Bölüm 3

Potansiyeller ve Sınır Değer Problemleri

Laplace denklemi ve harmonik fonksiyonların özellikleri; teklik teoremleri; görüntü yöntemi: düzlem ve küre; değişkenlere ayırma: Kartezyen koordinatlar ve Fourier serileri, küresel koordinatlar ve Legendre polinomları; düzgün alanda iletken küre; çok kutuplu açılım, dipol ve dört kutup.

28 dk okuma9 çözümlü örnek6 şekil20 problem

Bu bölümde

Laplace denkleminin çözümlerinin neden "en düzgün" fonksiyonlar olduğunu ve ortalama değer özelliğini
Teklik teoremlerini ve bir çözümü tahmin etmenin neden meşru bir yöntem olduğunu
Görüntü yöntemiyle topraklanmış düzlem ve küre problemlerini çözmeyi, indüklenen yükü ve kuvveti bulmayı
Değişkenlere ayırma yöntemini Kartezyen ve küresel koordinatlarda uygulamayı
Legendre polinomlarını ve onların sınır koşullarına uydurulmasını
Çok kutuplu açılımı, dipol potansiyelini ve alanını

3.1Laplace denklemi

2. bölümde elektrostatiğin temel probleminin, verilen bir yük dağılımının alanını bulmak olduğunu söyledik; bunun için potansiyelin $\int\rho\,\dd\tau'/\mathcal{R}$ biçimindeki integrali yeterliydi. Ama gerçek problemlerin çoğu böyle değildir. İletkenler varsa, üzerlerindeki yük dağılımı bilinmez: yük, iletkeni eş potansiyel yapacak biçimde kendiliğinden dağılır. Bilinen, yükler değil, iletkenlerin potansiyelleri ya da toplam yükleridir. Bu durumda problem bir sınır değer problemi olur: bölgenin içinde Poisson denklemini (yük yoksa Laplace denklemini)

$$ \nabla^2V = \frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0 $$

(3.1)

sağlayan ve sınırlarda verilen koşullara uyan bir $V$ aramak. Laplace denklemi fiziğin her yerinde karşımıza çıkar: durgun ısı iletimi, ideal akışkanların akışı, gerilmiş bir zarın biçimi ve kütle çekim potansiyeli de ona uyar. Çözümlerine harmonik fonksiyonlar denir. Önce onların genel özelliklerini anlamak, çözüm yöntemlerinden daha önemlidir.

Tek boyutta denklem $\dd^2V/\dd x^2 = 0$'dır ve çözümü bir doğrudur: $V = mx + b$. İki sınır koşulu (iki uçtaki potansiyel) çözümü tek olarak belirler. İki özellik dikkat çekicidir: (1) $V(x)$, komşu noktalardaki değerlerin ortalamasıdır, $V(x) = \tfrac12[V(x + a) + V(x - a)]$; (2) $V$'nin aralığın içinde yerel bir maksimumu ya da minimumu yoktur; en büyük ve en küçük değerler uçlarda alınır.

İki ve üç boyutta bu iki özellik aynen geçerlidir:

Teorem 3.1Ortalama değer özelliği

Laplace denklemine uyan bir $V$'nin herhangi bir noktadaki değeri, o noktayı merkez alan herhangi bir kürenin (iki boyutta çemberin) yüzeyi üzerindeki ortalamasına eşittir:

$$ V(\vb{r}) = \frac{1}{4\pi R^2}\oint_{\text{küre}}V\,\dd a $$

(3.2)

Kanıt. Kürenin içinde ($\nabla^2V = 0$) hiç yük olmadığını düşünelim ve önce dışarıdaki tek bir $q$ yükünü ele alalım. Yük küre merkezinden $z$ uzaklıkta olsun. 2. bölümdeki küresel kabuk hesabı (kosinüs teoremli integral), $q$'nun potansiyelinin küre yüzeyi üzerindeki ortalamasının $q/(4\pi\epsilon_0z)$ olduğunu verir: tam olarak merkezdeki potansiyel. Üst üste binmeyle bu, dışarıdaki her yük dağılımı için geçerlidir. ∎

Ortalama değer özelliğinin hemen bir sonucu vardır: harmonik bir fonksiyonun yük bulunmayan bir bölgenin içinde yerel maksimumu ya da minimumu olamaz (bir maksimum noktasında değer, çevresindeki her kürenin ortalamasından büyük olurdu). Fiziksel sonucu Earnshaw teoremidir: durgun yüklerin elektrostatik kuvvetleriyle bir yükü kararlı olarak dengede tutmak imkânsızdır, çünkü bunun için potansiyel enerjinin bir minimumu gerekir. İyon tuzakları bu yüzden ya zamanla değişen alanlar (Paul tuzağı) ya da manyetik alanlar (Penning tuzağı) kullanır.

Örnek 3.1Ortalama değer özelliğini sınamak

$V = x^2 - y^2$ fonksiyonunun iki boyutta harmonik olduğunu ve $(x_0, y_0)$ merkezli, yarıçapı $R$ olan her çember üzerindeki ortalamasının $V(x_0, y_0)$ olduğunu gösterin. Bu fonksiyonun orijinde bir ekstremumu var mıdır?

Çözüm

$\partial^2V/\partial x^2 + \partial^2V/\partial y^2 = 2 - 2 = 0$ ✓. Çember üzerinde $x = x_0 + R\cos\phi$, $y = y_0 + R\sin\phi$: $V = x_0^2 - y_0^2 + 2R(x_0\cos\phi - y_0\sin\phi) + R^2(\cos^2\phi - \sin^2\phi)$. $\cos\phi$, $\sin\phi$ ve $\cos 2\phi$ terimlerinin ortalaması sıfırdır: ortalama $x_0^2 - y_0^2$ ✓. Orijin bir eyer noktasıdır: $x$ doğrultusunda minimum, $y$ doğrultusunda maksimum. Bu tam olarak doğrusal bir Paul tuzağının kesitindeki potansiyeldir; tuzak, eyeri hızla döndürerek (alanı radyo frekansında değiştirerek) parçacığı ortalamada hapseder.

3.2Teklik teoremleri

Bir sınır değer probleminin çözümünü nasıl bulduğumuz önemli değildir: tahmin edebilir, bir tablodan bulabilir ya da bir hileyle elde edebiliriz. Bulduğumuz fonksiyon denklemi ve sınır koşullarını sağlıyorsa doğru çözümdür, çünkü çözüm tektir.

Teorem 3.2Birinci teklik teoremi

Bir $\mathcal{V}$ hacminde yük yoğunluğu ve hacmin bütün sınır yüzeyleri üzerinde $V$ belirtilmişse, Poisson denkleminin çözümü tektir.

Kanıt. $V_1$ ve $V_2$ iki çözüm olsun. Farkları $V_3 = V_1 - V_2$ hacmin içinde Laplace denklemine uyar (kaynak terimleri götürür) ve sınırlarda sıfırdır. Harmonik bir fonksiyonun içeride ekstremumu olmadığından, en büyük ve en küçük değerleri sınırdadır; ikisi de sıfırdır. Dolayısıyla her yerde $V_3 = 0$. ∎

Bu teorem, 2. bölümde bulduğumuz bir sonucu da kanıtlar: içinde yük olmayan ve bir iletkenle çevrilmiş bir boşlukta potansiyel sabittir (sınırda sabit potansiyel, içeride sabit bir çözümü zorunlu kılar). İletkenler için daha kullanışlı bir biçim de vardır:

Teorem 3.3İkinci teklik teoremi

İletkenlerle çevrilmiş ve yük yoğunluğu $\rho$ belirtilmiş bir bölgede, her iletkenin üzerindeki toplam yük verilmişse, elektrik alan tektir.

(Kanıtı 2. bölümdeki enerji formülüne benzer bir kısmi integrale dayanır; Problem 3.20.) Bu iki teorem, aşağıdaki "hileli" yöntemlerin dayanağıdır.

3.3Görüntü yöntemi

Sonsuz, topraklanmış ($V = 0$) bir iletken düzlemin $d$ uzaklığında bir $+q$ noktasal yükü olsun. Düzlemin üstündeki potansiyel nedir? Yük, düzlemde eksi yük indükler; ama bu yükün nasıl dağıldığını bilmeden problemi doğrudan çözemeyiz. Şimdi tamamen farklı bir problemi düşünelim: düzlem yok, $+q$ yükü $(0, 0, d)$'de ve bir $-q$ yükü $(0, 0, -d)$'de. Bu iki yükün potansiyeli

$$ V(x, y, z) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - d)^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + d)^2}}\right] $$

(3.3)

dir. Bu ifade (1) $z = 0$ düzleminde sıfırdır, (2) uzakta sıfıra gider ve (3) $z > 0$ bölgesinde tek yük $+q$'dur. Bunlar asıl problemin bütün koşullarıdır. Birinci teklik teoremine göre (3.3), $z > 0$ bölgesinde asıl problemin çözümüdür. Hayali $-q$ yüküne görüntü yük denir; düzlem bir ayna gibidir. Görüntü yalnızca bir hesap aracıdır: $z < 0$ bölgesinde gerçek potansiyel sıfırdır, (3.3) değil.

Görüntü yöntemi — **Şekil 3.1.** Topraklanmış bir iletken düzlemin üstündeki $+q$ yükünün alan çizgileri (yük ve görüntüsünün alanından çizilmiştir); çizgiler düzleme dik olarak varır. Sağda düzlemde indüklenen yüzey yükü, yükün düzleme dik izdüşümünden uzaklığa göre.

İndüklenen yük. İletkenin yüzeyinde alan $\sigma/\epsilon_0$'dır (2. bölüm), yani $\sigma = -\epsilon_0\,\partial V/\partial z$ ($z = 0$'da). (3.3)'ten, $\rho^2 = x^2 + y^2$ ile

$$ \sigma(\rho) = -\frac{qd}{2\pi(\rho^2 + d^2)^{3/2}} $$

(3.4)

bulunur. İndüklenen yük eksidir ve yükün tam altında en yoğundur. Toplamı $\int_0^\infty\sigma\,2\pi\rho\,\dd\rho = -q$'dur: görüntü yüküyle aynı, beklendiği gibi (yükün bütün alan çizgileri düzlemde biter).

Kuvvet ve enerji. Yük, indüklenen yükler tarafından düzleme doğru çekilir. $z > 0$'da alan görüntünün alanıyla aynı olduğundan, kuvvet de görüntünün uyguladığı kuvvettir:

$$ \vb{F} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2}\uv{z} $$

(3.5)

Ama enerji görüntü sisteminin enerjisi değildir. İki yükün enerjisi $-q^2/(4\pi\epsilon_0\,2d)$ olurdu; gerçek sistemde alan yalnızca $z > 0$'da vardır ve 2. bölümdeki $\tfrac12\epsilon_0\int E^2\,\dd\tau$ yarı yarıya küçüktür. Doğrudan yükü sonsuzdan getirmenin işiyle de görülür:

$$ W = \int_\infty^d\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{4z^2}\,\dd z = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{4d} $$

(3.6)

Örnek 3.2Metal yüzeyinde bir elektron

Bir elektron bir metal yüzeyinden 0,50 nm uzaktadır. Görüntü kuvvetinin potansiyel enerjisi kaç elektronvolttur? Bu sonuç metallerin iş fonksiyonu ile nasıl ilişkilidir?

Çözüm

(3.6): $|W| = e^2/(16\pi\epsilon_0d) = (1{,}44\ \text{eV·nm})/(4 \times 0{,}50\ \text{nm}) = 0{,}72$ eV ($e^2/4\pi\epsilon_0 = 1{,}44$ eV·nm). Bir elektronu metalden koparmak için gereken iş fonksiyonu tipik olarak 4–5 eV'dir; bu enerjinin önemli bir kısmı, elektronu yüzeyden uzaklaştırırken kendi görüntüsünün çekimine karşı yapılan iştir. (Yüzeye çok yakın uzaklıklarda model geçersizdir: metal artık sürekli bir iletken gibi davranmaz.)

Örnek 3.3Topraklanmış iletken küre

Yarıçapı $R$ olan topraklanmış bir iletken kürenin merkezinden $a > R$ uzaklıkta bir $q$ yükü var. Küre dışındaki potansiyeli bir görüntü yükle bulun. Yüke etki eden kuvvet nedir?

Çözüm

Görüntüyü küre içinde, merkezle yükü birleştiren doğru üzerinde $b$ uzaklığına, $q'$ büyüklüğünde koyalım (Şekil 3.2). Küre üzerinde, yükle merkez arasındaki açı $\theta$ olan bir noktada uzaklıklar $\sqrt{R^2 + a^2 - 2Ra\cos\theta}$ ve $\sqrt{R^2 + b^2 - 2Rb\cos\theta}$'dir. $q' = -qR/a$ ve $b = R^2/a$ seçilirse ikinci uzaklık birincinin tam $R/a$ katı olur ve potansiyeller her $\theta$ için birbirini götürür (Problem 3.8). Kuvvet, görüntünün çekimidir:

$$ F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq'}{(a - b)^2} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2Ra}{(a^2 - R^2)^2} $$

Uzakta ($a \gg R$) kuvvet $1/a^3$ gibi azalır. Küre topraklanmış değil de yalıtılmış ve yüksüz olsaydı, toplam yükü sıfır yapmak için merkeze ikinci bir $-q' = +qR/a$ görüntüsü eklenirdi (ikinci teklik teoremi); kuvvet o zaman $1/a^5$ gibi azalır.

Tarihçe

Laplace denklemi adını, 1782'de onu gök cisimlerinin kütle çekim potansiyeli için yazan Pierre-Simon Laplace'tan alır; Adrien-Marie Legendre de aynı yıllarda dönel elipsoidlerin çekimini incelerken bugün onun adını taşıyan polinomları buldu. Elektrostatiğe ilk uygulayan Siméon Denis Poisson oldu (1812, 1813). Samuel Earnshaw, durgun kuvvetlerle kararlı denge olamayacağını 1842'de gösterdi. Görüntü yöntemini ise 1848'de, henüz yirmili yaşlarının başındaki William Thomson (sonradan Lord Kelvin) buldu; aynı yöntem bugün yarı iletken aygıtlardaki yüzey etkilerinden radyo antenlerinin yer düzlemine kadar her yerde kullanılır.

Kürede görüntü yük — **Şekil 3.2.** Topraklanmış bir iletken kürenin dışındaki $q$ yükü ve görüntüsü $q' = -qR/a$. Görüntü, merkezden $b = R^2/a$ uzaklıktadır; küre yüzeyinde iki yükün potansiyelleri birbirini tam olarak götürür.

3.4Değişkenlere ayırma: Kartezyen koordinatlar

Görüntü yöntemi yalnızca birkaç özel geometride işe yarar. Daha genel bir yöntem değişkenlere ayırmadır: çözümü, her biri tek bir koordinata bağlı fonksiyonların çarpımı olarak ararız. Klasik bir örnekle başlayalım.

Örnek 3.4Sonsuz yarık

İki topraklanmış sonsuz iletken düzlem $y = 0$ ve $y = a$'da, $x$ ekseni boyunca uzanıyor. $x = 0$'da ikisini birleştiren yalıtılmış bir şerit $V_0$ sabit potansiyelinde tutuluyor. Yarığın içindeki potansiyeli bulun.

Çözüm

Problem $z$'ye bağlı değildir: $\partial^2V/\partial x^2 + \partial^2V/\partial y^2 = 0$. Sınır koşulları: (i) $V(x, 0) = 0$, (ii) $V(x, a) = 0$, (iii) $V(0, y) = V_0$, (iv) $x \to \infty$ iken $V \to 0$. $V = X(x)Y(y)$ yazıp denklemi $XY$'ye bölersek

$$ \frac{1}{X}\frac{\dd^2X}{\dd x^2} + \frac{1}{Y}\frac{\dd^2Y}{\dd y^2} = 0 $$

Birinci terim yalnızca $x$'e, ikincisi yalnızca $y$'ye bağlıdır; toplamları her yerde sıfırsa ikisi de sabit olmalıdır: $X''/X = k^2$, $Y''/Y = -k^2$. Çözümler $X = Ae^{kx} + Be^{-kx}$, $Y = C\sin ky + D\cos ky$. Koşul (iv) $A = 0$, (i) $D = 0$, (ii) $\sin ka = 0$, yani $k = n\pi/a$ ($n = 1, 2, \ldots$) verir. Her $n$ için $e^{-n\pi x/a}\sin(n\pi y/a)$ bir çözümdür; Laplace denklemi doğrusal olduğundan genel çözüm bunların toplamıdır:

$$ V(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_n\,e^{-n\pi x/a}\sin\frac{n\pi y}{a} $$

Kalan koşul (iii): $\sum C_n\sin(n\pi y/a) = V_0$. Bu, $V_0$'ın bir Fourier sinüs serisidir. Sinüslerin dikliğinden ($\int_0^a\sin(n\pi y/a)\sin(m\pi y/a)\,\dd y = (a/2)\delta_{nm}$) $C_n = (2/a)\int_0^aV_0\sin(n\pi y/a)\,\dd y$: tek $n$ için $4V_0/(n\pi)$, çift $n$ için sıfır. Sonuç:

$$ V(x, y) = \frac{4V_0}{\pi}\sum_{n = 1, 3, 5, \ldots}\frac{1}{n}e^{-n\pi x/a}\sin\frac{n\pi y}{a} = \frac{2V_0}{\pi}\arctan\left(\frac{\sin(\pi y/a)}{\sinh(\pi x/a)}\right) $$

(3.7)

İkinci biçim, serinin kapalı toplamıdır (Problem 3.10). Örneğin yarığın ortasında, $x = y = a/2$'de $V = 0{,}261\,V_0$. Her terim $e^{-n\pi x/a}$ ile söndüğünden, şeritten birkaç $a$ uzakta yalnızca ilk terim önemlidir: potansiyel $e^{-\pi x/a}$ ile söner (Şekil 3.3).

Yarık problemi — **Şekil 3.3.** Sonsuz yarıkta eş potansiyel eğrileri ($V = 0{,}1V_0$, 0,2, 0,3, 0,5, 0,7 ve 0,9; (3.7)). Kapalı biçim, serinin ilk 2 000 tek terimiyle altı basamağa kadar uyuşur.

Yöntemin iki temel taşı vardır: tamlık (herhangi bir sınır fonksiyonu, ayrılmış çözümlerin toplamıyla yazılabilir) ve diklik (katsayılar Fourier hilesiyle tek tek bulunabilir). Üç boyutlu problemlerde (örneğin dikdörtgen bir kutu) aynı yöntem iki katlı Fourier serileri verir (Problem 3.11).

3.5Değişkenlere ayırma: küresel koordinatlar

Küresel simetriye yakın problemlerde (bir küre, küreye yakın bir yük dağılımı) küresel koordinatlar kullanılır. $z$ ekseni çevresinde dönme simetrisi olan ($\phi$'ye bağlı olmayan) problemlerle sınırlanalım. 1. bölümdeki küresel Laplasyenle

$$ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right) = 0 $$

$V = R(r)\,\Theta(\theta)$ yazıp ayırırsak radyal denklem $\dd(r^2\,\dd R/\dd r)/\dd r = l(l + 1)R$ olur ve çözümleri $r^l$ ile $r^{-(l + 1)}$'dir. Açısal denklemin, $\theta = 0$ ve $\pi$'de sonlu kalan çözümleri yalnızca $l = 0, 1, 2, \ldots$ tam sayıları için vardır ve Legendre polinomlarıdır, $\Theta = P_l(\cos\theta)$:

$$ P_l(x) = \frac{1}{2^ll!}\frac{\dd^l}{\dd x^l}\left(x^2 - 1\right)^l $$

(3.8)

(Rodrigues formülü). İlk birkaçı:

$$ P_0 = 1, \quad P_1 = x, \quad P_2 = \tfrac12(3x^2 - 1), \quad P_3 = \tfrac12(5x^3 - 3x), \quad P_4 = \tfrac18(35x^4 - 30x^2 + 3) $$

Legendre polinomları birbirine diktir:

$$ \int_{-1}^{1}P_l(x)P_{l'}(x)\,\dd x = \frac{2}{2l + 1}\delta_{ll'} $$

(3.9)

Böylece eksenel simetrili problemlerin genel çözümü

$$ V(r, \theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left(A_lr^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta) $$

(3.10)

dir. Bir kürenin içinde orijinde sonlu kalmak için $B_l = 0$; dışında sonsuzda sonlu kalmak için (çoğu zaman) $A_l = 0$ gerekir. Katsayılar, sınırdaki koşul $P_l$'lerle açılarak bulunur.

Örnek 3.5Yüzeyde verilen potansiyel

Yarıçapı $R$ olan bir kürenin yüzeyinde potansiyel $V_0(\theta) = V_0\cos^2\theta$ olarak tutuluyor. Kürenin içinde ve dışında potansiyeli bulun. Merkezdeki potansiyel nedir?

Çözüm

$\cos^2\theta$'yı Legendre polinomlarıyla yazalım: $P_2 = \tfrac12(3\cos^2\theta - 1)$ olduğundan $\cos^2\theta = \tfrac13P_0 + \tfrac23P_2$. İçeride $V = \sum A_lr^lP_l$; $r = R$'de eşleşme yalnızca $l = 0$ ve $2$ terimlerini bırakır:

$$ V_{\text{iç}} = V_0\left[\frac13 + \frac23\left(\frac{r}{R}\right)^2P_2(\cos\theta)\right], \qquad V_{\text{dış}} = V_0\left[\frac13\frac{R}{r} + \frac23\left(\frac{R}{r}\right)^3P_2(\cos\theta)\right] $$

Merkezde $V = V_0/3$: ortalama değer özelliğiyle uyumlu, çünkü $\cos^2\theta$'nın küre üzerindeki ortalaması $1/3$'tür. Dışarıda baskın terim $V_0R/(3r)$'dir: küre uzaktan toplam yükü $Q = 4\pi\epsilon_0RV_0/3$ olan bir noktasal yük gibi görünür.

Örnek 3.6Düzgün alanda iletken küre

Yüksüz bir iletken küre (yarıçapı $R$) düzgün bir $\vb{E}_0 = E_0\uv{z}$ alanına konuyor. Potansiyeli, indüklenen yüzey yükünü ve kutuplardaki alanı bulun.

Çözüm

Kürenin potansiyeli simetri gereği $z = 0$ düzlemindeki potansiyelle aynıdır; onu sıfır seçelim. Uzakta alan bozulmamıştır: $V \to -E_0z = -E_0r\cos\theta$. Dışarıda (3.10), bu asimptotik koşul ve $V(R, \theta) = 0$ yalnızca $l = 1$ terimini bırakır: $A_1 = -E_0$, $B_1 = E_0R^3$:

$$ V(r, \theta) = -E_0\left(r - \frac{R^3}{r^2}\right)\cos\theta $$

(3.11)

İkinci terim, indüklenen yüklerin katkısıdır ve bir dipolün potansiyelidir (Kısım 3.6). İndüklenen yük $\sigma = -\epsilon_0\,\partial V/\partial r|_{r=R} = 3\epsilon_0E_0\cos\theta$: üst yarıda artı, alt yarıda eksi; toplamı sıfır. Kutuplarda alan $\sigma/\epsilon_0 = 3E_0$'dır: iletken küre, dış alanı kutuplarında üç katına çıkarır; ekvatorda ise alan sıfırdır (Şekil 3.5).

Düzgün alanda iletken küre — **Şekil 3.5.** Düzgün bir alana konmuş iletken kürenin çevresindeki alan çizgileri; çizgiler (3.11)'den hesaplanan alan boyunca sayısal olarak izlenmiştir. Çizgiler yüzeye dik varır; indüklenen yük ($3\epsilon_0E_0\cos\theta$) üst yarıda artı, alt yarıda eksidir.

Örnek 3.7Yüzey yükü verilmiş küre

Yarıçapı $R$ olan bir kürenin yüzeyinde yük yoğunluğu $\sigma(\theta) = \kappa\cos\theta$'dır. Her yerdeki potansiyeli bulun.

Çözüm

İçeride $V = A_1r\cos\theta$, dışarıda $V = (B_1/r^2)\cos\theta$ deneyelim ($\sigma$ yalnızca $P_1$ içerir). Potansiyel sürekli: $A_1R = B_1/R^2$. Radyal alanın sıçraması $\sigma/\epsilon_0$: $-\partial V_{\text{dış}}/\partial r + \partial V_{\text{iç}}/\partial r = 2B_1/R^3 + A_1 = \kappa/\epsilon_0$ ($\cos\theta$ çarpanıyla). Çözüm $A_1 = \kappa/3\epsilon_0$, $B_1 = \kappa R^3/3\epsilon_0$:

$$ V_{\text{iç}} = \frac{\kappa}{3\epsilon_0}r\cos\theta = \frac{\kappa}{3\epsilon_0}z, \qquad V_{\text{dış}} = \frac{\kappa R^3}{3\epsilon_0}\frac{\cos\theta}{r^2} $$

İçeride alan düzgündür, $\vb{E} = -(\kappa/3\epsilon_0)\uv{z}$; dışarıda saf bir dipol alanıdır. Bu sonuç 4. bölümde düzgün kutuplanmış bir kürenin alanı olarak yeniden karşımıza çıkacak.

3.6Çok kutuplu açılım

Yerel bir yük dağılımına uzaktan bakıldığında ilk görülen, toplam yüktür: $V \approx Q/(4\pi\epsilon_0r)$. Ama toplam yük sıfırsa (bir molekül, bir anten) potansiyel daha hızlı söner ve ayrıntılar önem kazanır. Sistematik açılım için ayrım vektörünün tersini yazalım. $\vb{r}'$ ile $\vb{r}$ arasındaki açı $\alpha$ ise kosinüs teoreminden $\mathcal{R}^2 = r^2 + r'^2 - 2rr'\cos\alpha$ ve $r' < r$ için

$$ \frac{1}{\mathcal{R}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{r'^n}{r^{n+1}}P_n(\cos\alpha) $$

(3.12)

(Legendre polinomları bu açılımla da tanımlanabilir: $1/\sqrt{1 - 2xt + t^2}$, onların üreteç fonksiyonudur.) 2. bölümdeki $V = (1/4\pi\epsilon_0)\int\rho\,\dd\tau'/\mathcal{R}$ integraline koyunca

$$ V(\vb{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{r^{n+1}}\int(r')^nP_n(\cos\alpha)\,\rho(\vb{r}')\,\dd\tau' $$

(3.13)

bulunur. $n = 0$ terimi tek kutup (monopol), $n = 1$ dipol, $n = 2$ dört kutup (kuadrupol), $n = 3$ sekiz kutup terimidir ve sırasıyla $1/r$, $1/r^2$, $1/r^3$, … gibi söner.

Tek kutup terimi $Q/(4\pi\epsilon_0r)$'dir. Dipol terimi, $r'\cos\alpha = \hat{\vb{r}}\cdot\vb{r}'$ ile

$$ V_{\text{dip}}(\vb{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vb{p}\cdot\hat{\vb{r}}}{r^2}, \qquad \vb{p} = \int\vb{r}'\rho(\vb{r}')\,\dd\tau' $$

(3.14)

olur; $\vb{p}$, dağılımın dipol momentidir. Noktasal yükler için $\vb{p} = \sum q_i\vb{r}_i'$; $\pm q$ yüklerinden oluşan ve eksi yükten artı yüke uzanan $\vb{d}$ vektörüyle ayrılmış bir fiziksel dipol için $\vb{p} = q\vb{d}$. Dipol momenti, toplam yük sıfırsa orijinin seçimine bağlı değildir (Problem 3.16); toplam yük sıfır değilse bağlıdır ve orijin yükün "merkezine" konarak dipol terimi yok edilebilir.

Dipol alanı. $\vb{p} = p\uv{z}$ ise $V_{\text{dip}} = p\cos\theta/(4\pi\epsilon_0r^2)$ ve küresel gradyanla

$$ \vb{E}_{\text{dip}} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{\vb{r}} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{3(\vb{p}\cdot\hat{\vb{r}})\hat{\vb{r}} - \vb{p}}{r^3} $$

(3.15)

(ikinci biçim koordinatlardan bağımsızdır; Problem 3.17). Eksen üzerinde alan $2p/(4\pi\epsilon_0r^3)$, ekvator düzleminde $-\vb{p}/(4\pi\epsilon_0r^3)$'tür: ekseninkinin yarısı ve dipole ters yönde.

Dipol alanı — **Şekil 3.6.** Saf bir dipolün alan çizgileri ($r = C\sin^2\theta$) ve eş potansiyel yüzeylerinin kesitleri ($\cos\theta/r^2 = $ sabit). Ekvator düzleminde alan dipole ters yöndedir.

Örnek 3.8Dipol yaklaşıklığı ne kadar iyi?

Aralarındaki uzaklık $d$ olan $\pm q$ yükleri için, eksen üzerinde $r = 5d$'deki tam potansiyeli dipol yaklaşıklığıyla karşılaştırın.

Çözüm

Eksen üzerinde (orijin ortada) tam potansiyel $V = (q/4\pi\epsilon_0)[1/(r - d/2) - 1/(r + d/2)] = (q/4\pi\epsilon_0)\,d/(r^2 - d^2/4)$. Dipol yaklaşıklığı $qd/(4\pi\epsilon_0r^2)$. Oran $1/(1 - d^2/4r^2) = 1/(1 - 1/100) = 1{,}0101$: $r = 5d$'de hata %1. Orijin ortada olduğu için dört kutup terimi simetri gereği sıfırdır; ilk düzeltme sekiz kutup terimidir ve $(d/r)^2$ ile küçülür.

Örnek 3.9Su molekülünün dipol momenti

Su molekülünün dipol momenti $6{,}2\times10^{-30}$ C·m'dir. Bunu debye birimiyle (1 D = $3{,}336\times10^{-30}$ C·m) yazın. Molekülden 1,0 nm uzakta, dipol ekseni üzerindeki alan nedir? $10^5$ V/m'lik bir alanda moleküle etki edebilecek en büyük tork nedir?

Çözüm

$p = 6{,}2/3{,}336 = 1{,}86$ D. Eksen üzerinde $E = 2p/(4\pi\epsilon_0r^3) = 2 \times 8{,}988\times10^9 \times 6{,}2\times10^{-30}/10^{-27} = 1{,}1\times10^8$ V/m; komşu moleküllerin birbirini bu kadar güçlü etkilemesi, suyun yüksek kaynama noktasının ve iyi bir çözücü olmasının nedenlerindendir. Düzgün bir alanda dipole etki eden tork $\vb{N} = \vb{p}\times\vb{E}$'dir (4. bölüm); en büyük değeri $pE = 6{,}2\times10^{-25}$ N·m. Mikrodalga fırınlar, su moleküllerini 2,45 GHz frekansında değişen bir alanla döndürmeye çalışarak ısıtır.

Dört kutup ve ötesi. Hem toplam yükü hem dipol momenti sıfır olan bir dağılımın (örneğin $-q$, $+2q$, $-q$ yüklerinin bir doğru üzerindeki dizilimi) potansiyeli $1/r^3$ gibi söner (Problem 3.18). Çekirdeklerin dört kutup momentleri, biçimlerinin küreden ne kadar saptığını ölçer; Dünya'nın kütle çekim alanındaki dört kutup terimi (basıklığı) yapay uyduların yörünge düzlemlerinin yalpalamasının nedenidir.

Özet

Laplace denkleminin çözümleri bir kürenin yüzeyi üzerindeki ortalamalarına eşittir (3.2); yük olmayan bir bölgede yerel ekstremumları yoktur (Earnshaw teoremi).
Sınırda potansiyel (ya da iletkenlerin toplam yükleri) verilmişse çözüm tektir; tahmin edilen bir çözüm koşulları sağlıyorsa doğrudur.
Görüntü yöntemi: topraklanmış bir düzlemin önündeki yükün görüntüsü $-q$'dur (3.3); indüklenen yük (3.4), kuvvet (3.5), enerji (3.6). Kürede görüntü $q' = -qR/a$, $b = R^2/a$.
Değişkenlere ayırma: Kartezyen koordinatlarda üstel ve trigonometrik fonksiyonlar, katsayılar Fourier serisiyle (3.7).
Eksenel simetrili küresel problemlerde $V = \sum(A_lr^l + B_lr^{-(l+1)})P_l(\cos\theta)$ (3.10). Düzgün alanda iletken küre (3.11).
Çok kutuplu açılım (3.13): tek kutup $1/r$, dipol $\vb{p}\cdot\hat{\vb{r}}/r^2$ (3.14), dört kutup $1/r^3$. Dipol alanı (3.15).

Problemler

Problem 3.1Tek boyutta Laplace★☆☆

İki paralel levhadan biri $x = 0$'da topraklanmış, öteki $x = d$'de $V_0$ potansiyelindedir. Aradaki potansiyeli ve alanı bulun. Çözümün tek olduğunu doğrudan gösterin.

Çözümü göster

$V'' = 0$: $V = mx + b$; $V(0) = 0$ ⇒ $b = 0$; $V(d) = V_0$ ⇒ $m = V_0/d$. $V = V_0x/d$, $\vb{E} = -(V_0/d)\uv{x}$. İki noktadan geçen tek bir doğru vardır: çözüm tektir.

Problem 3.2Earnshaw teoremi★☆☆

Dört eş artı yük bir karenin köşelerinde sabitlenmiştir. Karenin merkezine konan artı bir sınama yükü kare düzleminde dengede midir? Kararlı bir denge midir? Üç boyutta ne olur?

Çözümü göster

Merkezde simetri gereği kuvvet sıfırdır: denge. Düzlem içinde köşelere doğru itilen yük geri itilir (düzlem içinde kararlı görünür). Ama Earnshaw teoremi potansiyelin merkezde minimum olamayacağını söyler: düzleme dik doğrultuda yük dışarı itilir, denge kararsızdır.

Problem 3.3Neden içi boş iletken korur?★☆☆

Birinci teklik teoremini kullanarak, içinde yük olmayan ve tamamen bir iletkenle çevrilmiş bir boşluğun içinde alanın sıfır olduğunu gösterin.

Çözümü göster

Boşluğun sınırı iletkendir ve sabit bir $V_0$ potansiyelindedir. $V = V_0$ (sabit) Laplace denklemini ve sınır koşulunu sağlar. Teklik gereği tek çözüm budur ve $\vb{E} = -\nabla V = 0$.

Problem 3.4Tek terimli sınır★☆☆

Örnek 3.4'teki yarıkta $x = 0$'daki şeridin potansiyeli $V_0$ yerine $V_0\sin(\pi y/a)$ ise yarıktaki potansiyel nedir?

Çözümü göster

Sınır fonksiyonu tek bir sinüs terimidir: yalnızca $C_1 = V_0$. $V = V_0e^{-\pi x/a}\sin(\pi y/a)$. (Denetim: $\partial_x^2V + \partial_y^2V = (\pi/a)^2V - (\pi/a)^2V = 0$ ✓.)

Problem 3.5İndüklenen yükün dağılımı★★☆

(3.4)'teki indüklenen yükün yarısının, yükün altındaki noktanın çevresinde yarıçapı $\sqrt{3}\,d$ olan bir dairenin içinde bulunduğunu gösterin. En büyük yüzey yoğunluğu nedir?

Çözümü göster

$\int_0^R\sigma\,2\pi\rho\,\dd\rho = -qd\left[1/d - 1/\sqrt{R^2 + d^2}\right] = -q\left[1 - d/\sqrt{R^2 + d^2}\right]$. $-q/2$ için $d/\sqrt{R^2 + d^2} = 1/2$ ⇒ $R = \sqrt{3}\,d$ ✓. En büyük değer $\rho = 0$'da: $\sigma = -q/(2\pi d^2)$.

Problem 3.6İki düzlemin köşesi★★☆

İki topraklanmış yarı sonsuz iletken düzlem dik açıyla birleşerek bir köşe oluşturuyor ($x \ge 0$, $y \ge 0$ bölgesinin sınırları). $(a, b, 0)$'da bir $q$ yükü var. Kaç görüntü gerekir ve nerelerdedir? $a = b$ için yüke etki eden kuvveti bulun.

Çözümü göster

Üç görüntü: $(-a, b)$'de $-q$, $(a, -b)$'de $-q$, $(-a, -b)$'de $+q$; dördü birlikte iki düzlemi de sıfır potansiyelde tutar. $a = b$ için kuvvet, $F_0 = q^2/(4\pi\epsilon_0a^2)$ biriminde: $F_x = F_y = F_0[-1/4 + 2/(8^{3/2})] = -0{,}162F_0$. Büyüklüğü $(2\sqrt{2} - 1)F_0/8 = 0{,}229F_0$, köşeye doğru.

Problem 3.7Yükü uzaklaştırmanın işi★★☆

Topraklanmış düzlemden $d$ uzaklıktaki $q$ yükünü sonsuza götürmek için gereken işi (3.5)'i integralleyerek bulun. Neden görüntü sisteminin enerjisinin yarısıdır?

Çözümü göster

$W = \int_d^\infty q^2\,\dd z/(4\pi\epsilon_0\cdot 4z^2) = q^2/(16\pi\epsilon_0d)$: (3.6)'nın işaret değiştirmiş hâli. Görüntü sisteminde iki yük birlikte hareket eder (görüntü yansıyarak izler) ve alan bütün uzayı doldurur; gerçekte alan yalnızca yarı uzaydadır, yani $\tfrac12\epsilon_0\int E^2$ yarıdır. Ayrıca gerçek problemde yalnızca $q$ üzerinde iş yapılır; indüklenen yükler iletkenin eş potansiyel yüzeyinde hareket ettiğinden onlar üzerinde iş yapılmaz.

Problem 3.8Küre görüntüsünü doğrulamak★★☆

Örnek 3.3'teki görüntünün küre yüzeyindeki her noktada potansiyeli sıfır yaptığını gösterin.

Çözümü göster

Küre üzerinde $\mathcal{R}_2^2 = R^2 + R^4/a^2 - 2(R^3/a)\cos\theta = (R^2/a^2)(a^2 + R^2 - 2aR\cos\theta) = (R/a)^2\mathcal{R}_1^2$. $V \propto q/\mathcal{R}_1 + q'/\mathcal{R}_2 = q/\mathcal{R}_1 - (qR/a)(a/R)/\mathcal{R}_1 = 0$ ✓. (Bölümün figür programı bunu 400 noktada sayısal olarak da denetler.)

Problem 3.9Yüklü yalıtılmış küre★★☆

Örnek 3.3'teki küre topraklanmış değil, üzerinde $Q$ net yükü bulunan yalıtılmış bir küreyse dışarıdaki potansiyel nedir? Yüke etki eden kuvveti yazın.

Çözümü göster

Küre bir eş potansiyel olmalı ve toplam yükü $Q$ olmalı. $q'$ görüntüsüne ek olarak merkeze $Q - q'$ yükü konursa küre yüzeyi yine eş potansiyeldir (merkezdeki yükün potansiyeli küre üzerinde sabittir) ve toplam yük $Q$'dur; ikinci teklik teoremiyle çözüm budur. Kuvvet: $F = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{Q + qR/a}{a^2} - \frac{qR/a}{(a - R^2/a)^2}\right]$.

Problem 3.10Serinin toplamı★★☆

(3.7)'deki serinin kapalı biçiminin doğru olduğunu, $z = e^{-\pi(x - iy)/a}$ değişkeniyle ve $\sum_{n\ \text{tek}}z^n/n = \tfrac12\ln[(1 + z)/(1 - z)]$ özdeşliğiyle gösterin. Kapalı biçimin Laplace denklemini sağladığını doğrulayın.

Çözümü göster

$e^{-n\pi x/a}\sin(n\pi y/a) = \mathrm{Im}(z^n)$, yani seri $(4V_0/\pi)\,\mathrm{Im}\left[\tfrac12\ln\frac{1 + z}{1 - z}\right]$. $\ln$ karmaşık sayının sanal kısmı argümandır: $\arg\frac{1 + z}{1 - z} = \arg\frac{(1 + z)(1 - \bar{z})}{|1 - z|^2}$; pay $1 - |z|^2 + 2i\,\mathrm{Im}\,z$. $|z| = e^{-\pi x/a}$, $\mathrm{Im}\,z = e^{-\pi x/a}\sin(\pi y/a)$: $\tan(\arg) = 2e^{-\pi x/a}\sin(\pi y/a)/(1 - e^{-2\pi x/a}) = \sin(\pi y/a)/\sinh(\pi x/a)$ ✓. Harmonik olduğu, analitik bir fonksiyonun sanal kısmı olmasından gelir (figür programında sembolik olarak da denetlenmiştir).

Problem 3.11Dikdörtgen kutu★★☆

Kenarları $a$, $b$, $c$ olan bir kutunun $z = c$ yüzü $V_0$ potansiyelinde, öteki beş yüzü topraklanmıştır. Ayrılmış çözümlerin biçimini ve katsayıları bulun.

Çözümü göster

$V = \sum_{n,m}C_{nm}\sin(n\pi x/a)\sin(m\pi y/b)\sinh(\gamma_{nm}z)$, $\gamma_{nm} = \pi\sqrt{n^2/a^2 + m^2/b^2}$ ($z = 0$'da sıfır olduğu için $\sinh$). $z = c$'de çift katlı Fourier serisi: $C_{nm}\sinh(\gamma_{nm}c) = (4/ab)\int_0^a\!\int_0^bV_0\sin(n\pi x/a)\sin(m\pi y/b)\,\dd x\,\dd y = 16V_0/(\pi^2nm)$ ($n$, $m$ ikisi de tek), aksi hâlde sıfır.

Problem 3.12Legendre polinomları★★☆

Rodrigues formülünden $P_2$ ve $P_3$'ü türetin. $\int_{-1}^{1}P_2^2\,\dd x = 2/5$ ve $\int_{-1}^1P_2P_3\,\dd x = 0$ olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$P_2 = \tfrac18\,\dd^2(x^2 - 1)^2/\dd x^2 = \tfrac18(12x^2 - 4) = \tfrac12(3x^2 - 1)$. $P_3 = \tfrac1{48}\,\dd^3(x^2 - 1)^3/\dd x^3 = \tfrac1{48}(120x^3 - 72x) = \tfrac12(5x^3 - 3x)$. $\int\tfrac14(3x^2 - 1)^2 = \tfrac14(9 \cdot \tfrac25 - 6\cdot\tfrac23 + 2) = \tfrac14 \cdot \tfrac85 = \tfrac25$ ✓. $P_2P_3$ tek bir fonksiyondur: simetrik aralıkta integrali sıfır ✓.

Problem 3.13Yüzeyde $V_0\cos\theta$★★☆

Yarıçapı $R$ olan bir kürenin yüzeyinde potansiyel $V_0\cos\theta$'dır (içeride ve dışarıda yük yok). Potansiyeli ve kürenin yüzeyindeki yük yoğunluğunu bulun.

Çözümü göster

İçeride $V_0(r/R)\cos\theta$ (düzgün alan $-V_0/R\,\uv{z}$), dışarıda $V_0(R/r)^2\cos\theta$ (dipol). $\sigma = \epsilon_0(E_r^{\text{dış}} - E_r^{\text{iç}}) = \epsilon_0(2V_0/R + V_0/R)\cos\theta = 3\epsilon_0V_0\cos\theta/R$.

Problem 3.14Yüklü iletken küre düzgün alanda★★☆

Örnek 3.6'daki küre yüksüz değil, $Q$ net yükü taşıyorsa potansiyel ve yüzey yükü nedir? Kürenin her yerinde $\sigma \ge 0$ olması için $Q$ en az ne olmalıdır?

Çözümü göster

$V = -E_0(r - R^3/r^2)\cos\theta + Q/(4\pi\epsilon_0r) + \text{sabit}$. $\sigma = 3\epsilon_0E_0\cos\theta + Q/(4\pi R^2)$. En küçük değer $\theta = \pi$'de: $Q \ge 12\pi\epsilon_0R^2E_0$.

Problem 3.15Düzgün alanda iletken silindir★★☆

Yarıçapı $R$ olan sonsuz uzun yüksüz bir iletken silindir, eksenine dik düzgün bir $E_0\uv{x}$ alanında. $V = -E_0(s - R^2/s)\cos\phi$'nin Laplace denklemini ve sınır koşullarını sağladığını gösterin; indüklenen yükü bulun.

Çözümü göster

Silindirik Laplasyen: $(1/s)\partial_s(s\partial_sV) + (1/s^2)\partial_\phi^2V$; $s$ ve $R^2/s$ terimlerinin her biri $\cos\phi$ ile birlikte sıfır verir ✓. $s = R$'de $V = 0$, uzakta $V \to -E_0x$ ✓. $\sigma = -\epsilon_0\,\partial V/\partial s|_R = 2\epsilon_0E_0\cos\phi$: kürenin $3$ çarpanı yerine 2. Yüzeydeki en büyük alan $2E_0$'dır.

Problem 3.16Dipol momenti ve orijin★★☆

Orijin $\vb{a}$ kadar kaydırılınca dipol momentinin $\vb{p}' = \vb{p} - Q\vb{a}$ olduğunu gösterin. Ne zaman orijinden bağımsızdır?

Çözümü göster

Yeni konumlar $\vb{r}'' = \vb{r}' - \vb{a}$: $\vb{p}' = \int(\vb{r}' - \vb{a})\rho\,\dd\tau' = \vb{p} - Q\vb{a}$. Toplam yük $Q = 0$ ise orijinden bağımsızdır.

Problem 3.17Dipol alanının koordinatsız biçimi★★☆

(3.15)'in iki biçiminin eşdeğer olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$\vb{p} = p\uv{z} = p(\cos\theta\,\hat{\vb{r}} - \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}})$ ve $\vb{p}\cdot\hat{\vb{r}} = p\cos\theta$. $3(\vb{p}\cdot\hat{\vb{r}})\hat{\vb{r}} - \vb{p} = 3p\cos\theta\,\hat{\vb{r}} - p\cos\theta\,\hat{\vb{r}} + p\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}} = p(2\cos\theta\,\hat{\vb{r}} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}})$ ✓.

Problem 3.18Doğrusal dört kutup★★☆

$z = \pm d$'de $-q$, orijinde $+2q$ yükü var. Tek kutup ve dipol terimlerinin sıfır olduğunu gösterin ve uzaktaki potansiyelin baskın terimini bulun.

Çözümü göster

$Q = 0$; $\vb{p} = (-q)(d\uv{z}) + (-q)(-d\uv{z}) = 0$. (3.13)'te $n = 2$: $\sum q_ir_i^2P_2(\cos\alpha_i) = -2qd^2P_2(\cos\theta)$ (iki uç yük $\alpha = \theta$ ve $\pi - \theta$'da; $P_2$ çifttir). $V \approx -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qd^2(3\cos^2\theta - 1)}{r^3}$. Eksen üzerinde $-2qd^2/(4\pi\epsilon_0z^3)$ (tam ifadenin açılımıyla denetlenmiştir).

Problem 3.19Bir kürenin içindeki ortalama alan★★★

Yarıçapı $R$ olan bir kürenin içindeki yüklerin, küre hacmi üzerinden ortalama alanının $\vb{E}_{\text{ort}} = -\vb{p}/(4\pi\epsilon_0R^3)$ olduğunu gösterin ($\vb{p}$, küre merkezine göre toplam dipol momenti).

Çözümü göster

İçerideki $\vb{r}_q$'daki bir $q$ yükünün küre üzerinden ortalama alanı, $\vb{r}_q$'daki noktada hacim yoğunluğu $\rho = -q/(\tfrac43\pi R^3)$ olan düzgün yüklü bir kürenin alanıyla aynıdır (her iki ifade aynı integraldir; yalnızca "kaynak" ile "alan noktası" yer değiştirir). 2. bölümdeki iç alan formülüyle bu $-q\vb{r}_q/(4\pi\epsilon_0R^3)$'tür. Toplayınca $-\vb{p}/(4\pi\epsilon_0R^3)$ ✓. (Figür programındaki Monte Carlo ortalaması, $\vb{r}_q = 0{,}4R\,\uv{z}$ için $-0{,}4$'ü verir.)

Problem 3.20İkinci teklik teoreminin kanıtı★★★

İkinci teklik teoremini kanıtlayın. İpucu: iki çözümün farkı $\vb{E}_3$ için $\nabla\cdot(V_3\vb{E}_3)$'ü bütün bölge üzerinde integralleyin.

Çözümü göster

$\vb{E}_3 = \vb{E}_1 - \vb{E}_2$ bölgede $\nabla\cdot\vb{E}_3 = 0$'ı sağlar ve her iletkenin yüzeyinden akısı sıfırdır (toplam yükler aynı); $V_3$ her iletkende sabittir. $\nabla\cdot(V_3\vb{E}_3) = V_3\nabla\cdot\vb{E}_3 + \vb{E}_3\cdot\nabla V_3 = -E_3^2$. Gauss teoremi: $\oint V_3\vb{E}_3\cdot\dd\vb{a} = -\int E_3^2\,\dd\tau$. Her iletken yüzeyinde $V_3$ sabit, akı sıfır; dış sınır sonsuzdaysa terim sıfıra gider. Dolayısıyla $\int E_3^2\,\dd\tau = 0$ ve $\vb{E}_3 = 0$ ∎.

İleri okuma

D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 5. baskı (Cambridge University Press, 2023), 3. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. baskı (Wiley, 1999), 2–3. bölümler: görüntü yöntemi, Green fonksiyonları ve Legendre fonksiyonlarıyla sınır değer problemleri.
E. M. Purcell, D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3. baskı (Cambridge University Press, 2013), 3. bölüm: iletkenler ve görüntü yük.
M. L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3. baskı (Wiley, 2006), 12–13. bölümler: Legendre polinomları ve kısmi diferansiyel denklemler.
W. Paul, "Electromagnetic Traps for Charged and Neutral Particles", Reviews of Modern Physics 62 (1990): Earnshaw teoreminin aşıldığı tuzaklar üzerine Nobel konuşması.