Bölüm 10

Potansiyeller ve Alanlar

Elektrodinamikte skaler ve vektör potansiyel; ayar dönüşümleri, Coulomb ve Lorenz ayarları; potansiyeller için dalga denklemleri; gecikmeli potansiyeller ve Jefimenko denklemleri; aniden açılan akım; Liénard–Wiechert potansiyelleri; hareketli noktasal yükün alanları, hız ve ivme alanları; sabit hızla giden yükün alanı; aniden duran yük ve ışınımın doğuşu.

18 dk okuma3 çözümlü örnek3 şekil14 problem

Bu bölümde

Zamana bağlı alanların skaler ve vektör potansiyel cinsinden nasıl yazıldığını
Ayar özgürlüğünü, Coulomb ve Lorenz ayarlarını
Gecikmeli potansiyelleri: etkilerin ışık hızıyla yayılmasının matematiksel ifadesini
Hareketli bir noktasal yükün Liénard–Wiechert potansiyellerini ve alanlarını
Sabit hızla giden bir yükün alanının neden "basık" olduğunu
İvmelenen bir yükün alanında ışınımın nasıl ortaya çıktığını

10.1Potansiyel formülasyonu

Elektrostatikte $\vb{E} = -\nabla V$, manyetostatikte $\vb{B} = \nabla\times\vb{A}$ yazdık. Zamana bağlı durumda ne olur? $\nabla\cdot\vb{B} = 0$ hâlâ geçerlidir, dolayısıyla $\vb{B} = \nabla\times\vb{A}$ yazılabilir. Faraday yasası $\nabla\times(\vb{E} + \partial\vb{A}/\partial t) = 0$ olur: parantezin içi rotasyonelsizdir ve bir skalerin gradyanıdır. Böylece

$$ \vb{E} = -\nabla V - \frac{\partial\vb{A}}{\partial t}, \qquad \vb{B} = \nabla\times\vb{A} $$

(10.1)

Altı bileşenli alanların yerine dört bileşenli potansiyeller geldi ve iki homojen Maxwell denklemi kendiliğinden sağlandı. Geriye kalan iki denklem (Gauss ve Ampère–Maxwell), potansiyeller için

$$ \nabla^2V + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vb{A}) = -\frac{\rho}{\epsilon_0} $$

(10.2)

$$ \left(\nabla^2\vb{A} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vb{A}}{\partial t^2}\right) - \nabla\left(\nabla\cdot\vb{A} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_0\vb{J} $$

(10.3)

denklemlerini verir (Problem 10.5). Elektrodinamiğin bütün içeriği bu iki denklemdedir. Görünüşleri çirkindir, ama potansiyellerin seçimindeki bir özgürlük onları çok basitleştirir.

10.2Ayar dönüşümleri

$V$ ve $\vb{A}$ tek değildir. Herhangi bir $\lambda(\vb{r}, t)$ skaler fonksiyonu için

$$ \vb{A}' = \vb{A} + \nabla\lambda, \qquad V' = V - \frac{\partial\lambda}{\partial t} $$

(10.4)

dönüşümü aynı $\vb{E}$ ve $\vb{B}$'yi verir ($\nabla\times\nabla\lambda = 0$ ve $\partial(\nabla\lambda)/\partial t$ ile $-\nabla(\partial\lambda/\partial t)$ birbirini götürür). Buna ayar dönüşümü denir; potansiyellerin fiziksel olarak ölçülebilir olmayan kısmını değiştirir. Bu özgürlüğü $\nabla\cdot\vb{A}$'yı istediğimiz gibi seçmek için kullanabiliriz.

Coulomb ayarı, $\nabla\cdot\vb{A} = 0$. (10.2) Poisson denklemine dönüşür ve çözümü 2. bölümdeki gibi

$$ V(\vb{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vb{r}', t)}{\mathcal{R}}\,\dd\tau' $$

olur. Bu şaşırtıcıdır: $V$, yük dağılımının o anki değerinden hesaplanır; Mars'taki bir yük hareket ederse $V$ burada anında değişir. Ama $V$ tek başına ölçülebilir değildir; ölçülebilir olan $\vb{E}$'dir ve $\vb{E}$'nin $-\partial\vb{A}/\partial t$ terimi, $V$'deki anlık değişimi tam olarak götürecek biçimde gecikir (Problem 10.9). Coulomb ayarında $\vb{A}$'nın denklemi karmaşıktır.

Lorenz ayarı,

$$ \nabla\cdot\vb{A} = -\mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t} $$

(10.5)

(10.3)'ün ikinci parantezini sıfırlar ve iki denklem aynı biçimi alır:

$$ \Box^2V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \qquad \Box^2\vb{A} = -\mu_0\vb{J}, \qquad \Box^2 \equiv \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} $$

(10.6)

$\Box^2$, d'Alembert işlemcisidir. Lorenz ayarı $V$ ile $\vb{A}$'yı eşit tutar ve 12. bölümde göreceğimiz gibi göreliliğe uygundur: dört potansiyel bir dört-vektör oluşturur ve koşul bütün eylemsiz çerçevelerde aynı biçimdedir. (Koşul Danimarkalı fizikçi Ludvig Lorenz'in adını taşır; çoğu zaman yanlışlıkla Hendrik Lorentz'e atfedilir.)

Örnek 10.1İki ayarda düzgün alan

Düzgün ve sabit bir $\vb{E} = E_0\uv{x}$ alanının iki farklı potansiyel takımıyla yazılabileceğini gösterin: (a) $V = -E_0x$, $\vb{A} = 0$; (b) $V = 0$, $\vb{A} = -E_0t\,\uv{x}$. İki takımı birbirine bağlayan ayar fonksiyonu nedir?

Çözüm

(a) $\vb{E} = -\nabla V = E_0\uv{x}$, $\vb{B} = 0$ ✓. (b) $\vb{E} = -\partial\vb{A}/\partial t = E_0\uv{x}$, $\vb{B} = \nabla\times\vb{A} = 0$ ✓. (10.4) ile (a)'dan (b)'ye: $\vb{A}' = \nabla\lambda = -E_0t\,\uv{x}$ ⇒ $\lambda = -E_0xt$; $V' = -E_0x - \partial\lambda/\partial t = -E_0x + E_0x = 0$ ✓. Fiziksel olarak tamamen aynı iki tanım: kuantum mekaniğinde ikisi, dalga fonksiyonunun fazında bir dönüşüm farkıyla aynı fiziği verir.

10.3Gecikmeli potansiyeller

Durgun durumda (10.6) Poisson denklemine indirgenir ve çözümü $V = (1/4\pi\epsilon_0)\int\rho/\mathcal{R}\,\dd\tau'$'dür. Zamana bağlı durumda, etkiler ışık hızıyla yayıldığından, $\vb{r}$'deki potansiyel her kaynak noktasının daha önceki bir andaki durumuna bağlı olmalıdır: $\mathcal{R}$ uzaklıktaki bir noktadan gelen etki, $\mathcal{R}/c$ süresi önce yola çıkmıştır. Bu ana gecikmiş zaman denir:

$$ t_r = t - \frac{\mathcal{R}}{c} $$

(10.7)

Doğal tahmin, durgun çözümde $\rho$'yu gecikmiş zamanda hesaplamaktır:

$$ V(\vb{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vb{r}', t_r)}{\mathcal{R}}\,\dd\tau', \qquad \vb{A}(\vb{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vb{J}(\vb{r}', t_r)}{\mathcal{R}}\,\dd\tau' $$

(10.8)

Bunlara gecikmeli potansiyeller denir. Tahmin doğrudur: (10.6)'yı ve Lorenz koşulunu sağlarlar (Problem 10.7). Kanıtın özü, $f(t - r/c)/r$ biçimindeki her küresel dalganın, $r \neq 0$'da $\Box^2$'nin sıfır olduğu dalga denklemine uyması, $r \to 0$'da ise Poisson denkleminin $1/r$ tekilliğini vermesidir (Problem 10.6). Aynı tahmin alanlar için yapılamaz: alanları gecikmiş zamanda hesaplanmış Coulomb ve Biot–Savart yasalarıyla bulmak yanlıştır.

Gecikmiş zaman — **Şekil 10.1.** Bir uzay-zaman çiziminde gecikmiş zaman. $(\vb{r}, t)$ olayındaki alan, yükün dünya çizgisinin bu olayın geçmiş ışık konisini kestiği $t_r$ anındaki durumuna bağlıdır. Yük ışıktan yavaş hareket ettiği için tek bir kesişme noktası vardır.

Jefimenko denklemleri. Gecikmeli potansiyellerden alanlar hesaplanınca (10.1) şu sonuç bulunur:

$$ \begin{aligned} \vb{E}(\vb{r}, t) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left[\frac{\rho(\vb{r}', t_r)}{\mathcal{R}^2}\hat{\pmb{\mathcal{R}}} + \frac{\dot{\rho}(\vb{r}', t_r)}{c\mathcal{R}}\hat{\pmb{\mathcal{R}}} - \frac{\dot{\vb{J}}(\vb{r}', t_r)}{c^2\mathcal{R}}\right]\dd\tau'\\ \vb{B}(\vb{r}, t) &= \frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\frac{\vb{J}(\vb{r}', t_r)}{\mathcal{R}^2} + \frac{\dot{\vb{J}}(\vb{r}', t_r)}{c\mathcal{R}}\right]\times\hat{\pmb{\mathcal{R}}}\,\dd\tau' \end{aligned} $$

(10.9)

(nokta, zamana göre türevdir). Birinci terimler gecikmiş Coulomb ve Biot–Savart yasalarıdır; geri kalanlar zaman türevi içeren düzeltmelerdir ve $1/\mathcal{R}$ ile, yani daha yavaş azalırlar. Uzakta bu terimler baskındır: 11. bölümün konusu olan ışınım onlardan doğar.

Örnek 10.2Aniden açılan akım

Sonsuz uzun düz bir telde $t < 0$'da akım yoktur; $t = 0$'da birden sabit bir $I$ akımı başlar. Telden $s$ uzaklıkta alanları bulun.

Çözüm

Tel $z$ ekseni üzerinde olsun. $z$ noktasındaki bir parçanın etkisi $\sqrt{s^2 + z^2}/c$ sürede ulaşır; $t < s/c$ iken hiçbir etki gelmemiştir. $t > s/c$ iken tel boyunca $|z| < \sqrt{c^2t^2 - s^2}$ aralığındaki parçalar katkı verir:

$$ \vb{A}(s, t) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\uv{z}\int_{-\sqrt{c^2t^2 - s^2}}^{\sqrt{c^2t^2 - s^2}}\frac{\dd z}{\sqrt{s^2 + z^2}} = \frac{\mu_0I}{2\pi}\ln\left(\frac{ct + \sqrt{c^2t^2 - s^2}}{s}\right)\uv{z} $$

Alanlar:

$$ \vb{E} = -\frac{\partial\vb{A}}{\partial t} = -\frac{\mu_0Ic}{2\pi\sqrt{c^2t^2 - s^2}}\uv{z}, \qquad \vb{B} = \nabla\times\vb{A} = \frac{\mu_0I}{2\pi s}\frac{ct}{\sqrt{c^2t^2 - s^2}}\hat{\boldsymbol{\phi}} $$

Ön dalga ulaştığı anda alanlar sonsuzdur (akımın ani başlaması fiziksel bir idealleştirmedir). $t \to \infty$ iken $\vb{E} \to 0$ ve $\vb{B} \to \mu_0I/(2\pi s)\hat{\boldsymbol{\phi}}$: 5. bölümdeki manyetostatik sonuç ✓. Elektrik alan, Lenz yasası gereği akıma terstir.

10.4Liénard–Wiechert potansiyelleri

Bir $\vb{w}(t)$ yörüngesinde hareket eden $q$ noktasal yükünün potansiyelleri nedir? $\vb{r}$'deki $t$ anındaki potansiyel, yükün gecikmiş konumu $\vb{w}(t_r)$'den gelir; $t_r$, $|\vb{r} - \vb{w}(t_r)| = c(t - t_r)$ denkleminin tek çözümüdür (yük ışıktan yavaş olduğu için, Şekil 10.1). Ayrım vektörü $\pmb{\mathcal{R}} = \vb{r} - \vb{w}(t_r)$.

Saf bir tahmin $V = q/(4\pi\epsilon_0\mathcal{R})$ olurdu; ama bu yanlıştır. (10.8)'deki integrali bir noktasal yüke uygularken gizli bir çarpan ortaya çıkar: hareket eden bir yük dağılımının "gecikmiş görüntüsü", gerçek boyutundan farklı bir hacim kaplar. Gözlemciye yaklaşan bir yük için, uzak uçtan gelen ışığın daha önce yola çıkması gerektiğinden, görüntü uzamış görünür ve yükün gecikmiş integrali $q/(1 - \hat{\pmb{\mathcal{R}}}\cdot\vb{v}/c)$ olur (Problem 10.13). Bu çarpanla:

$$ V(\vb{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qc}{\mathcal{R}c - \pmb{\mathcal{R}}\cdot\vb{v}}, \qquad \vb{A}(\vb{r}, t) = \frac{\vb{v}}{c^2}V(\vb{r}, t) $$

(10.10)

Burada $\vb{v}$, yükün gecikmiş zamandaki hızıdır. Bunlar Liénard–Wiechert potansiyelleridir.

Alanlar. (10.1) ile türev almak sabır ister, çünkü $t_r$ de $\vb{r}$ ve $t$'ye bağlıdır. $\vb{u} = c\hat{\pmb{\mathcal{R}}} - \vb{v}$ ve $\vb{a}$, yükün gecikmiş ivmesi olmak üzere sonuç

$$ \vb{E}(\vb{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathcal{R}}{(\pmb{\mathcal{R}}\cdot\vb{u})^3}\left[(c^2 - v^2)\vb{u} + \pmb{\mathcal{R}}\times(\vb{u}\times\vb{a})\right], \qquad \vb{B} = \frac1c\hat{\pmb{\mathcal{R}}}\times\vb{E} $$

(10.11)

dir. İlk terim, hız alanı (genelleştirilmiş Coulomb alanı), $1/\mathcal{R}^2$ gibi azalır ve ivmeye bağlı değildir. İkinci terim, ivme alanı, $1/\mathcal{R}$ gibi azalır ve yalnızca ivmelenen yüklerde vardır. Uzakta ivme alanı baskındır: ışınım alanı odur (11. bölüm). Manyetik alan her zaman elektrik alana ve gecikmiş konumdan gelen doğrultuya diktir.

10.5Sabit hızla giden yük

Sabit $\vb{v}$ hızıyla $x$ ekseni boyunca giden ve $t = 0$'da orijinden geçen bir yük için gecikmiş zaman denklemi çözülebilir ve (10.10) şu biçimi alır:

$$ V(\vb{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qc}{\sqrt{c^2(x - vt)^2 + (c^2 - v^2)(y^2 + z^2)}} $$

(10.12)

(Problem 10.10; figür programında bu potansiyelin hem Lorenz koşulunu hem $\Box^2V = 0$'ı sağladığı sembolik olarak doğrulanmıştır.) İvme sıfır olduğundan yalnızca hız alanı vardır ve (10.11), $\vb{R}$ yükün o anki konumundan alan noktasına uzanan vektör ve $\theta$, $\vb{R}$ ile $\vb{v}$ arasındaki açı olmak üzere

$$ \vb{E}(\vb{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1 - v^2/c^2}{\left(1 - (v^2/c^2)\sin^2\theta\right)^{3/2}}\frac{\hat{\vb{R}}}{R^2} $$

(10.13)

olur. Bu, Oliver Heaviside'ın 1888'de bulduğu sonuçtur ve iki şaşırtıcı özelliği vardır. Birincisi, alan yükün gecikmiş değil o anki konumundan radyal olarak dışarı doğrudur: yük sabit hızla gidiyorsa alan, onun şimdi nerede olduğunu "bilir". (Bu bir rastlantı değildir; sabit hızlı hareketin bilgisi önceden yayılmıştır.) İkincisi, alan küresel simetrik değildir: hareket doğrultusunda $1/\gamma^2$ kat zayıflar, dik doğrultuda $\gamma$ kat güçlenir ($\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$). Hızlı bir yükün alanı, hareket doğrultusuna dik bir "krep" biçiminde toplanır (Şekil 10.2).

**Şekil 10.2.** Durgun bir yükün (solda) ve $0{,}9c$ hızla sabit olarak giden bir yükün (sağda) alan çizgileri. Her iki çizimde de çizgiler eşit akı paylarını gösterir. Hareketli yükün alanı hareket doğrultusuna dik düzlemde toplanmıştır: dik doğrultuda $\gamma = 2{,}29$ kat güçlü, hareket doğrultusunda $1/\gamma^2 = 0{,}19$ kat zayıftır.

Manyetik alan $\vb{B} = (1/c^2)\vb{v}\times\vb{E}$'dir; $v \ll c$ için bu, noktasal bir yükün Biot–Savart alanına indirgenir ($\mu_0q\vb{v}\times\hat{\vb{R}}/4\pi R^2$). Biot–Savart yasası, yalnızca yavaş yükler için geçerli bir yaklaşıklıktır.

Örnek 10.3Hızlı bir elektronun alanı

Bir elektron $0{,}99c$ hızla gidiyor. Yanından 1,0 $\mu$m uzaklıktan geçerken, oraya en yakın olduğu anda alanı aynı uzaklıktaki durgun bir elektronunkiyle karşılaştırın. LHC'de $\gamma$ yaklaşık 7 000'dir; bir protonun alanı nasıl görünür?

Çözüm

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}99^2} = 7{,}09$. En yakın noktada $\theta = 90°$ ve alan durgun yükünkinin $\gamma = 7{,}1$ katıdır, ama yalnızca kısa bir süre: alan, yaklaşık $R/(\gamma v)$ mertebesinde bir sürede (burada $5\times10^{-16}$ s) geçer. LHC'de protonun alanı neredeyse tamamen düz bir disktir; geçerken bir hedefe uyguladığı kısa ve güçlü atım, birçok sanal fotonun "geçişi" gibidir. Ağır iyon çarpışmalarında bu "foton bulutları" birbirleriyle de etkileşir.

10.6İvme ve ışınım

Sabit hızla giden bir yükün alan çizgileri, o anki konumundan radyal düz doğrulardır. Peki yük aniden durursa ne olur? Edward Purcell'in ünlü düşünce deneyinde (Şekil 10.3) yük $t = 0$'da durur. $t = T$ anında, yükün durduğu haberi ancak $cT$ yarıçaplı bir küreye kadar ulaşmıştır. Bu kürenin içinde alan, durgun yükün Coulomb alanıdır: çizgiler durduğu noktadan radyaldir. Kürenin dışında alan, hiç durmamış gibi hareket eden yükün alanıdır: çizgiler onun "olması gereken" konumundan radyaldir. İki bölgeyi ince bir kabuk ayırır. Gauss yasası alan çizgilerinin kopmamasını gerektirir; çizgiler kabukta kıvrılarak birleşir. Kıvrımdaki alan neredeyse teğettir ve kabuk ışık hızıyla dışarı yayılır.

Aniden duran yük — **Şekil 10.3.** Bir süre $0{,}3c$ hızla gittikten sonra aniden duran bir yükün alan çizgileri, durmadan $T$ süre sonra. İçeride çizgiler durma noktasından, dışarıda yükün durmasaydı bulunacağı noktadan radyaldir; aradaki kabukta çizgiler neredeyse teğet bir kıvrımla birleşir. Kıvrım ışık hızıyla dışarı yayılır: bu, ışınım atımıdır.

Kıvrımdaki teğet alanın büyüklüğü basit bir geometriyle tahmin edilebilir: kıvrımın teğet uzunluğu $vT\sin\theta$, radyal kalınlığı $c\Delta t$ ile orantılıdır ve teğet alanın radyal alana oranı bu iki uzunluğun oranıdır. $T$ büyüdükçe radyal Coulomb alanı $1/T^2$ ile azalırken teğet alan yalnızca $1/T$ ile azalır: uzakta baskın olan, kıvrımın, yani ivme alanının $1/R$ ile azalan teğet alanıdır (Problem 10.14). Enerji akısı $E^2 \propto 1/R^2$ ile azalır ve büyük bir küreden geçen toplam güç uzaklığa bağlı değildir: enerji gerçekten sonsuza taşınır. Bu, (10.11)'deki ivme teriminin geometrik resmidir ve 11. bölümde Larmor formülüne götürecek.

Tarihçe

Ludvig Lorenz 1867'de, gecikmeli potansiyelleri ve bugün onun adını taşıyan ayar koşulunu, Maxwell'in kuramından bağımsız olarak, ışığın elektriksel bir titreşim olduğunu göstermek için kullandı. Hareketli bir noktasal yükün potansiyelleri Alfred-Marie Liénard (1898) ve Emil Wiechert (1900) tarafından bulundu. Sabit hızla giden yükün "basık" alanını Oliver Heaviside 1888'de, özel görelilikten on yedi yıl önce hesapladı; sonuç, Lorentz dönüşümlerinin ve uzunluk büzülmesinin ilk izlerinden biridir. (10.9) denklemleri ise ancak 1966'da Oleg Jefimenko'nun bir ders kitabında açık biçimde yazıldı.

Özet

Zamana bağlı alanlar $\vb{E} = -\nabla V - \partial\vb{A}/\partial t$, $\vb{B} = \nabla\times\vb{A}$ ile yazılır (10.1).
Ayar dönüşümleri (10.4) alanları değiştirmez. Coulomb ayarında $V$ anlık, Lorenz ayarında (10.5) iki potansiyel de dalga denklemine uyar: $\Box^2V = -\rho/\epsilon_0$, $\Box^2\vb{A} = -\mu_0\vb{J}$ (10.6).
Çözümleri gecikmeli potansiyellerdir (10.8); $t_r = t - \mathcal{R}/c$. Alanlar Jefimenko denklemleriyle verilir (10.9).
Noktasal yük: Liénard–Wiechert potansiyelleri (10.10) ve alanları (10.11); hız alanı $1/\mathcal{R}^2$, ivme alanı $1/\mathcal{R}$ ile azalır.
Sabit hızla giden yükün alanı o anki konumundan radyaldir ve hareket doğrultusuna dik düzlemde toplanmıştır (10.13).
İvmelenen bir yükün alan çizgilerindeki kıvrım ışık hızıyla yayılır: ışınımın kaynağı budur.

Problemler

Problem 10.1Ayar değişmezliği★☆☆

(10.4) dönüşümünün $\vb{E}$ ve $\vb{B}$'yi değiştirmediğini doğrudan gösterin.

Çözümü göster

$\vb{B}' = \nabla\times\vb{A} + \nabla\times\nabla\lambda = \vb{B}$. $\vb{E}' = -\nabla V + \nabla(\partial\lambda/\partial t) - \partial\vb{A}/\partial t - \partial(\nabla\lambda)/\partial t = \vb{E}$ (karışık türevler sırası değiştirilebilir) ✓.

Problem 10.2Lorenz ayarına geçmek★☆☆

Potansiyeller Lorenz koşulunu sağlamıyorsa, bir ayar dönüşümüyle sağlatılabileceğini gösterin. Gereken $\lambda$ hangi denkleme uyar?

Çözümü göster

$\nabla\cdot\vb{A}' + (1/c^2)\partial V'/\partial t = [\nabla\cdot\vb{A} + (1/c^2)\partial V/\partial t] + \Box^2\lambda$. Sıfır olması için $\Box^2\lambda = -[\nabla\cdot\vb{A} + (1/c^2)\partial V/\partial t]$: kaynaklı bir dalga denklemi, her zaman çözülebilir. Lorenz koşulu $\lambda$'yı tamamen belirlemez: $\Box^2\lambda = 0$'ı sağlayan bir $\lambda$ daha eklenebilir.

Problem 10.3Alanın basıklığı★☆☆

$0{,}9c$ hızla giden bir yükün alanının, hareket doğrultusunda ve ona dik doğrultuda, aynı uzaklıktaki durgun bir yükün alanına oranını bulun.

Çözümü göster

(10.13): $\theta = 0$'da oran $1 - v^2/c^2 = 0{,}19$; $\theta = 90°$'de $(1 - v^2/c^2)/(1 - v^2/c^2)^{3/2} = \gamma = 2{,}29$.

Problem 10.4Gecikme★☆☆

Ay'ın Dünya'dan uzaklığı 384 000 km'dir. Ay'daki bir yükün hareketi Dünya'daki alanı ne kadar sonra etkiler? Güneş'teki bir patlama?

Çözümü göster

$384\,000/300\,000 = 1{,}28$ s. Güneş: $1{,}496\times10^{11}/3\times10^8 = 499$ s, yaklaşık 8 dk 19 s.

Problem 10.5Potansiyeller için denklemler★★☆

(10.1)'i Gauss ve Ampère–Maxwell yasalarına koyarak (10.2) ve (10.3)'ü türetin.

Çözümü göster

Gauss: $\nabla\cdot\vb{E} = -\nabla^2V - \partial(\nabla\cdot\vb{A})/\partial t = \rho/\epsilon_0$ ✓. Ampère–Maxwell: $\nabla\times(\nabla\times\vb{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vb{A}) - \nabla^2\vb{A} = \mu_0\vb{J} + \mu_0\epsilon_0\,\partial(-\nabla V - \partial\vb{A}/\partial t)/\partial t$; düzenleyince (10.3) ✓.

Problem 10.6Küresel dalgalar★★☆

$\phi = f(t - r/c)/r$'nin $r \neq 0$'da dalga denklemini sağladığını gösterin. $f(t + r/c)/r$ ne anlama gelir?

Çözümü göster

Küresel Laplasyen: $\nabla^2\phi = (1/r)\partial^2(r\phi)/\partial r^2 = f''/(c^2r)$; $\partial^2\phi/\partial t^2 = f''/r$ ✓. $f(t + r/c)/r$ de bir çözümdür: dışarıdan merkeze doğru gelen bir dalga (ileri potansiyel). Nedensellik gereği, kaynakların yarattığı alanlar için gecikmeli çözüm seçilir.

Problem 10.7Gecikmeli potansiyellerin doğrulanması★★☆

$V$ için (10.8)'in $\Box^2V = -\rho/\epsilon_0$'ı sağladığını gösterin. İpucu: önce $\nabla V$'yi, gecikmiş zamanın $\vb{r}$'ye bağlılığını hesaba katarak hesaplayın.

Çözümü göster

$\nabla\rho(\vb{r}', t_r) = \dot{\rho}\nabla t_r = -(\dot{\rho}/c)\hat{\pmb{\mathcal{R}}}$. $\nabla V = (1/4\pi\epsilon_0)\int[-(\dot{\rho}/c)\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R} - \rho\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2]\,\dd\tau'$. Diverjansı: $\nabla\cdot(\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}) = 1/\mathcal{R}^2$, $\nabla\cdot(\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2) = 4\pi\delta^3$, $\nabla\dot{\rho} = -(\ddot{\rho}/c)\hat{\pmb{\mathcal{R}}}$. Terimler toplanınca $\nabla^2V = (1/c^2)\int\ddot{\rho}/(4\pi\epsilon_0\mathcal{R})\,\dd\tau' - \rho/\epsilon_0 = (1/c^2)\partial^2V/\partial t^2 - \rho/\epsilon_0$ ✓.

Problem 10.8Aniden açılan akımın alanları★★☆

Örnek 10.2'deki $\vb{E}$ ve $\vb{B}$'yi $\vb{A}$'dan türetin ve $t \to \infty$ limitlerini doğrulayın. Telden $s = 1$ m uzakta, akım açıldıktan 10 ns sonra $B$, son değerinin ne kadarıdır?

Çözümü göster

Türevler örnekteki gibidir (figür programında sembolik olarak denetlenmiştir). $ct = 3{,}0$ m, $s = 1$ m: $ct/\sqrt{c^2t^2 - s^2} = 3/\sqrt{8} = 1{,}06$; alan son değerinin %106'sıdır ve yukarıdan ona yaklaşır.

Problem 10.9Coulomb ayarında nedensellik★★☆

Coulomb ayarında $V$'nin anlık olduğunu, ama $\vb{E}$'nin gecikmeli olduğunu niteliksel olarak açıklayın. $\vb{A}$'nın denklemi nedir?

Çözümü göster

$\nabla\cdot\vb{A} = 0$ ile (10.3): $\Box^2\vb{A} = -\mu_0\vb{J} + \mu_0\epsilon_0\nabla(\partial V/\partial t)$. Sağdaki ek terim, $\vb{J}$'nin boyuna (diverjanslı) kısmını tam olarak götürür; $\vb{A}$ yalnızca enine akımdan beslenir ve $-\partial\vb{A}/\partial t$ terimi, $-\nabla V$'nin anlık kısmını yok eder. Sonuçta $\vb{E}$, Jefimenko denklemlerindeki gecikmeli alandır; ölçülebilir hiçbir etki ışıktan hızlı yayılmaz.

Problem 10.10Sabit hızlı yükün potansiyeli★★☆

(10.10)'u sabit hızla giden bir yüke uygulayarak (10.12)'yi türetin.

Çözümü göster

$\vb{w}(t) = vt\,\uv{x}$; $X = x - vt$, $\rho^2 = y^2 + z^2$ ve $\tau = t - t_r$ yazalım. Gecikmiş konumdan alan noktasına $\pmb{\mathcal{R}} = (X + v\tau, y, z)$ ve gecikmiş zaman koşulu $(X + v\tau)^2 + \rho^2 = c^2\tau^2$, yani $(c^2 - v^2)\tau^2 - 2vX\tau = X^2 + \rho^2$. Paydadaki nicelik $D = \mathcal{R}c - \pmb{\mathcal{R}}\cdot\vb{v} = c^2\tau - v(X + v\tau) = (c^2 - v^2)\tau - vX$. Karesi: $D^2 = (c^2 - v^2)[(c^2 - v^2)\tau^2 - 2vX\tau] + v^2X^2 = (c^2 - v^2)(X^2 + \rho^2) + v^2X^2 = c^2X^2 + (c^2 - v^2)\rho^2$. (10.10)'a koymak (10.12)'yi verir ✓.

Problem 10.11Yavaş yük limiti★★☆

(10.13)'ün $v \ll c$'de Coulomb alanına, $\vb{B} = \vb{v}\times\vb{E}/c^2$'nin de noktasal yükün Biot–Savart alanına indirgendiğini gösterin.

Çözümü göster

$v/c \to 0$: kesir 1'e gider, $\vb{E} = q\hat{\vb{R}}/(4\pi\epsilon_0R^2)$. $\vb{B} = (\mu_0\epsilon_0)\vb{v}\times q\hat{\vb{R}}/(4\pi\epsilon_0R^2) = \mu_0q\vb{v}\times\hat{\vb{R}}/(4\pi R^2)$ ✓ ($I\,\dd\vb{l} \to q\vb{v}$).

Problem 10.12Basık alanın akısı★★☆

(10.13)'teki alanın, yükü çevreleyen bir küreden geçen akısının $q/\epsilon_0$ olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$\oint\vb{E}\cdot\dd\vb{a} = (q/4\pi\epsilon_0)(1 - \beta^2)\int_0^\pi 2\pi\sin\theta\,\dd\theta/(1 - \beta^2\sin^2\theta)^{3/2}$. $u = \cos\theta$: $\int_{-1}^1\dd u/(1 - \beta^2 + \beta^2u^2)^{3/2} = 2/(1 - \beta^2)$. Akı $q/\epsilon_0$ ✓. Gauss yasası her hızda geçerlidir.

Problem 10.13Gecikmiş görüntünün hacim çarpanı★★★

Uzunluğu $L$ olan bir çubuk, gözlemciye doğru $v$ hızıyla ilerliyor. Gözlemcinin bir anda "gördüğü" (aynı anda ulaşan ışıkla) görüntünün uzunluğunun $L' = L/(1 - v/c)$ olduğunu gösterin. Bu, Liénard–Wiechert potansiyellerindeki çarpanı nasıl açıklar?

Çözümü göster

Uzak ucun ışığı yakın ucunkinden $L'/c$ daha önce yola çıkmalıdır; bu sürede çubuk $vL'/c$ yol almıştır: $L' = L + vL'/c$, $L' = L/(1 - v/c)$. Gecikmiş integral, yük yoğunluğunu bu uzamış hacim üzerinde toplar: $\int\rho(\vb{r}', t_r)\,\dd\tau' = q/(1 - \hat{\pmb{\mathcal{R}}}\cdot\vb{v}/c)$. Noktasal yük limitinde bile bu çarpan kalır, çünkü yalnızca hareket doğrultusundaki geometriye bağlıdır.

Problem 10.14Kıvrımdaki alan★★★

Şekil 10.3'teki kıvrımda teğet alanın radyal alana oranının $E_\theta/E_r = (vT\sin\theta)/(c\Delta t)$ olduğunu ve yükün $\Delta t$ sürede $v$ hızından durduğunu (ivme $a = v/\Delta t$) kullanarak $E_\theta = qa\sin\theta/(4\pi\epsilon_0c^2R)$ bulun ($R = cT$).

Çözümü göster

Kabukta radyal bileşen Coulomb alanıdır: $E_r = q/(4\pi\epsilon_0R^2)$. Çizginin kabuktaki kayması teğet doğrultuda $vT\sin\theta$, radyal doğrultuda $c\Delta t$; alan çizgisi bu eğimle gittiğinden $E_\theta/E_r = vT\sin\theta/(c\Delta t) = aR\sin\theta/c^2$ ($T = R/c$). $E_\theta = qa\sin\theta/(4\pi\epsilon_0c^2R)$: $1/R$ ile azalır ve ivmeyle orantılıdır. Bu, (10.11)'deki ivme teriminin küçük hız limitidir ve 11. bölümde Larmor formülünü verecek.

İleri okuma

D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 10. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
E. M. Purcell, D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3. baskı (Cambridge University Press, 2013), 5. bölüm ve ek H: hareketli yükün alanı ve kıvrım çizimi.
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. baskı (Wiley, 1999), 6.2–6.6 ve 14.1. kısımlar: gecikmeli Green fonksiyonu ve Liénard–Wiechert potansiyelleri.
O. D. Jefimenko, Electricity and Magnetism (Appleton-Century-Crofts, 1966): zamana bağlı alanların gecikmeli biçimde yazılışı.
J. D. Jackson, L. B. Okun, "Historical roots of gauge invariance", Reviews of Modern Physics 73 (2001): Lorenz ve Lorentz karışıklığı ve ayar kavramının tarihi.