Bölüm 4

Maddede Elektrik Alanlar

İletkenler ve yalıtkanlar; atomik kutuplanabilirlik ve kutuplu moleküllerin yönelmesi; dipole etki eden tork, kuvvet ve enerji; kutuplanma vektörü ve bağlı yükler; düzgün kutuplanmış küre; elektrik yerdeğiştirme vektörü ve Gauss yasası; doğrusal dielektrikler, duygunluk ve dielektrik sabiti; dielektrikli sınır değer problemleri; dielektriklerde enerji ve kuvvet; Clausius–Mossotti bağıntısı.

26 dk okuma8 çözümlü örnek6 şekil18 problem

Bu bölümde

Bir atomun ya da molekülün bir elektrik alanda nasıl dipol kazandığını ve kutuplanabilirliği
Dipollere etki eden torku, kuvveti ve potansiyel enerjiyi
Kutuplanmış bir maddenin alanını bağlı yüzey ve hacim yükleriyle hesaplamayı
Elektrik yerdeğiştirme vektörünü, onun Gauss yasasını ve sınır koşullarını
Doğrusal dielektriklerde duygunluğu, dielektrik sabitini ve kondansatörlere etkisini
Dielektrik bir kürenin düzgün alandaki çözümünü, dielektriklerde enerjiyi ve kuvveti
Mikroskobik kutuplanabilirlik ile makroskobik dielektrik sabiti arasındaki bağı

4.1Yalıtkanlar ve kutuplanma

2. bölümde iletkenleri inceledik: içlerinde serbestçe hareket eden yükler vardır ve bu yükler dış bir alanı içeride tamamen yok eder. Doğadaki maddelerin çoğu ise yalıtkandır (dielektriktir): bütün yükler atomlara ya da moleküllere bağlıdır ve ancak çok küçük mesafelerde yer değiştirebilir. Bu küçük yer değiştirmeler, sayıca çok fazla oldukları için büyük bir etki yaratır. Bir yalıtkanın içindeki alan dışarıdakinden farklıdır; bir kondansatörün kapasitesi araya bir yalıtkan konunca artar; su, tuzu çözer. Bu bölümde bunların hepsinin tek bir kavramdan, kutuplanmadan geldiğini göreceğiz.

İndüklenmiş dipoller. Nötr bir atom düşünelim: artı yüklü bir çekirdek ve onu çevreleyen eksi yüklü bir elektron bulutu. Bir $\vb{E}$ alanında çekirdek alan yönünde, bulut ters yönde itilir. Dengede bulutun merkezi çekirdekten biraz kayar (Şekil 4.1) ve atom, alan yönünde bir indüklenmiş dipol kazanır. Alanlar atomun iç alanına göre çok küçük olduğundan dipol momenti alanla orantılıdır:

$$ \vb{p} = \alpha\vb{E} $$

(4.1)

$\alpha$'ya atomun kutuplanabilirliği denir. Genellikle $\alpha/4\pi\epsilon_0$ olarak verilir; bu nicelik hacim boyutundadır ve atomun büyüklüğü mertebesindedir: hidrojen için $0{,}667\ \text{Å}^3$, helyum için $0{,}205$, sodyum için yaklaşık $24\ \text{Å}^3$ (dış elektronu gevşek bağlı olan alkali metallerin kutuplanabilirliği büyüktür).

Kutuplanma — **Şekil 4.1.** Solda, bir alanda elektron bulutu kayan atom: çekirdek ile bulutun merkezi arasındaki $d$ kayması, alan yönünde bir dipol yaratır. Sağda kalıcı dipolleri olan moleküller: alan onları yöneltmeye çalışır, ısıl hareket karıştırır; sonuçta yönelim ancak kısmidir.

Örnek 4.1Basit bir atom modeli

Bir atomu, noktasal bir $+q$ çekirdeği ile yarıçapı $a$ olan düzgün yüklü bir $-q$ bulutu olarak düşünün. Kutuplanabilirliği bulun ve hidrojen için ($a = a_0 = 0{,}529$ Å) ölçülen $0{,}667\ \text{Å}^3$ ile karşılaştırın. 1 MV/m'lik bir alanda çekirdek ne kadar kayar?

Çözüm

Çekirdek bulutun merkezinden $d$ kadar kayarsa, 2. bölümdeki düzgün küre sonucuyla bulutun ona uyguladığı alan $qd/(4\pi\epsilon_0a^3)$'tür. Dengede bu, dış alanı dengeler: $E = qd/(4\pi\epsilon_0a^3)$, yani $p = qd = 4\pi\epsilon_0a^3E$ ve $\alpha/4\pi\epsilon_0 = a^3$. Hidrojen için $a_0^3 = 0{,}148\ \text{Å}^3$; kuantum mekaniğinin tam sonucu $4{,}5\,a_0^3 = 0{,}667\ \text{Å}^3$'tür. Bu kaba model büyüklük mertebesini doğru verir, ama kuantum elektron bulutu kenarlarda daha "yumuşak" olduğu için gerçek değer 4,5 kat büyüktür. 1 MV/m'de $\alpha = 4\pi\epsilon_0 \times 0{,}667\times10^{-30} = 7{,}42\times10^{-41}\ \text{C·m}^2/\text{V}$, $p = 7{,}4\times10^{-35}$ C·m ve $d = p/e = 4{,}6\times10^{-16}$ m: atom yarıçapının yüz binde biri. Laboratuvardaki alanlar atomları ancak çok az bozar.

Kutuplu moleküller. Bazı moleküllerin alan olmadan da bir dipol momenti vardır. Su molekülünde (3. bölüm, $p = 6{,}2\times10^{-30}$ C·m) oksijen atomu elektronları kendine çeker ve molekül bükük olduğundan dipoller birbirini götürmez. Bir alanda bu tür moleküller, indüklenen dipollerin yanı sıra yönelerek de kutuplanır. Bunun için dipollere etki eden kuvvetleri bilmemiz gerekir.

4.2Dipole etki eden tork, kuvvet ve enerji

$\vb{d}$ ile ayrılmış $\pm q$ yüklerinden oluşan bir dipol düzgün bir $\vb{E}$ alanında olsun. İki yüke etki eden kuvvetler eşit ve zıttır; net kuvvet sıfırdır ama bir tork vardır:

$$ \vb{N} = \vb{p}\times\vb{E} $$

(4.2)

(Dipol merkezine göre $\vb{N} = (\vb{d}/2)\times q\vb{E} + (-\vb{d}/2)\times(-q\vb{E}) = q\vb{d}\times\vb{E}$.) Tork dipolü alan yönüne döndürmeye çalışır. Dönme açısı $\theta$ (dipol ile alan arasındaki açı) için yapılan iş, potansiyel enerjiyi verir:

$$ U = -\vb{p}\cdot\vb{E} $$

(4.3)

Enerji, dipol alanla aynı yöndeyken en küçüktür. Alan düzgün değilse iki yüke etki eden kuvvetler tam olarak götürmez ve net bir kuvvet de vardır:

$$ \vb{F} = (\vb{p}\cdot\nabla)\vb{E} = \nabla(\vb{p}\cdot\vb{E}) \quad (\vb{p}\ \text{sabit}) $$

(4.4)

(İkinci eşitlik, $\nabla\times\vb{E} = 0$ olduğu için 1. bölümdeki çarpım kuralından gelir.) Alana doğru yönelmiş bir dipol, alanın güçlü olduğu bölgeye çekilir. Yüklü bir tarağın kâğıt parçalarını çekmesinin nedeni budur: kâğıt kutuplanır ve tarağın düzgün olmayan alanı indüklenen dipolleri kendine çeker.

Örnek 4.2Isıl hareket ve yönelim

Bir su molekülü $10^5$ V/m'lik bir alanda. Yönelme enerjisi $pE$'yi oda sıcaklığındaki ısıl enerji $k_BT$ ile karşılaştırın. Ne sonuca varırsınız?

Çözüm

$pE = 6{,}2\times10^{-30} \times 10^5 = 6{,}2\times10^{-25}$ J; $k_BT = 1{,}38\times10^{-23} \times 300 = 4{,}1\times10^{-21}$ J. Oran $1{,}5\times10^{-4}$. Isıl çarpışmalar molekülleri sürekli karıştırır ve alan ancak çok küçük bir ortalama yönelim üretir. İstatistik mekanikle bu ortalama $\langle\cos\theta\rangle \approx pE/3k_BT$ bulunur (Problem 4.17): yönelimden gelen kutuplanma da alanla orantılıdır ve sıcaklıkla ters orantılıdır.

4.3Kutuplanmış bir maddenin alanı

Bir maddenin birim hacmindeki dipol momentine kutuplanma denir ve $\vb{P}$ ile gösterilir (C/m²). Kutuplanmanın kaynağı ne olursa olsun (indüklenmiş dipoller, yönelen moleküller ya da bazı kristallerdeki kalıcı kutuplanma), maddenin dışarıda ve içeride yarattığı alanı hesaplayabiliriz. 3. bölümdeki dipol potansiyeliyle, $\dd\tau'$ hacmindeki $\vb{P}\,\dd\tau'$ dipolünün potansiyelini toplayalım:

$$ V(\vb{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\vb{P}(\vb{r}')\cdot\hat{\pmb{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}\,\dd\tau' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\vb{P}\cdot\nabla'\left(\frac{1}{\mathcal{R}}\right)\dd\tau' $$

(1. bölümde $\nabla'(1/\mathcal{R}) = \hat{\pmb{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2$ bulmuştuk.) Kısmi integralle, $\vb{P}\cdot\nabla'(1/\mathcal{R}) = \nabla'\cdot(\vb{P}/\mathcal{R}) - (1/\mathcal{R})\nabla'\cdot\vb{P}$ ve Gauss teoremi:

$$ V(\vb{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\oint_{\mathcal{S}}\frac{\sigma_b}{\mathcal{R}}\,\dd a' + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}}\frac{\rho_b}{\mathcal{R}}\,\dd\tau' $$

Burada

$$ \sigma_b = \vb{P}\cdot\hat{\vb{n}}, \qquad \rho_b = -\nabla\cdot\vb{P} $$

(4.5)

bağlı yüzey yükü ve bağlı hacim yüküdür ($\hat{\vb{n}}$, yüzeyin dışa doğru normali). Kutuplanmış bir maddenin alanı, bu iki yük dağılımının alanıyla tamamen aynıdır. Bu yükler hayali değildir: gerçek yüklerdir, ama tek tek atomlara bağlıdırlar ve uzaklaştırılamazlar.

Fiziksel anlamları basittir (Şekil 4.2). Düzgün kutuplanmış bir dilimde her dipolün artı ucu komşusunun eksi ucunu götürür; içeride net yük kalmaz, ama bir yüzeyde dipollerin artı uçları, karşı yüzeyde eksi uçları açıkta kalır: $\sigma_b = \pm P$. Kutuplanma düzgün değilse, bir bölgeye giren eksi uçlar çıkan artı uçlardan fazla ya da az olabilir; aradaki fark $\rho_b = -\nabla\cdot\vb{P}$'dir. Toplam bağlı yük her zaman sıfırdır (Problem 4.6): madde nötr kalır, yükler yalnızca yer değiştirir.

Bağlı yükler — **Şekil 4.2.** Düzgün kutuplanmış maddede bağlı yükler. Solda bir dilim: içeride dipoller birbirini götürür, uç yüzeylerde $\pm P$ yükü kalır. Sağda bir küre: yüzey yükü $P\cos\theta$ ile değişir, kutuplarda en yoğundur.

Örnek 4.3Düzgün kutuplanmış küre

Yarıçapı $R$ olan bir küre düzgün $\vb{P} = P\uv{z}$ ile kutuplanmıştır. İçeride ve dışarıda alanı bulun.

Çözüm

$\vb{P}$ düzgün olduğundan $\rho_b = 0$; yüzeyde $\sigma_b = \vb{P}\cdot\hat{\vb{r}} = P\cos\theta$. Bu tam olarak 3. bölümde yüzey yükü $\kappa\cos\theta$ olan kürenin problemidir ($\kappa = P$):

$$ \vb{E}_{\text{iç}} = -\frac{\vb{P}}{3\epsilon_0}, \qquad V_{\text{dış}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vb{p}\cdot\hat{\vb{r}}}{r^2}, \quad \vb{p} = \frac43\pi R^3\vb{P} $$

(4.6)

İçeride alan düzgündür ve kutuplanmaya ters yöndedir: bağlı yükler kendi alanlarını yaratır ve bu alan kutuplanmayı azaltmaya çalışır. Dışarıda alan, toplam dipol momenti merkezde toplanmış bir dipolünkiyle tamamen aynıdır (Şekil 4.3).

Kutuplanmış küre — **Şekil 4.3.** Düzgün kutuplanmış kürenin elektrik alanı. İçeride alan düzgündür ve $\vb{P}$'ye terstir ($-\vb{P}/3\epsilon_0$); dışarıda tam bir dipol alanıdır. Alan çizgileri artı bağlı yüklerin bulunduğu kuzey yarıküreden çıkar, güney yarıküreye girer.

4.4Elektrik yerdeğiştirme

Bir dielektriğin içinde iki tür yük vardır: kutuplanmadan gelen bağlı yükler ve geri kalan her şey, yani dışarıdan konan, maddeye eklenen ya da iletkenlerde bulunan serbest yükler $\rho_f$. Gauss yasası toplam yük için geçerlidir:

$$ \epsilon_0\nabla\cdot\vb{E} = \rho = \rho_b + \rho_f = -\nabla\cdot\vb{P} + \rho_f $$

Bağlı yükleri bilmek için kutuplanmayı, kutuplanmayı bilmek için alanı bilmek gerekir: döngüsel bir problem. Döngüyü kırmanın yolu, iki terimi birleştirmektir. Elektrik yerdeğiştirme vektörünü

$$ \vb{D} = \epsilon_0\vb{E} + \vb{P} $$

(4.7)

olarak tanımlarsak Gauss yasası yalnızca serbest yüklerle yazılır:

$$ \nabla\cdot\vb{D} = \rho_f, \qquad \oint\vb{D}\cdot\dd\vb{a} = Q_{f,\text{iç}} $$

(4.8)

Serbest yükler, kontrol edebildiğimiz yüklerdir (bir kondansatöre koyduğumuz yük gibi). Simetri yeterliyse (4.8) $\vb{D}$'yi doğrudan verir.

Bir uyarı. $\vb{D}$, $\vb{E}$'ye benzese de onun yerine geçmez. $\nabla\times\vb{D} = \nabla\times\vb{P}$'dir ve genellikle sıfır değildir ($\nabla\times\vb{E} = 0$, ama $\vb{P}$'nin rotasyoneli olabilir). Bu yüzden $\vb{D}$ için Coulomb yasası yoktur ve $\vb{D}$, yalnızca serbest yüklerden "hesaplanamaz". Örneğin düzgün kutuplanmış bir çubuk elektret, hiç serbest yük olmadığı hâlde sıfırdan farklı bir $\vb{D}$ alanı yaratır. $\vb{D}$'yi Gauss yasasıyla bulmak ancak simetri (küresel, silindirik, düzlemsel) $\nabla\times\vb{D} = 0$'ı da garanti ettiğinde güvenlidir.

Sınır koşulları. 2. bölümdeki kutu ve halka akıl yürütmeleri, (4.8) ve $\oint\vb{E}\cdot\dd\vb{l} = 0$ ile

$$ D^{\perp}_{\text{üst}} - D^{\perp}_{\text{alt}} = \sigma_f, \qquad \vb{E}^{\parallel}_{\text{üst}} = \vb{E}^{\parallel}_{\text{alt}} $$

(4.9)

verir. Serbest yük olmayan bir sınırda $\vb{D}$'nin dik bileşeni ve $\vb{E}$'nin teğet bileşeni süreklidir.

4.5Doğrusal dielektrikler

Pek çok maddede, alan çok güçlü değilse kutuplanma alanla orantılıdır:

$$ \vb{P} = \epsilon_0\chi_e\vb{E} $$

(4.10)

Boyutsuz $\chi_e$'ye maddenin elektrik duygunluğu denir. Böyle maddelere doğrusal dielektrik denir. (Burada $\vb{E}$, dış alan değil, bağlı yüklerin katkısı dahil toplam alandır.) Bu durumda

$$ \vb{D} = \epsilon_0(1 + \chi_e)\vb{E} = \epsilon\vb{E}, \qquad \epsilon = \epsilon_0\epsilon_r, \qquad \epsilon_r = 1 + \chi_e $$

(4.11)

$\epsilon$, maddenin elektrik geçirgenliği, $\epsilon_r$ ise bağıl geçirgenliği ya da dielektrik sabitidir. Bazı tipik değerler (oda sıcaklığında): hava 1,00059; polietilen 2,25; cam 4–10; saf su 80. Suyun dielektrik sabitinin bu kadar büyük olması, moleküllerinin kalıcı dipollerinin yönelmesindendir.

Dielektrikle dolu bir bölge. Bütün uzay türdeş doğrusal bir dielektrikle doluysa, $\nabla\cdot\vb{D} = \rho_f$ ve $\nabla\times\vb{D} = \epsilon\nabla\times\vb{E} = 0$: $\vb{D}$, $\rho_f$ dağılımının boşluktaki alanının $\epsilon_0$ katıdır, yani

$$ \vb{E} = \frac{1}{\epsilon_r}\vb{E}_{\text{boşluk}} $$

Dielektrik, serbest yüklerin alanını $\epsilon_r$ kat zayıflatır. Bunun nedeni, her serbest yükün çevresinde ters işaretli bağlı yükler toplanması, yani yükün perdelenmesidir.

Örnek 4.4Tuz neden suda çözünür?

Bir sodyum iyonu ile bir klor iyonu arasındaki uzaklık katı tuzda yaklaşık 0,28 nm'dir. Boşlukta ve suda ($\epsilon_r = 80$) bu uzaklıktaki Coulomb enerjisini oda sıcaklığındaki $k_BT$ ile karşılaştırın.

Çözüm

Boşlukta $e^2/(4\pi\epsilon_0r) = 1{,}44\ \text{eV·nm}/0{,}28\ \text{nm} = 5{,}14$ eV; $k_BT = 0{,}0259$ eV'un yaklaşık 200 katı. Suda enerji 80 kat küçülür: $0{,}064$ eV, yani yalnızca $2{,}5\,k_BT$. Isıl hareket iyonları birbirinden kolayca koparabilir. (Bu kaba bir hesaptır: bu kadar kısa uzaklıklarda suyun makroskobik dielektrik sabiti tam geçerli değildir; ama sonucun ana fikri, suyun güçlü perdelemesinin iyonik bağları zayıflattığıdır.)

Örnek 4.5Dielektrikli kondansatör

Paralel levhalı bir kondansatörün arası tamamen bir dielektrikle doldurulursa kapasite nasıl değişir? 2. bölümdeki kondansatör ($A = 100\ \text{cm}^2$, $d = 1{,}0$ mm) polietilenle ($\epsilon_r = 2{,}25$) doldurulursa kapasite ne olur?

Çözüm

Levhalarda serbest yük $\pm Q$ ise arada, bir kutuya (4.8) uygulanarak, $D = \sigma_f = Q/A$ ve $E = D/\epsilon = Q/(\epsilon A)$. $V = Ed = Qd/(\epsilon A)$: $C = \epsilon A/d = \epsilon_rC_0$. Kapasite $\epsilon_r$ kat artar. Sayısal olarak $88{,}5\ \text{pF} \times 2{,}25 = 199$ pF. Aynı biçimde 2. bölümdeki eş eksenli kablo polietilenle $46{,}9 \times 2{,}25 = 105$ pF/m olur; RG-58'in etiket değeri yaklaşık 100 pF/m'dir. Dielektrik ayrıca levhalar arasındaki dayanılabilecek en büyük alanı (dielektrik dayanımı) artırır: kondansatörlerde yalıtkan kullanılmasının ikinci nedeni budur.

4.6Dielektrikli sınır değer problemleri

Türdeş doğrusal bir dielektriğin içinde serbest yük yoksa bağlı hacim yükü de yoktur: $\rho_b = -\nabla\cdot\vb{P} = -\epsilon_0\chi_e\nabla\cdot\vb{E} = -\chi_e\rho_f\epsilon_0/\epsilon = 0$. Yükler yalnızca sınırlarda bulunur ve her bölgede potansiyel Laplace denklemine uyar. 3. bölümün bütün yöntemleri, sınırlarda (4.9) koşullarıyla kullanılabilir: $V$ süreklidir ve (serbest yük yoksa) $\epsilon\,\partial V/\partial n$ süreklidir.

Örnek 4.6Düzgün alanda dielektrik küre

Dielektrik sabiti $\epsilon_r$ olan bir küre (yarıçapı $R$) düzgün bir $\vb{E}_0 = E_0\uv{z}$ alanına konuyor. İçerideki alanı bulun.

Çözüm

Sınır koşulları: (i) $V_{\text{iç}} = V_{\text{dış}}$ ($r = R$), (ii) $\epsilon_r\,\partial V_{\text{iç}}/\partial r = \partial V_{\text{dış}}/\partial r$ ($r = R$), (iii) uzakta $V \to -E_0r\cos\theta$. Uzaktaki koşul yalnızca $l = 1$'i içerdiği için 3. bölümdeki genel çözümde yalnızca $P_1$ terimlerini deneyelim: $V_{\text{iç}} = Ar\cos\theta$, $V_{\text{dış}} = -E_0r\cos\theta + (B/r^2)\cos\theta$. (i) $AR = -E_0R + B/R^2$; (ii) $\epsilon_rA = -E_0 - 2B/R^3$. Çözüm:

$$ V_{\text{iç}} = -\frac{3}{\epsilon_r + 2}E_0\,r\cos\theta, \qquad \vb{E}_{\text{iç}} = \frac{3}{\epsilon_r + 2}\vb{E}_0 $$

(4.12)

ve $B = [(\epsilon_r - 1)/(\epsilon_r + 2)]E_0R^3$. İçeride alan düzgündür ve dış alandan küçüktür: $\epsilon_r = 4$ için $E_0/2$, su için ($\epsilon_r = 80$) yalnızca $0{,}037\,E_0$. $\epsilon_r \to \infty$ iletken limitinde içeride alan sıfırdır ve dışarıdaki potansiyel 3. bölümdeki iletken küre sonucuna gider ✓. Dışarıda ek terim, dipol momenti $\vb{p} = 4\pi\epsilon_0[(\epsilon_r - 1)/(\epsilon_r + 2)]R^3\vb{E}_0$ olan bir dipolün potansiyelidir.

Dielektrik küre — **Şekil 4.4.** Düzgün bir alanda $\epsilon_r = 4$ olan dielektrik bir küre. Çizgiler yerdeğiştirme $\vb{D}$'nin çizgileridir (doğrusal bir dielektrikte $\vb{D}$ ve $\vb{E}$ aynı yöndedir). Serbest yük olmadığından $\vb{D}$ çizgileri kopmadan sürer ve küreye toplanır: içeride $D = 2\epsilon_0E_0$, yani uzaktan yarıçapı $\sqrt{2}R$ olan bir daireden gelen çizgilerin hepsi küreden geçer (figür programında sayısal olarak denetlenmiştir). $E$ ise içeride $E_0/2$'dir.

Alan çizgilerinin kırılması. İki dielektriğin sınırında (serbest yük yok) $E_1\sin\theta_1 = E_2\sin\theta_2$ (teğet bileşen) ve $\epsilon_1E_1\cos\theta_1 = \epsilon_2E_2\cos\theta_2$ (normal $D$). Oranları:

$$ \frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1} = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} $$

(4.13)

($\theta$, alanın sınırın normaliyle yaptığı açıdır.) Alan çizgileri geçirgenliği büyük ortama girerken normalden uzaklaşır (Şekil 4.5). Bu, ışığın kırılmasıyla karıştırılmamalıdır: optikteki Snell yasası sinüsler arasındadır ve dalga cephelerine ilişkindir (9. bölüm).

Kırılma — **Şekil 4.5.** Havadan camın ($\epsilon_r = 5$) içine geçen bir alan çizgisi. Havada normalle 45° yapan çizgi, camda 78,7° yapar: $\tan\theta_2 = 5\tan\theta_1$.

4.7Dielektriklerde enerji ve kuvvet

Bir kondansatörü sabit bir $Q$ yüküyle yüklemenin işi $Q^2/2C$'dir ve dielektrik bu işi $\epsilon_r$ kat azaltır. Enerjinin alan cinsinden ifadesi de buna göre değişir. Serbest yükleri azar azar getirerek kurulan bir sistemde, $\delta\rho_f$ yükünü getirmenin işi $\delta W = \int(\delta\rho_f)V\,\dd\tau = \int(\nabla\cdot\delta\vb{D})V\,\dd\tau = \int\delta\vb{D}\cdot\vb{E}\,\dd\tau$ (kısmi integral, sınır terimi sonsuzda sıfır). Doğrusal bir dielektrikte $\delta\vb{D}\cdot\vb{E} = \tfrac12\delta(\vb{D}\cdot\vb{E})$ ve

$$ W = \frac12\int\vb{D}\cdot\vb{E}\,\dd\tau $$

(4.14)

olur. Bu, 2. bölümdeki $\tfrac12\epsilon_0\int E^2$'den farklıdır. Fark, maddedeki atomları kutuplamak için yapılan işi, yani atomların iç "yaylarında" depolanan enerjiyi içerir. (4.14), serbest yükleri getirmek için bizim yapmamız gereken iştir ve termodinamik olarak doğru niceliktir.

Dielektriğe etki eden kuvvet. Bir dielektrik dilim, paralel levhalı bir kondansatörün arasına kısmen sokulmuşsa (Şekil 4.6), dilim içeri çekilir. Bu kuvveti alan çizgileriyle hesaplamak zordur, çünkü kuvveti uygulayan, levhaların kenarındaki saçak alanıdır. Enerjiyle ise kolaydır. Levhaların genişliği $w$, uzunluğu $\ell$, aralığı $d$ ve dilim $x$ kadar içerideyse kapasite iki paralel kondansatörün toplamıdır: $C(x) = (\epsilon_0w/d)[\epsilon_rx + (\ell - x)]$. Kondansatör sabit $Q$ ile yalıtılmışsa enerji $W = Q^2/2C$ ve kuvvet

$$ F = -\frac{\dd W}{\dd x} = \frac{Q^2}{2C^2}\frac{\dd C}{\dd x} = \frac12V^2\frac{\dd C}{\dd x} = \frac{\epsilon_0\chi_ewV^2}{2d} $$

(4.15)

İçeri doğrudur. Kondansatör sabit bir $V$ gerilimine bağlı olsaydı aynı sonuç bulunur, ama hesap dikkat ister: dilim içeri girerken pil de yük sağlar ve iş yapar (Problem 4.12).

Dilime etki eden kuvvet — **Şekil 4.6.** Paralel levhalı bir kondansatöre $x$ kadar sokulmuş dielektrik dilim. Levhaların kenarındaki saçak alanı, dilimin kutuplanmış yüklerine etki ederek onu içeri çeker.

Örnek 4.7Dilimi çeken kuvvet

$w = 10$ cm, $d = 1{,}0$ mm olan levhalar arasındaki gerilim 1 000 V'tur. $\chi_e = 3$ olan bir dilim kısmen içerideyse onu çeken kuvvet nedir?

Çözüm

(4.15): $F = 8{,}854\times10^{-12} \times 3 \times 0{,}10 \times (1\,000)^2/(2 \times 10^{-3}) = 1{,}3\times10^{-3}$ N, yaklaşık 0,14 g ağırlık. Kuvvet dilimin ne kadar içeride olduğuna bağlı değildir (dilim tamamen girene kadar). Dielektrik sıvıların kondansatör levhaları arasında yükselmesi de aynı etkidir; yükselme, sıvının ağırlığı bu kuvveti dengeleyince durur.

4.8Mikroskobik kuram: Clausius–Mossotti

Seyreltik bir gazda her atom yalnızca dış alanı hisseder ve kutuplanma $\vb{P} = N\alpha\vb{E}$'dir ($N$, birim hacimdeki atom sayısı). Duygunluk $\chi_e = N\alpha/\epsilon_0$ olur. Yoğun bir maddede ise her atom, komşularının dipollerinin alanını da hisseder. Atomun bulunduğu yeri çevreleyen küçük bir küre düşünelim: maddenin toplam alanı $\vb{E}$'den, kürenin içindeki maddenin kendi ortalama alanı çıkarılırsa geriye atomun hissettiği alan kalır. 3. bölümün sonundaki ortalama alan sonucu ve (4.6) ile kürenin içindeki maddenin ortalama alanı $-\vb{P}/3\epsilon_0$'dır; dolayısıyla atomun hissettiği alan $\vb{E} + \vb{P}/3\epsilon_0$'dır (kürenin içinde başka atomların düzenli bir örgüde olduğu varsayılır). $\vb{P} = N\alpha(\vb{E} + \vb{P}/3\epsilon_0)$'yı çözersek

$$ \alpha = \frac{3\epsilon_0}{N}\,\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} $$

(4.16)

Clausius–Mossotti bağıntısı bulunur. Seyreltik gazda $\epsilon_r - 1 \ll 1$ ve bu $\chi_e = N\alpha/\epsilon_0$'a indirgenir. Bağıntı, mikroskobik bir nicelik olan kutuplanabilirliği makroskobik dielektrik sabitine bağlar ve kalıcı dipolü olmayan maddeler için çok iyi çalışır.

Örnek 4.8Azot gazının dielektrik sabiti

Azot molekülünün kutuplanabilirliği $\alpha/4\pi\epsilon_0 = 1{,}74\ \text{Å}^3$'tür. 0 °C ve 1 atm'de azot gazının $\epsilon_r - 1$'ini tahmin edin.

Çözüm

İdeal gaz: $N = p/k_BT = 101\,325/(1{,}381\times10^{-23} \times 273{,}15) = 2{,}687\times10^{25}\ \text{m}^{-3}$. $\chi_e = N\alpha/\epsilon_0 = 4\pi N(\alpha/4\pi\epsilon_0) = 4\pi \times 2{,}687\times10^{25} \times 1{,}74\times10^{-30} = 5{,}87\times10^{-4}$. Ölçülen değer yaklaşık $5{,}8\times10^{-4}$'tür. Bu yoğunlukta Clausius–Mossotti düzeltmesi ($\chi_e/3$ mertebesinde bağıl) yalnızca 0,02 %'dir.

Tarihçe

Michael Faraday 1837'de, kondansatörlerin arasına konan yalıtkanların kapasiteyi artırdığını ölçtü ve bu sayıya "özgül indüktif kapasite" adını verdi; "dielektrik" sözcüğünü de William Whewell'in önerisiyle o kullandı. Faraday, yalıtkanın moleküllerinin alanda "kutuplandığını" ileri sürdü. Bu fikri Ottaviano Mossotti (1850) ve Rudolf Clausius (1879) nicel bir kurama dönüştürdü. 1912'de Peter Debye, kalıcı dipolleri olan moleküllerin dielektrik sabitinin sıcaklıkla neden azaldığını açıkladı (Problem 4.17) ve moleküllerin dipol momentlerini ölçmenin bir yolunu buldu; dipol momentinin birimi bugün onun adını taşır.

Özet

Bir alanda atomlar indüklenmiş dipoller kazanır: $\vb{p} = \alpha\vb{E}$ (4.1). Kalıcı dipoller tork $\vb{p}\times\vb{E}$ (4.2) etkisiyle yönelir; enerjileri $-\vb{p}\cdot\vb{E}$ (4.3), düzgün olmayan alanda kuvvet $(\vb{p}\cdot\nabla)\vb{E}$'dir (4.4).
Kutuplanmış maddenin alanı, bağlı yüklerin alanıdır: $\sigma_b = \vb{P}\cdot\hat{\vb{n}}$, $\rho_b = -\nabla\cdot\vb{P}$ (4.5). Düzgün kutuplanmış kürenin içinde $\vb{E} = -\vb{P}/3\epsilon_0$ (4.6).
$\vb{D} = \epsilon_0\vb{E} + \vb{P}$ (4.7); $\nabla\cdot\vb{D} = \rho_f$ (4.8). Sınırda $D^\perp$ $\sigma_f$ kadar sıçrar, $\vb{E}^\parallel$ süreklidir (4.9).
Doğrusal dielektrikte $\vb{P} = \epsilon_0\chi_e\vb{E}$, $\vb{D} = \epsilon\vb{E}$, $\epsilon_r = 1 + \chi_e$ (4.11). Dielektrik serbest yüklerin alanını $\epsilon_r$ kat zayıflatır, kapasiteyi $\epsilon_r$ kat artırır.
Düzgün alanda dielektrik kürenin içinde $\vb{E} = 3\vb{E}_0/(\epsilon_r + 2)$ (4.12). Alan çizgileri sınırda $\tan\theta_2/\tan\theta_1 = \epsilon_2/\epsilon_1$ ile kırılır (4.13).
Dielektriklerde enerji $\tfrac12\int\vb{D}\cdot\vb{E}\,\dd\tau$ (4.14); kondansatöre kısmen sokulmuş dilim $\epsilon_0\chi_ewV^2/2d$ kuvvetiyle içeri çekilir (4.15).
Clausius–Mossotti bağıntısı kutuplanabilirliği dielektrik sabitine bağlar (4.16).

Problemler

Problem 4.1Atomun kayması★☆☆

Helyum atomunun kutuplanabilirliği $\alpha/4\pi\epsilon_0 = 0{,}205\ \text{Å}^3$'tür. 3 MV/m'lik bir alanda (havanın kırılma eşiği) indüklenen dipol momentini ve elektron bulutunun çekirdeğe göre kaymasını bulun (çekirdek yükü $2e$).

Çözümü göster

$\alpha = 4\pi\epsilon_0 \times 0{,}205\times10^{-30} = 2{,}28\times10^{-41}$ C·m²/V; $p = \alpha E = 6{,}8\times10^{-35}$ C·m. $d = p/2e = 2{,}1\times10^{-16}$ m.

Problem 4.2Bağlı yükler: radyal kutuplanma★☆☆

Yarıçapı $R$ olan bir kürede kutuplanma $\vb{P} = \kappa r\,\hat{\vb{r}}$'dir. Bağlı yükleri bulun ve toplamlarının sıfır olduğunu gösterin. İçeride ve dışarıda alan nedir?

Çözümü göster

$\rho_b = -(1/r^2)\,\dd(r^2\kappa r)/\dd r = -3\kappa$; $\sigma_b = \kappa R$. Toplam: $-3\kappa\cdot\tfrac43\pi R^3 + \kappa R\cdot 4\pi R^2 = 0$ ✓. Gauss: içeride $E\,4\pi r^2 = -3\kappa\cdot\tfrac43\pi r^3/\epsilon_0$, $\vb{E} = -(\kappa/\epsilon_0)r\,\hat{\vb{r}}$ (yani $\vb{E} = -\vb{P}/\epsilon_0$); dışarıda toplam yük sıfır olduğundan $\vb{E} = 0$.

Problem 4.3Silindirde bağlı yükler★☆☆

Yarıçapı $a$ olan uzun bir silindirde kutuplanma $\vb{P} = \kappa s\,\hat{\vb{s}}$'dir ($s$, eksene uzaklık). Bağlı yükleri bulun.

Çözümü göster

Silindirik diverjans: $\rho_b = -(1/s)\,\dd(s\cdot\kappa s)/\dd s = -2\kappa$. Yüzeyde $\sigma_b = \kappa a$. Birim uzunluk başına toplam: $-2\kappa\pi a^2 + \kappa a\cdot 2\pi a = 0$ ✓.

Problem 4.4Dielektrik içinde noktasal yük★☆☆

Dielektrik sabiti $\epsilon_r$ olan sonsuz bir ortamda bir $q$ serbest yükü var. $\vb{D}$, $\vb{E}$ ve $\vb{P}$'yi bulun. Yükün çevresinde toplanan bağlı yük nedir?

Çözümü göster

$\vb{D} = q\hat{\vb{r}}/(4\pi r^2)$, $\vb{E} = q\hat{\vb{r}}/(4\pi\epsilon r^2)$, $\vb{P} = \epsilon_0\chi_e\vb{E}$. $r \neq 0$'da $\rho_b = 0$ ($\nabla\cdot(\hat{\vb{r}}/r^2) = 0$); ama orijinde $\rho_b = -\nabla\cdot\vb{P} = -\epsilon_0\chi_e q\delta^3(\vb{r})/\epsilon$, yani yükün tam üzerinde $-q\chi_e/\epsilon_r = -q(\epsilon_r - 1)/\epsilon_r$ bağlı yük vardır. Toplam etkin yük $q/\epsilon_r$: perdeleme.

Problem 4.5Yönelme enerjisi★☆☆

$E = 10^5$ V/m'lik bir alanda, alana paralel ve antiparalel su molekülleri arasındaki enerji farkı nedir? Bu enerji fark, Boltzmann çarpanı $e^{-\Delta U/k_BT}$ ile iki yönelimin oranını nasıl değiştirir (300 K)?

Çözümü göster

$\Delta U = 2pE = 1{,}24\times10^{-24}$ J. $\Delta U/k_BT = 3{,}0\times10^{-4}$; oran $e^{-0{,}0003} = 0{,}9997$: iki yönelim neredeyse eşit sayıdadır. Kutuplanma bu küçük farktan doğar.

Problem 4.6Toplam bağlı yük sıfırdır★★☆

Herhangi bir kutuplanmış cisimde toplam bağlı yükün sıfır olduğunu Gauss teoremiyle gösterin.

Çözümü göster

$Q_b = \oint\vb{P}\cdot\dd\vb{a} + \int(-\nabla\cdot\vb{P})\,\dd\tau = \oint\vb{P}\cdot\dd\vb{a} - \oint\vb{P}\cdot\dd\vb{a} = 0$ ✓.

Problem 4.7Kutuplanmış küre: iki küre yöntemi★★☆

Düzgün kutuplanmış bir küreyi, $+\rho$ ve $-\rho$ yüklü, merkezleri $\vb{d}$ kadar kaymış iki küre olarak düşünün ($\vb{P} = \rho\vb{d}$). 2. bölümdeki düzgün küre iç alanını kullanarak içerideki alanın $-\vb{P}/3\epsilon_0$ olduğunu gösterin.

Çözümü göster

Artı kürenin merkezine göre konum $\vb{r}_+$, eksininkine göre $\vb{r}_-$ ise içeride alanlar $\rho\vb{r}_+/3\epsilon_0$ ve $-\rho\vb{r}_-/3\epsilon_0$. $\vb{r}_+ - \vb{r}_- = -\vb{d}$ (artı küre $\vb{d}$ kadar kaymış): $\vb{E} = -\rho\vb{d}/3\epsilon_0 = -\vb{P}/3\epsilon_0$ ✓, konuma bağlı değil.

Problem 4.8Yarı kalınlığı dolu kondansatör★★☆

Paralel levhalı bir kondansatörün aralığının yarısı (levhalara paralel bir katman) $\epsilon_r$ dielektrikle doludur. Kapasiteyi bulun. Alanın yarısı dolu olsaydı (dielektrik levhaların yarı alanını tam kalınlıkta kaplasaydı) ne olurdu?

Çözümü göster

Katman: iki seri kondansatör, $C = 2\epsilon_0\epsilon_rA/[d(\epsilon_r + 1)]$ (her bölgede $D = \sigma_f$ aynı, $E$ farklı). Yarı alan: iki paralel kondansatör, $C = \epsilon_0A(1 + \epsilon_r)/(2d)$ (her bölgede $E = V/d$ aynı). $\epsilon_r > 1$ için paralel düzen daha büyük kapasite verir.

Problem 4.9Kırılma yasası★★☆

(4.13)'ü türetin. Havadan camın ($\epsilon_r = 5$) içine normalle 45° açıyla giren bir alan çizgisinin camda yaptığı açıyı ve alan büyüklüklerinin oranını bulun.

Çözümü göster

Teğet: $E_1\sin\theta_1 = E_2\sin\theta_2$; normal: $\epsilon_1E_1\cos\theta_1 = \epsilon_2E_2\cos\theta_2$. Bölünce (4.13) ✓. $\tan\theta_2 = 5$: $\theta_2 = 78{,}7°$. $E_2/E_1 = \sin 45°/\sin 78{,}7° = 0{,}721$.

Problem 4.10Su damlası bir alanda★★☆

Bir su damlası ($\epsilon_r = 80$) düzgün bir $E_0$ alanında. İçerideki alanı ve damlanın kutuplanmasını $E_0$ cinsinden bulun. Damla iletken gibi mi davranır?

Çözümü göster

(4.12): $E_{\text{iç}} = 3E_0/82 = 0{,}0366\,E_0$. $P = \epsilon_0(\epsilon_r - 1)E_{\text{iç}} = \epsilon_0 \times 79 \times 0{,}0366E_0 = 2{,}89\epsilon_0E_0$; iletken küre için bu değer $3\epsilon_0E_0$'dır ($\epsilon_r \to \infty$ limiti). Damla bir iletkene çok yakındır; bulutlardaki damlaların çevresinde alanın yoğunlaşması yıldırım oluşumunda rol oynar.

Problem 4.11Sabit yükte ve sabit gerilimde enerji★★☆

Yüklü ve yalıtılmış bir kondansatörün arası $\epsilon_r$ dielektrikle doldurulursa enerjisi nasıl değişir? Kondansatör bir pile bağlıyken doldurulursa? Farkı açıklayın.

Çözümü göster

Sabit $Q$: $W = Q^2/2C$ ve $C \to \epsilon_rC$: enerji $1/\epsilon_r$ katına düşer; fark, dielektriği içeri çeken kuvvetin yaptığı iştir. Sabit $V$: $W = \tfrac12CV^2$, $\epsilon_r$ katına çıkar. Pil $\Delta Q = (\epsilon_r - 1)CV$ yük sağlar ve $V\Delta Q = (\epsilon_r - 1)CV^2$ iş yapar: bunun yarısı kondansatörde depolanır, yarısı dilimi çeken kuvvetin işidir.

Problem 4.12Sabit gerilimde dilim kuvveti★★☆

(4.15)'i kondansatör sabit $V$ gerilimindeyken yeniden türetin.

Çözümü göster

Dilim $\dd x$ ilerlerse kondansatörün enerjisi $\tfrac12V^2\,\dd C$ artar, pil $V\,\dd Q = V^2\,\dd C$ iş yapar. Enerji korunumu: $F\,\dd x + \tfrac12V^2\,\dd C = V^2\,\dd C$, yani $F = \tfrac12V^2\,\dd C/\dd x = \epsilon_0\chi_ewV^2/(2d)$ ✓. Sabit $Q$ hesabıyla aynı sonuç, çünkü kuvvet o anki alan düzenine bağlıdır.

Problem 4.13Dielektrik küre çözümünü doğrulamak★★☆

(4.12)'deki iç ve dış potansiyellerin iki sınır koşulunu da sağladığını gösterin. Kürenin yüzeyindeki bağlı yük yoğunluğunu bulun.

Çözümü göster

$r = R$'de $V_{\text{dış}} = -E_0R\cos\theta[1 - (\epsilon_r - 1)/(\epsilon_r + 2)] = -3E_0R\cos\theta/(\epsilon_r + 2) = V_{\text{iç}}$ ✓. $\partial V_{\text{dış}}/\partial r = -E_0\cos\theta[1 + 2(\epsilon_r - 1)/(\epsilon_r + 2)] = -3\epsilon_rE_0\cos\theta/(\epsilon_r + 2) = \epsilon_r\,\partial V_{\text{iç}}/\partial r$ ✓. $\sigma_b = P\cos\theta = \epsilon_0(\epsilon_r - 1)\cdot 3E_0\cos\theta/(\epsilon_r + 2)$.

Problem 4.14Dielektrik kürenin merkezinde yük★★☆

Yarıçapı $R$, dielektrik sabiti $\epsilon_r$ olan bir kürenin merkezinde bir $q$ serbest yükü var. Her yerde $\vb{E}$'yi ve kürenin yüzeyindeki bağlı yükü bulun.

Çözümü göster

Küresel simetri: $\vb{D} = q\hat{\vb{r}}/(4\pi r^2)$ her yerde. İçeride $\vb{E} = \vb{D}/\epsilon$, dışarıda $\vb{D}/\epsilon_0$. Yüzeyde $\sigma_b = P = \epsilon_0\chi_eq/(4\pi\epsilon R^2)$; toplam $q(\epsilon_r - 1)/\epsilon_r$. Merkezdeki bağlı yük $-q(\epsilon_r - 1)/\epsilon_r$ (Problem 4.4) ile birlikte toplam bağlı yük sıfırdır ✓; dışarıda alan yalnızca $q$'nun alanıdır.

Problem 4.15Clausius–Mossotti türetmesi★★☆

(4.16)'yı $\vb{P} = N\alpha(\vb{E} + \vb{P}/3\epsilon_0)$ ve $\vb{P} = \epsilon_0\chi_e\vb{E}$'den türetin. Seyreltik gaz limitini bulun.

Çözümü göster

$\epsilon_0\chi_e = N\alpha(1 + \chi_e/3)$ ⇒ $N\alpha/\epsilon_0 = \chi_e/(1 + \chi_e/3) = 3(\epsilon_r - 1)/(\epsilon_r + 2)$ ✓. $\chi_e \ll 1$: $N\alpha/\epsilon_0 \approx \chi_e$.

Problem 4.16Dielektrik dayanımı ve enerji yoğunluğu★★☆

Polietilenin dielektrik dayanımı yaklaşık 20 MV/m'dir. Polietilenle dolu bir kondansatörde depolanabilecek en büyük enerji yoğunluğunu bulun ve havalı bir kondansatörünkiyle (3 MV/m) karşılaştırın.

Çözümü göster

$u = \tfrac12\epsilon E^2$: polietilen $\tfrac12 \times 2{,}25 \times 8{,}854\times10^{-12} \times (2\times10^7)^2 = 4{,}0\times10^3\ \text{J/m}^3$; hava $\tfrac12 \times 8{,}854\times10^{-12} \times 9\times10^{12} = 40\ \text{J/m}^3$. Yaklaşık 100 kat fark: dielektrik hem $\epsilon_r$ hem dayanım üzerinden kazandırır.

Problem 4.17Yönelim kutuplanması (Debye)★★★

Kalıcı dipol momenti $p$ olan moleküllerin $E$ alanındaki ortalama yönelimini Boltzmann dağılımıyla hesaplayın: $\langle\cos\theta\rangle = \coth x - 1/x$ ($x = pE/k_BT$). Küçük $x$ için $\langle\cos\theta\rangle \approx x/3$ olduğunu ve yönelim duygunluğunun $\chi_{\text{yön}} = Np^2/(3\epsilon_0k_BT)$ olduğunu gösterin. 100 °C ve 1 atm'deki su buharı için hesaplayın (elektronik katkı $\alpha/4\pi\epsilon_0 \approx 1{,}45\ \text{Å}^3$).

Çözümü göster

$\langle\cos\theta\rangle = \int\cos\theta\,e^{x\cos\theta}\,\dd\Omega/\int e^{x\cos\theta}\,\dd\Omega$; $u = \cos\theta$ ile pay $\dd Z/\dd x$, payda $Z = 2\sinh x/x$: $\dd\ln Z/\dd x = \coth x - 1/x$ (Langevin fonksiyonu). Küçük $x$: $\coth x \approx 1/x + x/3$, $\langle\cos\theta\rangle \approx x/3$. $P = Np\langle\cos\theta\rangle = Np^2E/(3k_BT)$. Su buharı: $N = 1{,}97\times10^{25}\ \text{m}^{-3}$, $\chi_{\text{yön}} = 5{,}5\times10^{-3}$; elektronik katkı $4\pi N \times 1{,}45\times10^{-30} = 3{,}6\times10^{-4}$; toplam $5{,}9\times10^{-3}$, ölçülen yaklaşık $6\times10^{-3}$ ile uyumlu. Sıcaklık arttıkça $\chi$ $1/T$ ile azalır.

Problem 4.18Elektretin içinde $\vb{D}$ ve $\vb{E}$★★★

Düzgün kutuplanmış bir kürenin (Örnek 4.3) içinde ve dışında $\vb{D}$'yi bulun. Serbest yük olmadığı hâlde $\vb{D}$ neden sıfır değildir?

Çözümü göster

İçeride $\vb{D} = \epsilon_0(-\vb{P}/3\epsilon_0) + \vb{P} = \tfrac23\vb{P}$; dışarıda $\vb{D} = \epsilon_0\vb{E}$ (dipol alanı). $\nabla\cdot\vb{D} = 0$ her yerdedir, ama yüzeyde $\vb{P}$ süreksizdir ve $\nabla\times\vb{P} \neq 0$ (teğet bileşen sıçrar): $\vb{D}$'nin kaynağı rotasyonelidir. Bu, $\vb{D}$'nin yalnızca serbest yüklerden hesaplanamayacağının açık bir örneğidir.

İleri okuma

D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 4. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
E. M. Purcell, D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3. baskı (Cambridge University Press, 2013), 10. bölüm: maddede elektrik alanların mikroskobik açıklaması.
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Cilt II, 10–11. bölümler: dielektrikler ve dielektrik maddelerin içi.
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. baskı (Wiley, 1999), 4. bölüm: çok kutuplar ve dielektrikler.
P. Debye, Polar Molecules (Chemical Catalog Company, 1929): yönelim kutuplanmasının klasik kaynağı.