Bölüm 12

Doğrusal Olmayan Mekanik ve Kaos

Doğrusallık ve doğrusal olmama, üst üste binme ilkesinin bozulması; zorlanmış sönümlü sarkaç ve harmoniklerin ortaya çıkışı; periyot ikilenmesi ve kaosa giden yol; başlangıç koşullarına duyarlılık ve Lyapunov üssü; çatallanma diyagramları ve Feigenbaum sabiti; faz uzayı, çekerler ve Poincaré kesitleri; lojistik harita; kaos ve öngörülebilirlik.

30 dk okuma3 çözümlü örnek8 şekil15 problem

Bu bölümde

Doğrusal ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemler arasındaki temel farkı ve üst üste binme ilkesinin neden bozulduğunu
Zorlanmış sönümlü sarkacın, zorlama arttıkça basit salınımdan periyot ikilenmelerine ve kaosa nasıl geçtiğini
Kaosun tanımlayıcı özelliğini, başlangıç koşullarına üstel duyarlılığı ve Lyapunov üssünü
Çatallanma diyagramlarını, Feigenbaum sabitini ve kaosa giden yolun evrenselliğini
Faz uzayında yörüngeleri, çekerleri ve Poincaré kesitlerini
Lojistik haritayı ve belirlenimci bir sistemin neden uzun vadede öngörülemez olabileceğini

12.1Doğrusallık ve doğrusal olmama

1. bölümde Laplace'ın, evrendeki bütün parçacıkların konum ve hızlarını bilen bir zekânın geleceği ve geçmişi bir bakışta görebileceğini söylediğini aktarmıştık. Newton mekaniği gerçekten belirlenimcidir: başlangıç koşulları hareketi tek biçimde belirler. Ama 20. yüzyılın ikinci yarısında, belirlenimci sistemlerin bile pratikte öngörülemez olabileceği anlaşıldı. Bu bölümün konusu olan kaos, bu anlayışın adıdır.

Şimdiye kadar incelediğimiz sistemlerin çoğu doğrusaldı: harmonik salınıcı, sönümlü ve zorlanmış salınıcı, bağlaşık salınıcılar. Doğrusal bir diferansiyel denklemde bilinmeyen fonksiyon ve türevleri yalnızca birinci kuvvetten bulunur. Bu tür denklemlerin, 5. bölümde gördüğümüz çok güçlü bir özelliği vardır: üst üste binme ilkesi. İki çözümün toplamı da bir çözümdür. Bu sayede karmaşık bir hareketi basit parçalara (normal modlara, Fourier bileşenlerine) ayırıp her birini ayrı ayrı çözebiliriz.

Gerçek dünya ise genellikle doğrusal değildir. Bir sarkacın hareket denklemi $\ddot{\phi} = -\omega_0^2\sin\phi$'dir; $\sin\phi$ terimi $\phi$'nin doğrusal bir fonksiyonu değildir. Karesel hava direnci, kütle çekim kuvveti, akışkanların hareketi doğrusal değildir. Bu sistemlerde üst üste binme ilkesi geçerli değildir: $\phi_1$ ve $\phi_2$ çözüm olsa da $\phi_1 + \phi_2$ genellikle çözüm değildir, çünkü $\sin(\phi_1 + \phi_2) \neq \sin\phi_1 + \sin\phi_2$. Doğrusal olmayan denklemlerin çoğunun kapalı biçimde çözümü yoktur; sayısal yöntemlere (2. bölüm) başvurmak gerekir.

Doğrusal olmama tek başına kaos demek değildir. Sarkacın serbest salınımı doğrusal değildir, ama düzenlidir: periyodu eliptik bir integralle verilir ve genlikle artar (4. bölüm), yine de hareket tamamen öngörülebilirdir. Diferansiyel denklemlerle tanımlanan (sürekli zamanlı) bir sistemde kaos için en az üç boyutlu bir faz uzayı gerekir (Kısım 12.6), yani üç birinci mertebe denklemle tanımlanan üç bağımsız değişken. Zorlanmış bir sarkaçta bu değişkenler açı, açısal hız ve zorlamanın fazıdır.

12.2Zorlanmış sönümlü sarkaç

Kaosu incelemek için örnek sistemimiz, sönümlü ve sinüzoidal bir torkla zorlanan bir sarkaçtır (Şekil 12.1). Bir motorun, sarkacın dönme eksenine $\Gamma(t) = \Gamma_0\cos\omega t$ torkunu uyguladığını, sürtünmenin ise açısal hızla orantılı bir tork oluşturduğunu düşünelim. Eksene göre toplam tork $I\ddot{\phi}$'ye eşittir ($I = mL^2$, 3. bölüm): $mL^2\ddot{\phi} = -mgL\sin\phi - b\dot{\phi} + \Gamma_0\cos\omega t$. Bu denklemi $mL^2$'ye bölüp $2\beta = b/mL^2$ yazarsak hareket denklemi

$$ \ddot{\phi} + 2\beta\dot{\phi} + \omega_0^2\sin\phi = \gamma\,\omega_0^2\cos\omega t $$

(12.1)

dir. Burada $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ ve $\gamma = \Gamma_0/mgL$, zorlama gücüdür: zorlama torkunun en büyük değerinin, ağırlığın uyguladığı torkun en büyük değerine oranı. $\gamma = 1$ olduğunda zorlama torkunun en büyük değeri, sarkacı yatay konumda dengede tutmaya yetecek torka eşittir.

Zorlanmış sönümlü sarkaç — **Şekil 12.1.** Ekseni çevresinde dönebilen, sönümlü ve periyodik bir torkla zorlanan sarkaç. $\phi$ düşeyle yapılan açıdır. Küçük açılarda $\sin\phi \approx \phi$ olur ve denklem 5. bölümdeki zorlanmış salınıcıya dönüşür. Bu bölüm boyunca sabit parametreler kullanacağız: zorlama periyodu 1 (zaman birimi), yani $\omega = 2\pi$; doğal frekans $\omega_0 = 1{,}5\,\omega$; sönüm $\beta = \omega_0/4$. Değiştireceğimiz tek parametre $\gamma$'dır. Bütün sonuçlar (12.1)'in dördüncü mertebe Runge–Kutta yöntemiyle (2. bölüm) bulunmuş sayısal çözümleridir; periyodik hareketlerle ilgili bütün sonuçlar, adım boyu yarıya indirildiğinde değişmez. Başlangıç koşulu her zaman $\phi(0) = -\pi/2$, $\dot{\phi}(0) = 0$'dır.

Dört zorlama gücünde sarkacın hareketi — **Şekil 12.2.** Zorlanmış sönümlü sarkacın dört farklı zorlama gücündeki hareketi, $t = 290$ ile $t = 300$ arasında (geçici hareket çoktan sönmüştür). $\gamma = 0{,}2$: neredeyse sinüzoidal; $\gamma = 0{,}9$: periyot 1, büyük genlikli ve tam sinüzoidal olmayan; $\gamma = 1{,}073$: periyot 2 (kesikli çizgiler: ardışık en küçük değerler sırayla $-1{,}95$ ve $-2{,}23$ rad olur); $\gamma = 1{,}105$: kaotik.

Zayıf zorlama ($\gamma = 0{,}2$). Geçici hareket söndükten sonra sarkaç, zorlamayla aynı frekansta, neredeyse sinüzoidal bir salınım yapar. Genlik küçüktür ve doğrusal yaklaşıklık çok iyi çalışır.

Örnek 12.1Doğrusal yaklaşıklık ne kadar iyi?

$\gamma = 0{,}2$ için sarkacın kalıcı genliğini 5. bölümdeki doğrusal zorlanmış salınıcı formülüyle hesaplayın ve sayısal çözümün verdiği 0,313 rad ile karşılaştırın. Fark hangi yöndedir ve neden?

Çözüm

Doğrusallaştırılmış denklem $\ddot{\phi} + 2\beta\dot{\phi} + \omega_0^2\phi = \gamma\omega_0^2\cos\omega t$'nin kalıcı genliği $A = \gamma\omega_0^2/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}$'dir. $\omega_0 = 1{,}5\,\omega$ ve $\beta = 0{,}375\,\omega$ ile $\omega_0^2 - \omega^2 = 1{,}25\,\omega^2$ ve $4\beta^2\omega^2 = 0{,}5625\,\omega^4$:

$$ A = \frac{0{,}2 \times 2{,}25}{\sqrt{1{,}5625 + 0{,}5625}} = \frac{0{,}45}{1{,}458} = 0{,}309\ \text{rad} $$

Sayısal çözüm 0,313 rad verir; fark %1,5'tir. Doğrusal olmayan terim, sarkacın etkin doğal frekansını genlikle azaltır (4. bölüm; yaklaşık $\omega_0(1 - A^2/16)$, burada %0,6). $\omega_0 > \omega$ olduğundan doğal frekans zorlama frekansına biraz yaklaşır ve genlik biraz artar. Yaklaşık 18°'lik bu genlikte doğrusal kuram hâlâ çok iyi bir yaklaşıklıktır.

Orta zorlama ($\gamma = 0{,}9$). Kalıcı hareket hâlâ periyodiktir ve periyodu zorlamanınkiyle aynıdır; ama genlik yaklaşık 2,5 rad'dır (143°) ve hareket artık tam sinüzoidal değildir. Doğrusal olmayan $\sin\phi$ terimi, zorlama frekansının katlarında harmonikler üretir. $\sin\phi$ tek bir fonksiyon olduğu için bu hareket yalnızca tek katları ($3\omega$, $5\omega$, …) içerir; sayısal çözümde $3\omega$ bileşeninin genliği temel bileşeninkinin yaklaşık %4'üdür (Problem 12.5). Bu, doğrusal sistemlerde asla olmaz: doğrusal bir salınıcının kalıcı hareketi, sinüzoidal bir zorlamaya her zaman yalnızca aynı frekansta yanıt verir.

Periyot ikilenmesi ($\gamma = 1{,}073$). Zorlamayı biraz daha artırınca şaşırtıcı bir şey olur: kalıcı hareketin periyodu, zorlamanın periyodunun iki katı olur. Sarkaç ardışık iki zorlama periyodunda farklı salınımlar yapar (Şekil 12.2'de ardışık en küçük değerler sırayla $-1{,}95$ ve $-2{,}23$ rad olur) ve hareket ancak iki periyotta bir tekrarlanır. Bu olaya periyot ikilenmesi denir.

Kaos ($\gamma = 1{,}105$). Zorlama daha da artırılınca hareket hiçbir zaman tekrarlanmaz; sarkaç bir o yana bir bu yana düzensiz genliklerle salınır, ara sıra tepedeki noktayı ($\phi = \pm\pi$) aşar. Hareket rastgele görünür; oysa denklem tamamen belirlenimcidir ve hiçbir rastgele terim içermez. Bu, kaotik harekettir.

12.3Periyot ikilenmesi ve kaosa yol

Periyot ikilenmesini daha ayrıntılı izleyelim. Sarkacın konumuna her zorlama periyodunun başında ($t = 0, 1, 2, \ldots$) bakalım ve bu "stroboskopik" değerleri $\phi_n$ olarak yazalım. Periyot 1 olan harekette geçici hareket söndükten sonra bütün $\phi_n$ aynıdır. Periyot 2 olan harekette iki değer arasında gidip gelir. Sayısal çözümler, $\gamma = 1{,}06$'dan başlayarak şunu gösterir:

$\gamma$ aralığı	Kalıcı hareketin periyodu
$1{,}060 < \gamma < 1{,}0663$	1
$1{,}0663 < \gamma < 1{,}0793$	2
$1{,}0793 < \gamma < 1{,}0821$	4
$1{,}0821 < \gamma < 1{,}0827$	8
$1{,}0827 < \gamma < \gamma_\infty \approx 1{,}0829$	16, 32, …
$\gamma \gtrsim 1{,}083$ (periyodik pencereler dışında)	kaos

Eşiklerin yakınında geçici hareket çok yavaş söner (binlerce periyot sürebilir); bu değerler, binlerce periyot boyunca sürdürülen çözümlerden bulunmuştur.

Her yeni ikilenme bir öncekinden çok daha kısa bir $\gamma$ aralığından sonra gelir. Ardışık aralıkların oranları sabit bir sayıya yaklaşır:

$$ \delta = \lim_{n\to\infty}\frac{\gamma_n - \gamma_{n-1}}{\gamma_{n+1} - \gamma_n} = 4{,}6692\ldots $$

(12.2)

Bizim sarkacımızda ilk iki oran $(1{,}0793 - 1{,}0663)/(1{,}0821 - 1{,}0793) \approx 4{,}6$ ve $(1{,}0821 - 1{,}0793)/(1{,}0827 - 1{,}0821) \approx 4{,}7$'dir (eşiklerin dört basamaklı değerleriyle ikinci oran ancak kabaca belirlenebilir). Aralıklar geometrik olarak küçüldüğü için sonsuz sayıda ikilenme sonlu bir $\gamma_\infty$ değerinde birikir; bu değerin ötesinde hareket kaotiktir. Mitchell Feigenbaum 1975'te bu sayının, periyot ikilenmesiyle kaosa giden çok geniş bir sistem sınıfında (bir sarkaçta, bir elektrik devresinde, alttan ısıtılan bir sıvıda, basit bir sayı dizisinde) aynı olduğunu keşfetti; sonuçlarını 1978'de yayımladı. Bu evrensellik, kaos kuramının en şaşırtıcı sonuçlarından biridir. $\delta$'ya Feigenbaum sabiti denir.

12.4Başlangıç koşullarına duyarlılık: Lyapunov üssü

Kaotik hareketin tanımlayıcı özelliği, başlangıç koşullarına üstel duyarlılıktır. Aynı sarkacı iki kez, başlangıç açıları çok az farklı olacak biçimde başlatalım: $\phi_1(0)$ ve $\phi_2(0) = \phi_1(0) + \Delta\phi_0$. İki hareket arasındaki fark $\Delta\phi(t) = \phi_2(t) - \phi_1(t)$ zamanla nasıl değişir?

Sönümlü doğrusal bir sistemde (ya da zayıf zorlanan sarkaçta) fark, geçici hareketle birlikte üstel olarak azalır: iki hareket aynı kalıcı salınıma oturur. Kaotik sarkaçta ise fark, ortalamada üstel olarak büyür:

$$ |\Delta\phi(t)| \sim |\Delta\phi_0|\,e^{\lambda t} $$

(12.3)

$\lambda$'ya Lyapunov üssü denir. $\lambda < 0$ ise yakın hareketler birbirine yaklaşır ve hareket düzenlidir; $\lambda > 0$ ise yakın hareketler üstel olarak ayrılır ve hareket kaotiktir.

Örnek 12.2İki sarkacın ayrışması

Şekil 12.3'teki sayısal sonuçlardan Lyapunov üslerini tahmin edin. Zayıf zorlamadaki değeri sönüm sabitiyle karşılaştırın. Kaotik durumda başlangıç farkı $10^{-4}$ rad iken iki hareket ne kadar sürede bir radyan mertebesinde ayrılır? Başlangıç farkı bin kat küçültülürse bu süre ne kadar uzar?

Çözüm

$\ln|\Delta\phi|$'nin zamana karşı grafiğinin eğimi $\lambda$'dır. $\gamma = 0{,}1$'de eğim yaklaşık $-2{,}4$'tür. Zayıf zorlamada sarkaç doğrusal bir salınıcı gibi davranır ve iki hareketin farkı, geçici çözüm gibi $e^{-\beta t}$ ile söner; $\beta = \omega_0/4 = 2{,}36$ ile uyumlu ✓. $\gamma = 1{,}105$'te eğim yaklaşık $+0{,}7$'dir. Fark $10^{-4}$'ten 1'e çıkmak için $e^{\lambda t} = 10^4$, $t = \ln(10^4)/0{,}7 \approx 13$ periyot gerekir; sayısal çözümde bu süre yaklaşık 15 periyottur, çünkü $\lambda$ yalnızca ortalama bir büyüme hızıdır. Başlangıç farkı bin kat küçültülürse süre yalnızca $\ln(1000)/0{,}7 \approx 10$ periyot uzar. Ölçüm hassasiyetini bin kat artırmak, öngörü süresini ancak %75 artırır. Kaotik bir sistemde uzun vadeli öngörünün pratikte neden imkânsız olduğunun nedeni budur.

Tarihçe

Edward Lorenz 1961'de basitleştirilmiş bir hava durumu modelini bilgisayarda çözerken, bir hesabı yarıda kesip ara sonuçlardan yeniden başlattı. Ara sonuçları, bilgisayarın kullandığı 6 basamak yerine çıktıda yazan 3 basamakla girmişti. Yeni hesap önce eskisini izledi, ama birkaç simülasyon haftası içinde ondan uzaklaştı ve sonunda aralarında hiçbir benzerlik kalmadı. Lorenz, belirlenimci denklemlerin başlangıç koşullarına aşırı duyarlı olabileceğini fark etti ve 1963'teki makalesi kaos kuramının başlangıcı sayılır. Bu duyarlılık, Lorenz'in 1972'deki bir konuşmasının başlığından sonra "kelebek etkisi" adıyla ünlendi: Brezilya'da bir kelebeğin kanat çırpışı, Teksas'ta bir hortuma yol açabilir mi? Lorenz, hava durumunun öngörülebilirlik sınırını yaklaşık iki hafta olarak tahmin etti; bugünkü sayısal hava tahminleri de bu sınıra yaklaşmaktadır.

12.5Çatallanma diyagramları

Bir sistemin $\gamma$ değiştikçe periyodik hareketten kaosa geçişini tek bir grafikte gösterebiliriz. Her $\gamma$ değeri için sarkacı geçici hareket sönene kadar çalıştırır, sonra stroboskopik değerleri $\phi_n$ (örneğin 60 tanesini) grafikte $\gamma$'nın üstüne işaretleriz. Periyot 1 harekette bütün noktalar üst üste düşer ve tek bir nokta görünür; periyot 2'de iki nokta; kaotik harekette ise noktalar bir aralığa dağılır. Bu grafiğe çatallanma diyagramı denir (Şekil 12.4).

Sarkacın çatallanma diyagramı — **Şekil 12.4.** Zorlanmış sönümlü sarkacın çatallanma diyagramı: her $\gamma$ değerinde kalıcı hareketin stroboskopik açıları. Periyot ikilenmeleri dalların ikiye ayrılmasıyla görülür; kesikli çizgiler $\gamma_1 = 1{,}0663$, $\gamma_2 = 1{,}0793$ ve $\gamma_3 = 1{,}0821$ eşikleridir. $\gamma \approx 1{,}083$'ten sonra kaos başlar.

Diyagramda ardışık dalların ikiye ayrılması periyot ikilenmeleridir. Kaotik bölge içinde de, hareketin yeniden periyodik hâle geldiği dar periyodik pencereler görülür. Kaos, düzenli ve düzensiz davranışın karmaşık bir iç içe geçmesidir.

12.6Faz uzayı ve Poincaré kesitleri

Bir sistemin durumunu tam olarak belirleyen değişkenlerin uzayına faz uzayı (durum uzayı) denir. Tek boyutlu bir salınıcı için bu, $(\phi, \dot{\phi})$ düzlemidir; her nokta bir durumu gösterir ve sistemin zaman içindeki evrimi bu düzlemde bir yörünge çizer. Belirlenimcilik gereği her noktadan yalnızca bir yörünge geçer: faz uzayında yörüngeler kesişemez.

Sönümsüz bir harmonik salınıcının yörüngeleri elipslerdir (enerji korunur). Sönümlü salınıcının yörüngesi, orijine doğru dolanarak giden bir sarmaldır. Zorlanmış sönümlü sarkaçta ise geçici hareket söndükten sonra yörünge, başlangıç koşullarına (geniş bir bölge içinde) bağlı olmayan kapalı bir eğriye oturur: bir limit çevrim. Sistemin uzun vadede yerleştiği bu kümeye çeker denir; aynı parametrelerde farklı başlangıç koşullarının yerleştiği birden fazla çeker de bulunabilir. Periyot 1 harekette çeker, bir zorlama periyodunda bir kez dolanılan kapalı bir eğridir; periyot 2 harekette eğri ancak iki zorlama periyodunda kapanır ve iki dolanım birbirinin yakınından geçer (Şekil 12.5).

Faz uzayındaki yörüngeler — **Şekil 12.5.** Faz uzayında $(\phi, \dot{\phi})$ kalıcı yörüngeler. Solda periyot 2 hareket ($\gamma = 1{,}077$): yörünge iki dolanımdan sonra kapanır. Sağda kaotik hareket ($\gamma = 1{,}105$): yörünge hiç kapanmaz.

Faz uzayı iki boyutlu çizilse de zorlanmış sarkacın gerçek faz uzayı üç boyutludur: $\phi$, $\dot{\phi}$ ve zorlamanın fazı $\omega t$. İki boyutlu izdüşümde yörüngeler kesişiyormuş gibi görünebilir, ama üç boyutta kesişmezler. Kaotik bir yörüngeyi incelemenin en güçlü aracı, onun Poincaré kesitidir: yörüngeye yalnızca zorlamanın her periyodunda bir kez (aynı fazda) bakarız ve $(\phi_n, \dot{\phi}_n)$ noktalarını işaretleriz. Periyot 1 harekette Poincaré kesiti tek bir noktadır, periyot 2'de iki nokta. Kaotik harekette ise noktalar, karmaşık ve kendine benzer (fraktal) bir yapı oluşturur: buna garip çeker denir. Şekil 12.6'daki örnekte, yapının iyi görülmesi için zorlama daha güçlü ($\gamma = 1{,}5$) ve sönüm daha zayıf ($\beta = \omega_0/8$) seçilmiştir.

**Şekil 12.6.** Kaotik sarkacın ($\gamma = 1{,}5$, $\beta = \omega_0/8$) Poincaré kesiti: 300 farklı başlangıç koşulundan çıkan yörüngelerin, geçici hareket söndükten sonra 20'şer zorlama periyodu boyunca her periyotta bir kez işaretlenen 6 000 $(\phi, \dot{\phi})$ noktası; bütün yörüngeler aynı çekere yerleşir. Noktalar düzlemi doldurmaz; ince katmanlardan oluşan fraktal bir yapı üzerinde toplanır: garip çeker.

12.7Lojistik harita

Kaosun en sade örneği bir diferansiyel denklem değil, bir sayı dizisidir. Bir böcek nüfusunu düşünelim; $x_n$, $n$. yıldaki nüfusun olası en büyük nüfusa oranı olsun. Nüfus her yıl kendisiyle orantılı olarak büyür, ama kaynakların sınırlı olması yüzünden büyüme $1 - x_n$ çarpanıyla yavaşlar:

$$ x_{n+1} = r\,x_n\left(1 - x_n\right), \qquad 0 \le x_n \le 1,\quad 0 \le r \le 4 $$

(12.4)

Buna lojistik harita denir. $r$, büyüme oranıdır. Bu denklem bu kadar basit olduğu hâlde, $r$ değiştikçe zorlanmış sarkacın bütün davranışlarını gösterir. Lojistik harita tek değişkenli olduğu hâlde kaotik olabilir; üç boyut koşulu yalnızca sürekli zamanlı sistemler içindir. Bir haritada iki farklı $x_n$ aynı $x_{n+1}$'e gidebilir (harita geri döndürülemez), bu da yörüngelerin kesişmeme kısıtını ortadan kaldırır.

Sabit noktalar. Dizi bir $x^*$ değerine yerleşirse $x^* = rx^*(1 - x^*)$ olmalıdır. Çözümler $x^* = 0$ ve $x^* = 1 - 1/r$'dir. Bir sabit noktanın kararlı olup olmadığı, yakınındaki küçük bir sapmanın büyüyüp büyümemesine bağlıdır. $x_n = x^* + \epsilon_n$ yazıp birinci mertebeye açarsak $\epsilon_{n+1} = f'(x^*)\epsilon_n$ bulunur; burada $f(x) = rx(1 - x)$ ve $f'(x) = r(1 - 2x)$'tir. Sapma, $|f'(x^*)| < 1$ ise küçülür (kararlı), $> 1$ ise büyür (kararsız). $x^* = 1 - 1/r$ için $f'(x^*) = 2 - r$: sabit nokta $1 < r < 3$ aralığında kararlıdır.

Örnek 12.3Lojistik haritada periyot ikilenmesi

$r = 2{,}5$ ve $r = 3{,}2$ için diziyi $x_0 = 0{,}2$'den başlatarak uzun vadeli davranışı bulun. $r = 3{,}2$'de iki değerli çevrimin değerlerini hesaplayın.

Çözüm

$r = 2{,}5$: sabit nokta $x^* = 1 - 1/2{,}5 = 0{,}6$ ve $f'(x^*) = -0{,}5$; kararlıdır. Dizi 0,2; 0,4; 0,6; 0,6; … biçiminde ilerler ve bu başlangıç değeri için tam olarak 0,6'ya düşer. Başka başlangıç değerlerinde sapma her adımda yaklaşık yarıya iner ve işaret değiştirir: dizi 0,6'nın iki yanında gidip gelerek yakınsar. $r = 3{,}2$: $f'(x^*) = -1{,}2$; sabit nokta kararsızdır. Dizi, $x = f(f(x))$'in sabit noktaları olan iki değer arasında gidip gelir. $f(f(x)) = x$ denkleminin, $f(x) = x$'in çözümleri dışındaki kökleri

$$ x_\pm = \frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r} $$

dir (Problem 12.7); $r = 3{,}2$ için $x_+ = 0{,}7995$ ve $x_- = 0{,}5130$. Nüfus bir yıl yüksek, bir yıl alçak olur. Bu iki değerli çevrim $r = 1 + \sqrt{6} \approx 3{,}449$'a kadar kararlıdır; orada periyot 4'e ikilenir. Her iki durum Şekil 12.7'de grafikle izlenebilir.

Lojistik haritanın çatallanma diyagramı (Şekil 12.8), kaos kuramının simgesi hâline gelmiştir. Periyot ikilenmeleri $r_1 = 3$, $r_2 = 3{,}4495$, $r_3 = 3{,}5441$, $r_4 = 3{,}5644$, … değerlerinde olur ve $r_\infty = 3{,}5699$'da birikir. Ardışık oranlar 4,75; 4,66; 4,668; … ile Feigenbaum sabitine yaklaşır: bir sarkaç ile bir böcek nüfusu modeli aynı evrensel sayıyı paylaşır. Kaotik bölgede, $r = 1 + \sqrt{8} \approx 3{,}828$'de başlayan belirgin bir periyot 3 penceresi vardır.

Lojistik haritada Lyapunov üssü doğrudan hesaplanabilir: $\lambda = \lim_{N\to\infty}(1/N)\sum_n\ln|f'(x_n)|$. $r = 4$'te değeri tam olarak $\ln 2$'dir (Problem 12.10): her yinelemede başlangıç belirsizliği ortalama olarak ikiye katlanır.

12.8Kaos ve öngörülebilirlik

Kaos kuramı, klasik mekaniğin belirlenimciliğini ortadan kaldırmaz; ama onun anlamını değiştirir. Denklemler geleceği tek biçimde belirler, ama bu geleceği hesaplamak için başlangıç koşullarını sonsuz hassasiyetle bilmek gerekir. Kaotik bir sistemde $\Delta$ hassasiyetle bilinen bir başlangıç koşulu, yaklaşık

$$ t_{\text{öngörü}} \approx \frac{1}{\lambda}\ln\frac{\epsilon}{\Delta} $$

(12.5)

süre için $\epsilon$ toleransıyla öngörülebilir. Hassasiyet logaritma içinde olduğu için onu artırmak öngörü süresini çok az uzatır (Örnek 12.2).

Kaos doğada çok yaygındır: hava durumu, akışkanlardaki türbülans, kalbin ritim bozuklukları, Güneş Sistemi'nin uzun vadeli evrimi (Jacques Laskar 1989'da iç gezegenlerin yörüngelerinin kaotik olduğunu, Lyapunov zamanlarının yaklaşık 5 milyon yıl olduğunu ve yörüngelerin 100 milyon yıldan uzun süreler için ayrıntılı olarak öngörülemeyeceğini göstermiştir), çift sarkaç, hatta damlayan bir musluk. Öte yandan kaos, düzensizliğin içinde bir düzen de taşır: garip çekerlerin geometrisi, Feigenbaum sabitinin evrenselliği ve periyodik pencereler, kaotik sistemlerin istatistiksel olarak öngörülebilir olduğunu gösterir. İklim (uzun vadeli ortalamalar), hava durumunun aksine, bu yüzden öngörülebilir olabilir.

Özet

Doğrusal sistemlerde üst üste binme ilkesi geçerlidir; doğrusal olmayan sistemlerde geçerli değildir ve harmonikler, periyot ikilenmeleri ve kaos ortaya çıkabilir. Sürekli zamanlı sistemlerde kaos için en az üç boyutlu bir faz uzayı gerekir.
Zorlanmış sönümlü sarkaç (12.1) zorlama arttıkça periyot 1, periyot 2, 4, 8, … hareketlerden geçerek kaosa ulaşır. Ardışık ikilenme aralıklarının oranı Feigenbaum sabiti 4,669'a yaklaşır (12.2).
Kaosun tanımlayıcı özelliği başlangıç koşullarına üstel duyarlılıktır: $|\Delta\phi| \sim |\Delta\phi_0|e^{\lambda t}$, $\lambda > 0$ (12.3).
Çatallanma diyagramları, faz uzayı yörüngeleri ve Poincaré kesitleri kaotik hareketi incelemenin araçlarıdır; kaotik hareketin çekeri fraktal yapılı garip bir çekerdir.
Lojistik harita $x_{n+1} = rx_n(1 - x_n)$ (12.4) aynı periyot ikilenmesi yolunu ve aynı Feigenbaum sabitini gösterir.
Belirlenimci kaotik sistemler, ölçüm hassasiyetiyle yalnızca logaritmik olarak uzayan bir süre için öngörülebilirdir (12.5).

Problemler

Problem 12.1Üst üste binme★☆☆

$\ddot{x} + \omega_0^2x = 0$ denkleminin iki çözümünün toplamının da çözüm olduğunu, $\ddot{x} + \omega_0^2\sin x = 0$ için ise genellikle olmadığını, $\sin$'i küçük açılar için üçüncü mertebeye kadar açarak gösterin.

Çözümü göster

Doğrusal durumda $(x_1 + x_2)'' + \omega_0^2(x_1 + x_2) = 0$ ✓. Doğrusal olmayan durumda $x_1$ ve $x_2$ çözümse $(x_1 + x_2)'' + \omega_0^2\sin(x_1 + x_2) = \omega_0^2[\sin(x_1 + x_2) - \sin x_1 - \sin x_2]$ olur. $\sin u \approx u - u^3/6$ ile köşeli parantez $-\tfrac16[(x_1 + x_2)^3 - x_1^3 - x_2^3] = -\tfrac12 x_1x_2(x_1 + x_2) \neq 0$. Dolayısıyla $x_1 + x_2$ denklemi sağlamaz; fark, genlikler büyüdükçe önem kazanır.

Problem 12.2Faz uzayında harmonik salınıcı★☆☆

Sönümsüz harmonik salınıcının faz uzayı yörüngelerinin $(x, \dot{x})$ düzleminde elips olduğunu ve elipsin alanının enerjiyle orantılı olduğunu gösterin.

Çözümü göster

$x = A\cos\omega t$, $\dot{x} = -A\omega\sin\omega t$: $x^2/A^2 + \dot{x}^2/(A\omega)^2 = 1$, yarı eksenleri $A$ ve $A\omega$ olan bir elips. Alan $\pi A \cdot A\omega = \pi A^2\omega = 2\pi E/(m\omega)$ ($E = \tfrac12 m\omega^2A^2$). Yatay eksen $x$, düşey eksen $p = m\dot{x}$ alınırsa alan $2\pi E/\omega = E/f$ olur; eski kuantum kuramındaki Bohr–Sommerfeld koşulu $\oint p\,\dd x = nh$ bu alanı kuantumlar ve $E = nhf$ verir.

Problem 12.3Doğrusal mı?★☆☆

Aşağıdaki denklemlerden hangileri doğrusaldır? (a) $\ddot{x} + \omega_0^2x = F_0\cos\omega t$; (b) $\ddot{x} + t^2x = 0$; (c) $\ddot{x} + x\dot{x} + x = 0$; (d) $\ddot{x} + \omega_0^2\sin x = 0$; (e) $m\dot{v} = -cv^2$ (2. bölümdeki karesel direnç).

Çözümü göster

(a) Doğrusaldır, ama homojen değildir: iki çözümün toplamı çözüm olmaz, ama iki çözümün farkı homojen denklemin çözümüdür. 5. bölümdeki "genel çözüm = özel çözüm + homojen çözüm" yapısı buna dayanır. (b) Doğrusaldır: katsayı zamana bağlı olsa da $x$ ve türevleri yalnızca birinci kuvvetten bulunur. (c) Doğrusal değildir ($x\dot{x}$ çarpımı). (d) Doğrusal değildir. (e) Doğrusal değildir ($v^2$).

Problem 12.4$r = 2$'de hızlı yakınsama★☆☆

$r = 2$'de lojistik haritayı $x_0 = 0{,}1$'den başlatıp ilk beş yinelemeyi hesaplayın. Sabit noktada $f'(x^*) = 0$ olduğunu gösterin. Yakınsama neden bu kadar hızlıdır?

Çözümü göster

0,1; 0,18; 0,2952; 0,4161; 0,4859; 0,4996: dizi $x^* = 1 - 1/2 = 0{,}5$'e gider. $f'(0{,}5) = 2(1 - 1) = 0$. $f(0{,}5 + \epsilon) = 2(0{,}5 + \epsilon)(0{,}5 - \epsilon) = 0{,}5 - 2\epsilon^2$: sapma birinci mertebede değil, ikinci mertebede küçülür ($\epsilon \to -2\epsilon^2$). Örneğin $\epsilon = -0{,}0141$'den $-0{,}0004$'e iner; doğru basamak sayısı her adımda yaklaşık ikiye katlanır.

Problem 12.5Doğrusal olmayan terimin harmonikleri★★☆

$\ddot{x} + \omega_0^2x + \epsilon x^3 = 0$ denkleminde (Duffing salınıcısı) $x \approx A\cos\omega t$ yazarak $x^3$ teriminin hangi frekansları içerdiğini bulun. Bu terimin, frekansı birinci mertebede nasıl değiştirdiğini $\cos^3$ özdeşliğiyle bulun.

Çözümü göster

$\cos^3\theta = \tfrac34\cos\theta + \tfrac14\cos 3\theta$. $\epsilon x^3 = \epsilon A^3(\tfrac34\cos\omega t + \tfrac14\cos 3\omega t)$: temel frekans ve üçüncü harmonik. Temel frekanstaki terim, etkin $\omega^2$'yi $\omega_0^2 + \tfrac34\epsilon A^2$ yapar: $\omega \approx \omega_0 + 3\epsilon A^2/(8\omega_0)$. Frekans genliğe bağlı hâle gelir (sarkaçta $\epsilon < 0$: $\sin x \approx x - x^3/6$, frekans genlikle azalır; 4. bölümdeki sonucun nedeni).

Problem 12.6Lojistik haritanın sabit noktaları★★☆

$x^* = 0$ sabit noktasının hangi $r$ değerlerinde kararlı olduğunu bulun. $x^* = 1 - 1/r$'nin $r = 1$'de ortaya çıkmasının anlamı nedir?

Çözümü göster

$f'(0) = r$: $r < 1$ için kararlı (nüfus söner). $r = 1$'de $x^* = 1 - 1/r$ sıfırdan geçer ve $r > 1$ için kararlı sabit nokta odur: büyüme oranı 1'i aşınca nüfus kalıcı bir değere yerleşir. Bu tür bir kararlılık alışverişine transkritik çatallanma denir.

Problem 12.7İki değerli çevrim★★☆

$f(f(x)) = x$ denkleminin, $f(x) = x$'in kökleri dışındaki köklerinin Örnek 12.3'teki $x_\pm$ olduğunu gösterin. Çevrimin kararlılık koşulunun $|f'(x_+)f'(x_-)| < 1$ olduğunu ve bunun $r < 1 + \sqrt{6}$ verdiğini gösterin.

Çözümü göster

$f(f(x)) - x$, $f(x) - x = x(r - 1 - rx)$'e bölünür; bölüm $r^2x^2 - r(r + 1)x + (r + 1)$'dir. Kökleri $x_\pm = [r + 1 \pm \sqrt{(r + 1)(r - 3)}]/(2r)$ ✓ ($r > 3$ için gerçek). Zincir kuralıyla $(f\circ f)'(x_+) = f'(x_+)f'(x_-)$. $f'(x) = r(1 - 2x)$ ve $x_+ + x_- = (r + 1)/r$, $x_+x_- = (r + 1)/r^2$ ile $f'(x_+)f'(x_-) = r^2[1 - 2(x_+ + x_-) + 4x_+x_-] = -r^2 + 2r + 4$. Kararlılık $|4 + 2r - r^2| < 1$; üst sınır $r^2 - 2r - 5 = 0$, $r = 1 + \sqrt{6}$ ✓.

Problem 12.8Feigenbaum oranları★★☆

Lojistik haritanın ilk dört periyot ikilenme değeri $r_1 = 3$, $r_2 = 3{,}449490$, $r_3 = 3{,}544090$, $r_4 = 3{,}564407$'dir; beşincisi $r_5 = 3{,}568759$'dur. Ardışık oranları hesaplayın. $r_\infty$'u geometrik seri varsayımıyla tahmin edin.

Çözümü göster

Oranlar: $0{,}44949/0{,}09460 = 4{,}751$; $0{,}09460/0{,}020317 = 4{,}656$; $0{,}020317/0{,}004352 = 4{,}668$. Kalan aralıklar oranı $\delta$ olan bir geometrik seri ise $r_\infty \approx r_5 + (r_5 - r_4)/(\delta - 1) = 3{,}568759 + 0{,}004352/3{,}669 \approx 3{,}56995$; kabul edilen değer 3,569946 ✓.

Problem 12.9Sonraki ikilenmeyi öngörmek★★☆

Sarkacın ilk iki ikilenme eşiği $\gamma_1 = 1{,}0663$ ve $\gamma_2 = 1{,}0793$'tür. Feigenbaum sabitini kullanarak $\gamma_3$'ü ve kaosun başladığı $\gamma_\infty$'u tahmin edin; sayısal değerlerle (1,0821 ve yaklaşık 1,0829) karşılaştırın.

Çözümü göster

$\gamma_3 - \gamma_2 \approx (\gamma_2 - \gamma_1)/\delta = 0{,}0130/4{,}669 = 0{,}0028$, yani $\gamma_3 \approx 1{,}0821$ ✓. Kalan aralıklar oranı $\delta$ olan bir geometrik seri oluşturursa $\gamma_\infty \approx \gamma_2 + (\gamma_2 - \gamma_1)/(\delta - 1) = 1{,}0793 + 0{,}0130/3{,}669 = 1{,}0828$; sayısal değer yaklaşık 1,0829 ✓. Ardışık oranlar $\delta$'ya ancak giderek yaklaşır; ilk aralıklarda bu kadar iyi uyum biraz da şanstır. Yine de evrensellik, tek bir sistemin ilk iki ikilenmesinden kaosun başlangıcını öngörmeyi sağlar.

Problem 12.10$r = 4$'te lojistik harita★★☆

$r = 4$'te $x_n = \sin^2\theta_n$ dönüşümüyle haritanın $\theta_{n+1} = 2\theta_n$ (mod $\pi$) biçimini aldığını gösterin. Bundan Lyapunov üssünün $\ln 2$ olduğunu çıkarın.

Çözümü göster

$4\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta) = 4\sin^2\theta\cos^2\theta = \sin^2 2\theta$ ✓. Her adımda açı ikiye katlanır; başlangıçtaki $\delta\theta$ belirsizliği $n$ adımda $2^n\delta\theta$ olur: $\lambda = \ln 2$ ✓. $\theta$'yı ikili sayı sisteminde yazınca her adım, bir basamağı sola kaydırmaktır: başlangıç koşulunun her basamağı birer birer "yüzeye çıkar". Bu, kaosun bilgi kuramsal yorumudur.

Problem 12.11Periyodik harekette Lyapunov üssü★★☆

$r = 3{,}2$'de lojistik haritanın iki değerli çevriminin Lyapunov üssünü, Problem 12.7'nin sonucunu kullanarak bulun. İşareti ne anlama gelir?

Çözümü göster

Dizi $x_+$ ile $x_-$ arasında gidip gelir; toplamdaki terimler sırayla $\ln|f'(x_+)|$ ve $\ln|f'(x_-)|$'dir: $\lambda = \tfrac12\ln|f'(x_+)f'(x_-)| = \tfrac12\ln|-r^2 + 2r + 4| = \tfrac12\ln 0{,}16 = -0{,}92$. Negatif üs, yakın başlangıç koşullarının birbirine yaklaştığını gösterir: hareket düzenlidir ve sapma her yinelemede ortalama $e^{-0{,}92} \approx 0{,}40$ katına iner. Sayısal yinelemeyle hesaplanan ortalama da aynı değeri verir.

Problem 12.12Öngörü süresi★★☆

Bir hava tahmin modelinde hataların ikiye katlanma süresi yaklaşık 2 gündür. Başlangıçtaki ölçüm hatası, kabul edilebilir tahmin hatasının $10^{-3}$ katıysa model kaç gün için yararlı tahmin yapabilir? Ölçüm hatası 10 kat azaltılırsa ne kazanılır?

Çözümü göster

$\lambda = \ln 2/(2\ \text{gün})$. (12.5): $t = \ln(1000)/\lambda = 2 \times \log_2 1000 \approx 2 \times 9{,}97 \approx 20$ gün. Hata 10 kat azalırsa $t$ yalnızca $2\log_2 10 \approx 6{,}6$ gün uzar. (Gerçek modellerde küçük ölçekli hatalar çok daha hızlı büyür ve yararlı tahmin süresi bundan kısadır.)

Problem 12.13Yörüngeler neden kesişmez?★★☆

Otonom (zamana açıkça bağlı olmayan) bir sistemin faz uzayında iki farklı yörüngenin kesişemeyeceğini gösterin. Bu sonuç, iki boyutlu otonom bir sistemde neden kaos olamayacağını nasıl açıklar?

Çözümü göster

Faz uzayındaki bir nokta, sistemin bütün durumunu verir; hareket denklemleri bu noktadan sonraki evrimi tek biçimde belirler. İki yörünge bir noktada kesişseydi, o noktadan iki farklı gelecek çıkardı: belirlenimcilikle çelişir. İki boyutta, sınırlı bir bölgede kalan ve kesişemeyen yörüngeler ancak bir sabit noktaya gidebilir, bir kapalı eğri üzerinde dolanabilir ya da bir kapalı eğriye yaklaşabilir (Poincaré–Bendixson teoremi); kaosun gerektirdiği "katlanma ve gerilme" için üçüncü bir boyut gerekir. Zorlanmış sarkaç, zamana bağlı zorlama yüzünden otonom değildir; zorlamanın fazı eklenince otonom ama üç boyutlu bir sistem olur.

Problem 12.14Çift sarkacın kaosu★★★

7. ve 11. bölümlerde çift sarkacı inceledik. Küçük salınımlarda hareket neden düzenlidir? Büyük genliklerde neden kaotik olabilir? Sönümsüz çift sarkaçta faz uzayı kaç boyutludur, enerji korunumu bunu kaça indirir?

Çözümü göster

Küçük salınımlarda denklemler doğrusallaşır ve hareket iki normal modun toplamıdır (11. bölüm): düzenli. Büyük genliklerde $\sin$ ve $\cos(\phi_1 - \phi_2)$ terimleri doğrusal değildir ve modlar arasında enerji alışverişi başlar. Faz uzayı dört boyutludur ($\phi_1, \phi_2, \dot{\phi}_1, \dot{\phi}_2$); enerji korunumu hareketi üç boyutlu bir yüzeye kısıtlar. Üç boyut kaos için yeterlidir ve gerçekten yüksek enerjilerde çift sarkaç kaotiktir. (Sönümsüz sistemde çeker yoktur; kaotik yörüngeler, korunan enerji yüzeyinin geniş bölgelerini dolaşır.)

Problem 12.15Bir Poincaré kesiti çizin★★★

2. bölümdeki Runge–Kutta programını (12.1)'e uyarlayarak $\gamma = 1{,}077$ ve $\gamma = 1{,}105$ için kalıcı hareketin Poincaré kesitini çizin (her $t = n$'de $(\phi, \dot{\phi})$). Birinci durumda kaç nokta, ikincisinde nasıl bir yapı görürsünüz? Adım boyunu yarıya indirmek ikinci durumdaki tek tek noktaların yerlerini neden değiştirir, ama çekerin biçimini neden değiştirmez?

Çözümü göster

$\gamma = 1{,}077$: periyot 2 olduğundan iki nokta. $\gamma = 1{,}105$: noktalar sonlu sayıda noktaya yerleşmez; ince, katlanmış bir eğri boyunca dağılır (sönüm güçlü olduğu için çekerin kalınlığı çok küçüktür). Kaotik harekette sayısal hata da başlangıç koşulu hatası gibi üstel olarak büyür; adım boyu değişince tek tek yörüngeler birkaç on periyot sonra tamamen farklıdır. Ama çeker, sistemin uzun vadede yerleştiği kümedir ve küçük bozulmalara karşı kararlıdır; noktaların dağılımı (istatistiksel yapı) değişmez. Kaotik sistemlerin sayısal çözümleri, tek tek yörüngeler için değil, çekerin özellikleri için güvenilirdir.

İleri okuma

J. R. Taylor, Classical Mechanics, 12. bölüm: bu bölümün yapısına ve sarkaç parametrelerine en yakın kaynak.
S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 2. baskı (Westview Press, 2015): doğrusal olmayan dinamiğe en anlaşılır giriş.
J. Gleick, Chaos: Making a New Science (Viking, 1987): kaos kuramının doğuşunun popüler anlatımı.
E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow", Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963): kaos kuramını başlatan makale.
M. J. Feigenbaum, "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations", Journal of Statistical Physics 19 (1978): Feigenbaum sabitinin keşfi.

\(\gamma\) aralığı	Kalıcı hareketin periyodu
\(1{,}060 < \gamma < 1{,}0663\)	1
\(1{,}0663 < \gamma < 1{,}0793\)	2
\(1{,}0793 < \gamma < 1{,}0821\)	4
\(1{,}0821 < \gamma < 1{,}0827\)	8
\(1{,}0827 < \gamma < \gamma_\infty \approx 1{,}0829\)	16, 32, …
\(\gamma \gtrsim 1{,}083\) (periyodik pencereler dışında)	kaos