Bölüm 11

Bağlaşık Salınımlar ve Normal Modlar

Yaylarla birbirine bağlı iki kütle ve matris biçiminde hareket denklemleri; normal modlar ve normal frekanslar; özdeş kütleler ve yaylar; zayıf bağlaşım ve vurular, enerji alışverişi; Lagrange yöntemiyle küçük salınımlar ve çift sarkaç; genel durum, kütle ve yay matrisleri, modların dikliği ve normal koordinatlar; sıfır frekanslı modlar ve doğrusal üç atomlu molekül; atom zinciri ve dalgalara geçiş.

23 dk okuma4 çözümlü örnek6 şekil14 problem

Bu bölümde

Birbirine bağlı salınıcıların hareket denklemlerini kütle ve yay matrisleriyle yazmayı
Normal modları ve normal frekansları bir özdeğer problemi olarak bulmayı
Zayıf bağlaşımlı iki salınıcı arasındaki enerji alışverişini ve vuruları
Lagrange yöntemiyle herhangi bir sistemin kararlı denge çevresindeki küçük salınımlarını incelemeyi
Modların dikliğini ve hareketi birbirinden bağımsız normal koordinatlara ayırmayı
Moleküllerin titreşim modlarını ve uzun bir atom zincirinin dalga benzeri modlarını

11.1İki kütle, üç yay

5. bölümde tek bir salınıcıyı ayrıntılı inceledik. Doğada ise salınıcılar çoğu zaman yalnız değildir: bir moleküldeki atomlar, bir kristaldeki iyonlar, bir köprünün parçaları, birbirine yayla bağlı sarkaçlar. Bir salınıcının hareketi öbürünü etkiler; bu sistemlere bağlaşık salınıcılar denir. Bu bölümde, bu tür sistemlerin karmaşık görünen hareketinin her zaman birkaç basit hareketin, normal modların, üst üste binmesi olduğunu göreceğiz.

En basit örnekle başlayalım: sürtünmesiz yatay bir yüzeyde, kütleleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki araba, yay sabitleri $k_1$, $k_2$ ve $k_3$ olan üç yayla birbirine ve iki duvara bağlı (Şekil 11.1). $x_1$ ve $x_2$, arabaların denge konumlarından yer değiştirmeleri olsun. Birinci araba, birinci yayı $x_1$ kadar, ortadaki yayı $x_2 - x_1$ kadar gerer:

$$ m_1\ddot{x}_1 = -k_1x_1 + k_2(x_2 - x_1), \qquad m_2\ddot{x}_2 = -k_2(x_2 - x_1) - k_3x_2 $$

İki kütle, üç yay — **Şekil 11.1.** Üç yayla birbirine ve duvarlara bağlı iki araba. Ortadaki yay iki arabayı bağlaşık hâle getirir: birinin hareketi öbürüne kuvvet uygular.

Bu iki denklem bağlaşıktır: her biri iki koordinatı da içerir. Onları matris biçiminde yazmak çok kullanışlıdır. $\vb{x} = (x_1, x_2)^{\mathsf{T}}$ sütun vektörüyle

$$ \vb{M}\ddot{\vb{x}} = -\vb{K}\vb{x}, \qquad \vb{M} = \begin{pmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{pmatrix}, \qquad \vb{K} = \begin{pmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 + k_3 \end{pmatrix} $$

(11.1)

olur. $\vb{M}$'ye kütle matrisi, $\vb{K}$'ye yay matrisi denir. Bu denklem, tek bir salınıcının $m\ddot{x} = -kx$ denkleminin doğal genellemesidir; iki matris de simetriktir.

Normal modlar

Tek salınıcıda çözümü $x = \mathrm{Re}(ae^{i\omega t})$ biçiminde aramıştık (5. bölüm). Burada da benzer bir çözüm arayalım: iki arabanın aynı frekansla salındığı bir hareket.

$$ \vb{x}(t) = \mathrm{Re}\left(\vb{a}\,e^{i\omega t}\right), \qquad \vb{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} $$

(11.2)

Bunu (11.1)'de yerine koyunca $-\omega^2\vb{M}\vb{a}e^{i\omega t} = -\vb{K}\vb{a}e^{i\omega t}$, yani

$$ \left(\vb{K} - \omega^2\vb{M}\right)\vb{a} = 0 $$

(11.3)

buluruz. Bu, 10. bölümdeki asal eksen problemine benzeyen bir özdeğer problemidir: homojen doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü ancak katsayılar matrisinin determinantı sıfırsa vardır:

$$ \det\left(\vb{K} - \omega^2\vb{M}\right) = 0 $$

(11.4)

İki serbestlik dereceli bir sistemde bu, $\omega^2$ için ikinci dereceden bir denklemdir ve iki kökü vardır. Bu iki frekansa sistemin normal frekansları, her birine karşılık gelen $\vb{a}$ vektörünün tanımladığı harekete de normal mod denir. Bir normal modda bütün parçacıklar aynı frekansla ve aynı fazda (ya da tam ters fazda) salınır; genliklerin oranı $\vb{a}$'nın bileşenleriyle belirlenir. Sistem doğrusal olduğu için genel çözüm, normal modların üst üste binmesidir.

11.2Özdeş yaylar ve kütleler

Durumu $m_1 = m_2 = m$ ve $k_1 = k_2 = k_3 = k$ için ayrıntılı çözelim. (11.4):

$$ \det\begin{pmatrix} 2k - m\omega^2 & -k \\ -k & 2k - m\omega^2 \end{pmatrix} = (2k - m\omega^2)^2 - k^2 = 0 $$

$2k - m\omega^2 = \pm k$, yani

$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{3k}{m}} $$

(11.5)

Modların biçimlerini bulmak için her frekansı (11.3)'te yerine koyalım. $\omega_1$ için $(2k - k)a_1 - ka_2 = 0$, yani $a_1 = a_2$: iki araba aynı yönde ve aynı genlikle salınır. Ortadaki yay hiç gerilmez ve her araba yalnızca bir duvar yayının etkisindedir; frekansın $\sqrt{k/m}$ olması bu yüzdendir. $\omega_2$ için $a_1 = -a_2$: arabalar ters yönlerde salınır. Ortadaki yayın orta noktası durur; her araba, bir duvar yayı ile ortadaki yayın (uzunluğunun yarısı kadar ve dolayısıyla iki kat sert) yarısının etkisindedir: toplam yay sabiti $k + 2k = 3k$.

Normal modlar — **Şekil 11.2.** Özdeş iki arabanın iki normal modu. Üstte birinci mod: arabalar birlikte $\omega_1 = \sqrt{k/m}$ ile salınır. Altta ikinci mod: arabalar ters yönde $\omega_2 = \sqrt{3k/m}$ ile salınır.

Genel çözüm, iki modun bileşimidir:

$$ \vb{x}(t) = A_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cos(\omega_1t - \delta_1) + A_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cos(\omega_2t - \delta_2) $$

(11.6)

Dört sabit ($A_1, A_2, \delta_1, \delta_2$), iki arabanın başlangıç konum ve hızlarından bulunur.

Normal koordinatlar. Bu sonuca daha doğrudan bir yoldan da ulaşabiliriz. Hareket denklemlerini toplayıp çıkaralım:

$$ m(\ddot{x}_1 + \ddot{x}_2) = -k(x_1 + x_2), \qquad m(\ddot{x}_1 - \ddot{x}_2) = -3k(x_1 - x_2) $$

$\xi_1 = \tfrac12(x_1 + x_2)$ ve $\xi_2 = \tfrac12(x_1 - x_2)$ yeni değişkenleriyle bu iki denklem bağımsız hâle gelir: $\ddot{\xi}_1 = -\omega_1^2\xi_1$ ve $\ddot{\xi}_2 = -\omega_2^2\xi_2$. Her biri basit bir harmonik salınıcıdır. $\xi_1$ ve $\xi_2$'ye normal koordinatlar denir: bağlaşık bir sistem, normal koordinatlarla yazılınca bağlaşık olmayan salınıcılara ayrışır.

Örnek 11.1Bir arabayı çekip bırakmak

Özdeş iki arabadan birincisi dengeden $x_0$ kadar çekiliyor, ikincisi dengede tutuluyor ve ikisi aynı anda durgun hâlden bırakılıyor. Hareketi bulun. $m = 0{,}25$ kg ve $k = 100$ N/m ise normal frekanslar nedir?

Çözüm

Normal koordinatların başlangıç değerleri $\xi_1(0) = \xi_2(0) = x_0/2$, başlangıç hızları sıfırdır. Dolayısıyla $\xi_1 = (x_0/2)\cos\omega_1t$ ve $\xi_2 = (x_0/2)\cos\omega_2t$; $x_1 = \xi_1 + \xi_2$, $x_2 = \xi_1 - \xi_2$:

$$ x_1(t) = \frac{x_0}{2}\left(\cos\omega_1t + \cos\omega_2t\right), \qquad x_2(t) = \frac{x_0}{2}\left(\cos\omega_1t - \cos\omega_2t\right) $$

Sayısal olarak $\omega_1 = \sqrt{100/0{,}25} = 20$ rad/s ve $\omega_2 = 20\sqrt{3} = 34{,}6$ rad/s. İki frekansın oranı irrasyonel olduğu için hareket hiçbir zaman tam olarak tekrarlanmaz (5. bölümdeki Lissajous eğrilerinde olduğu gibi); ama her an iki basit salınımın toplamıdır. Arabaların herhangi biri tek başına basit harmonik hareket yapmaz; ancak başlangıç koşulları tek bir modu uyaracak biçimde seçilirse (örneğin iki araba da aynı yöne eşit miktarda çekilirse) hareket saf bir harmonik hareket olur.

11.3Zayıf bağlaşım ve vurular

Şimdi ortadaki yayın duvar yaylarından çok daha zayıf olduğu durumu ele alalım: $k_2 \ll k$ ($k_1 = k_3 = k$). Bu, birbirinden neredeyse bağımsız iki salınıcının zayıf bir etkileşme ile bağlandığı durumdur; örneğin aynı tavana asılı iki sarkaç ya da aynı masaya konmuş iki metronom. Aynı hesap normal frekansları

$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \omega_0, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{k + 2k_2}{m}} \approx \omega_0\left(1 + \frac{k_2}{k}\right) $$

(11.7)

olarak verir. İki frekans birbirine çok yakındır. Birinci arabayı çekip bırakırsak Örnek 11.1'deki çözüm, trigonometrik toplam formülleriyle

$$ x_1(t) = x_0\cos(\epsilon t)\cos(\bar{\omega}t), \qquad x_2(t) = x_0\sin(\epsilon t)\sin(\bar{\omega}t) $$

(11.8)

biçiminde yazılabilir; burada $\bar{\omega} = (\omega_1 + \omega_2)/2$ ortalama frekans, $\epsilon = (\omega_2 - \omega_1)/2$ ise çok küçük bir frekanstır. Her araba hızlı bir $\bar{\omega}$ salınımı yapar, ama genliği yavaşça değişir. Başlangıçta birinci araba tam genlikle salınır, ikincisi durur. Zamanla birincinin genliği azalır, ikincininki artar; $\epsilon t = \pi/2$ anında birinci araba durur ve bütün hareket ikinciye geçmiştir. Sonra süreç tersine döner. Enerji, iki salınıcı arasında periyodik olarak gidip gelir. Bu olaya vuru denir.

Zayıf bağlaşımda vurular — **Şekil 11.3.** Zayıf bağlaşımlı iki özdeş sarkaçtan biri çekilip bırakılınca hareket iki sarkaç arasında gidip gelir. Kesikli eğriler genlik zarflarıdır.

Örnek 11.2Yayla bağlı iki sarkaç

Uzunlukları 1,0 m ve kütleleri 0,50 kg olan iki özdeş sarkaç, yay sabiti 0,20 N/m olan zayıf bir yayla birbirine bağlıdır. Sarkaçlardan biri biraz çekilip bırakılıyor. Hareketin bir sarkaçtan öbürüne tamamen geçmesi ne kadar sürer?

Çözüm

Küçük salınımlarda her sarkaç yer çekiminden $mg/l$ etkin yay sabitini hisseder (5. bölüm). Birinci mod (sarkaçlar birlikte, yay gerilmez) $\omega_1 = \sqrt{g/l} = 3{,}130$ rad/s; ikinci mod (ters yönlerde, yay iki kat çalışır) $\omega_2 = \sqrt{g/l + 2k/m} = 3{,}256$ rad/s. (11.8)'e göre hareket $\epsilon t = \pi/2$'de tamamen ikinci sarkaca geçer:

$$ t = \frac{\pi}{2\epsilon} = \frac{\pi}{\omega_2 - \omega_1} = \frac{\pi}{0{,}125} \approx 25\ \text{s} $$

Bu sürede sarkaçlar yaklaşık 12 salınım yapar. 50 saniye sonra hareket birinci sarkaca geri döner. Bağlaşım ne kadar zayıfsa enerji alışverişi o kadar yavaştır. Christiaan Huygens 1665'te aynı duvara asılı iki sarkaçlı saatinin bir süre sonra tam ters fazda salındığını fark etmişti; bu, duvarın titreşimleriyle sağlanan zayıf bağlaşımın ve sönümün birlikte ortaya çıkardığı bir eşzamanlanmaydı.

11.4Lagrange yaklaşımı: çift sarkaç

Arabalar ve yaylar örneğinde hareket denklemlerini doğrudan Newton yasalarıyla yazdık. Daha karmaşık sistemlerde (sarkaçlar, moleküller) Lagrange yöntemi çok daha kullanışlıdır. Kararlı bir denge çevresindeki küçük salınımlar için genel bir yol vardır. Genelleştirilmiş koordinatları dengede sıfır olacak biçimde seçelim. Kinetik enerji hızların karesel bir fonksiyonudur (7. bölüm) ve küçük salınımlarda katsayıları dengedeki değerleriyle alınabilir; potansiyel enerji, denge çevresinde Taylor serisine açılınca ikinci mertebeden terimleriyle temsil edilir (4. bölüm):

$$ T = \tfrac12\,\dot{\vb{q}}^{\mathsf{T}}\vb{M}\,\dot{\vb{q}}, \qquad U = \tfrac12\,\vb{q}^{\mathsf{T}}\vb{K}\,\vb{q} $$

(11.9)

Burada $\vb{M}$ ve $\vb{K}$ sabit simetrik matrislerdir. Lagrange denklemleri doğrudan (11.1)'i verir: $\vb{M}\ddot{\vb{q}} = -\vb{K}\vb{q}$. Bundan sonrası arabalar problemindeki gibidir.

Örnek 11.3Çift sarkacın normal modları

Uzunlukları $l$ ve kütleleri $m$ olan iki sarkaç uç uca bağlanmıştır (7. bölümdeki çift sarkaç). Küçük salınımların normal frekanslarını ve modlarını bulun. $l = 1{,}0$ m için periyotları hesaplayın.

Çift sarkacın modları — **Şekil 11.4.** Çift sarkacın iki normal modu. Solda yavaş mod: iki çubuk aynı yöne, alttaki daha büyük açıyla ($\phi_2 = \sqrt{2}\phi_1$). Sağda hızlı mod: çubuklar ters yönde ($\phi_2 = -\sqrt{2}\phi_1$).

Çözüm

7. bölümde bulduğumuz Lagrange fonksiyonu, $m_1 = m_2 = m$ ve $l_1 = l_2 = l$ için küçük açılarda ($\cos(\phi_1 - \phi_2) \approx 1$, $\cos\phi \approx 1 - \phi^2/2$):

$$ T = \tfrac12 ml^2\left(2\dot{\phi}_1^2 + 2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2 + \dot{\phi}_2^2\right), \qquad U = \tfrac12 mgl\left(2\phi_1^2 + \phi_2^2\right) + \text{sabit} $$

Dolayısıyla

$$ \vb{M} = ml^2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \vb{K} = mgl\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Bu kez kütle matrisi köşegen değildir: iki koordinat kinetik enerji üzerinden de bağlaşıktır. $\omega_0^2 = g/l$ yazarak (11.4):

$$ \det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\omega^2 & -\omega^2 \\ -\omega^2 & \omega_0^2 - \omega^2 \end{pmatrix} = 2(\omega_0^2 - \omega^2)^2 - \omega^4 = 0 $$

$\sqrt{2}(\omega_0^2 - \omega^2) = \pm\omega^2$ ile

$$ \omega^2 = \left(2 \mp \sqrt{2}\right)\frac{g}{l} $$

bulunur. Yavaş mod $\omega_1 = \sqrt{(2 - \sqrt{2})g/l} = 0{,}765\,\omega_0$, hızlı mod $\omega_2 = \sqrt{(2 + \sqrt{2})g/l} = 1{,}848\,\omega_0$'dır. Mod biçimleri, birinci satırdan $2(\omega_0^2 - \omega^2)a_1 = \omega^2a_2$: yavaş modda $a_2/a_1 = \sqrt{2}$ (iki çubuk aynı yöne), hızlı modda $a_2/a_1 = -\sqrt{2}$ (ters yönlere). $l = 1{,}0$ m için periyotlar 2,62 s ve 1,09 s'dir; karşılaştırma için tek bir 1 m'lik sarkacın periyodu 2,01 s'dir.

11.5Genel durum

$n$ serbestlik dereceli bir sistemde $\vb{M}$ ve $\vb{K}$, $n \times n$ simetrik matrislerdir. (11.4), $\omega^2$ için $n$. dereceden bir denklemdir ve $n$ kökü vardır. Kinetik enerji her zaman pozitif olduğu için $\vb{M}$ pozitif tanımlıdır; denge kararlıysa $\vb{K}$ de pozitif (en azından negatif olmayan) tanımlıdır. Bu durumda bütün $\omega^2$ kökleri gerçek ve negatif değildir ve sistemin $n$ normal modu vardır.

Teorem 11.1Normal modlar

Kararlı bir denge çevresinde küçük salınım yapan $n$ serbestlik dereceli bir sistemin $n$ normal modu vardır. Farklı frekanslı iki modun genlik vektörleri kütle matrisine göre diktir: $\vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{M}\,\vb{a}_j = 0$ ($i \neq j$). Sistemin her hareketi, normal modların üst üste binmesidir.

Diklik bağıntısının kanıtı, 10. bölümdeki asal eksenlerin dikliğinin kanıtıyla aynıdır (Problem 11.4). Bu dikliğin önemli bir sonucu vardır: normal koordinatlar $\xi_i$ ile $\vb{q} = \sum_i\xi_i\vb{a}_i$ yazılırsa hem kinetik hem potansiyel enerji köşegenleşir,

$$ T = \tfrac12\sum_i\mu_i\dot{\xi}_i^2, \qquad U = \tfrac12\sum_i\mu_i\omega_i^2\xi_i^2, \qquad \mu_i = \vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{M}\vb{a}_i $$

(11.10)

ve Lagrange fonksiyonu $n$ bağımsız harmonik salınıcının toplamına ayrışır. Toplam enerji de her modun enerjilerinin toplamıdır; modlar arasında enerji alışverişi olmaz. Bu sonucun kuantum mekaniğindeki karşılığı çok önemlidir: bir kristalin ya da bir elektromanyetik alanın titreşimleri, bağımsız harmonik salınıcılara ayrışır ve bunların kuantumları fononlar ve fotonlardır.

Sıfır frekanslı modlar: doğrusal üç atomlu molekül

Bir sistem duvarlara ya da dış kuvvetlere bağlı değilse, normal modlardan bazılarının frekansı sıfır olabilir. Böyle bir "mod" salınım değildir; bütün sistemin geri çağırıcı kuvvet olmadan birlikte ötelenmesi ya da dönmesidir. En güzel örnek, karbondioksit gibi doğrusal üç atomlu bir moleküldür.

Örnek 11.4Karbondioksitin titreşimleri

Karbondioksit molekülü (O=C=O) doğrusaldır: kütlesi $M$ olan karbon atomu, kütleleri $m$ olan iki oksijen atomunun ortasındadır. Atomlar arasındaki bağları yay sabiti $k$ olan iki yayla temsil ederek, molekül ekseni boyunca yapılan titreşimlerin normal modlarını ve frekanslarını bulun. İki titreşim frekansının oranını $M = 12$, $m = 16$ (atom kütle birimi) için hesaplayın ve gözlenen değerle karşılaştırın.

CO₂ titreşim modları — **Şekil 11.5.** Doğrusal CO₂ molekülünün eksen boyunca üç modu: öteleme ($\omega = 0$), simetrik germe (karbon durur) ve asimetrik germe (oksijenler aynı yöne, karbon ters yöne).

Çözüm

Atomların yer değiştirmeleri $x_1$ (oksijen), $x_2$ (karbon), $x_3$ (oksijen):

$$ \vb{M} = \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix}, \qquad \vb{K} = k\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Karakteristik denklem $\omega^2(k - m\omega^2)[kM + 2km - mM\omega^2] = 0$ (Problem 11.8) üç kök verir:

$$ \omega_1 = 0, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \omega_3 = \sqrt{\frac{k}{m}\left(1 + \frac{2m}{M}\right)} $$

$\omega_1 = 0$ modu, molekülün bütün olarak ötelenmesidir ($\vb{a} = (1, 1, 1)$). $\omega_2$ modunda karbon durur ve iki oksijen ters yönde salınır (simetrik germe, $\vb{a} = (1, 0, -1)$). $\omega_3$ modunda iki oksijen aynı yönde, karbon ise toplam momentum sıfır kalacak biçimde ters yönde salınır (asimetrik germe, $\vb{a} = (1, -2m/M, 1)$). Frekans oranı

$$ \frac{\omega_3}{\omega_2} = \sqrt{1 + \frac{2 \times 16}{12}} \approx 1{,}91 $$

Kızılötesi ve Raman spektroskopisinde ölçülen dalga sayıları yaklaşık 2 349 cm⁻¹ (asimetrik) ve 1 337 cm⁻¹'dir (simetrik; bu mod başka bir titreşimle karışarak iki çizgiye bölünür, verilen değer bu karışmadan arındırılmış değerdir). Gözlenen oran 1,76'dır. Basit modelimiz %9 içinde doğru sonuç verir; fark, iki oksijen atomu arasındaki doğrudan etkileşmenin ve bağların gerçekte tam yay gibi davranmamasının ihmal edilmesinden gelir. Asimetrik germe modu, molekülün elektrik dipol momentini değiştirdiği için 4,3 μm'de kızılötesi ışığı güçlü biçimde soğurur; simetrik germe dipol momentini değiştirmez ve kızılötesinde görünmez. (Karbondioksidin sera etkisinde asıl rolü ise, molekül eksenine dik yapılan ve burada incelemediğimiz bükülme titreşiminin 15 μm'deki soğurma bandı oynar.)

11.6Atom zinciri ve dalgalar

Bağlaşık salınıcıların sayısını artırırsak ne olur? Kütleleri $m$ olan $N$ özdeş parçacığın, yay sabitleri $k$ olan yaylarla, aralarında $a$ uzaklık olacak biçimde bir zincir oluşturduğunu düşünelim. Uç etkilerinden kurtulmak için zinciri bir halka biçiminde kapatalım ($N + 1$. parçacık birinci parçacıktır). $j$. parçacığın hareket denklemi

$$ m\ddot{x}_j = k(x_{j+1} - x_j) - k(x_j - x_{j-1}) = k(x_{j+1} - 2x_j + x_{j-1}) $$

olur. Simetri, çözümü bulmamızı kolaylaştırır: her parçacığın hareketi, komşusununkiyle aynı, ama sabit bir faz farkıyla kaymış olsun. $x_j = \mathrm{Re}(Ae^{i(qja - \omega t)})$ biçiminde arayalım. Yerine koyunca $-m\omega^2 = k(e^{iqa} - 2 + e^{-iqa}) = -2k(1 - \cos qa)$, yani

$$ \omega(q) = 2\sqrt{\frac{k}{m}}\left|\sin\frac{qa}{2}\right| $$

(11.11)

bulunur. Bu çözüm, zincir boyunca $\omega/q$ hızıyla ilerleyen bir dalgadır; $q$, dalga sayısıdır ve halka koşulu $e^{iqNa} = 1$, yani $q = 2\pi n/(Na)$ ($n = 0, 1, \ldots, N - 1$) olmasını ister. Böylece $N$ normal modun her biri, belirli bir dalga boyunda zincir boyunca ilerleyen bir dalgadır. (11.11)'e dağılım bağıntısı denir.

Dağılım bağıntısı — **Şekil 11.6.** Tek atomlu bir zincirin dağılım bağıntısı. Uzun dalga boylarında (küçük $q$) frekans dalga sayısıyla orantılıdır: zincir, hızı $a\sqrt{k/m}$ olan ses dalgalarını iletir. En yüksek frekans $2\sqrt{k/m}$'dir. Noktalar, $N = 12$ atomlu bir halkanın izinli modlarıdır.

İki sınır durum öğreticidir. Uzun dalga boylarında ($qa \ll 1$) $\sin(qa/2) \approx qa/2$ ve $\omega \approx a\sqrt{k/m}\,q$: frekans dalga sayısıyla orantılıdır ve bütün uzun dalgalar aynı hızla, $v = a\sqrt{k/m}$ hızıyla ilerler. Bu, zincirdeki ses hızıdır; zincir sürekli, esnek bir çubuk gibi davranır (Problem 11.11). Kısa dalga boylarında ise frekans en büyük değeri $2\sqrt{k/m}$'de doyar: zincir bu frekanstan hızlı titreşemez, çünkü komşu atomların ters fazda salınmasından daha hızlı bir hareket yoktur. Bu sonuç, katıların ısı sığasının ve ses iletiminin kuramının (katı hâl fiziği) temelidir; parçacık sayısı sonsuza giderken bağlaşık salınıcılar, sürekli ortamların dalga denklemine dönüşür.

Özet

Bağlaşık salınıcıların hareket denklemleri $\vb{M}\ddot{\vb{x}} = -\vb{K}\vb{x}$ biçimindedir (11.1); kütle ve yay matrisleri simetriktir.
Normal modlarda bütün parçacıklar aynı frekansla salınır; frekanslar $\det(\vb{K} - \omega^2\vb{M}) = 0$ denkleminden (11.4), mod biçimleri $(\vb{K} - \omega^2\vb{M})\vb{a} = 0$'dan bulunur (11.3). Genel hareket, modların üst üste binmesidir.
Özdeş iki araba ve üç yayda modlar $(1, 1)$ ve $(1, -1)$, frekanslar $\sqrt{k/m}$ ve $\sqrt{3k/m}$'dir (11.5). Zayıf bağlaşımda frekanslar birbirine yakındır ve enerji salınıcılar arasında vurularla gidip gelir (11.8).
Küçük salınımlarda $T = \tfrac12\dot{\vb{q}}^{\mathsf{T}}\vb{M}\dot{\vb{q}}$, $U = \tfrac12\vb{q}^{\mathsf{T}}\vb{K}\vb{q}$ yazılır (11.9). Çift sarkacın frekansları $\omega^2 = (2 \mp \sqrt{2})g/l$'dir.
Modlar kütle matrisine göre diktir; normal koordinatlarda sistem bağımsız salınıcılara ayrışır (11.10). Serbest sistemlerde sıfır frekanslı modlar ötelenme ve dönmeye karşılık gelir; CO₂'nin iki germe modu vardır.
Tek atomlu zincirin modları dalgalardır; dağılım bağıntısı $\omega = 2\sqrt{k/m}|\sin(qa/2)|$'dir (11.11) ve uzun dalgalar ses hızıyla ilerler.

Problemler

Problem 11.1Normal frekanslar★☆☆

Kısım 11.2'deki sistemde $m = 0{,}50$ kg ve $k = 50$ N/m ise iki normal frekansı (Hz cinsinden) bulun. Hangi başlangıç koşullarında arabalar yalnızca yüksek frekansta salınır?

Çözümü göster

$\omega_1 = \sqrt{100} = 10$ rad/s (1,59 Hz), $\omega_2 = 10\sqrt{3} = 17{,}3$ rad/s (2,76 Hz). Yalnızca ikinci mod: arabalar eşit miktarda ters yönlere çekilip durgun bırakılır ($x_1(0) = -x_2(0)$, hızlar sıfır) ya da eşit büyüklükte ters hızlarla başlatılır.

Problem 11.2Modlarda enerji★☆☆

Örnek 11.1'de iki normal moda başlangıçta ne kadar enerji gider? Toplamın $\tfrac12(2k)x_0^2 = kx_0^2$ olduğunu doğrulayın.

Çözümü göster

Başlangıçta yalnızca potansiyel enerji vardır: birinci araba $x_0$'da, ikincisi dengede; birinci duvar yayı $x_0$, ortadaki yay $x_0$ kadar gerilir: $U = \tfrac12 kx_0^2 + \tfrac12 kx_0^2 = kx_0^2$. Modlarda: birinci mod genliği $x_0/2$, iki araba birlikte, yalnızca duvar yayları çalışır: $2 \times \tfrac12 k(x_0/2)^2 = kx_0^2/4$. İkinci mod: duvar yayları $2 \times \tfrac12 k(x_0/2)^2$, orta yay $\tfrac12 k(x_0)^2$: toplam $kx_0^2/4 + kx_0^2/2 = 3kx_0^2/4$. Toplam $kx_0^2$ ✓; modlar enerjiyi bağımsız olarak taşır.

Problem 11.3Farklı kütleler★★☆

Şekil 11.1'deki sistemde yaylar özdeş ($k$), kütleler $m$ ve $2m$ ise normal frekansları ve mod biçimlerini bulun.

Çözümü göster

$\det\begin{pmatrix} 2k - m\omega^2 & -k \\ -k & 2k - 2m\omega^2 \end{pmatrix} = 2m^2\omega^4 - 6km\omega^2 + 3k^2 = 0$; $\omega^2 = (3 \mp \sqrt{3})k/(2m)$: $\omega_1^2 = 0{,}634\,k/m$, $\omega_2^2 = 2{,}366\,k/m$. Modlar: $(2k - m\omega^2)a_1 = ka_2$ ile yavaş modda $a_2/a_1 = (1 + \sqrt{3})/2 = 1{,}37$ (ağır araba daha büyük genlikle, aynı yönde); hızlı modda $a_2/a_1 = (1 - \sqrt{3})/2 = -0{,}37$ (ters yönde, ağır araba küçük genlikle).

Problem 11.4Modların dikliği★★☆

$(\vb{K} - \omega_i^2\vb{M})\vb{a}_i = 0$ ve $(\vb{K} - \omega_j^2\vb{M})\vb{a}_j = 0$'dan, $\omega_i \neq \omega_j$ ise $\vb{a}_j^{\mathsf{T}}\vb{M}\vb{a}_i = 0$ olduğunu gösterin. Özdeş arabalar için doğrulayın.

Çözümü göster

Birincisini soldan $\vb{a}_j^{\mathsf{T}}$, ikincisini soldan $\vb{a}_i^{\mathsf{T}}$ ile çarpıp çıkaralım; $\vb{K}$ ve $\vb{M}$ simetrik olduğundan $\vb{a}_j^{\mathsf{T}}\vb{K}\vb{a}_i = \vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{K}\vb{a}_j$ ve benzeri: $(\omega_j^2 - \omega_i^2)\vb{a}_j^{\mathsf{T}}\vb{M}\vb{a}_i = 0$ ✓. Özdeş arabalar: $(1, 1)\,m\vb{1}\,(1, -1)^{\mathsf{T}} = m(1 - 1) = 0$ ✓.

Problem 11.5Duvarsız iki kütle★★☆

Kütleleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki cisim yalnızca aralarındaki bir yayla ($k$) bağlıdır; duvar yoktur. Normal modları ve frekansları bulun. Sıfırdan farklı frekansın, indirgenmiş kütleyle yazılmış tek bir salınıcının frekansı olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$\vb{K} = k\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$; determinant $m_1m_2\omega^4 - k(m_1 + m_2)\omega^2 = 0$. $\omega_1 = 0$: mod $(1, 1)$, ikisi birlikte ötelenir. $\omega_2 = \sqrt{k(m_1 + m_2)/(m_1m_2)} = \sqrt{k/\mu}$ ✓ (8. bölüm): mod $(m_2, -m_1)$, KM durgun kalır. 4. bölümdeki argon molekülünün titreşimi bu moddu.

Problem 11.6Üç kütle, dört yay★★☆

Duvarlara bağlı, özdeş üç kütle ve özdeş dört yaydan oluşan bir zincirin normal frekanslarını ve modlarını bulun.

Çözümü göster

$\vb{K} = k\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\vb{M} = m\vb{1}$. Özdeğerler $\lambda = 2 - \sqrt{2}, 2, 2 + \sqrt{2}$ ($\omega^2 = \lambda k/m$). Modlar: $(1, \sqrt{2}, 1)$ (hepsi aynı yönde, ortadaki daha büyük), $(1, 0, -1)$ (ortadaki durur), $(1, -\sqrt{2}, 1)$ (komşular ters fazda). Frekanslar $0{,}765$, $1{,}414$ ve $1{,}848$ çarpı $\sqrt{k/m}$. Mod biçimleri, uçları sabit bir telin ilk üç titreşim modunun ayrık karşılığıdır: $\sin(\pi j/4)$, $\sin(2\pi j/4)$, $\sin(3\pi j/4)$.

Problem 11.7Vuru süresi★★☆

Zayıf bağlaşımlı iki özdeş sarkaçta (uzunluk $l$, kütle $m$, bağlantı yayı $k_b$, $k_b \ll mg/l$) hareketin bir sarkaçtan öbürüne geçme süresinin yaklaşık $t \approx \pi m\omega_0/k_b$ olduğunu gösterin ($\omega_0 = \sqrt{g/l}$). Örnek 11.2'deki değerle karşılaştırın.

Çözümü göster

$\omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 + 2k_b/m} \approx \omega_0 + k_b/(m\omega_0)$. $\omega_2 - \omega_1 \approx k_b/(m\omega_0)$ ve $t = \pi/(\omega_2 - \omega_1) \approx \pi m\omega_0/k_b$ ✓. Örnek 11.2: $\pi \times 0{,}50 \times 3{,}13/0{,}20 = 24{,}6$ s; tam hesap 25,1 s ✓.

Problem 11.8CO₂'nin karakteristik denklemi★★☆

Örnek 11.4'teki determinantı açarak karakteristik denklemi türetin ve mod vektörlerini doğrulayın. Asimetrik germe modunda toplam momentumun sıfır olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$\det\begin{pmatrix} k - m\omega^2 & -k & 0 \\ -k & 2k - M\omega^2 & -k \\ 0 & -k & k - m\omega^2 \end{pmatrix} = (k - m\omega^2)[(2k - M\omega^2)(k - m\omega^2) - 2k^2]$. Köşeli parantez $\omega^2[mM\omega^2 - k(M + 2m)]$'ye eşittir ✓. Asimetrik mod $(1, -2m/M, 1)$: momentum $m \cdot 1 + M(-2m/M) + m \cdot 1 = 0$ ✓; KM durgun kalır. Simetrik mod $(1, 0, -1)$ için de momentum sıfırdır ✓.

Problem 11.9Ağır üst sarkaç★★☆

Çift sarkaçta üst kütle alttakinden çok ağırsa ($m_1 \gg m_2$) ve uzunluklar eşitse normal frekanslar ne olur? Sonucu yorumlayın.

Çözümü göster

7. bölümün doğrusallaştırılmış denklemlerinde $m_2/m_1 \to 0$: ilk denklem $\ddot{\phi}_1 = -\omega_0^2\phi_1$ olur ve üst sarkaç alttakinden etkilenmez. İkinci denklem $\ddot{\phi}_1 + \ddot{\phi}_2 = -\omega_0^2\phi_2$: alttaki sarkaç, üsttekinin hareketiyle zorlanan bir salınıcıdır ve doğal frekansı da $\omega_0$'dır. İki frekans eşitlenir ve bağlaşım zayıf kalırsa vurular görülür. Küçük $m_2/m_1$ için frekanslar $\omega_0(1 \pm \tfrac12\sqrt{m_2/m_1})$ civarında iki yakın değere ayrılır.

Problem 11.10Bağlaşık LC devreleri★★☆

Her birinde bir bobin ($L$) ve kondansatör ($C$) bulunan iki devre, ortak bir kondansatörle ($C_b$) bağlanıyor. Yükler $q_1$ ve $q_2$ için enerji $\tfrac12 L(\dot{q}_1^2 + \dot{q}_2^2) + q_1^2/2C + q_2^2/2C + (q_1 - q_2)^2/2C_b$ ise normal frekansları bulun. Mekanik benzerini yazın.

Çözümü göster

Mekanik karşılık: $L \leftrightarrow m$, $1/C \leftrightarrow k$, $1/C_b \leftrightarrow k_2$. İki araba ve üç yaydaki gibi: $\omega_1 = 1/\sqrt{LC}$ (iki akım aynı fazda, bağlantı kondansatörü yüklenmez), $\omega_2 = \sqrt{(1/C + 2/C_b)/L}$. Radyo devrelerinde bağlaşık rezonatörler bant geçiren süzgeçler yapmak için kullanılır.

Problem 11.11Zincirde ses hızı★★☆

Atomlar arası uzaklığı $a$, yay sabiti $k$, kütlesi $m$ olan bir zincirin uzun dalga sınırında, Young modülü $Y$ ve yoğunluğu $\rho$ olan bir çubuktaki ses hızı $\sqrt{Y/\rho}$ ile uyumlu olduğunu, $Y$ ile $k$ ve $\rho$ ile $m$ arasındaki bağıntıları kurarak gösterin (kesit alanı $a^2$ alın).

Çözümü göster

$F = kx$, gerinim $x/a$, gerilme $F/a^2$: $Y = (k x/a^2)/(x/a) = k/a$. $\rho = m/a^3$. $\sqrt{Y/\rho} = \sqrt{(k/a)(a^3/m)} = a\sqrt{k/m}$ ✓, (11.11)'in uzun dalga sınırı. Örneğin bakır için $Y = 1{,}2 \times 10^{11}$ Pa, $\rho = 8\,900$ kg/m³: $v \approx 3{,}7$ km/s.

Problem 11.12Normal koordinatlarda Lagrange fonksiyonu★★★

(11.10)'u, $\vb{q} = \sum\xi_i\vb{a}_i$'yi (11.9)'da yerine koyarak ve diklik bağıntısını kullanarak türetin. Neden $\vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{K}\vb{a}_j$ de $i \neq j$ için sıfırdır?

Çözümü göster

$T = \tfrac12\sum_{ij}\dot{\xi}_i\dot{\xi}_j\vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{M}\vb{a}_j = \tfrac12\sum_i\mu_i\dot{\xi}_i^2$ (diklik). $\vb{K}\vb{a}_j = \omega_j^2\vb{M}\vb{a}_j$ olduğundan $\vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{K}\vb{a}_j = \omega_j^2\vb{a}_i^{\mathsf{T}}\vb{M}\vb{a}_j = 0$ ($i \neq j$) ve $= \omega_i^2\mu_i$ ($i = j$) ✓. $U = \tfrac12\sum_i\mu_i\omega_i^2\xi_i^2$ ✓. Lagrange denklemleri $\ddot{\xi}_i = -\omega_i^2\xi_i$: bağımsız salınıcılar.

Problem 11.13Düşey iki kütle★★☆

Tavana asılı bir yayın ($k$) ucuna bir kütle ($m$), onun altına ikinci bir yay ($k$) ve ikinci bir kütle ($m$) asılmıştır. Düşey normal frekansları bulun. Yer çekimi sonucu etkiler mi?

Çözümü göster

Dengeden yer değiştirmeler için (9. bölümde ve 4. bölümdeki düşey yay probleminde gördüğümüz gibi yer çekimi yalnızca dengeyi kaydırır) $\vb{K} = k\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Determinant $(2k - m\omega^2)(k - m\omega^2) - k^2 = 0$: $\omega^2 = (3 \mp \sqrt{5})k/(2m)$, yani $0{,}382\,k/m$ ve $2{,}618\,k/m$; frekanslar $0{,}618$ ve $1{,}618$ çarpı $\sqrt{k/m}$ (altın oranla ilişkili sayılar). Yer çekimi frekansları etkilemez.

Problem 11.14Halka zincirde mod sayısı★★★

$N = 4$ atomlu bir halka zincirin dört normal modunun frekanslarını (11.11)'den bulun ve doğrudan $4 \times 4$ yay matrisinin özdeğerleriyle karşılaştırın. Hangi mod sıfır frekanslıdır ve neden?

Çözümü göster

$q = 2\pi n/(4a)$, $n = 0, 1, 2, 3$: $\omega = 2\sqrt{k/m}|\sin(\pi n/4)|$ = $0$, $\sqrt{2k/m}$, $2\sqrt{k/m}$, $\sqrt{2k/m}$. Matris $k$[[2,−1,0,−1],[−1,2,−1,0],[0,−1,2,−1],[−1,0,−1,2]] özdeğerleri $0, 2k, 2k, 4k$ ($\omega^2 = $özdeğer$/m$) ✓. Sıfır frekanslı mod, bütün halkanın birlikte kaymasıdır ($n = 0$, $q = 0$). $\sqrt{2k/m}$ modu iki katlıdır: zıt yönlerde ilerleyen iki dalga.

İleri okuma

J. R. Taylor, Classical Mechanics, 11. bölüm: bu bölümün yapısına en yakın kaynak.
A. P. French, Vibrations and Waves (W. W. Norton, 1971), 5. ve 6. bölümler: bağlaşık salınıcılardan dalgalara geçiş.
H. Goldstein, C. Poole ve J. Safko, Classical Mechanics, 3. baskı (Addison-Wesley, 2002), 6. bölüm: küçük salınımların genel kuramı.
C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8. baskı (Wiley, 2005), 4. bölüm: kristal titreşimleri, fononlar ve dağılım bağıntıları.
G. Herzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure II: Infrared and Raman Spectra of Polyatomic Molecules (Van Nostrand, 1945): moleküllerin normal modları üzerine klasik kaynak.