Belirli İntegral ve Alan

Alan problemi: dikdörtgenlerle yaklaşmak

Kenarları doğru parçası olan bir bölgenin alanını hesaplamayı biliyoruz: dikdörtgen, üçgen, yamuk. Peki \(y = x^2 + 1\) eğrisi, x ekseni, \(x = 0\) ve \(x = 2\) doğruları arasında kalan bölgenin alanı nedir? Üst kenar eğri olduğu için hazır bir formül yoktur. İntegralin çıkış noktası bu sorudur ve fikir çok eskidir: bölgeyi ince dikdörtgenlere ayır, dikdörtgenlerin alanlarını topla, dikdörtgenler inceldikçe toplamın hangi sayıya yaklaştığına bak.

\([0, 2]\) aralığını 4 eşit parçaya bölelim. Her parçanın genişliği \(\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5\) olur ve bölünme noktaları 0; 0,5; 1; 1,5; 2'dir. Her parçanın üzerine bir dikdörtgen kurmak için bir yükseklik seçmemiz gerekir. Fonksiyon bu aralıkta artan olduğundan her parçada en küçük değer sol uçta, en büyük değer sağ uçtadır.

• Yükseklik olarak her parçadaki en küçük değeri seçersek dikdörtgenler eğrinin altında kalır. Bu dikdörtgenlerin alanları toplamına alt toplam denir: \(A = 0{,}5 \cdot (1 + 1{,}25 + 2 + 3{,}25) = 3{,}75\).
• Yükseklik olarak her parçadaki en büyük değeri seçersek dikdörtgenler eğriyi aşar. Bu toplama üst toplam denir: \(\text{Ü} = 0{,}5 \cdot (1{,}25 + 2 + 3{,}25 + 5) = 5{,}75\).

Gerçek alan, eğrinin altındaki dikdörtgenlerin toplamından büyük, eğriyi aşan dikdörtgenlerin toplamından küçüktür: \(3{,}75 < \text{Alan} < 5{,}75\). Parça sayısını artırdıkça iki toplam birbirine yaklaşır. Artan bir fonksiyonda farkı hesaplamak kolaydır, çünkü üst toplamdaki yüksekliklerin çoğu alt toplamda da vardır; geriye yalnızca son ve ilk değer kalır:

Bu örnekte fark \(\frac{2}{n} \cdot (5 - 1) = \frac{8}{n}\)'dir. \(n\) büyüdükçe fark sıfıra gider; alt ve üst toplam aynı sayıya sıkışır. İşte o ortak sayı bölgenin alanıdır ve belirli integral diye adlandırılır:

Her parçadan herhangi bir noktadaki değeri seçerek kurulan toplamlara Riemann toplamı denir. Alt toplam ve üst toplam bu toplamların en küçüğü ve en büyüğüdür; arada kalan bütün seçimler de aynı limite gider. Lise programında bu konu sezgi düzeyinde işlenir: dikdörtgenleri çizip alt ve üst toplamı hesaplamak ve integralin bu ikisi arasında kaldığını görmek yeterlidir.

Belirli integralin tanımı ve işaret

\([a, b]\) aralığında sürekli bir \(f\) fonksiyonu için Riemann toplamlarının, parçalar inceldikçe yaklaştığı sayıya \(f\)'nin \(a\)'dan \(b\)'ye belirli integrali denir ve \(\int_a^b f(x)\,dx\) diye yazılır. \(a\) alt sınır, \(b\) üst sınır, \(f(x)\) integranttır. Sonuç bir sayıdır; içindeki değişkenin adı önemsizdir: \(\int_0^2 x^2\,dx = \int_0^2 t^2\,dt\).

Tanımdaki dikdörtgenlerin alanı yükseklik ile genişliğin çarpımıdır. \(f(x) < 0\) olan yerlerde yükseklik negatif olduğu için o dikdörtgenler toplama negatif katkı yapar. Bu yüzden belirli integral her zaman alan değildir; işaretli alandır:

• Grafiğin x ekseninin üstünde kaldığı bölgeler integrale artı, altında kaldığı bölgeler eksi işaretle girer.
• \(\int_a^b f(x)\,dx = (\text{x ekseninin üstündeki alanlar}) - (\text{x ekseninin altındaki alanlar})\).

Bu şekil, konunun en önemli ayrımını gösteriyor: \(\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = 0\) olduğu hâlde eğri ile x ekseni arasında kalan alan sıfır değil, \(\frac{8}{3}\)'tür. "İntegral" ile "alan" kelimeleri ancak fonksiyon aralık boyunca negatif olmadığında aynı sayıyı verir.

İntegral hesabın temel teoremi

Riemann toplamlarıyla her integrali hesaplamak çok zahmetlidir. İşi kolaylaştıran, integral ile türev arasındaki şaşırtıcı bağdır. \(a\) sabit kalsın ve üst sınır değişsin:

\(F(x)\), \(a\) ile \(x\) arasındaki işaretli alandır. \(x\)'i küçük bir \(h\) kadar artırırsak alana genişliği \(h\), yüksekliği yaklaşık \(f(x)\) olan ince bir şerit eklenir: \(F(x + h) - F(x) \approx f(x) \cdot h\). Her iki tarafı \(h\)'ye bölüp \(h \to 0\) için limit alınca

bulunur. Yani alan fonksiyonunun türevi, fonksiyonun kendisidir. Alan, eğrinin yüksekliği oranında büyür.

Bu sonuçtan hesap kuralı hemen çıkar. \(F\), \(f\)'nin bir ilkel fonksiyonudur. \(f\)'nin herhangi bir başka ilkel fonksiyonu \(G\) ise \(G\) ile \(F\) arasında yalnızca sabit fark vardır: \(G(x) = F(x) + C\). \(F(a) = 0\) olduğundan \(G(a) = C\) ve \(G(b) = F(b) + C\) bulunur. Buradan

elde edilir. Bu eşitliğe integral hesabın temel teoremi denir ve \(\big[G(x)\big]_a^b\) biçiminde de yazılır. Belirli integral hesaplamak için önce belirsiz integralle bir ilkel fonksiyon bulunur, sonra üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değer çıkarılır. İntegral sabiti \(C\) bu farkta sadeleştiği için yazılmaz.

Örneğin \(\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2 = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3}\) olur; dikdörtgenlerle sıkıştırdığımız sayı budur.

Temel teoremin bir sonucu da türevin integralidir. \(f\) türevli ve \(f'\) sürekliyse \(f\), \(f'\)'nin ilkel fonksiyonudur; bu yüzden

olur. Bir büyüklüğün değişim hızının integrali, o büyüklüğün toplam değişimidir. Hızın integrali yer değiştirmeyi, bir deponun dolma hızının integrali depodaki su miktarının değişimini verir.

Belirli integralin özellikleri

Aşağıdaki özellikler hem alan sezgisinden hem de \(F(b) - F(a)\) kuralından kolayca görülür. \(f\) ve \(g\), ilgili aralıklarda sürekli olsun.

• Sabit çarpan ve toplam: \(\int_a^b \big(k f(x) \pm g(x)\big)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx\). Sabit bir sayının integrali dikdörtgen alanıdır: \(\int_a^b c\,dx = c(b - a)\).
• Eşit sınırlar: \(\int_a^a f(x)\,dx = 0\); genişliği sıfır olan bölgenin alanı yoktur.
• Sınırların yer değiştirmesi: \(\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx\), çünkü \(F(a) - F(b) = -\big(F(b) - F(a)\big)\).
• Aralık bölme: Her \(a\), \(b\), \(c\) için \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\). \(c\), \(a\) ile \(b\) arasında olmak zorunda değildir; \(F(c)\) terimleri birbirini götürür.
• Karşılaştırma: \(a < b\) olmak üzere \([a, b]\) aralığında \(f(x) \geq g(x)\) ise \(\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x)\,dx\)'tir. Özel olarak \(f \geq 0\) ise integral negatif olamaz.

Simetrik aralıkta tek ve çift fonksiyonlar

\(f(-x) = f(x)\) olan fonksiyonlara çift, \(f(-x) = -f(x)\) olan fonksiyonlara tek fonksiyon dendiğini biliyoruz. Çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre, tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Bu simetri \([-a, a]\) gibi simetrik aralıklarda hesabı çok kısaltır:

• \(f\) çift ise sağdaki ve soldaki bölgeler aynıdır: \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\).
• \(f\) tek ise sağdaki bölge x ekseninin bir yanındayken soldaki eşi öbür yanındadır; katkılar birbirini götürür: \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\).

Polinomlarda bu, tek dereceli terimlerin simetrik aralıkta sıfır verdiği anlamına gelir. Örneğin \(\int_{-1}^{1} (x^3 - 5x + 3x^2 + 2)\,dx\) hesabında \(x^3\) ve \(-5x\) terimleri sıfır verir; sonuç \(2\int_0^1 (3x^2 + 2)\,dx = 2 \cdot 3 = 6\)'dır. \(\sin x\) tek, \(\cos x\) çift olduğundan \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\,dx = 0\) olur.

Tek fonksiyonda integral sıfırdır ama alan sıfır değildir: \(|f|\) çift fonksiyon olduğundan \(\int_{-a}^{a} |f(x)|\,dx = 2\int_0^a |f(x)|\,dx\) olur.

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların integrali

Parçalı tanımlı bir fonksiyonun integralinde kural, aralığı kuralın değiştiği noktalardan bölmektir. Her parçada o parçanın kuralı kullanılır ve sonuçlar toplanır. Örneğin \(x < 1\) için \(f(x) = 2x\), \(x \geq 1\) için \(f(x) = 3\) olsun:

Fonksiyonun birleşme noktasında sıçrama yapması ya da tek bir noktadaki değerinin farklı olması integrali değiştirmez; tek bir noktanın üzerindeki "dikdörtgenin" genişliği sıfırdır.

Mutlak değer de gizli bir parçalı fonksiyondur. \(\int_a^b |f(x)|\,dx\) hesabında önce \(f\)'nin sıfır olduğu noktalar bulunur, aralık bu noktalardan bölünür ve \(f\)'nin negatif olduğu parçalarda işaret değiştirilir:

Grafikte bu integral, \(y = |x - 2|\) çizgisinin altındaki iki üçgenin alanları toplamıdır: \(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2}\). Doğrusal parçalardan oluşan grafiklerde integral çoğu zaman bu şekilde üçgen, dikdörtgen ve yamuk alanlarıyla hesaplanır; ilkel fonksiyon bulmaya gerek yoktur.

Üst sınırı değişken olan integral ve türevi

Temel teoremin ilk yarısı \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\) idi. Üst sınır \(x\) yerine \(g(x)\) gibi bir fonksiyon olursa zincir kuralı devreye girer. \(F\), \(f\)'nin bir ilkel fonksiyonu olsun: \(\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = F(g(x)) - F(a)\). Türev alınca \(F(a)\) sabittir ve kaybolur:

Alt sınır da değişkense iki sınırın katkısı ayrı ayrı yazılır, alt sınırınki eksi işaretle girer:

Örneğin \(F(x) = \int_1^{x^2} \sqrt{t}\,dt\) ise \(F'(x) = \sqrt{x^2} \cdot 2x\) olur; \(x > 0\) için \(F'(x) = 2x^2\)'dir. Bu türev kuralının iki önemli kullanımı vardır:

• \(\int_a^x f(t)\,dt = h(x)\) gibi bir eşitlik verildiğinde iki tarafın türevi alınarak \(f(x) = h'(x)\) bulunur. \(x = a\) yazmak ise \(h(a) = 0\) koşulunu verir, çünkü eşit sınırlı integral sıfırdır.
• \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu yerler \(f\)'nin işaretinden okunur: \(f > 0\) olan aralıkta \(F\) artar, \(f < 0\) olan aralıkta azalır. \(F\)'nin yerel ekstremumları \(f\)'nin işaret değiştirdiği noktalardadır. Grafiği verilen bir \(f\) için \(F\)'nin en büyük değeri, alanlar toplanıp çıkarılarak bulunur.

Grafikle verilen fonksiyonda integral

AYT'de belirli integral sorularının önemli bir kısmında fonksiyonun kuralı verilmez; grafik ve bazı bölgelerin alanları verilir. Bu sorularda yapılacak iş, istenen integrali işaretli alanların toplamı olarak yazmaktır.

Bu grafik için \(\int_{-2}^{6} f(x)\,dx = 6 - 4 + 2 = 4\) ve \(\int_{-2}^{6} |f(x)|\,dx = 6 + 4 + 2 = 12\)'dir. \(\int_1^4 f(x)\,dx = -4\) olur; alt sınır üst sınırdan büyük olursa işaret bir kez daha değişir: \(\int_4^1 f(x)\,dx = 4\).

Grafik sorularında karşılaşılan başka kalıplar:

• Doğrusal parçalı grafik: Alanlar üçgen ve yamuk formülleriyle hesaplanır; x ekseninin altındakiler eksi işaretle yazılır.
• Türevin grafiği: \(f'\)'nin grafiği verilip \(f(b) - f(a)\) soruluyorsa bu fark, \(f'\) grafiği altındaki işaretli alandır.
• Değişken değiştirme: \(\int f(2x)\,dx\) ya da \(\int f(x + 1)\,dx\) gibi integraller \(u = 2x\), \(u = x + 1\) dönüşümüyle grafikteki bölgelere çevrilir. \(u = 2x\) dönüşümünde \(dx = \frac{du}{2}\) olduğundan integralin değeri yarıya iner, sınırlar da \(u\) cinsinden yeniden yazılır.

Eğri ile x ekseni arasındaki alan

\(f\) ile x ekseni ve \(x = a\), \(x = b\) doğruları arasında kalan bölgenin alanı \(\int_a^b |f(x)|\,dx\)'tir. Uygulamada şu sırayla gidilir:

1. \(f(x) = 0\) denklemini çözerek grafiğin x eksenini kestiği noktaları bul.
2. \([a, b]\) aralığını bu noktalardan böl ve her parçada \(f\)'nin işaretini belirle.
3. Her parçanın integralini ayrı hesapla; negatif çıkanların mutlak değerini al ve topla.

Sınırlar verilmemişse ("eğri ile x ekseni arasında kalan kapalı bölge") sınırlar grafiğin x eksenini kestiği noktalardır. Örneğin \(y = 4 - x^2\) parabolü x eksenini \(-2\) ve 2'de keser; aradaki bölgenin alanı \(\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\)'tür.

İki eğri arasındaki alan

\([a, b]\) aralığında \(f(x) \geq g(x)\) ise iki eğri arasında kalan bölgenin alanı

ile bulunur. Bunu ince düşey şeritlerle düşünmek kolaydır: \(x\) noktasındaki şeridin yüksekliği "üstteki eğri eksi alttaki eğri", yani \(f(x) - g(x)\)'tir. Bu fark, eğrilerin x ekseninin üstünde ya da altında olmasından etkilenmez; iki eğri birlikte aşağı kaysa da fark aynı kalır.

Sınırlar çoğu zaman verilmez; kesişim noktaları \(f(x) = g(x)\) denkleminden bulunur. Kesişim noktaları arasında hangi eğrinin üstte olduğu değişebilir; bu durumda her aralık ayrı hesaplanır. Şekildeki örnekte \(S_1 = \int_{-2}^{0} \big((x^3 - 3x) - x\big)\,dx = 4\) ve \(S_2 = \int_0^2 \big(x - (x^3 - 3x)\big)\,dx = 4\) olduğundan toplam alan 8'dir. Üst-alt ayrımı yapmadan \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x)\,dx\) yazılsaydı sonuç 0 çıkardı.

olur; burada \(k\), fark fonksiyonundaki \(x^2\) katsayısının mutlak değeridir. Örneğin \(y = x^2\) ile \(y = x + 2\) arasında fark \(-x^2 + x + 2 = -(x + 1)(x - 2)\)'dir; alan \(\frac{1 \cdot 3^3}{6} = \frac{9}{2}\) olur. Bu kısayol cevabı denetlemek için çok kullanışlıdır.

y eksenine göre alan

Bazı bölgelerde düşey şeritler yerine yatay şeritler kullanmak işi kolaylaştırır. Bölge \(x = g(y)\) eğrisi, y ekseni ve \(y = c\), \(y = d\) doğruları arasında kalıyorsa ve \(g(y) \geq 0\) ise alan

olur. Burada şeridin uzunluğu \(g(y)\), kalınlığı \(dy\)'dir. İki eğri arasında ise "sağdaki eksi soldaki" yazılır.

Aynı alan x'e göre de bulunabilir: \(2 \times 4\) boyutlu dikdörtgenden eğrinin altındaki alanı çıkarmak gerekir, \(8 - \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}\). İki yol aynı sonucu verir, ama bölgenin sağ sınırı birden fazla eğriden oluşuyorsa ya da eğri \(x\) cinsinden daha kolay yazılıyorsa y'ye göre integral çok zaman kazandırır.