AYT 12. sınıf · 12. konu

Belirsiz İntegral

Ters türev ve integral sabiti, belirsiz integralin özellikleri, temel integral kuralları, değişken değiştirme, türevi ve bir noktası verilen fonksiyon, hızdan konuma geçiş.

Bu konuda öğreneceklerin

Ters türev (ilkel fonksiyon) kavramını ve integral sabiti $C$'nin neden ortaya çıktığını
Belirsiz integralin özelliklerini: türev ile integralin birbirini nasıl götürdüğünü, sabit çarpan ve toplam kuralını
Kuvvet, $\frac{1}{x}$, üstel ve trigonometrik fonksiyonların integral kurallarını ve integrali almadan önce ifadeyi sadeleştirmeyi
Değişken değiştirme yöntemini; $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$ ve $\int f'(x)\,e^{f(x)}\,dx$ kalıplarını tanımayı
Türevi ve bir noktası verilen fonksiyonu, eğimi verilen eğriyi ve ikinci türevi verilen fonksiyonu bulmayı
Hız ya da ivme fonksiyonundan konum fonksiyonuna geçmeyi

Türevi tersinden düşünmek: ters türev

Türev konusunda hep aynı soruyu sorduk: fonksiyon verildi, türevi nedir? Şimdi soruyu ters çeviriyoruz: türevi $2x$ olan fonksiyon hangisidir? Biraz düşününce $x^2$ aklımıza gelir, çünkü $(x^2)' = 2x$. Bir $f$ fonksiyonu için türevi $f$ olan her $F$ fonksiyonuna $f$'nin bir ters türevi ya da ilkel fonksiyonu denir:

$$ F'(x) = f(x) $$

Ama $x^2$ tek cevap değildir. $x^2 + 5$, $x^2 - 3$, $x^2 + \sqrt{2}$ fonksiyonlarının da türevi $2x$'tir; çünkü sabitin türevi sıfırdır. Demek ki bir fonksiyonun tek bir ters türevi yoktur, sonsuz tane ters türevi vardır. Bunların hepsini tek bir yazımla toplamak için belirsiz integral gösterimini kullanırız:

$$ \int f(x)\,dx = F(x) + C $$

Burada $\int$ işaretine integral işareti, $f(x)$'e integrali alınan fonksiyon (integrand), $dx$'e de integralin hangi değişkene göre alındığını gösteren diferansiyel denir. $C$ ise integral sabitidir ve herhangi bir gerçek sayı olabilir. "Belirsiz" sözcüğü bu sabitten gelir: sonuç tek bir fonksiyon değil, bir fonksiyon ailesidir.

Peki aynı fonksiyonun iki ters türevi arasındaki fark gerçekten hep sabit midir, yoksa başka bir şey de olabilir mi? $F$ ve $G$, $f$'nin iki ters türevi olsun. O zaman $(G - F)' = f - f = 0$ olur. Bir aralıkta türevi her yerde sıfır olan fonksiyonun grafiğinin hiçbir yerde eğimi yoktur, yani fonksiyon sabittir. Bu yüzden $G(x) = F(x) + C$ biçimindedir. Tek bir ters türev bulmak, hepsini bulmak demektir.

İntegral sabiti C ve eğri ailesi

$\int 2x\,dx = x^2 + C$ sonucunun grafikteki anlamı çok açıktır: $y = x^2 + C$ eğrileri, $y = x^2$ parabolünün yukarı ya da aşağı ötelenmiş kopyalarıdır. Hepsinin aynı $x$ değerindeki eğimi aynıdır, çünkü hepsinin türevi $2x$'tir.

Ters türev ailesi — $y = x^2 + C$ eğrileri birbirinin düşey ötelemesidir. $x = 1$ doğrusunu kestikleri noktalarda çizilen teğetler paraleldir; hepsinin eğimi $2 \cdot 1 = 2$'dir.

Bu aileden tek bir eğri seçmek için ek bir bilgi gerekir. "Eğri $(1, 4)$ noktasından geçiyor" bilgisi verilirse $1 + C = 4$ olur ve $C = 3$ bulunur; aranan eğri $y = x^2 + 3$'tür. Bu tür ek bilgiye başlangıç koşulu denir. AYT'de integral sorularının büyük kısmı tam olarak bu iki adımdan oluşur: önce integrali al, sonra $C$'yi verilen koşuldan bul.

Belirsiz integralin özellikleri

İntegral ve türev birbirinin tersi gibi çalışır. Bunu iki eşitlikle yazarız:

$$ \frac{d}{dx}\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x), \qquad \int f'(x)\,dx = f(x) + C $$

İlkinde önce integral alınıp sonra türev alındığı için sabit türevde kaybolur ve geriye tam olarak $f(x)$ kalır. İkincisinde ise önce türev alınır, bu sırada $f$'nin sabit terimi kaybolur; integral onu geri getiremez, yalnızca "bir sabit vardı" diyebilir. Bu yüzden ikinci eşitlikte $C$ bulunur. Aynı fikir diferansiyel gösterimiyle $d\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x)\,dx$ ve $\int d\big(f(x)\big) = f(x) + C$ biçiminde de yazılır.

Türevin doğrusal olmasından iki kural daha çıkar. $k$ bir sabit olmak üzere

$$ \int k \cdot f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx, \qquad \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx $$

Yani sabit çarpan integralin dışına alınabilir, toplam ve fark terim terim integrallenir. Bu kuralların doğruluğu türev alınarak hemen görülür: sağ taraftaki ifadenin türevi sol taraftaki integrandı verir.

Çarpım ve bölüm için böyle bir kural yoktur. $\int x \cdot x\,dx$ integralini $\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{2}$ diye hesaplamak $\frac{x^4}{4}$ verir, oysa doğru sonuç $\frac{x^3}{3} + C$'dir. Çarpımlı ya da bölümlü bir integrand gördüğünde ya çarpımı açıp terimlere ayırırsın ya da bir sonraki bölümlerde göreceğimiz değişken değiştirmeyi kullanırsın.

Temel integral kuralları

Her türev kuralı, ters çevrildiğinde bir integral kuralı verir. En çok kullanılanı kuvvet kuralıdır: $\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$ olduğundan

$$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1) $$

Kural "üssü bir artır, yeni üsse böl" diye akılda kalır ve $n$ kesirli ya da negatif olduğunda da geçerlidir. Örneğin $\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$ ve $\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ olur. Sabit bir sayının integrali de bu kuralın özel hâlidir: $\int 5\,dx = 5x + C$.

$n = -1$ için kural paydada sıfır verir; bu durumu logaritma kurtarır. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ olduğunu biliyoruz. $x < 0$ iken de $\big(\ln(-x)\big)' = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$ olur. İki durum mutlak değerle birleştirilir:

$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C $$

Üstel ve trigonometrik fonksiyonların türevleri de ters çevrilerek şu tablo elde edilir. Her satırın sağındaki ifadenin türevini alarak kuralı kendin doğrulayabilirsin.

İntegral	Sonuç	Hangi türevden?
$\int e^x\,dx$	$e^x + C$	$(e^x)' = e^x$
$\int a^x\,dx$	$\frac{a^x}{\ln a} + C$	$(a^x)' = a^x \ln a$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x + C$	$(\sin x)' = \cos x$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + C$	$(\cos x)' = -\sin x$
$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$	$\tan x + C$	$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx$	$-\cot x + C$	$(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

$a^x$ kuralında $a > 0$ ve $a \neq 1$ olmalıdır. Trigonometrik kurallarda $x$ radyan cinsindendir. En sık karışan iki satır sinüs ve kosinüs satırlarıdır: $\sin x$'in integralinde eksi işareti vardır, $\cos x$'inkinde yoktur. "Türevi alınca eksi çıkan, integrali alınca da eksi çıkar" diye düşünmek işe yarar.

Önce sadeleştir, sonra integral al

Çarpım ve bölüm için kural olmadığından, karmaşık görünen bir integrand önce toplam hâline getirilir. Üç yaygın yol vardır.

Çarpımı açmak: $\int (x + 1)(x - 3)\,dx = \int (x^2 - 2x - 3)\,dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + C$.
Kesri terimlere bölmek: $\int \frac{x^3 - 4x + 2}{x}\,dx = \int \left(x^2 - 4 + \frac{2}{x}\right) dx = \frac{x^3}{3} - 4x + 2\ln|x| + C$.
Özdeşlik kullanmak: $\int \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x}\,dx$ integralinde $\cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$ yazılırsa integrand $\cos x + \sin x$ olur ve sonuç $\sin x - \cos x + C$'dir.

Köklü ifadeleri üslü yazmak da bu hazırlığın parçasıdır: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}$, $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$. Kuvvet kuralı ancak bu biçimde uygulanabilir.

Değişken değiştirme yöntemi

Bazı integrallerde integrand, bir bileşke fonksiyonun türevine benzer. Zincir kuralına göre $\big(F(g(x))\big)' = F'(g(x)) \cdot g'(x)$ olduğundan

$$ \int f\big(g(x)\big) \cdot g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C $$

yazılabilir. Uygulamada bunu bir yeni değişkenle yaparız: $u = g(x)$ dersek $du = g'(x)\,dx$ olur ve integral $\int f(u)\,du$ hâline gelir. Bu integrali alır, sonra $u$ yerine yeniden $g(x)$ yazarız.

Örnek: $\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$. $u = x^2 + 1$ seçilirse $du = 2x\,dx$ ve integral $\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$ olur. Dikkat edersen $(x^2 + 1)^3$ ifadesini açıp altı terimle uğraşmadık; yöntem bu zahmetten kurtarır.

Yöntemin işe yaraması için integrandda $g'(x)$'in bir sabit katının bulunması yeterlidir. $\int x(x^2 + 1)^3\,dx$ integralinde $du = 2x\,dx$ olduğundan $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$ yazılır ve sonuç $\frac{(x^2 + 1)^4}{8} + C$ olur. İç fonksiyon doğrusal olduğunda bu düşünce kısa bir kurala dönüşür: $\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$. Buna göre $\int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$, $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$ ve $\int (2x - 1)^5\,dx = \frac{(2x - 1)^6}{12} + C$ olur.

Değişken değiştirmenin AYT'de en çok karşılaşılan iki kalıbı şunlardır:

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C, \qquad \int f'(x)\,e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C $$

İlkinde $u = f(x)$ denince integral $\int \frac{du}{u}$ olur; ikincisinde $\int e^u\,du$ olur. Bir kesir gördüğünde önce paydanın türevine bak: pay, paydanın türevi ya da onun bir sabit katıysa sonuç bir logaritmadır. Örneğin $\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln|\sin x| + C$ ve $\int \frac{3x^2}{x^3 + 8}\,dx = \ln|x^3 + 8| + C$. $\int \tan x\,dx$ integrali de bu kalıptandır: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ve payda $\cos x$'in türevi $-\sin x$ olduğundan sonuç $-\ln|\cos x| + C$'dir.

Türevi ve bir noktası verilen fonksiyon

"$f'(x) = 3x^2 + 4x$ ve $f(1) = 2$ ise $f(2)$ kaçtır?" tipi sorular integralin en temel uygulamasıdır. Çözüm hep üç adımdır:

$f(x) = \int f'(x)\,dx$ integralini $C$ ile birlikte yaz: $f(x) = x^3 + 2x^2 + C$.
Verilen noktayı yerine koyup $C$'yi bul: $f(1) = 1 + 2 + C = 2$, yani $C = -1$.
İstenen değeri hesapla: $f(2) = 8 + 8 - 1 = 15$.

Koşul farklı biçimlerde verilebilir: "grafik $(0, 5)$ noktasından geçer" $f(0) = 5$ demektir; "grafik $y$-eksenini 5'te keser" de aynı bilgidir. "Fonksiyonun yerel minimum değeri 2'dir" bilgisi ise iki şey söyler: minimumun olduğu $x = a$ noktasında hem $f'(a) = 0$ hem de $f(a) = 2$'dir.

Eğimi verilen eğri

Bir eğrinin her noktasındaki teğetinin eğimi o noktadaki türevdir. Bu yüzden "$(x, y)$ noktasındaki teğetinin eğimi $x$ olan eğri" demek $y' = x$ demektir. Bu bilgiye uyan sonsuz eğri vardır; hepsi $y = \frac{x^2}{2} + C$ biçimindedir. Aşağıdaki şekilde düzlemin pek çok noktasına, o noktadaki eğim kadar eğik kısa çizgiler çizilmiştir. Çözüm eğrileri bu çizgilere her noktada teğet olacak biçimde ilerler.

Eğim alanı — $y' = x$ için kısa çizgiler her noktadaki eğimi gösterir: $x = 0$ yakınında yataya yakın, $|x|$ büyüdükçe dikleşir. Kesikli eğriler aynı ailenin başka üyeleridir; $(2, 1)$ noktasından geçen tek çözüm $y = \frac{x^2}{2} - 1$'dir.

Şekilde kalın çizilen eğriyi bulmak için $(2, 1)$ noktası kullanılır: $\frac{4}{2} + C = 1$ eşitliğinden $C = -1$ olur. Eğimi verilen eğri sorularında da işlem aynıdır: integral al, verilen noktayla sabiti bul. Soruda nokta açıkça yazılmayıp şekilde gösterilebilir ya da "eğri $x$-eksenine $x = 2$ noktasında teğettir" gibi dolaylı verilebilir. Teğet olma bilgisi hem $y(2) = 0$ hem de $y'(2) = 0$ demektir.

İkinci türevi verilen fonksiyon

$f''(x)$ verildiğinde iki kez integral almak gerekir ve her integral bir sabit getirir:

$$ f'(x) = \int f''(x)\,dx = \dots + C_1, \qquad f(x) = \int f'(x)\,dx = \dots + C_1 x + C_2 $$

İki bilinmeyen sabit olduğu için soruda iki koşul bulunur. Koşulların hangisinin hangi sabiti belirlediğine dikkat et: $f'$ hakkındaki bir bilgi (eğim, ekstremum noktası, teğet doğrusunun eğimi) $C_1$'i, $f$ hakkındaki bir bilgi (fonksiyon değeri, grafiğin geçtiği nokta) $C_2$'yi verir. Sık yapılan hata $C_1$'i bulmadan ikinci integrale geçip onu $C_2$ ile karıştırmaktır. Önce $f'$'yi tamamen belirle, sonra ikinci integrali al.

Bir eğrinin bir noktadaki teğet doğrusu da iki koşulu birden verir. $y = 3x - 1$ doğrusu $f$'nin grafiğine $x = 1$ noktasında teğetse, teğetin eğimi $f'(1) = 3$, değme noktasının ordinatı da $f(1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$'dir.

Hızdan konuma

Doğrusal bir yolda hareket eden cismin konumu $x(t)$ ise hızı $v(t) = x'(t)$, ivmesi $a(t) = v'(t)$'dir. İntegral bu zinciri geriye doğru yürür:

$$ v(t) = \int a(t)\,dt, \qquad x(t) = \int v(t)\,dt $$

Sabitlerin fiziksel anlamı vardır: hızdan konuma geçerken çıkan sabit başlangıç konumu $x(0)$, ivmeden hıza geçerken çıkan sabit başlangıç hızı $v(0)$'dır. Cismin durduğu anlar $v(t) = 0$ denkleminin kökleridir; hızın işaret değiştirdiği anlarda cisim yön değiştirir. Bu konunun fizikteki karşılığı, sabit ivmeli hareket formüllerinin nereden geldiğidir: $a$ sabitse $v = at + v_0$ ve $x = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0$ bulunur.

ÖSYM bu konuyu nasıl soruyor? AYT'de belirsiz integral genellikle bir ya da iki soruyla gelir ve sorular uzun hesap yerine kavrayış ister.

"$f'(x) = \dots$ ve $f(a) = b$ ise $f(c)$ kaçtır?" kalıbı en yaygın olanıdır; bazen türev yerine $f''$ ve iki koşul verilir.
Değişken değiştirme soruları çoğunlukla seçenekleri ifade olan sorulardır; seçeneklerin türevini almak hızlı bir kontrol yoludur.
Türevin grafiği verilip fonksiyonla ilgili bir değer istenebilir. Bu durumda grafikten $f'$'nin denklemi yazılır, ardından integral alınır.
"$\int f(x)\,dx = x^3 - 2x + C$ ise $f(2)$ kaçtır?" gibi kısa sorularda integral değil türev alınır.
Teğet doğrusu, yerel ekstremum ya da eğrinin eksenlere değmesi gibi türev bilgileri integral sorusunun içine yerleştirilir.

Formüller

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \iff F'(x) = f(x)$$

Ters türev ve integral sabiti

$$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x)$$

Önce integral sonra türev: sabit kaybolur

$$\int f'(x)\,dx = f(x) + C$$

Önce türev sonra integral: sabit gelir

$$\int [k f(x) \pm g(x)]\,dx = k\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$$

Sabit çarpan ve toplam kuralı

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

Kuvvet kuralı

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

$n = -1$ durumu

$$\int e^x\,dx = e^x + C,\ \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

Üstel fonksiyonlar ($a > 0,\ a \neq 1$)

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\ \int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

Sinüs ve kosinüs

$$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C,\ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$$

$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$$

Değişken değiştirme: $u = g(x),\ du = g'(x)\,dx$

$$\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$$

İç fonksiyon doğrusal ise

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$$

Pay, paydanın türevi

$$\int f'(x)\,e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C$$

Üsteki ifadenin türevi çarpan

$$x(t) = \int v(t)\,dt,\ v(t) = \int a(t)\,dt$$

Sabitler $x(0)$ ve $v(0)$

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kuvvet kuralını terim terim uygulamak

$\int \left(6x^2 + \frac{4}{x^3} - 3\sqrt{x}\right) dx$ integralini hesaplayınız.

Örnek 2Bölümü sadeleştirerek integral almak

$\int \frac{(x + 2)^2}{x}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Örnek 3Parantezin içini u seçmek

$\int x(x^2 + 3)^4\,dx$ integralini hesaplayınız.

Örnek 4Pay, paydanın türevinin katı

$\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Örnek 5Üstel kalıpta işaret

$\int \sin x \cdot e^{\cos x}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Örnek 6Türevi ve bir noktası verilen fonksiyon

$f'(x) = 6x^2 - 2x$ olan $f$ fonksiyonunun grafiği $(1, 4)$ noktasından geçtiğine göre $f(-1)$ kaçtır?

Örnek 7Hızdan konuma

Doğrusal bir yolda hareket eden bir cismin $t$. saniyedeki hızı $v(t) = 3t^2 - 18t + 24$ metre/saniye, $t = 0$ anındaki konumu 5 metredir. Cisim ilk kez durduğu anda kaçıncı metrededir?

Hız grafiği — $v(t) = 3(t - 2)(t - 4)$: cisim $t = 2$ ve $t = 4$ anlarında durur, bu iki an arasında geri gider.

Örnek 8Eğimi verilen eğri

Her $(x, y)$ noktasındaki teğetinin eğimi $3x^2 - 6x$ olan bir eğri, yerel minimum noktasında $x$-eksenine teğettir. Bu eğrinin $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Örnek 9İkinci türevden fonksiyona

$f''(x) = 6x - 2$ olan $f$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasında yerel ekstremumu vardır ve $f(0) = -1$'dir. Buna göre $f(2)$ kaçtır?

Sık yapılan hatalar

İntegral sabitini yazmamak ya da yazıp sonra unutmak; $C$'yi bulmadan $f(c)$ hesaplamak en sık rastlanan çeldiriciyi verir.
$\int \sin x\,dx$ sonucunu $\cos x + C$ yazmak; doğrusu $-\cos x + C$'dir. $\cos x$'in integralinde ise eksi yoktur.
$\int \frac{1}{x}\,dx$ için kuvvet kuralını uygulamaya çalışıp $\frac{x^0}{0}$ gibi anlamsız bir ifade yazmak; ya da mutlak değeri unutmak.
Çarpımın integralini integrallerin çarpımı sanmak: $\int f \cdot g\,dx \neq \int f\,dx \cdot \int g\,dx$. Önce çarpımı aç ya da değişken değiştir.
Değişken değiştirmede $dx$'i $du$ cinsinden yazmayı atlamak; $\int e^{3x}\,dx$ sonucunu $e^{3x} + C$ yazıp $\frac{1}{3}$ katsayısını kaybetmek.
$\int a^x\,dx$ için $a^x \ln a$ yazmak; bu türevdir. İntegralde $\ln a$'ya bölünür.
$f''$ verilen sorularda iki sabiti tek sabit gibi düşünmek ya da $f'$ hakkındaki koşulu $f$'ye uygulamak.
Hız sorularında "konum" ile "alınan yolu" karıştırmak; cisim yön değiştiriyorsa yol, konum farklarının mutlak değerlerinin toplamıdır.

Günlük hayatta

Bir telefonun ivmeölçeri yalnızca ivmeyi ölçer; hız ve konum, bu ölçümlerden geriye doğru integral alınarak tahmin edilir. Bu yönteme ataletsel seyrüsefer denir ve uçaklarda, denizaltılarda, uzay araçlarında uydu sinyalinin olmadığı yerlerde kullanılır. Yöntemin zayıf noktası tam olarak integral sabitidir: ivmeden hıza, hızdan konuma geçerken her adımda bir başlangıç değeri gerekir ve ölçümdeki küçük hatalar integral alındıkça birikir. Bu yüzden ataletsel sistemler belirli aralıklarla GPS gibi dış bir kaynakla düzeltilir; bu düzeltme, matematikteki "başlangıç koşulunu yeniden vermek" işinin ta kendisidir.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

$\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

2Kolay

$\frac{d}{dx}\left(\int (x^3 + 2x)\,dx\right)$ ifadesinin $x = 2$ için değeri kaçtır?

3Kolay

$\int \left(\frac{3}{x} + 2e^x - \cos x\right) dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

4Kolay

$f$ fonksiyonunun bir ters türevi $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ olduğuna göre $f(2)$ kaçtır?

5Kolay

$f'(x) = 6x - 4$ ve $f(0) = 5$ olduğuna göre $f(1)$ kaçtır?

6Kolay

$\int 3^x\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

7Orta

$x > 0$ olmak üzere $\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

8Orta

$\int x^2 (x^3 - 1)^5\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

9Orta

$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 3}\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

10Orta

$f$ ve $g$ gerçek sayılarda sürekli fonksiyonlar olmak üzere

I.$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x)$
II.$\int f(x)\,g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx$
III.$\int [3f(x) - g(x)]\,dx = 3\int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

11Orta

$\int \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir? ($\cos x \neq 1$)

12Orta

$\int \frac{\cos 2x}{\sin x + \cos x}\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir? ($\sin x + \cos x \neq 0$)

13Orta

Her $(x, y)$ noktasındaki teğetinin eğimi $2x - 4$ olan bir eğri $(1, 2)$ noktasından geçmektedir. Bu eğrinin $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

14Orta

$f(x) = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx$ ve $f(0) = 1$ olduğuna göre $f(4)$ kaçtır?

15Orta

$F(x) = \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ ve $F(0) = 2$ olduğuna göre $F\left(\sqrt{e - 1}\right)$ kaçtır?

16Orta

$x > 0$ olmak üzere $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

17Orta

$\int \frac{dx}{(2x + 1)^3}$ integrali aşağıdakilerden hangisidir?

18Orta

$x > 1$ olmak üzere

I.$\frac{(\ln x)^2}{2}$
II.$\frac{(\ln x)^2 + 1}{2}$
III.$\ln(\ln x)$

fonksiyonlarından hangileri $\frac{\ln x}{x}$ fonksiyonunun bir ters türevidir?

19Zor

$f''(x) = 12x$, $f'(1) = 4$ ve $f(1) = 3$ olduğuna göre $f(2)$ kaçtır?

20Zor

$y = f(x)$ eğrisine $x = 1$ apsisli noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemi $y = 3x - 1$'dir. $f''(x) = 6x$ olduğuna göre $f(2)$ kaçtır?

21Zor

Her $(x, y)$ noktasındaki teğetinin eğimi $3x^2 - 3$ olan $y = f(x)$ eğrisi aşağıda verilmiştir. Eğri $A(2, 3)$ noktasından geçmektedir ve $T$ noktası eğrinin yerel minimum noktasıdır.

Buna göre $f$ fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

22Zor

$f$ fonksiyonunun türevi olan $y = f'(x)$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki doğrudur.

$f$ fonksiyonunun yerel minimum değeri 1 olduğuna göre $f(3)$ kaçtır?

23Zor

Doğrusal bir yolda hareket eden bir cismin $t$. saniyedeki ivmesi $a(t) = 6t - 12$ $\text{m/s}^2$, $t = 0$ anındaki hızı 9 metre/saniye ve konumu 0'dır. Cisim ilk kez durduğu anda başlangıç noktasından kaç metre uzaktadır?

24Zor

$F$ ve $G$, aynı $f$ fonksiyonunun iki ters türevidir ve $F(0) = 1$, $G(0) = 3$'tür. Buna göre

I.$F(1) = G(1)$
II.Her $x$ için $G(x) - F(x) = 2$
III.$\big(F(x) \cdot G(x)\big)' = 2f(x) \cdot F(x) + 2f(x)$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

25Zor

$f'(x) = 2x\,e^{x^2 - 1}$ ve $f(1) = 3$ olduğuna göre $f(0)$ kaçtır?

26Zor

$f''(x) = 6x - 6$ olan $f$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasındaki yerel minimum değeri $-3$'tür. Buna göre $f$'nin yerel maksimum değeri kaçtır?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.

İntegral	Sonuç	Hangi türevden?
\(\int e^x\,dx\)	\(e^x + C\)	\((e^x)' = e^x\)
\(\int a^x\,dx\)	\(\frac{a^x}{\ln a} + C\)	\((a^x)' = a^x \ln a\)
\(\int \cos x\,dx\)	\(\sin x + C\)	\((\sin x)' = \cos x\)
\(\int \sin x\,dx\)	\(-\cos x + C\)	\((\cos x)' = -\sin x\)
\(\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx\)	\(\tan x + C\)	\((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\)
\(\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx\)	\(-\cot x + C\)	\((\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\)