arttığını gösterin.

Çözümü göster

$\tilde{x} = (q/m)E_0e^{-i\omega t}/(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)$; $\tilde{p} = q\tilde{x}$; $\tilde{\vb{P}} = N\tilde{\vb{p}} = \epsilon_0\tilde{\chi}_e\vb{E}$ ⇒ $\tilde{\chi}_e = (Nq^2/m\epsilon_0)/(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)$ ✓. $\omega \ll \omega_0$, $\gamma$ ihmal: $n - 1 \approx (Nq^2/2m\epsilon_0)/(\omega_0^2 - \omega^2)$, $\omega$ ile artar (Cauchy bağıntısı $n \approx A + B/\lambda^2$'nin kaynağı).

İleri okuma

D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 9. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
E. Hecht, Optics, 5. baskı (Pearson, 2017), 4. bölüm: yansıma, kırılma ve Fresnel denklemleri.
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Cilt II, 32–33. bölümler: yoğun maddelerin kırılma indisi ve yüzeyden yansıma.
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. baskı (Wiley, 1999), 7–8. bölümler: düzlem dalgalar, dağılma ve dalga kılavuzları.
H. Hertz, Electric Waves (Macmillan, 1893): Hertz'in deneylerinin kendi anlatımı.