Bölüm 6
Maddede Manyetik Alanlar
Diyamanyetizma, paramanyetizma ve ferromanyetizma; manyetik dipollere etki eden tork ve kuvvet; atomik yörüngelerde indüklenen moment; mıknatıslanma vektörü ve bağlı akımlar; düzgün mıknatıslanmış küre ve çubuk mıknatıs; H alanı ve Ampère yasası; sınır koşulları; doğrusal manyetik ortamlar, duygunluk ve geçirgenlik; ferromanyetizma, histerezis ve Curie sıcaklığı; manyetik devreler ve diyamanyetik kaldırma.
- Maddelerin manyetik alanlara neden çok farklı tepkiler verdiğini: dia-, para- ve ferromanyetizmayı
- Manyetik dipollere etki eden tork ve kuvveti, atomik yörüngelerin alana tepkisini
- Mıknatıslanmış bir cismin alanını bağlı yüzey ve hacim akımlarıyla hesaplamayı
- \(\vb{H}\) alanını, onun Ampère yasasını ve sınır koşullarını
- Doğrusal manyetik ortamları, duygunluğu ve geçirgenliği
- Ferromanyetizmayı, histerezisi ve manyetik devreleri
6.1Maddenin manyetik tepkisi
Bir maddeyi güçlü bir mıknatısın yanına getirdiğimizde ne olur? Bir demir çivi şiddetle çekilir. Bir alüminyum parçası çok zayıf olarak çekilir; çekim, ancak duyarlı bir terazide görülebilir. Bir bizmut parçası ya da bir damla su ise çok zayıf olarak itilir. Bu üç davranışa sırasıyla ferromanyetizma, paramanyetizma ve diyamanyetizma denir. Üçünün de kaynağı atomik ölçekteki küçük akımlar, yani atomların manyetik dipol momentleridir.
Bir atomun manyetik momentinin iki kaynağı vardır: elektronların çekirdek çevresindeki yörünge hareketi ve elektronların kendi spinleri. 5. bölümde Bohr modelindeki bir elektronun yörünge momentinin bir Bohr magnetonu, \(\mu_B = e\hbar/2m_e = 9{,}27\times10^{-24}\ \text{A·m}^2\), olduğunu bulduk. Spin momenti de neredeyse tam olarak \(\mu_B\)'dir, ama klasik bir dolanan akımla açıklanamaz; kuantum mekaniğine özgü bir özelliktir. Atomların çoğunda elektronlar çiftler oluşturur ve momentleri birbirini götürür. Eşlenmemiş elektronları olan atomlar kalıcı bir moment taşır. Bu bölümde atomik momentlerin kökenini kuantum mekaniğine bırakıp, onları 5. bölümdeki manyetik dipoller gibi ele alacağız; maddenin makroskobik alanını bu dipollerin toplamından hesaplayacağız.
6.2Dipollere etki eden kuvvet ve tork
5. bölümde, düzgün bir alanda bir akım halkasına
torkunun etki ettiğini ve net kuvvetin sıfır olduğunu bulduk. Alan düzgün değilse halkaya bir net kuvvet de etki eder:
(\(\vb{m}\) sabit; Problem 6.8). Alanla aynı yöne yönelmiş bir dipol, alanın güçlü olduğu bölgeye çekilir; ters yöne yönelmiş bir dipol itilir.
Paramanyetizma. Kalıcı momentleri olan atomlarda tork, momentleri alan yönüne döndürmeye çalışır; ısıl hareket karıştırır. Sonuçta momentlerin küçük bir kısmı yönelir ve madde alan yönünde zayıf bir net moment kazanır. Bu, 4. bölümdeki kutuplu moleküllerin yönelim kutuplanmasının tam karşılığıdır: yönelim \(\mu B/k_BT\) oranıyla belirlenir. 1 T'lık bir alanda ve oda sıcaklığında \(\mu_BB/k_BT = 2{,}2\times10^{-3}\)'tür; yönelim çok küçüktür ve paramanyetik maddeler alana yalnızca zayıfça çekilir. Yönelimin sıcaklıkla ters orantılı olması Curie yasasıdır (Örnek 6.1).
Oksijen molekülünde iki eşlenmemiş elektron vardır ve molekülün etkin momentinin karesi \(\mu_{\text{etk}}^2 = 8\mu_B^2\)'dir. 4. bölümdeki yönelim hesabının manyetik karşılığı, birim hacimde \(N\) molekül için \(\chi_m = \mu_0N\mu_{\text{etk}}^2/(3k_BT)\) verir. 0 °C ve 1 atm'deki oksijen gazının manyetik duygunluğunu tahmin edin.
\(N = 2{,}687\times10^{25}\ \text{m}^{-3}\) (4. bölüm). \(\chi_m = 4\pi\times10^{-7} \times 2{,}687\times10^{25} \times 8 \times (9{,}274\times10^{-24})^2/(3 \times 1{,}381\times10^{-23} \times 273) = 2{,}0\times10^{-6}\). Ölçülen değer yaklaşık \(1{,}9\times10^{-6}\)'dır. Sıvı oksijen yüz kat daha yoğun olduğundan güçlü bir mıknatısın kutupları arasına dökülünce orada asılı kalır; azot ise kalmaz.
Diyamanyetizma. Kalıcı momenti olmayan atomlarda da bir manyetik tepki vardır ve her zaman alana terstir. Bir elektronun \(R\) yarıçaplı bir yörüngede \(v\) hızıyla dolandığını düşünelim. Yörünge düzlemine dik bir \(\vb{B}\) alanı uygulanınca elektrona \(-e(\vb{v}\times\vb{B})\) kuvveti etki eder ve bu kuvvet, merkezcil kuvveti duruma göre artırır ya da azaltır. Yarıçapın değişmediğini varsayarsak (kuantum mekaniği bunu destekler) hız \(\Delta v = eRB/2m_e\) kadar değişir (Problem 6.5) ve yörünge momenti
kadar değişir. Alana paralel momentli yörüngeler yavaşlar, antiparalel momentliler hızlanır; her iki durumda da değişim alana terstir (Şekil 6.1). Bu, Lenz yasasının (7. bölüm) atomik ölçekteki bir örneğidir. Etki çok küçüktür: \(R = a_0\) ve \(B = 1\) T için \(\Delta m = 2{,}0\times10^{-29}\ \text{A·m}^2\), \(\mu_B\)'nin milyonda ikisi. Bütün maddeler diyamanyetiktir; ama kalıcı momentli atomlarda paramanyetizma bu küçük etkiyi bastırır.
Ferromanyetizma. Demir, nikel, kobalt ve bazı alaşımlarda komşu atomların spinleri, kuantum mekaniğine özgü değiş tokuş etkileşmesiyle birbirine paralel dizilir. Madde, her birinde bütün momentlerin aynı yönde olduğu domenlerden oluşur. Dış alan olmadan domenler rastgele yönelmiştir ve net moment sıfıra yakındır; bir alan uygulanınca alanla aynı yönde olan domenler büyür, ötekiler küçülür. Etki dev boyuttadır ve kalıcı mıknatısların varlığını açıklar (Kısım 6.6).
6.3Mıknatıslanmış bir cismin alanı
Bir maddenin birim hacmindeki manyetik dipol momentine mıknatıslanma denir ve \(\vb{M}\) ile gösterilir (A/m). 5. bölümdeki dipol vektör potansiyelini topladığımızda, 4. bölümdeki bağlı yük hesabının tam karşılığını yaparız:
Çarpım kuralı \(\vb{M}\times\nabla'(1/\mathcal{R}) = (1/\mathcal{R})\nabla'\times\vb{M} - \nabla'\times(\vb{M}/\mathcal{R})\) ve \(\int\nabla'\times\vb{v}\,\dd\tau' = -\oint\vb{v}\times\dd\vb{a}'\) (Problem 6.14) ile
Burada
bağlı hacim akımı ve bağlı yüzey akımıdır. Mıknatıslanmış bir maddenin alanı, bu akımların alanıyla tamamen aynıdır.
Fiziksel anlamı Şekil 6.2'den görülür: düzgün mıknatıslanmış bir dilimde her atomik halkanın akımı, komşusunun akımıyla iç kenarlarda götürülür; yalnızca dilimin yüzeyinde akım kalır. Bu akım, tek tek elektronlar uzun mesafeler boyunca akmadığı hâlde gerçek bir akımdır ve gerçek bir manyetik alan yaratır. Mıknatıslanma düzgün değilse içerideki götürme eksik kalır ve \(\vb{J}_b = \nabla\times\vb{M}\) ortaya çıkar. Bağlı akımlar süreklilik denklemine uyar: \(\nabla\cdot\vb{J}_b = \nabla\cdot(\nabla\times\vb{M}) = 0\).
Uzunluğu \(L\), yarıçapı \(a\) olan bir silindir, ekseni boyunca düzgün \(\vb{M} = M\uv{z}\) ile mıknatıslanmıştır. Bağlı akımları bulun ve uzun bir çubuğun içindeki alanı hesaplayın.
\(\vb{M}\) düzgün: \(\vb{J}_b = 0\). Yan yüzeyde \(\hat{\vb{n}} = \hat{\vb{s}}\): \(\vb{K}_b = M\uv{z}\times\hat{\vb{s}} = M\hat{\boldsymbol{\phi}}\); uç yüzeylerde \(\hat{\vb{n}} = \pm\uv{z}\) ve \(\vb{K}_b = 0\). Bağlı akım, birim uzunluk başına \(nI = M\) akımı taşıyan bir solenoidin akımıdır. 5. bölümdeki solenoid sonucuyla uzun bir çubuğun içinde \(B = \mu_0M\); sonlu bir çubuğun ortasında \(\mu_0M\,L/\sqrt{L^2 + 4a^2}\). Çubuk mıknatısın alanı, aynı biçimli bir solenoidin alanıyla birebir aynıdır (Şekil 6.3).
Yarıçapı \(R\) olan bir küre düzgün \(\vb{M} = M\uv{z}\) ile mıknatıslanmıştır. İçerideki alanı bulun.
\(\vb{J}_b = 0\); yüzeyde \(\vb{K}_b = M\uv{z}\times\hat{\vb{r}} = M\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\). Bu, 5. bölümdeki dönen yüklü küresel kabuğun yüzey akımıyla aynıdır: orada \(\vb{K} = \sigma\vb{v} = \sigma\omega R\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\) idi. \(\sigma\omega R = M\) yazınca içerideki düzgün alan
olur. Dışarıda alan, momenti \(\vb{m} = \tfrac43\pi R^3\vb{M}\) olan bir dipolün alanıdır (Şekil 6.4). Elektrik karşılığıyla karşılaştırın: kutuplanmış kürenin içinde \(\vb{E} = -\vb{P}/3\epsilon_0\), kutuplanmaya terstir; mıknatıslanmış kürenin içinde \(\vb{B}\), mıknatıslanmayla aynı yöndedir. Fark, 5. bölümdeki elektrik ve manyetik dipollerin yakın alanlarındaki farktan gelir.
6.4\(\vb{H}\) alanı
Bir maddede iki tür akım vardır: mıknatıslanmanın bağlı akımları ve geri kalan her şey, yani tellerdeki, kontrol edebildiğimiz serbest akımlar \(\vb{J}_f\). Ampère yasası toplam akım için geçerlidir: \(\nabla\times\vb{B}/\mu_0 = \vb{J}_f + \vb{J}_b = \vb{J}_f + \nabla\times\vb{M}\). İki rotasyoneli birleştirip
tanımlarsak Ampère yasası yalnızca serbest akımlarla yazılır:
\(\vb{H}\)'nin birimi A/m'dir; mühendislikte ve laboratuvarda \(\vb{H}\) çok kullanılır, çünkü doğrudan kontrol edilen nicelik serbest akımdır: bir solenoidin içindeki \(H\), içine ne konursa konsun (uzun bir solenoid için) \(nI\)'dır.
4. bölümdeki \(\vb{D}\) için yaptığımız uyarı burada da geçerlidir: \(\nabla\cdot\vb{H} = -\nabla\cdot\vb{M}\)'dir ve genellikle sıfır değildir. Bu yüzden \(\vb{H}\) yalnızca serbest akımlardan bir Biot–Savart yasasıyla hesaplanamaz. Çubuk mıknatısta hiç serbest akım yoktur, ama \(\vb{H}\) sıfır değildir (Şekil 6.3). \(-\nabla\cdot\vb{M}\), \(\vb{H}\) için bir "manyetik yük" yoğunluğu gibi davranır: \(\vb{H}\) çizgileri mıknatısın kuzey yüzünden çıkar ve güney yüzünde biter. Mıknatıslanmış kürenin içinde \(\vb{H} = \vb{B}/\mu_0 - \vb{M} = -\vb{M}/3\)'tür: kutuplanmış kürenin \(\vb{E}\)'sinin tam karşılığı.
Sınır koşulları. \(\nabla\cdot\vb{B} = 0\) ve (6.6) ile, 5. bölümdeki akıl yürütme:
Serbest yüzey akımı yoksa \(\vb{B}\)'nin dik bileşeni ve \(\vb{H}\)'nin teğet bileşeni süreklidir.
6.5Doğrusal manyetik ortamlar
Paramanyetik ve diyamanyetik maddelerin çoğunda, alan çok güçlü değilse mıknatıslanma alanla orantılıdır:
\(\chi_m\)'ye manyetik duygunluk, \(\mu\)'ye manyetik geçirgenlik denir. (Gelenek gereği \(\vb{M}\), \(\vb{B}\)'ye değil \(\vb{H}\)'ye orantılı yazılır; elektrikteki \(\vb{P} = \epsilon_0\chi_e\vb{E}\)'nin tersine.) Paramanyetik maddelerde \(\chi_m > 0\), diyamanyetiklerde \(\chi_m < 0\)'dır ve her ikisinde de çok küçüktür (oda sıcaklığında, SI birimlerinde):
| Madde | \(\chi_m\) | Tür |
|---|---|---|
| bizmut | \(-1{,}6\times10^{-4}\) | diyamanyetik |
| altın | \(-3{,}4\times10^{-5}\) | diyamanyetik |
| bakır | \(-9{,}7\times10^{-6}\) | diyamanyetik |
| su | \(-9{,}0\times10^{-6}\) | diyamanyetik |
| oksijen gazı | \(+1{,}9\times10^{-6}\) | paramanyetik |
| alüminyum | \(+2{,}2\times10^{-5}\) | paramanyetik |
| platin | \(+2{,}7\times10^{-4}\) | paramanyetik |
| süperiletken | \(-1\) | mükemmel diyamanyetik |
Süperiletkenler bir istisnadır: manyetik alanı içlerinden tamamen dışlarlar (Meissner etkisi), yani \(\vb{B} = 0\) ve \(\chi_m = -1\).
Bağlı akımlar. Türdeş doğrusal bir ortamda \(\vb{J}_b = \nabla\times\vb{M} = \chi_m\nabla\times\vb{H} = \chi_m\vb{J}_f\): bağlı hacim akımı yalnızca serbest akımın bulunduğu yerde vardır. Serbest akım olmayan bir bölgede \(\nabla\times\vb{H} = 0\) ve \(\nabla\cdot\vb{H} = 0\)'dır; \(\vb{H} = -\nabla W\) yazılırsa skaler potansiyel \(W\) Laplace denklemine uyar ve 3. bölümün bütün yöntemleri kullanılabilir (Problem 6.11).
500 sarımlı bir toroid, ortalama yarıçapı 10 cm olan ve bağıl geçirgenliği \(\mu_r = 2\,000\) kabul edilen bir demir çekirdeğe sarılmıştır. Sarımlardan 0,20 A akım geçiyor. Çekirdekteki \(H\) ve \(B\)'yi bulun. Çekirdek olmasaydı alan ne olurdu?
(6.6) toroidin içindeki çembere uygulanırsa (simetri) \(H\,2\pi s = NI\): \(H = 500 \times 0{,}20/(2\pi \times 0{,}10) = 159\) A/m; çekirdekten bağımsızdır. \(B = \mu_r\mu_0H = 2\,000 \times 4\pi\times10^{-7} \times 159 = 0{,}40\) T. Çekirdeksiz \(B = \mu_0H = 0{,}20\) mT. Demir alanı 2 000 kat güçlendirir: alanın 1/2 000'i sarımlardan, geri kalanı demirin hizalanan atomik momentlerinin bağlı yüzey akımından gelir. (Demirin \(\mu_r\)'si sabit değildir; alana ve geçmişine bağlıdır, Kısım 6.6.)
6.6Ferromanyetizma
Ferromanyetik maddelerde \(\vb{M}\) ile \(\vb{H}\) arasındaki ilişki doğrusal değildir ve tek değerli bile değildir: mıknatıslanma, maddenin geçmişine bağlıdır. Mıknatıslanmamış bir demir çubuğu bir solenoidin içine koyup akımı yavaş yavaş artıralım (Şekil 6.5). \(H\) arttıkça domen sınırları hareket eder ve \(M\) hızla büyür; sonunda bütün domenler alan yönünde birleşir ve \(M\) doyuma ulaşır (demirde \(M_s = 1{,}71\times10^6\) A/m, yani \(\mu_0M_s = 2{,}15\) T). Akımı sıfıra indirirsek \(M\) sıfıra dönmez: domen sınırları kristal kusurlarına takılır ve çubuk kalıcı bir mıknatıs olur (kalıcı alan \(B_r\)). Mıknatıslanmayı yok etmek için ters yönde bir zorlayıcı alan \(H_c\) gerekir. Akım bir aşağı bir yukarı değiştirilince \(B\)–\(H\) eğrisi bir döngü çizer: histerezis döngüsü. Döngünün alanı, her devirde ısıya dönüşen enerjiye (birim hacim başına) eşittir.
Ferromanyetik maddeler iki gruba ayrılır. Yumuşak manyetik maddelerin (silisyumlu demir, permalloy, ferritler) döngüsü dardır: kolayca mıknatıslanır ve mıknatıslanmayı kaybeder; transformatörlerin ve elektromıknatısların çekirdekleri bunlardan yapılır, çünkü her devirdeki histerezis kaybı küçüktür. Sert manyetik maddelerin (alniko, ferrit, NdFeB, SmCo) döngüsü geniştir; kalıcı mıknatıslar bunlardan yapılır. Bir NdFeB mıknatısının kalıcı alanı yaklaşık 1,3 T'dır, yani \(M \approx B_r/\mu_0 = 1{,}0\times10^6\) A/m.
Curie sıcaklığı. Isıl hareket, yeterince yüksek sıcaklıkta spinlerin paralel dizilimini bozar. Curie sıcaklığının üstünde ferromanyetik madde paramanyetik olur: demir 770 °C (1 043 K), nikel 354 °C, kobalt 1 115 °C. Bir mıknatısı Curie sıcaklığının üstüne ısıtıp soğutmak onu mıknatıslıktan çıkarır. Volkanik kayaçlar Curie sıcaklığının altına soğurken o anki yer manyetik alanının yönünü "dondurur"; okyanus tabanındaki kayaçlarda bu kayıtlar, Dünya'nın manyetik kutuplarının geçmişte defalarca yer değiştirdiğini göstermiş ve levha tektoniğinin en güçlü kanıtlarından biri olmuştur.
Demir bir halka çekirdeğin (ortalama uzunluğu \(L = 30\) cm, \(\mu_r = 2\,000\)) içinde \(g = 1{,}0\) mm genişliğinde bir hava aralığı açılmıştır. Çekirdeğe 500 sarım sarılmış ve 2,0 A akım geçiyor. Aralıktaki alan nedir?
Aralık dar olduğundan alan çizgileri aralıktan neredeyse yayılmadan geçer ve \(B^\perp\)'nin sürekliliğiyle \(B\) demirde ve aralıkta aynıdır. \(\oint\vb{H}\cdot\dd\vb{l} = NI\): \(H_{\text{demir}}L + H_{\text{aralık}}g = NI\), \(H_{\text{demir}} = B/\mu_r\mu_0\), \(H_{\text{aralık}} = B/\mu_0\):
1 mm'lik aralık, 30 cm'lik demirin yedi katı "manyetik direnç" oluşturur. Aralık olmasaydı formül 8,4 T verirdi; ama demir yaklaşık 2 T'da doyuma ulaştığından bu imkânsızdır ve doğrusal model geçersiz olur. Bu formül, elektrik devrelerine benzeyen manyetik devre hesabının örneğidir: \(NI\) "manyetomotor kuvvet", \(\ell/\mu A\) "relüktans".
6.7Diyamanyetik kaldırma
3. bölümde Earnshaw teoreminin, durgun elektrik kuvvetleriyle kararlı bir dengeyi yasakladığını gördük. Aynı teorem kalıcı mıknatıslar ve paramanyetik cisimler için de geçerlidir. Ama diyamanyetik cisimler istisnadır: (6.1)'e göre \(\vb{m} = \chi_mV\vb{B}/\mu_0\) (\(\chi_m < 0\)) momentli bir cisme etki eden kuvvet \(\vb{F} = (\chi_mV/2\mu_0)\nabla(B^2)\)'dir ve cismi alanın zayıf olduğu bölgeye iter. \(B^2\)'nin bir minimumu olabilir (\(B\)'nin kendisinin olamaz), bu yüzden diyamanyetik cisimler kararlı olarak havada tutulabilir.
1997'de Nijmegen'de Andre Geim ve Michael Berry, yaklaşık 16 T'lık bir bobinin içinde canlı bir kurbağayı havada tuttular. Kurbağayı su gibi düşünerek (\(\chi_m = -9{,}0\times10^{-6}\), \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)) gereken \(B\,\dd B/\dd z\) değerini bulun.
Birim hacme etki eden kuvvet \((|\chi_m|/2\mu_0)\,\dd(B^2)/\dd z = (|\chi_m|/\mu_0)B\,\dd B/\dd z\). Ağırlığı dengelemesi için \(B\,\dd B/\dd z = \mu_0\rho g/|\chi_m| = 4\pi\times10^{-7} \times 1\,000 \times 9{,}8/(9{,}0\times10^{-6}) = 1\,400\ \text{T}^2/\text{m}\). Örneğin \(B = 16\) T iken alanın metrede yaklaşık 86 T (santimetrede 0,86 T) değişmesi gerekir; güçlü bir bobinin ucu tam böyledir. Deney 2000 yılında bir "Ig Nobel" ödülü aldı; Geim 2010'da grafen çalışmalarıyla gerçek Nobel Fizik Ödülü'nü kazandı.
Michael Faraday, 1845'te güçlü bir elektromıknatısla yüzlerce maddeyi sınayarak hepsinin manyetik alana bir tepki verdiğini gösterdi; alandan uzaklaşan maddelere "diyamanyetik" adını o verdi. Pierre Curie, 1895'teki doktora tezinde paramanyetik duygunluğun mutlak sıcaklıkla ters orantılı olduğunu buldu ve ferromanyetizmanın belirli bir sıcaklıkta kaybolduğunu gösterdi. Pierre Weiss, 1907'de ferromanyetizmayı güçlü bir iç "moleküler alanla" ve domenlerle açıkladı; domenler ilk kez 1931'de Francis Bitter tarafından, yüzeye serpilen ince demir oksit tozuyla görüntülendi. Weiss'in moleküler alanının kaynağının, klasik fizikte karşılığı olmayan kuantum değiş tokuş etkileşmesi olduğunu ise 1928'de Werner Heisenberg gösterdi. Klasik fizik çerçevesinde manyetizma tam olarak açıklanamaz: Bohr–van Leeuwen teoremine göre ısıl dengedeki klasik bir sistemin net mıknatıslanması her zaman sıfırdır.
Özet
- Atomların manyetik momentleri yörünge ve spinden gelir. Paramanyetizma momentlerin yönelmesi, diyamanyetizma yörüngelerin alana tepkisidir (6.2); ferromanyetizma değiş tokuş etkileşmesinin kuantum etkisidir.
- Düzgün olmayan alanda dipole etki eden kuvvet \(\nabla(\vb{m}\cdot\vb{B})\)'dir (6.1).
- Mıknatıslanmış bir maddenin alanı bağlı akımların alanıdır: \(\vb{J}_b = \nabla\times\vb{M}\), \(\vb{K}_b = \vb{M}\times\hat{\vb{n}}\) (6.3). Düzgün mıknatıslanmış kürenin içinde \(\vb{B} = \tfrac23\mu_0\vb{M}\) (6.4).
- \(\vb{H} = \vb{B}/\mu_0 - \vb{M}\) (6.5); \(\nabla\times\vb{H} = \vb{J}_f\) (6.6). Sınırda \(B^\perp\) süreklidir, \(\vb{H}^\parallel\) serbest yüzey akımı kadar sıçrar (6.7).
- Doğrusal ortamda \(\vb{M} = \chi_m\vb{H}\), \(\vb{B} = \mu\vb{H}\) (6.8); dia- ve paramanyetik maddelerde \(|\chi_m| \ll 1\).
- Ferromanyetik maddelerde ilişki doğrusal değildir; histerezis, doyum ve Curie sıcaklığı vardır. Aralıklı bir çekirdekteki alan \(\mu_0NI/(g + L/\mu_r)\)'dir.
- Diyamanyetik cisimler \(B^2\)'nin minimumunda kararlı olarak havada tutulabilir.
Problemler
Kalıcı alanı 1,3 T olan uzun, çubuk biçimli bir NdFeB mıknatısının mıknatıslanması nedir? Aynı alanı, birim uzunlukta 2 000 sarımı olan bir solenoidle üretmek için ne kadar akım gerekir?
Çözümü göster
Uzun çubuğun içinde \(B = \mu_0M\): \(M = 1{,}3/(4\pi\times10^{-7}) = 1{,}03\times10^6\) A/m. \(nI = M\): \(I = 1{,}03\times10^6/2\,000 = 520\) A. Kalıcı mıknatısın atomik akımları, böyle bir solenoidin akımına eşdeğerdir.
Düzgün mıknatıslanmış bir kürenin içinde \(\vb{H}\)'yi bulun. Kürenin yüzeyinde \(B^\perp\)'nin sürekli olduğunu doğrulayın.
Çözümü göster
\(\vb{H} = \tfrac23\vb{M} - \vb{M} = -\tfrac13\vb{M}\). Yüzeyde içeride \(B_r = \tfrac23\mu_0M\cos\theta\); dışarıda dipol alanı \(B_r = (\mu_0/4\pi)2m\cos\theta/R^3 = (\mu_0/4\pi)(2 \cdot \tfrac43\pi R^3M)\cos\theta/R^3 = \tfrac23\mu_0M\cos\theta\) ✓.
Sonsuz uzun bir silindir ekseni boyunca düzgün \(\vb{M}\) ile mıknatıslanmıştır. İçeride ve dışarıda \(\vb{B}\) ve \(\vb{H}\)'yi bulun.
Çözümü göster
\(\vb{K}_b = M\hat{\boldsymbol{\phi}}\): \(nI = M\) olan bir solenoid. İçeride \(\vb{B} = \mu_0\vb{M}\), \(\vb{H} = 0\); dışarıda ikisi de sıfır. (Sonsuz uzun çubukta uç yüzeyler yoktur, dolayısıyla \(\vb{H}\)'nin "manyetik yükleri" de yoktur.)
Bir elektronun 1 T'lık bir alanda yönelme enerjisini (\(\mu_BB\)) 300 K'deki \(k_BT\) ile karşılaştırın. Paramanyetizmanın neden zayıf olduğunu açıklayın. Hangi koşullarda yönelim neredeyse tam olur?
Çözümü göster
\(\mu_BB/k_BT = 9{,}27\times10^{-24}/(4{,}14\times10^{-21}) = 2{,}2\times10^{-3}\): yönelim kesri bu mertebededir. Tam yönelim için \(\mu_BB \gtrsim k_BT\) gerekir: 1 T'da 0,7 K'in altındaki sıcaklıklar (paramanyetik tuzlarla adyabatik demanyetizasyon soğutması bu ilkeye dayanır).
Yarıçapı \(R\) olan bir yörüngede dolanan elektrona, yörünge düzlemine dik bir \(\vb{B}\) alanı uygulanıyor. Yarıçap değişmiyorsa hızın \(\Delta v = eRB/2m_e\) kadar değiştiğini (\(\Delta v \ll v\)) ve (6.2)'yi gösterin.
Çözümü göster
Merkezcil koşul: \(m_ev^2/R = e^2/(4\pi\epsilon_0R^2) \pm ev'B\) (manyetik kuvvet yönüne göre). Fark: \((m_e/R)(v'^2 - v^2) = \pm ev'B\), \((m_e/R)(2v\Delta v) \approx \pm evB\), \(\Delta v = \pm eRB/(2m_e)\). Moment \(m = evR/2\): \(\Delta m = eR\Delta v/2 = \pm e^2R^2B/(4m_e)\). Hızlanan ve yavaşlayan durumları ayrı ayrı izleyince değişimin her zaman \(\vb{B}\)'ye ters olduğu görülür (Şekil 6.1).
Demirde her atom yaklaşık \(2{,}2\,\mu_B\) moment taşır (yoğunluk 7 874 kg/m³, atom kütlesi 55,85 g/mol). Bütün momentler paralelken mıknatıslanma nedir? Ölçülen doyum mıknatıslanmasıyla (\(1{,}71\times10^6\) A/m) karşılaştırın.
Çözümü göster
\(n = 7\,874/0{,}05585 \times 6{,}022\times10^{23} = 8{,}49\times10^{28}\ \text{m}^{-3}\). \(M = n \times 2{,}2 \times 9{,}27\times10^{-24} = 1{,}73\times10^6\) A/m ✓. Doyumda gerçekten bütün atomik momentler paraleldir.
Yarıçapı \(R\) olan uzun bir silindirde \(\vb{M} = ks^2\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\)'dir. Bağlı akımları bulun ve toplam bağlı akımın sıfır olduğunu gösterin. İçerideki alanı bulun.
Çözümü göster
\(\vb{J}_b = \nabla\times\vb{M} = (1/s)\,\partial(s\cdot ks^2)/\partial s\,\uv{z} = 3ks\,\uv{z}\). \(\vb{K}_b = \vb{M}\times\hat{\vb{s}} = kR^2\hat{\boldsymbol{\phi}}\times\hat{\vb{s}} = -kR^2\uv{z}\). Toplam: \(\int_0^R 3ks\,2\pi s\,\dd s - kR^2 \cdot 2\pi R = 2\pi kR^3 - 2\pi kR^3 = 0\) ✓. Ampère: \(B\,2\pi s = \mu_0\cdot 2\pi ks^3\), \(\vb{B} = \mu_0ks^2\hat{\boldsymbol{\phi}} = \mu_0\vb{M}\); dışarıda \(B = 0\). (\(\vb{H} = 0\) her yerde, çünkü serbest akım yok ve simetri gereği.)
Küçük bir akım halkasına düzgün olmayan bir alanda etki eden kuvvetin \(\nabla(\vb{m}\cdot\vb{B})\) olduğunu, kenarları \(\epsilon\) olan küçük kare bir halka için gösterin (\(xy\) düzleminde, \(\vb{m} = I\epsilon^2\uv{z}\)).
Çözümü göster
Halkanın \(y = 0\) ve \(y = \epsilon\) kenarlarındaki kuvvetler (\(\pm x\) yönünde akım) \(I\epsilon\uv{x}\times\vb{B}(y = 0)\) ve \(-I\epsilon\uv{x}\times\vb{B}(y = \epsilon)\); toplamları \(-I\epsilon^2\uv{x}\times\partial_y\vb{B}\). Öteki iki kenar \(I\epsilon^2\uv{y}\times\partial_x\vb{B}\). Toplam \(\vb{F} = I\epsilon^2[\uv{y}\times\partial_x\vb{B} - \uv{x}\times\partial_y\vb{B}]\); bileşenlere açıp \(\nabla\cdot\vb{B} = 0\) ve \(\nabla\times\vb{B} = 0\) (halkada akım yok) kullanılınca \(\vb{F} = m\nabla B_z = \nabla(\vb{m}\cdot\vb{B})\) bulunur.
Yarıçapı \(a\) olan bir akım halkasının ekseni üzerinde, ekseni boyunca yönelmiş bir \(\vb{m}\) dipolü var. Dipole etki eden kuvvetin en büyük olduğu uzaklığı bulun.
Çözümü göster
\(F_z = m\,\dd B_z/\dd z\), \(B_z \propto (a^2 + z^2)^{-3/2}\): \(F_z \propto -3z(a^2 + z^2)^{-5/2}\). Türevi sıfır: \((a^2 + z^2) - 5z^2 = 0\), \(z = a/2\).
Serbest akım olmayan bir sınırda \(\tan\theta_2/\tan\theta_1 = \mu_2/\mu_1\) olduğunu gösterin. Havadan, normalle 1° açı yaparak demire (\(\mu_r = 1\,000\)) giren bir alan çizgisi demirde hangi açıyı yapar? Demirin alan çizgilerini neden "topladığını" açıklayın.
Çözümü göster
\(B_1\cos\theta_1 = B_2\cos\theta_2\) ve \((B_1/\mu_1)\sin\theta_1 = (B_2/\mu_2)\sin\theta_2\); bölünce sonuç ✓ (4. bölümdeki elektrik karşılığı). \(\tan\theta_2 = 1\,000\tan 1° = 17{,}5\), \(\theta_2 = 86{,}7°\): demirin içinde çizgiler yüzeye neredeyse paraleldir. Tersine, demirden havaya çıkan çizgiler yüzeye neredeyse dik çıkar. Bu yüzden yüksek geçirgenlikli maddeler alan çizgilerini içlerinde "kanalize" eder; manyetik kalkanlar ve transformatör çekirdekleri bu ilkeyle çalışır.
Geçirgenliği \(\mu = \mu_r\mu_0\) olan bir küre düzgün bir \(\vb{B}_0\) alanında. İçerideki alanın \(\vb{B}_{\text{iç}} = 3\mu_r\vb{B}_0/(\mu_r + 2)\) olduğunu, 4. bölümdeki dielektrik küre çözümüne benzeterek gösterin. \(\mu_r = 1\,000\) için hesaplayın.
Çözümü göster
Serbest akım yok: \(\vb{H} = -\nabla W\), \(\nabla^2W = 0\); sınırda \(W\) ve \(\mu\,\partial W/\partial r\) sürekli. Dielektrik küredeki çözüm \(\epsilon_r \to \mu_r\) ile: \(\vb{H}_{\text{iç}} = 3\vb{H}_0/(\mu_r + 2)\), \(\vb{B}_{\text{iç}} = \mu_r\mu_0\vb{H}_{\text{iç}} = 3\mu_r\vb{B}_0/(\mu_r + 2)\). \(\mu_r = 1\,000\): \(2{,}994\,B_0\); yüksek geçirgenlikli bir küre alanı en çok 3 kat yoğunlaştırabilir.
Eş eksenli bir kablonun iletkenleri arasındaki bölge, duygunluğu \(\chi_m\) olan doğrusal bir maddeyle doludur. İç iletkende \(I\), dış iletkende \(-I\) akımı var. Aradaki \(\vb{H}\), \(\vb{B}\) ve \(\vb{M}\)'yi, maddenin yüzeylerindeki bağlı akımları bulun.
Çözümü göster
(6.6): \(\vb{H} = I/(2\pi s)\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\); \(\vb{B} = \mu I/(2\pi s)\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\); \(\vb{M} = \chi_mI/(2\pi s)\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\). \(\vb{J}_b = \nabla\times\vb{M} = 0\) (\(sM_\phi\) sabit). İç yüzeyde (\(s = a\), \(\hat{\vb{n}} = -\hat{\vb{s}}\)) \(\vb{K}_b = \vb{M}\times(-\hat{\vb{s}}) = \chi_mI/(2\pi a)\,\uv{z}\): iç akımla aynı yönde, toplamı \(\chi_mI\). Dış yüzeyde ters yönde, toplamı \(-\chi_mI\). Böylece \(\vb{B}\), toplam akım \((1 + \chi_m)I\) olan bir telinki gibidir ✓.
Örnek 6.6'daki bobinde kurbağanın yerine küçük bir alüminyum parçası (\(\chi_m = +2{,}2\times10^{-5}\), \(\rho = 2\,700\ \text{kg/m}^3\)) konsaydı ne olurdu? Bir demir parçası?
Çözümü göster
Alüminyum paramanyetiktir: kuvvet alanın güçlü olduğu yere doğrudur, yani bobinin içine çekilir; Earnshaw teoremi gereği kararlı bir denge yoktur (\(B^2\)'nin maksimumu olamaz). Demir çok güçlü biçimde bobinin içine, alanın en güçlü olduğu yere çekilir. Kararlı kaldırma yalnızca diyamanyetik cisimlerle (ya da geri beslemeli denetimle) mümkündür.
Sabit bir \(\vb{c}\) vektörüyle Gauss teoremini \(\vb{v}\times\vb{c}\)'ye uygulayarak \(\int\nabla\times\vb{v}\,\dd\tau = -\oint\vb{v}\times\dd\vb{a}\) olduğunu gösterin.
Çözümü göster
\(\nabla\cdot(\vb{v}\times\vb{c}) = \vb{c}\cdot(\nabla\times\vb{v})\). Gauss: \(\vb{c}\cdot\int\nabla\times\vb{v}\,\dd\tau = \oint(\vb{v}\times\vb{c})\cdot\dd\vb{a} = -\vb{c}\cdot\oint\vb{v}\times\dd\vb{a}\) (üçlü çarpım). \(\vb{c}\) keyfi ✓.
Örnek 6.4'teki toroidin çekirdeğinde 2,0 mm'lik bir aralık açılırsa, aynı akımla aralıktaki alan nedir? Çekirdeğin aralıksız alanıyla karşılaştırın.
Çözümü göster
\(L = 2\pi \times 0{,}10 = 0{,}628\) m. \(B = \mu_0NI/(g + L/\mu_r) = 4\pi\times10^{-7} \times 100/(2{,}0\times10^{-3} + 3{,}14\times10^{-4}) = 0{,}054\) T. Aralıksız 0,40 T'dı: 2 mm'lik aralık alanı 7 kat azaltır.
\(\vb{H}\)'nin, \(\rho_m = -\nabla\cdot\vb{M}\) hacim ve \(\sigma_m = \vb{M}\cdot\hat{\vb{n}}\) yüzey "manyetik yüklerinin" Coulomb alanı gibi hesaplanabileceğini (serbest akım yokken) gösterin. Bu yöntemle mıknatıslanmış kürenin içinde \(\vb{H} = -\vb{M}/3\)'ü yeniden bulun.
Çözümü göster
Serbest akım yoksa \(\nabla\times\vb{H} = 0\) ve \(\nabla\cdot\vb{H} = -\nabla\cdot\vb{M}\): \(\vb{H}\), "yük yoğunluğu" \(-\nabla\cdot\vb{M}\) olan bir elektrostatik alanın (\(\epsilon_0 = 1\)) aynısıdır; yüzeydeki süreksizlik \(\sigma_m = \vb{M}\cdot\hat{\vb{n}}\) verir. Kürede \(\sigma_m = M\cos\theta\): 4. bölümdeki kutuplanmış kürenin \(\sigma_b = P\cos\theta\) problemi, \(\vb{E}_{\text{iç}} = -\vb{P}/3\epsilon_0\) ⇒ \(\vb{H}_{\text{iç}} = -\vb{M}/3\) ✓.
Bir döngü boyunca birim hacme yapılan işin \(\oint H\,\dd B\) olduğunu gösterin. Bir transformatör çekirdeğinin döngü alanı 100 J/m³ ve hacmi 1,0 litre ise 50 Hz'te histerezis kaybı kaç watt'tır?
Çözümü göster
Uzun bir solenoid: \(\dd B\) değişimi sarımlarda bir emk indükler (7. bölüm, \(\mathcal{E} = -NA\,\dd B/\dd t\)); pilin bunu yenerek yaptığı iş \(I\,NA\,\dd B = (H\ell)A\,\dd B\) (\(H = NI/\ell\)). Birim hacim başına \(H\,\dd B\). Döngü boyunca toplam, döngünün alanıdır. Kayıp: \(100\ \text{J/m}^3 \times 10^{-3}\ \text{m}^3 \times 50\ \text{s}^{-1} = 5\) W.
İleri okuma
- D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 6. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
- E. M. Purcell, D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3. baskı (Cambridge University Press, 2013), 11. bölüm: maddede manyetik alanlar.
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Cilt II, 34–37. bölümler: maddenin manyetizması ve ferromanyetizma.
- S. Blundell, Magnetism in Condensed Matter (Oxford University Press, 2001): manyetizmanın kuantum kökeninin anlaşılır bir anlatımı.
- M. V. Berry, A. K. Geim, "Of flying frogs and levitrons", European Journal of Physics 18 (1997): diyamanyetik kaldırmanın fiziği.