Bölüm 5
Manyetostatik
Lorentz kuvveti ve manyetik kuvvetlerin iş yapmaması; çizgi, yüzey ve hacim akımları, süreklilik denklemi; Biot–Savart yasası; düz tel, halka, Helmholtz bobinleri; manyetik alanın diverjansı ve rotasyoneli, Ampère yasası; solenoid ve toroid; manyetik vektör potansiyel; sınır koşulları; manyetik dipol ve çok kutuplu açılım.
- Hareketli yüklere etki eden manyetik kuvveti ve bu kuvvetin neden hiç iş yapmadığını
- Akım yoğunluklarını ve yük korunumunun yerel biçimi olan süreklilik denklemini
- Biot–Savart yasasıyla tel, halka ve bobinlerin alanlarını hesaplamayı
- \(\nabla\cdot\vb{B} = 0\) ve \(\nabla\times\vb{B} = \mu_0\vb{J}\) denklemlerini ve Ampère yasasının uygulamalarını
- Manyetik vektör potansiyeli ve onun ayar özgürlüğünü
- Bir yüzey akımında manyetik alanın sınır koşullarını
- Manyetik dipolü ve elektrik dipolüyle benzerliklerini ve farklarını
5.1Lorentz kuvveti
Birbirine paralel iki tel düşünelim. Akım yoksa birbirlerine kuvvet uygulamazlar: teller nötrdür. Aynı yönde akım taşıyorlarsa birbirlerini çekerler; zıt yönlerde akım taşıyorlarsa iterler. Bu kuvvet elektrostatik olamaz, çünkü teller hâlâ nötrdür; hareket eden yüklere özgü yeni bir etkileşmedir. Hareketli yükler, durgun yüklerin yarattığı elektrik alanın yanı sıra bir manyetik alan \(\vb{B}\) de yaratır ve manyetik alan hareketli bir \(Q\) yüküne
kuvvetini uygular. Bu, Lorentz kuvvet yasasıdır. Klasik elektrodinamiğin bütün mekaniği, Maxwell denklemlerinin verdiği alanlarla birlikte bu yasadadır. Manyetik alanın birimi tesladır: 1 T = 1 N/(A·m). Dünya'nın yüzeydeki alanı yaklaşık 25–65 \(\mu\)T, bir buzdolabı mıknatısı 5 mT, bir MR cihazı 1,5–3 T'dır.
Manyetik kuvvetler iş yapmaz. Yük \(\dd\vb{l} = \vb{v}\,\dd t\) kadar hareket ederse manyetik kuvvetin işi \(Q(\vb{v}\times\vb{B})\cdot\vb{v}\,\dd t = 0\)'dır, çünkü \(\vb{v}\times\vb{B}\), \(\vb{v}\)'ye diktir. Manyetik kuvvet bir yükün hareket yönünü değiştirebilir, ama hızının büyüklüğünü değiştiremez. Düzgün bir alanda bu, Klasik Mekanik kitabının 2. bölümünde incelediğimiz siklotron hareketine yol açar: alana dik düzlemde yarıçapı \(R = mv/(QB)\) olan çembersel hareket, açısal frekansı \(\omega = QB/m\). Elektrik ve manyetik alanlar birlikteyse yük, \(\vb{E}\times\vb{B}\) yönünde bir sikloid boyunca sürüklenir.
Manyetik kuvvetlerin iş yapmaması, gündelik deneyimle çelişiyor gibi görünür: bir vinç mıknatısı bir hurda otomobili yukarı kaldırır. Kaldırma işini yapan kim? Bu ince sorunun yanıtı (iş, mıknatısı besleyen akımı sağlayan elektrik alan tarafından yapılır), 7. ve 8. bölümlerde açıklık kazanacak.
100 eV kinetik enerjili bir elektron 1,0 mT'lık düzgün bir alana dik giriyor. Yörüngesinin yarıçapını ve bir tur süresini bulun.
\(v = \sqrt{2K/m_e} = \sqrt{2 \times 100 \times 1{,}602\times10^{-19}/9{,}109\times10^{-31}} = 5{,}93\times10^6\) m/s (ışık hızının %2'si, göreli olmayan hesap yeterli). \(R = m_ev/(eB) = 3{,}37\) cm. Periyot \(T = 2\pi m_e/(eB) = 35{,}7\) ns; enerjiden bağımsızdır. Eski televizyonların katot ışını tüplerinde elektron demetleri tam böyle bobinlerle saptırılırdı.
5.2Akımlar
Bir telden geçen akım \(I\), birim zamanda bir noktadan geçen yüktür (amper, 1 A = 1 C/s). Bir çizgi yükü \(\lambda\), \(\vb{v}\) hızıyla hareket ediyorsa \(\vb{I} = \lambda\vb{v}\)'dir. Bir telin \(\dd\vb{l}\) parçasına etki eden manyetik kuvvet \(\dd\vb{F} = (\vb{v}\times\vb{B})\lambda\,\dd l = I\,\dd\vb{l}\times\vb{B}\):
Yük bir yüzey üzerinde akıyorsa yüzey akım yoğunluğu \(\vb{K}\) (akış yönüne dik birim genişlik başına akım, A/m), bir hacimde akıyorsa hacim akım yoğunluğu \(\vb{J}\) (akış yönüne dik birim alan başına akım, A/m²) tanımlanır: \(\vb{K} = \sigma\vb{v}\), \(\vb{J} = \rho\vb{v}\). Bir yüzeyden geçen akım \(I = \int\vb{J}\cdot\dd\vb{a}\)'dır.
Süreklilik denklemi. Kapalı bir yüzeyden dışarı akan akım, içerideki yükün azalma hızına eşittir (yük korunur): \(\oint\vb{J}\cdot\dd\vb{a} = -\dd/\dd t\int\rho\,\dd\tau\). Gauss teoremiyle, her hacim için geçerli olduğundan
Bu, yük korunumunun yerel biçimidir: yük bir yerde yok olup başka bir yerde ortaya çıkamaz; ancak akarak yer değiştirebilir. Manyetostatikte akımlar sabittir ve hiçbir yerde yük birikmez: \(\partial\rho/\partial t = 0\) ve \(\nabla\cdot\vb{J} = 0\).
Kesit alanı 1,0 mm² olan bir bakır telden 1,0 A akım geçiyor. Bakırda iletim elektronu yoğunluğu \(n = 8{,}5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}\)'tür. Elektronların ortalama sürüklenme hızı nedir?
\(J = nev_d\) ⇒ \(v_d = I/(neA) = 1{,}0/(8{,}5\times10^{28} \times 1{,}602\times10^{-19} \times 10^{-6}) = 7{,}3\times10^{-5}\) m/s, yani saniyede 0,07 mm. Elektronlar şaşırtıcı derecede yavaş ilerler. Lamba anahtarı açılınca hemen yanar, çünkü elektronların değil, onları iten elektrik alanın değişimi tel boyunca ışık hızına yakın bir hızla yayılır.
5.3Biot–Savart yasası
Sabit akımların manyetik alanı Biot–Savart yasasıyla verilir:
İntegral akım yolu boyuncadır; \(\dd\vb{l}'\) akım yönünde bir tel parçasıdır ve \(\pmb{\mathcal{R}}\), 1. bölümdeki gibi kaynaktan alan noktasına uzanır (Şekil 5.1). \(\mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}\ \text{N/A}^2\), boşluğun manyetik geçirgenliğidir. (2019'dan beri SI'da \(\mu_0\) deneysel olarak belirlenen bir sabittir; değeri \(4\pi\times10^{-7}\)'den yalnızca \(10^{-10}\) mertebesinde farklıdır.) Biot–Savart yasası, manyetostatikte Coulomb yasasının rolünü oynar: alan uzaklığın karesiyle ters orantılıdır ve üst üste binme geçerlidir. Yüzey ve hacim akımları için \(I\,\dd\vb{l}' \to \vb{K}\,\dd a'\) ya da \(\vb{J}\,\dd\tau'\) yazılır.
Düz bir telden \(I\) akımı geçiyor. Telden \(s\) uzaklıktaki alanı bulun. Telin sonsuz uzun olduğu limitte ne olur? 1 m arayla duran ve 1 A taşıyan iki paralel tel arasındaki kuvveti hesaplayın.
\(\dd\vb{l}'\times\hat{\pmb{\mathcal{R}}}\)'nin büyüklüğü \(\dd l'\sin\theta\)'dır (\(\theta\), tel ile \(\pmb{\mathcal{R}}\) arasındaki açı) ve yönü bütün parçalar için aynıdır (tel çevresinde dolanan yön). Alan noktasından tele inilen dikmenin ayağından ölçülen konum \(l'\) ve bu dikme ile \(\pmb{\mathcal{R}}\) arasındaki açı \(\beta\) ile (\(\sin\theta = \cos\beta\)) \(l' = s\tan\beta\), \(\dd l' = s\,\dd\beta/\cos^2\beta\), \(\mathcal{R} = s/\cos\beta\):
Sonsuz tel için \(\beta_1 = -\pi/2\), \(\beta_2 = \pi/2\):
Alan çizgileri tel çevresinde çemberlerdir; yön sağ el kuralıyla bulunur (başparmak akım yönünde, parmaklar alan yönünde). 10 A taşıyan bir telden 1 cm uzakta alan 200 \(\mu\)T, Dünya'nın alanının dört katıdır; pusulalar yakındaki kabloları bu yüzden "görür". İki paralel tel: birinin ikincinin yerindeki alanı \(\mu_0I_1/(2\pi d)\), ikinciye birim uzunluk başına kuvvet (5.2) ile \(f = \mu_0I_1I_2/(2\pi d)\). \(I_1 = I_2 = 1\) A, \(d = 1\) m için \(f = 2\times10^{-7}\) N/m. 2019'a kadar amperin tanımı tam olarak buydu.
Yarıçapı \(R\) olan bir halkadan \(I\) akımı geçiyor. Eksen üzerinde merkezden \(z\) uzaklıktaki alanı bulun.
Halkanın her parçası için \(\dd\vb{l}'\) ile \(\pmb{\mathcal{R}}\) diktir ve \(\mathcal{R}^2 = R^2 + z^2\). Her parçanın alanı \(\pmb{\mathcal{R}}\)'ye diktir; eksene dik bileşenler simetri gereği birbirini götürür, eksen boyunca bileşenler \(R/\mathcal{R}\) çarpanıyla toplanır:
Merkezde \(B = \mu_0I/(2R)\); uzakta \(B \approx \mu_0IR^2/(2z^3)\) (Kısım 5.7). Eksen dışındaki alan tam eliptik integralleri gerektirir; Şekil 5.2 bu tam çözümle çizilmiştir.
Yarıçapı \(R\) olan, her birinde \(N\) sarım bulunan ve aynı yönde \(I\) akımı taşıyan iki eş eksenli bobin, aralarında \(R\) uzaklıkla duruyor. Ortadaki alanı bulun ve alanın orada neden çok düzgün olduğunu gösterin.
Orijin ortada olsun; bobinler \(z = \pm R/2\)'de. (5.6) ile \(B(z) = (\mu_0NIR^2/2)\{[R^2 + (z - R/2)^2]^{-3/2} + [R^2 + (z + R/2)^2]^{-3/2}\}\). Ortada \(B(0) = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R = 0{,}716\,\mu_0NI/R\). \(B(z)\) çift bir fonksiyon olduğundan \(\dd B/\dd z = 0\); ayrıca \(\dd^2B/\dd z^2\) da tam bu aralıkta sıfırdır (bunu sağlayan aralık \(R\)'dir). Alan merkez çevresinde ancak \(z^4\) mertebesinde değişir. Helmholtz bobinleri bu yüzden laboratuvarda düzgün manyetik alan üretmenin standart yoludur (örneğin Dünya'nın alanını yok etmek için).
5.4Manyetik alanın diverjansı ve rotasyoneli
Biot–Savart yasasını bir hacim akımı için yazıp türevlerini alalım: \(\vb{B} = (\mu_0/4\pi)\int\vb{J}(\vb{r}')\times\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2\,\dd\tau'\). Türevler yalnızca \(\vb{r}\)'ye etki eder.
Diverjans. Çarpım kuralıyla \(\nabla\cdot(\vb{J}\times\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2) = (\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2)\cdot(\nabla\times\vb{J}) - \vb{J}\cdot\nabla\times(\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2)\). İlk terim sıfırdır (\(\vb{J}\), \(\vb{r}\)'ye bağlı değil), ikincisi de (\(\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2 = -\nabla(1/\mathcal{R})\) bir gradyandır ve rotasyoneli sıfırdır). Dolayısıyla
Manyetik alanın kaynağı ya da kuyusu yoktur: manyetik tek kutup (yalıtılmış bir "manyetik yük") yoktur. Alan çizgileri hiçbir yerde başlamaz ya da bitmez; ya kapalı eğrilerdir ya da sonsuza uzanır. Bugüne kadar yapılan bütün aramalar manyetik tek kutup bulamamıştır.
Rotasyonel. Benzer bir hesap (Problem 5.16) \(\nabla\times(\vb{J}\times\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2) = \vb{J}\,\nabla\cdot(\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2) - (\vb{J}\cdot\nabla)(\hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2)\) verir. Birinci terim 1. bölümdeki delta fonksiyonuyla \(4\pi\vb{J}\,\delta^3(\pmb{\mathcal{R}})\)'dir; ikinci terim, kısmi integralden sonra \(\nabla'\cdot\vb{J} = 0\) (sabit akımlar) ve sınır teriminin sıfır olması nedeniyle katkı vermez. Sonuç:
Bu, Ampère yasasının diferansiyel biçimidir. Stokes teoremiyle integral biçime çevrilir:
Kapalı bir eğri boyunca manyetik alanın dolanımı, eğrinin sınırladığı herhangi bir yüzeyden geçen toplam akımın \(\mu_0\) katıdır:
Eğrinin dolanma yönü ile akımın işareti sağ el kuralıyla bağlıdır.
Ampère yasası, Gauss yasasının manyetostatikteki karşılığıdır: her zaman doğrudur, ama alanı bulmak için ancak simetri yeterliyse kullanılır. Uygun simetriler sonsuz düz tel (silindirik), sonsuz düzlem, sonsuz solenoid ve toroiddir (Şekil 5.3).
| Elektrostatik | Manyetostatik | |
|---|---|---|
| Kaynak | yük yoğunluğu \(\rho\) | akım yoğunluğu \(\vb{J}\) |
| Temel yasa | Coulomb | Biot–Savart |
| Diverjans | \(\nabla\cdot\vb{E} = \rho/\epsilon_0\) | \(\nabla\cdot\vb{B} = 0\) |
| Rotasyonel | \(\nabla\times\vb{E} = 0\) | \(\nabla\times\vb{B} = \mu_0\vb{J}\) |
| İntegral yasa | Gauss | Ampère |
| Potansiyel | skaler \(V\) | vektör \(\vb{A}\) |
Birim uzunlukta \(n\) sarımı olan ve \(I\) akımı taşıyan çok uzun bir solenoidin alanını bulun. Birim uzunlukta 1 000 sarım ve 2,0 A için hesaplayın.
Simetri gereği alan eksene paraleldir ve yalnızca eksene uzaklığa bağlıdır. Tamamen dışarıda kalan bir dikdörtgen döngü akım içermez: dışarıdaki alan her uzaklıkta aynıdır ve sonsuzda sıfır olduğundan her yerde sıfırdır. Duvarı kesen, boyu \(L\) olan dikdörtgen döngü (Şekil 5.3) \(nL\) sarımı keser: \(BL = \mu_0nIL\),
İçeride alan düzgündür, eksene uzaklığa bağlı değildir. \(n = 1\,000\ \text{m}^{-1}\), \(I = 2{,}0\) A için \(B = 2{,}51\) mT. Gerçek, sonlu bir solenoidde alan uçlara doğru zayıflar ve dışarı sızar (Şekil 5.4); merkezdeki değer \(\mu_0nI\cdot L/\sqrt{L^2 + 4R^2}\)'dir (Problem 5.15).
Bir halka çekirdeğin üzerine \(N\) sarım sarılmış ve \(I\) akımı geçiyor. Alanı bulun.
Simetri gereği alan toroidin ekseni çevresinde dolanır ve büyüklüğü yalnızca eksene uzaklık \(s\)'ye bağlıdır. Toroidin içinden geçen, yarıçapı \(s\) olan çember \(N\) sarımı keser: \(B\,2\pi s = \mu_0NI\), \(B = \mu_0NI/(2\pi s)\). Toroidin içi dışında (eksene yakın ya da toroidin dışında) çember hiç akım içermez (ya da \(NI - NI = 0\)) ve \(B = 0\). Toroid, alanı tamamen içinde tutar; transformatörlerde ve endüktörlerde bu yüzden çok kullanılır.
5.5Manyetik vektör potansiyel
\(\nabla\cdot\vb{B} = 0\) olduğundan, 1. bölümdeki teoreme göre \(\vb{B}\) bir vektör alanın rotasyonelidir:
\(\vb{A}\)'ya manyetik vektör potansiyel denir. Elektrik potansiyeli gibi tek değildir: \(\vb{A}\)'ya herhangi bir gradyan eklenirse (\(\vb{A} \to \vb{A} + \nabla\lambda\)) \(\vb{B}\) değişmez. Bu özgürlüğü kullanarak her zaman \(\nabla\cdot\vb{A} = 0\) seçebiliriz (Coulomb ayarı; Problem 5.13). Bu ayarda Ampère yasası, 1. bölümdeki rotasyonelin rotasyoneli özdeşliğiyle,
olur: her Kartezyen bileşen için bir Poisson denklemi. Elektrostatikteki çözümün aynısını yazabiliriz:
\(\vb{A}\), genellikle akım yönündedir. \(V\)'nin aksine, \(\vb{A}\)'nın elektrostatikteki "potansiyel enerji" gibi basit bir fiziksel yorumu yoktur; ama 7. bölümde Faraday yasasında, 10. bölümde dalgaların potansiyellerinde ve kuantum mekaniğinde (Klasik Mekanik kitabının 7. ve 13. bölümlerindeki kanonik momentum \(\vb{p} = m\vb{v} + q\vb{A}\)) temel bir rol oynar.
Yarıçapı \(R\) olan sonsuz bir solenoidin içinde \(B = \mu_0nI\), dışında \(B = 0\)'dır. Vektör potansiyeli bulun.
\(\vb{A}\) akım yönünde, yani \(\hat{\boldsymbol{\phi}}\) yönündedir. Stokes teoremi: \(\oint\vb{A}\cdot\dd\vb{l} = \int\vb{B}\cdot\dd\vb{a}\), yani \(\vb{A}\)'nın bir döngü çevresindeki dolanımı döngüden geçen manyetik akıdır. Yarıçapı \(s\) olan çember: içeride \(A\,2\pi s = \mu_0nI\pi s^2\), \(A = \mu_0nIs/2\); dışarıda \(A\,2\pi s = \mu_0nI\pi R^2\),
Dışarıda \(\vb{B} = 0\) olduğu hâlde \(\vb{A}\) sıfır değildir. Klasik fizikte bu bir merak konusudur; kuantum mekaniğinde ise solenoidin dışından geçen elektronların dalga fonksiyonları solenoidin içindeki akıyı "hisseder" (Aharonov–Bohm etkisi, 1959 kuramı, 1986'da Tonomura'nın deneyiyle kesin olarak doğrulandı).
5.6Sınır koşulları
Bir \(\vb{K}\) yüzey akımında manyetik alanın davranışı, elektrostatikteki gibi iki integral yasadan çıkar (Şekil 5.5). \(\oint\vb{B}\cdot\dd\vb{a} = 0\) ince bir kutuya uygulanınca dik bileşenin sürekli olduğunu, \(\oint\vb{B}\cdot\dd\vb{l} = \mu_0I_{\text{iç}}\) yüzeyi kesen ince bir döngüye uygulanınca teğet bileşenin akıma dik doğrultuda \(\mu_0K\) kadar sıçradığını söyler:
(\(\hat{\vb{n}}\), alttan üste doğru birim normal.) Vektör potansiyel ise süreklidir (Coulomb ayarında). Sonsuz düzgün bir \(\vb{K}\) levhasının alanı her iki yanda \(\mu_0K/2\)'dir ve zıt yönlüdür (Problem 5.10); toplam sıçrama \(\mu_0K\), (5.13) ile uyumlu.
5.7Manyetik dipol
Yerel bir akım dağılımının vektör potansiyelini uzaktan açalım. Tek bir kapalı halka için 3. bölümdeki \(1/\mathcal{R}\) açılımıyla
Birinci terim, manyetik tek kutup terimi, her zaman sıfırdır: kapalı bir eğri boyunca \(\oint\dd\vb{l}' = 0\). Bu, manyetik tek kutup olmamasının bir başka ifadesidir. Baskın terim dipol terimidir ve bir vektör özdeşliğiyle (Problem 5.17)
olur. \(\vb{m}\), halkanın manyetik dipol momentidir: akım ile halkanın alan vektörünün çarpımı (birimi A·m²); düzlemsel bir halkada büyüklüğü \(I\times\text{alan}\), yönü sağ el kuralıyla halkaya diktir. Rotasyoneli alınınca dipol alanı bulunur:
Bu, 3. bölümdeki elektrik dipol alanıyla (\(\vb{p}/\epsilon_0 \to \mu_0\vb{m}\)) tamamen aynı biçimdedir. Ama yalnızca uzakta: kaynağın yakınında iki alan çok farklıdır (Şekil 5.6). Elektrik dipolünde içerideki alan çizgileri artı yükten eksiye, yani dipol momentine ters yöndedir. Manyetik dipolde çizgiler halkanın içinden kesintisiz geçer ve içeride dipol momentiyle aynı yöndedir. Bu fark 6. bölümde, manyetik maddelerin içindeki alanı ve atomların manyetik momentlerinin gerçek doğasını tartışırken önem kazanacak.
Düzgün alanda dipol. Düzgün bir \(\vb{B}\) alanında bir akım halkasına etki eden net kuvvet sıfırdır (\(\oint I\,\dd\vb{l}\times\vb{B} = -I\vb{B}\times\oint\dd\vb{l} = 0\)), ama bir tork vardır:
Elektrik dipolündeki gibi. Pusula iğnesinin kuzeyi göstermesi, elektrik motorlarının dönmesi ve MR'de proton spinlerinin yönelmesi bu torka dayanır.
Dünya'nın manyetik alanı, iyi bir yaklaşıklıkla merkezindeki bir dipolün alanıdır; dipol momenti yaklaşık \(8{,}0\times10^{22}\ \text{A·m}^2\)'dir. Ekvatorda ve kutuplarda yüzeydeki alanı bulun (\(R_D = 6\,371\) km).
Ekvatorda (\(\vb{m}\cdot\hat{\vb{r}} = 0\)) \(B = \mu_0m/(4\pi R_D^3) = 10^{-7} \times 8{,}0\times10^{22}/(6{,}371\times10^6)^3 = 31\ \mu\text{T}\); kutuplarda iki katı, \(62\ \mu\text{T}\). Ölçülen değerler sırasıyla yaklaşık 30 ve 60 \(\mu\)T'dır. Dünya'nın "manyetik kuzey kutbu" coğrafi güneyin yakınındadır: dipol momenti güneyi gösterir, pusulanın kuzeye bakan ucu bu yüzden coğrafi kuzeye çekilir. Alanı, dış çekirdekteki sıvı demirin hareketinin yarattığı akımlar üretir (jeodinamo).
Hidrojen atomunun Bohr modelinde elektron, \(a_0 = 0{,}529\) Å yarıçaplı bir yörüngede \(v = \hbar/(m_ea_0)\) hızıyla dolanır. Yörüngenin manyetik momentini bulun.
Bir tur süresi \(T = 2\pi a_0/v\); halka akımı \(I = e/T = ev/(2\pi a_0)\). \(m = I\pi a_0^2 = eva_0/2 = e\hbar/(2m_e) = 9{,}27\times10^{-24}\ \text{A·m}^2\). Bu, atom fiziğinin doğal manyetik moment birimi olan Bohr magnetonudur, \(\mu_B\). Elektronun kendi spininden gelen manyetik momenti de (neredeyse tam olarak) \(\mu_B\)'dir; ama spin manyetik momenti hiçbir dolanan akımla açıklanamaz (6. bölüm).
1820 baharında Kopenhag'da Hans Christian Ørsted, bir ders sırasında, akım taşıyan bir telin yanındaki pusula iğnesinin saptığını gözledi: elektrik ile manyetizma arasındaki ilk bağ. Haber Avrupa'ya bir yangın gibi yayıldı. Birkaç hafta içinde Paris'te Jean-Baptiste Biot ve Félix Savart tel çevresindeki alanın \(1/s\) ile azaldığını ölçtüler. André-Marie Ampère, iki akım taşıyan telin birbirine kuvvet uyguladığını gösterdi ve 1826'ya kadar bu kuvvetlerin matematiksel kuramını kurdu; Maxwell onu "elektriğin Newton'u" diye anar. Ampère ayrıca, mıknatısların manyetizmasının maddenin içindeki küçük dolanan akımlardan geldiğini ileri sürdü; bu fikrin doğruluğu (ve sınırları) ancak kuantum mekaniğiyle anlaşılabildi.
Özet
- Lorentz kuvveti \(\vb{F} = Q(\vb{E} + \vb{v}\times\vb{B})\) (5.1); manyetik kuvvetler iş yapmaz. Bir tele etki eden kuvvet \(\int I\,\dd\vb{l}\times\vb{B}\)'dir (5.2).
- Yük korunumu: \(\nabla\cdot\vb{J} = -\partial\rho/\partial t\) (5.3); manyetostatikte \(\nabla\cdot\vb{J} = 0\).
- Biot–Savart yasası (5.4): sonsuz tel \(\mu_0I/2\pi s\) (5.5), halkanın ekseni (5.6).
- \(\nabla\cdot\vb{B} = 0\) (5.7), \(\nabla\times\vb{B} = \mu_0\vb{J}\) (5.8); integral biçimi Ampère yasası \(\oint\vb{B}\cdot\dd\vb{l} = \mu_0I_{\text{iç}}\) (5.9). Solenoid \(\mu_0nI\) (5.10), toroid \(\mu_0NI/2\pi s\).
- \(\vb{B} = \nabla\times\vb{A}\) (5.11); Coulomb ayarında \(\nabla^2\vb{A} = -\mu_0\vb{J}\) ve (5.12).
- Bir yüzey akımında \(B^\perp\) süreklidir, teğet bileşen \(\mu_0\vb{K}\times\hat{\vb{n}}\) kadar sıçrar (5.13).
- Manyetik tek kutup terimi yoktur; dipol momenti \(\vb{m} = I\vb{a}\) (5.14), dipol alanı (5.15), düzgün alanda tork \(\vb{m}\times\vb{B}\) (5.16).
Problemler
Yalnızca manyetik alanın etkisindeki bir yükün kinetik enerjisinin sabit kaldığını, \(\dd(\tfrac12mv^2)/\dd t\)'yi hesaplayarak gösterin.
Çözümü göster
\(\dd(\tfrac12mv^2)/\dd t = m\vb{v}\cdot\dot{\vb{v}} = \vb{v}\cdot Q(\vb{v}\times\vb{B}) = 0\), çünkü \(\vb{v}\times\vb{B}\), \(\vb{v}\)'ye diktir.
Aralarında 5,0 cm bulunan iki paralel telden zıt yönlerde 100'er A akım geçiyor. Birim uzunluk başına kuvvet nedir? Çekme mi, itme mi?
Çözümü göster
\(f = \mu_0I^2/(2\pi d) = 2\times10^{-7} \times 10^4/0{,}05 = 0{,}040\) N/m; zıt akımlar iter. Büyük akım taşıyan bara sistemleri bu kuvvetlere dayanacak biçimde sabitlenir; kısa devrede akım 100 kat artarsa kuvvet \(10^4\) kat artar.
Yarıçapı \(a\) olan uzun bir telden düzgün dağılmış \(I\) akımı geçiyor. Tel içinde ve dışında alanı bulun.
Çözümü göster
Ampère: dışarıda \(\mu_0I/(2\pi s)\). İçeride döngü \(I(s/a)^2\) akımı çevreler: \(B = \mu_0Is/(2\pi a^2)\). Alan yüzeyde en büyüktür ve süreklidir.
Bir eş eksenli kablonun iç iletkeninden \(I\), dış iletkeninden ters yönde \(I\) akımı geçiyor. İletkenler arasındaki ve kablonun dışındaki alanı bulun.
Çözümü göster
Arada döngü yalnızca iç akımı çevreler: \(B = \mu_0I/(2\pi s)\). Dışarıda net akım sıfırdır: \(B = 0\). Eş eksenli kablolar bu yüzden dışarıya manyetik alan sızdırmaz (ve dışarıdaki alanlardan etkilenmez).
100 sarımlı, her sarımının alanı 1,0 cm² olan bir bobinden 0,10 A akım geçiyor. Dünya'nın 50 \(\mu\)T'lık alanında bobine etki edebilecek en büyük tork nedir?
Çözümü göster
\(m = NIa = 100 \times 0{,}10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\ \text{A·m}^2\). \(N_{\max} = mB = 5\times10^{-8}\) N·m. Analog ölçü aletlerindeki döner bobinler bu tür torkları (ama çok daha güçlü bir mıknatısın alanında) bir yayla dengeleyerek akımı ölçer.
Kenarı \(a\) olan kare bir halkadan \(I\) akımı geçiyor. Merkezdeki alanı bulun ve aynı çevreli bir dairesel halkanın merkezindeki alanla karşılaştırın.
Çözümü göster
Her kenar, merkezden \(a/2\) uzaklıkta ve \(\beta = \pm 45°\) sınırlı bir tel parçasıdır (Örnek 5.3): \(B_1 = (\mu_0I/4\pi(a/2))(2\sin 45°)\). Dört kenar: \(B = 2\sqrt{2}\,\mu_0I/(\pi a) = 0{,}900\,\mu_0I/a\). Aynı çevreli daire: \(2\pi R = 4a\), \(B = \mu_0I/(2R) = \pi\mu_0I/(4a) = 0{,}785\,\mu_0I/a\). Kare, merkezde biraz daha güçlü alan verir (köşeleri merkeze daha yakın olan kenarları yüzünden).
İki eş bobin arasındaki uzaklık \(d\) ise merkezde \(\dd^2B/\dd z^2 = 0\) olması için \(d = R\) olması gerektiğini gösterin.
Çözümü göster
\(f(z) = [R^2 + z^2]^{-3/2}\) için \(f''(z) = 3(4z^2 - R^2)(R^2 + z^2)^{-7/2}\). Merkezde iki bobinin katkısı \(z = \pm d/2\)'deki değerlerin toplamıdır; sıfır olması için \(4(d/2)^2 = R^2\), yani \(d = R\) ✓.
Yarıçapı \(R\) olan ince bir disk düzgün \(\sigma\) yoğunluğuyla yüklüdür ve ekseni çevresinde \(\omega\) açısal hızıyla dönüyor. Merkezdeki alanı bulun.
Çözümü göster
Yarıçapı \(s\), kalınlığı \(\dd s\) olan halka \(\dd q = 2\pi s\sigma\,\dd s\) yükünü taşır ve \(\omega/2\pi\) frekansıyla döner: \(\dd I = \sigma\omega s\,\dd s\). Merkezde \(\dd B = \mu_0\,\dd I/(2s) = \mu_0\sigma\omega\,\dd s/2\); \(B = \mu_0\sigma\omega R/2\).
Yarıçapı \(R\) olan küresel bir kabuk düzgün \(\sigma\) yoğunluğuyla yüklüdür ve \(\omega\) ile dönüyor. Merkezdeki alanı bulun. (Kabuğun içinde alanın her yerde aynı olduğu gösterilebilir.)
Çözümü göster
Kutup açısı \(\theta\)'daki kuşak: yük \(\sigma 2\pi R^2\sin\theta\,\dd\theta\), akım \(\dd I = \sigma\omega R^2\sin\theta\,\dd\theta\), yarıçap \(R\sin\theta\), merkezden eksen boyunca uzaklık \(R\cos\theta\). (5.6): \(\dd B = \mu_0\,\dd I(R\sin\theta)^2/(2R^3)\). \(B = \tfrac12\mu_0\sigma\omega R\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac23\mu_0\sigma\omega R\).
\(xy\) düzleminde \(\vb{K} = K\uv{x}\) düzgün yüzey akımı akıyor. Alanı Ampère yasasıyla bulun.
Çözümü göster
Simetri: alan \(\pm\uv{y}\) yönündedir ve düzlemin iki yanında zıttır. Düzlemi kesen, \(y\) doğrultusunda \(L\) uzunluklu dikdörtgen döngü: \(2BL = \mu_0KL\), \(B = \mu_0K/2\). Yön: üstte \(-\uv{y}\), altta \(+\uv{y}\) (\(\vb{K}\times\hat{\vb{n}} = K\uv{x}\times\uv{z} = -K\uv{y}\), (5.13) ile uyumlu).
Kalınlığı 0,10 mm olan bakır bir şeritten 1,0 A akım geçiyor ve şeride dik 1,0 T alan uygulanıyor. Şeridin iki kenarı arasında oluşan Hall gerilimini bulun (\(n = 8{,}5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}\)).
Çözümü göster
Dengede elektrik kuvveti manyetik kuvveti dengeler: \(E_H = v_dB\). Genişliği \(w\), kalınlığı \(t\) olan şeritte \(v_d = I/(newt)\) ve \(V_H = E_Hw = IB/(net) = 1{,}0 \times 1{,}0/(8{,}5\times10^{28} \times 1{,}602\times10^{-19} \times 10^{-4}) = 0{,}73\ \mu\text{V}\). Metallerde küçüktür; taşıyıcı yoğunluğu çok küçük olan yarı iletkenlerde çok büyüktür ve Hall sensörleri manyetik alan ölçmek için bu yüzden yarı iletkenlerden yapılır. Gerilimin işareti taşıyıcıların yükünün işaretini verir.
Sonsuz düz bir telin vektör potansiyelinin \(\vb{A} = -(\mu_0I/2\pi)\ln(s/s_0)\,\uv{z}\) olduğunu, rotasyonelini alarak gösterin. \(s_0\) neden gereklidir?
Çözümü göster
Silindirik rotasyonel: \((\nabla\times\vb{A})_\phi = -\partial A_z/\partial s = \mu_0I/(2\pi s)\) ✓. (5.12) sonsuz bir tel için ıraksar (yük sonsuza uzanır); \(s_0\), potansiyelin sıfır seçildiği keyfi bir uzaklıktır ve bir sabitin değişmesi \(\vb{B}\)'yi etkilemez.
\(\nabla\cdot\vb{A}_0 \neq 0\) olan bir \(\vb{A}_0\) verilsin. \(\vb{A} = \vb{A}_0 + \nabla\lambda\) yazarak \(\nabla\cdot\vb{A} = 0\) yapacak bir \(\lambda\)'nın her zaman bulunabileceğini gösterin.
Çözümü göster
\(\nabla\cdot\vb{A} = \nabla\cdot\vb{A}_0 + \nabla^2\lambda = 0\) gerekir: \(\nabla^2\lambda = -\nabla\cdot\vb{A}_0\). Bu bir Poisson denklemidir ve çözümü \(\lambda = (1/4\pi)\int\nabla'\cdot\vb{A}_0/\mathcal{R}\,\dd\tau'\)'dür (\(\nabla\cdot\vb{A}_0\) sonsuzda sıfıra gidiyorsa).
Dünya'nın kutuplardaki alanı yaklaşık 60 \(\mu\)T'dır. Dipol momentini tahmin edin. Bu moment, Dünya'nın ekvatoru boyunca dolanan tek bir akım halkasıyla oluşturulsaydı akım ne olurdu?
Çözümü göster
Kutupta \(B = 2\mu_0m/(4\pi R^3)\): \(m = 60\times10^{-6} \times (6{,}371\times10^6)^3/(2\times10^{-7}) = 7{,}8\times10^{22}\ \text{A·m}^2\). \(I = m/(\pi R^2) = 6{,}1\times10^8\) A. Gerçek akımlar çekirdekte, çok daha küçük bir yarıçapta ve dağılmış olarak akar.
Boyu \(L\), yarıçapı \(R\) olan ve birim uzunlukta \(n\) sarımı bulunan bir solenoidin merkezindeki alanın \(\mu_0nI\,L/\sqrt{L^2 + 4R^2}\) olduğunu, (5.6)'yı integralleyerek gösterin. \(L = 5R\) için sonsuz solenoid değerinden ne kadar küçüktür?
Çözümü göster
\(\dd B = (\mu_0nI\,\dd z/2)R^2/(R^2 + z^2)^{3/2}\); \(\int_{-L/2}^{L/2}R^2\,\dd z/(R^2 + z^2)^{3/2} = [z/\sqrt{R^2 + z^2}]_{-L/2}^{L/2} = L/\sqrt{R^2 + L^2/4}\). \(B = \mu_0nI\,L/\sqrt{L^2 + 4R^2}\) ✓. \(L = 5R\): \(5/\sqrt{29} = 0{,}928\), %7 küçük.
Biot–Savart yasasından \(\nabla\times\vb{B} = \mu_0\vb{J}\)'yi türetin. \((\vb{J}\cdot\nabla)\) teriminin neden katkı vermediğini gösterin.
Çözümü göster
\(\nabla\times(\vb{J}\times\vb{c}) = \vb{J}(\nabla\cdot\vb{c}) - (\vb{J}\cdot\nabla)\vb{c}\) (\(\vb{J}\) sabit, \(\vb{c} = \hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2\)). İlk terim \(4\pi\vb{J}\delta^3\) verir: \(\mu_0\vb{J}(\vb{r})\). İkinci terimde \(\vb{c}\) yalnızca \(\vb{r} - \vb{r}'\)'ye bağlı olduğundan \(\nabla \to -\nabla'\) yazılabilir: \(\int(\vb{J}\cdot\nabla')\vb{c}\,\dd\tau'\). Her bileşen için \((\vb{J}\cdot\nabla')c_i = \nabla'\cdot(c_i\vb{J}) - c_i\nabla'\cdot\vb{J}\). İkinci parça sıfır (\(\nabla'\cdot\vb{J} = 0\)), birinci parça Gauss teoremiyle akımın dışındaki bir yüzeyde integral verir ve orada \(\vb{J} = 0\) ✓.
\(\oint(\hat{\vb{r}}\cdot\vb{r}')\,\dd\vb{l}' = -\hat{\vb{r}}\times\int\dd\vb{a}'\) özdeşliğini kullanarak (5.14)'ü türetin. İpucu: sabit bir \(\vb{c}\) için \(\oint T\,\dd\vb{l} = -\int\nabla T\times\dd\vb{a}\) (Stokes teoreminin bir sonucu) özdeşliğini \(T = \vb{c}\cdot\vb{r}\) ile kullanın.
Çözümü göster
\(T = \hat{\vb{r}}\cdot\vb{r}'\) (alan noktası sabit, \(\nabla'T = \hat{\vb{r}}\)): \(\oint(\hat{\vb{r}}\cdot\vb{r}')\,\dd\vb{l}' = -\int\hat{\vb{r}}\times\dd\vb{a}' = -\hat{\vb{r}}\times\vb{a}\). Dipol terimi: \(\vb{A}_{\text{dip}} = (\mu_0I/4\pi r^2)(-\hat{\vb{r}}\times\vb{a}) = (\mu_0/4\pi)(\vb{m}\times\hat{\vb{r}})/r^2\) ✓. (Yardımcı özdeşlik: Stokes teoremini \(T\vb{c}\)'ye uygulayıp \(\nabla\times(T\vb{c}) = \nabla T\times\vb{c}\) kullanılarak bulunur.)
\(\vb{m} = m\uv{z}\) için (5.14)'ten \(\vb{A} = (\mu_0m\sin\theta/4\pi r^2)\hat{\boldsymbol{\phi}}\) olduğunu gösterin ve küresel rotasyonelle (5.15)'i bulun.
Çözümü göster
\(\uv{z}\times\hat{\vb{r}} = \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\). \(B_r = (1/r\sin\theta)\,\partial(\sin\theta A_\phi)/\partial\theta = \mu_0m\,2\cos\theta/(4\pi r^3)\); \(B_\theta = -(1/r)\,\partial(rA_\phi)/\partial r = \mu_0m\sin\theta/(4\pi r^3)\). \(\vb{B} = (\mu_0m/4\pi r^3)(2\cos\theta\,\hat{\vb{r}} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}})\): 3. bölümdeki koordinatsız biçimle aynı ✓.
İleri okuma
- D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 5. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
- E. M. Purcell, D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3. baskı (Cambridge University Press, 2013), 5–6. bölümler: manyetizmanın özel görelilikten türetildiği ünlü yaklaşım.
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Cilt II, 13–15. bölümler: manyetostatik ve vektör potansiyel.
- J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. baskı (Wiley, 1999), 5. bölüm: manyetostatik, Biot–Savart yasası ve çok kutuplar.
- A. Tonomura ve diğerleri, "Evidence for Aharonov–Bohm effect with magnetic field completely shielded from electron wave", Physical Review Letters 56 (1986).