İş, Enerji, İtme ve Momentum
İş–enerji teoremi, yay potansiyel enerjisi, mekanik enerjinin korunumu; itme, momentum, momentumun korunumu, esnek ve esnek olmayan çarpışmalar.
- İş–enerji teoremini ve enerji korunumunu birlikte kullanmayı
- Yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisini
- İtme ile momentum değişimi arasındaki ilişkiyi
- Çarpışma ve patlamalarda momentumun korunumunu
İş–enerji teoremi
Bir cisme etki eden net kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir:
Sürtünme kuvveti hareketle zıt yönlü olduğu için negatif iş yapar ve mekanik enerjiyi ısıya dönüştürür. Kuvvet–yol grafiğinin altındaki alan yapılan işi verir.
Yay potansiyel enerjisi
Yay sabiti \(k\) olan bir yay \(x\) kadar sıkıştırılır ya da gerilirse yayın uyguladığı kuvvet \(F = k\,x\) (Hooke yasası) ve yayda depolanan enerji:
Yay iki kat sıkıştırılırsa enerji dört katına çıkar.
Mekanik enerjinin korunumu
Yalnızca yer çekimi ve yay kuvveti iş yapıyorsa mekanik enerji korunur:
Sürtünme varsa son enerji, ilk enerjiden sürtünmenin harcadığı \(f \cdot d\) kadar eksiktir.
İtme ve momentum
Momentum (çizgisel momentum) kütle ile hızın çarpımıdır ve bir vektördür: \(\vec p = m\vec v\). Bir cisme \(\Delta t\) süresince etki eden kuvvetin itmesi, momentumdaki değişime eşittir:
Aynı momentum değişimi daha uzun sürede gerçekleşirse kuvvet küçülür. Hava yastıkları, kask içindeki köpük ve yüksekten atlarken dizlerin bükülmesi bu ilkeye dayanır. Kuvvet–zaman grafiğinin altındaki alan itmeyi verir. Duvara çarpıp aynı hızla geri dönen bir topun momentum değişimi \(2mv\)'dir; yön değişimi unutulmamalıdır.
Momentumun korunumu
Bir sisteme net dış kuvvet etki etmiyorsa sistemin toplam momentumu korunur:
- Esnek çarpışmada hem momentum hem kinetik enerji korunur. Eşit kütleli iki cisim merkezi esnek çarpışmada hızlarını değiş tokuş eder.
- Esnek olmayan çarpışmada momentum korunur, kinetik enerjinin bir kısmı ısıya ve şekil değiştirmeye harcanır. Cisimler yapışıp birlikte hareket ediyorsa \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v'\).
- Patlamalarda başlangıçta duran sistemin toplam momentumu sıfır olduğundan parçaların momentumları eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. Tüfeğin geri tepmesi ve roketlerin çalışması bu ilkeye dayanır.
Formüller
Çözümlü örnekler
6 m/s hızla giden 2 kg'lık bir araba, duran 1 kg'lık arabaya çarpıp yapışıyor. Çarpışmadan sonra ortak hız nedir ve çarpışmada kaç joule kinetik enerji kaybolur?
- Momentum: \(2 \cdot 6 + 1 \cdot 0 = 3 \cdot v' \Rightarrow v' = 4\) m/s.
- İlk kinetik enerji \(\tfrac12 \cdot 2 \cdot 36 = 36\) J.
- Son kinetik enerji \(\tfrac12 \cdot 3 \cdot 16 = 24\) J.
- Kayıp \(36 - 24 = 12\) J (ısı, ses, şekil değişimi).
Cevap: 4 m/s ve 12 J
Yay sabiti 800 N/m olan bir yay 0,1 m sıkıştırılarak önüne konan 0,25 kg'lık bir bilye sürtünmesiz yüzeyde fırlatılıyor. Bilyenin hızı kaç m/s olur?
- Yay enerjisi: \(\tfrac12 \cdot 800 \cdot 0{,}01 = 4\) J.
- \(4 = \tfrac12 \cdot 0{,}25 \cdot v^2 \Rightarrow v^2 = 32\).
- \(v = 4\sqrt{2} \approx 5{,}7\) m/s.
Cevap: yaklaşık 5,7 m/s
Sık yapılan hatalar
- Momentumun vektör olduğunu unutmak: geri dönen cisimde hız işareti değişir.
- Esnek olmayan çarpışmada kinetik enerjinin de korunduğunu sanmak.
- İş–enerji teoreminde yalnızca bir kuvvetin işini almak: net kuvvetin işi kullanılmalıdır.
- Yay enerjisinde \(x\) yerine yayın toplam boyunu kullanmak: \(x\) uzama ya da sıkışma miktarıdır.
Otomobillerin ön tarafındaki "buruşma bölgeleri" çarpışma süresini uzatmak için tasarlanır. Momentum değişimi aynı kaldığı için kuvvet küçülür ve yolculara aktarılan darbe azalır.
Konu testi
11 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
2 kg kütleli bir cisim 5 m/s hızla gidiyor. Cismin momentumu kaç kg·m/s'dir?
\(p = m v = 2 \cdot 5 = 10\) kg·m/s.
0,5 kg'lık bir top duvara 10 m/s hızla dik çarpıyor ve aynı büyüklükte hızla geri dönüyor. Topun momentum değişiminin büyüklüğü kaç kg·m/s'dir?
Yönler zıt: \(\Delta p = m(v_s - v_i) = 0{,}5(-10 - 10) = -10\) kg·m/s. Büyüklüğü 10'dur; sıfır değildir.
0,5 kg'lık bir top duvara 10 m/s hızla dik çarpıp aynı büyüklükte hızla geri dönüyor. Top duvarla 0,02 s temas ettiyse duvarın topa uyguladığı ortalama kuvvet kaç newtondur?
\(F = \Delta p / \Delta t = 10/0{,}02 = 500\) N.
6 m/s hızla giden 2 kg'lık araba, duran 1 kg'lık arabaya çarparak yapışıyor. Ortak hız kaç m/s'dir?
\(2 \cdot 6 = 3 v' \Rightarrow v' = 4\) m/s.
6 m/s hızla giden 2 kg'lık bir araba, duran 1 kg'lık arabaya çarpıp yapışıyor. Çarpışmada kaybolan kinetik enerji kaç joule'dür?
İlk \(E_k = 36\) J, son \(E_k = \tfrac12 \cdot 3 \cdot 4^2 = 24\) J. Kayıp 12 J.
Yay sabiti 200 N/m olan bir yay 0,1 m sıkıştırılıyor. Yayda depolanan enerji kaç joule'dür?
\(E = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 \cdot 200 \cdot 0{,}01 = 1\) J.
Durmakta olan 4 kg'lık bir tüfekten 0,02 kg'lık mermi 400 m/s hızla çıkıyor. Tüfeğin geri tepme hızı kaç m/s'dir?
Başlangıç momentumu sıfır: \(0{,}02 \cdot 400 = 4 \cdot v \Rightarrow v = 2\) m/s, merminin tersi yönde.
Hava yastıklarının çarpışmada yolcuyu korumasının nedeni hangisidir?
\(F \Delta t = \Delta p\). Momentum değişimi aynı kalır; süre uzayınca kuvvet küçülür.
Sürtünmesiz yüzeyde 3 m/s hızla giden 1 kg'lık bilye, duran özdeş bir bilyeye merkezi ve esnek olarak çarpıyor. Çarpışmadan sonra bilyelerin hızları nedir?
Eşit kütleli cisimler merkezi esnek çarpışmada hızlarını değiş tokuş eder: çarpan durur, duran 3 m/s ile gider. Hem momentum hem kinetik enerji korunur.
2 kg'lık bir cisim 5 m yükseklikteki sürtünmesiz bir rampanın tepesinden serbest bırakılıyor. Rampanın sonunda yatay ve sürtünmeli bir yüzeye geçen cisim, sürtünme kuvveti 10 N ise kaç metre gidip durur? (\(g = 10\ \text{m/s}^2\))
Tepedeki enerji \(mgh = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100\) J. Sürtünme bu enerjiyi harcar: \(10 \cdot d = 100 \Rightarrow d = 10\) m.
Kuvvet–zaman grafiğinin altında kalan alan neyi verir?
Kuvvet ile sürenin çarpımı itmedir; grafiğin altındaki alan itmeye, yani momentum değişimine eşittir.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.