Trigonometri II: Toplam Formülleri, Denklemler ve Üçgende Trigonometri

Toplam formülleri: sin(a + b) neden sin a + sin b değildir?

Trigonometriye yeni başlayan pek çok öğrenci, parantez açar gibi \(\sin(a + b) = \sin a + \sin b\) yazar. Bir sayı denemesi bunun yanlış olduğunu hemen gösterir: \(a = b = 30°\) için sol taraf \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\), sağ taraf ise \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) olur. Sinüs bir fonksiyondur, bir çarpan değildir; içindeki toplamı dağıtamazsın. Doğru eşitlikler şunlardır:

İşaretlere dikkat: sinüste işaret korunur, kosinüste ters döner. "Sinüs karışık, kosinüs düzenli" diye hatırlanabilir: sinüs formülünde sin ve cos karışık çarpılır (sin·cos + cos·sin), kosinüs formülünde aynı fonksiyonlar yan yana gelir (cos·cos, sin·sin).

Formülün nereden geldiğini aşağıdaki şekil gösteriyor. Hipotenüsü 1 olan OP doğru parçası x ekseniyle \(a + b\) açısı yapıyor. P'den OQ'ya dikme inince oluşan OQP dik üçgeninde \(|OQ| = \cos b\) ve \(|QP| = \sin b\) olur. Bu iki parçayı bir kez daha yatay ve düşey bileşenlerine ayırırsak P noktasının yüksekliği iki parçanın toplamı, yataydaki uzaklığı ise iki parçanın farkı olarak çıkar.

Şekil yalnızca dar açılar için bir ispattır. Formülün her gerçek sayı için doğru olduğu birim çemberle gösterilir: \(P(\cos a, \sin a)\) ve \(Q(\cos b, \sin b)\) noktaları arasındaki uzaklığın karesi bir yandan \(2 - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)\), öte yandan şekli \(b\) kadar döndürünce \(2 - 2\cos(a - b)\) olarak hesaplanır. İkisi eşitlenince \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\) bulunur; \(b\) yerine \(-b\) yazınca kosinüsün toplam formülü, \(\sin x = \cos(90° - x)\) kullanınca sinüsünkü gelir.

Tanjantın toplam formülü

\(\tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)}\) yazılır, pay ve payda \(\cos a \cos b\) ile bölünürse

elde edilir. Paydaki işaret soldaki işaretle aynı, paydadaki işaret terstir. Formül, tanjantların tanımlı olduğu ve payda sıfır olmadığı durumlarda geçerlidir; \(\tan a \tan b = 1\) ise \(a + b\) açısının tanjantı tanımsızdır, yani \(a + b = 90°\) gibi bir değerdir.

Tanjant formülünün en güzel kullanımı geometride görülür. Bir açı, tanjantını bildiğimiz iki açının farkı olarak yazılabiliyorsa onun tanjantı da bulunur. Dik açılı bir üçgende köşeden çizilen bir doğru parçasının oluşturduğu açı, çoğu zaman "büyük açı eksi küçük açı"dır: büyük açının ve küçük açının tanjantı dik kenarların oranıdır, aradaki açının tanjantı da fark formülüyle hesaplanır. Analitik geometride iki doğru arasındaki açı da aynı fikirle bulunur: eğimleri \(m_1\) ve \(m_2\) olan iki doğru arasındaki dar açı \(\theta\) için \(\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\) olur.

İki kat açı formülleri

Toplam formüllerinde \(b = a\) alınca iki kat açı formülleri kendiliğinden çıkar. Bunları ezberlemek yerine bu yolla bir kez türetmek, unutulduklarında geri getirmeyi kolaylaştırır:

cos 2x'in üç biçimi \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) özdeşliğinden gelir. Hangisinin seçileceği soruya bağlıdır: ifadede yalnızca \(\sin x\) varsa \(1 - 2\sin^2 x\), yalnızca \(\cos x\) varsa \(2\cos^2 x - 1\) seçilir. Böylece denklem tek bir bilinmeyene iner. "İki kat" düşüncesi yalnızca \(x\) ile \(2x\) arasında değildir: \(\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\), \(\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1\) gibi her açı, yarısının iki katı olarak görülebilir.

İki kat formüllerinin sık sorulan bir uygulaması, art arda iki katına çıkan kosinüslerin çarpımıdır. \(\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x\) çarpımını \(\frac{8}{8}\) ile genişletip her adımda \(2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\) kullanırsak çarpım \(\frac{\sin 8x}{8}\) olur. Bir başka kalıp da toplamın karesidir: \((\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x\). Bu eşitlik, \(\sin x + \cos x\) bilinen sorularda \(\sin 2x\)'i tek adımda verir.

Kuvvet düşürme ve yarım açı

cos 2x formülünü \(\cos^2 x\) ve \(\sin^2 x\) için çözersek kare ifadeleri birinci dereceye indiren eşitlikler elde ederiz:

Bunlara kuvvet düşürme ya da yarım açı formülleri denir; \(x\) yerine \(\frac{x}{2}\) yazınca \(1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}\) ve \(1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\) olur. ÖSYM bu eşitlikleri iki tür soruda kullanır. Birincisi \(\cos^2 15°\), \(\sin^2 22{,}5°\) gibi değerlerin hesabıdır: \(\cos^2 15° = \frac{1 + \cos 30°}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\). İkincisi, kareli terimlerin toplamını sadeleştirmektir; \(\cos^2 10° + \cos^2 50° + \cos^2 70°\) gibi bir toplamda her kare kuvvet düşürmeyle birinci dereceye iner ve kalan kosinüsler toplam formülüyle birbirini götürür.

Toplam ve çarpım arasındaki dönüşüm formüllerini ayrıca ezberlemene gerek yoktur. Gerektiğinde toplam formüllerinden iki satırda türetilirler: \(\cos(u + v) + \cos(u - v) = 2\cos u \cos v\) eşitliği, iki formülü taraf tarafa toplamaktan başka bir şey değildir.

a sin x + b cos x ifadesinin en büyük ve en küçük değeri

\(3\sin x + 4\cos x\) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? İlk akla gelen "\(\sin x\) en çok 1, \(\cos x\) en çok 1, toplam en çok 7" düşüncesi yanlıştır, çünkü sinüs ve kosinüs aynı \(x\) için aynı anda 1 olamaz. Doğru yol ifadeyi tek bir sinüse çevirmektir. \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) olsun ve ifadeyi \(R\)'nin dışına alalım:

\(\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = 1\) olduğu için \(\left(\frac{a}{R}, \frac{b}{R}\right)\) noktası birim çember üzerindedir; demek ki \(\cos\varphi = \frac{a}{R}\) ve \(\sin\varphi = \frac{b}{R}\) olacak biçimde bir \(\varphi\) açısı vardır. Yerine yazıp sinüsün toplam formülünü geriye doğru okursak

bulunur. \(\sin(x + \varphi)\) değeri \(-1\) ile 1 arasında her değeri aldığından ifadenin değer kümesi \([-\sqrt{a^2+b^2},\ \sqrt{a^2+b^2}]\) aralığıdır. \(3\sin x + 4\cos x\) için \(R = 5\)'tir; en büyük değer 5, en küçük değer \(-5\) olur.

İfadeye bir sabit eklenirse grafik yukarı ya da aşağı kayar: \(3\sin x - 4\cos x + 2\) ifadesi \([-3, 7]\) aralığında değer alır. İçinde \(\sin^2 x\) ya da \(\sin x \cos x\) gibi ikinci dereceden terimler bulunan ifadeler önce kuvvet düşürme ve iki kat formülleriyle \(a\sin 2x + b\cos 2x + c\) biçimine getirilir. İçinde yalnızca \(\cos 2x\) ve \(\sin x\) bulunan ifadeler ise başka bir yolla, \(\sin x = t\) yazılıp \([-1, 1]\) aralığında bir parabolün en büyük ve en küçük değeri bulunarak çözülür.

Temel trigonometrik denklemler

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için bir denklemin tek çözümü değil, sonsuz çözümü vardır. Hepsini birden veren yazılışa genel çözüm denir. Aşağıda \(k\) her yerde bir tam sayıdır ve \(\alpha\), denklemi sağlayan bilinen bir açıdır.

• \(\sin x = a\) \((-1 \le a \le 1)\): \(x = \alpha + 2k\pi\) ya da \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\). Birim çemberde aynı yüksekliğe sahip iki nokta vardır; biri \(\alpha\), öteki y eksenine göre simetriği olan \(\pi - \alpha\) açısındadır.
• \(\cos x = a\) \((-1 \le a \le 1)\): \(x = \alpha + 2k\pi\) ya da \(x = -\alpha + 2k\pi\). Aynı yatay konumdaki iki nokta x eksenine göre simetriktir.
• \(\tan x = a\) (her gerçek \(a\)): \(x = \alpha + k\pi\). Tanjantın periyodu \(\pi\) olduğu için tek bir aile yeter.

\(|a| > 1\) ise \(\sin x = a\) ve \(\cos x = a\) denklemlerinin çözümü yoktur. Özel değerlerde iki aile birleşir: \(\sin x = 0\) için \(x = k\pi\), \(\sin x = 1\) için \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(\cos x = 0\) için \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) yazılır.

Aynı kural, iki tarafta aynı fonksiyon bulunduğunda da işler: \(\sin u = \sin v\) ise \(u = v + 2k\pi\) ya da \(u = \pi - v + 2k\pi\); \(\cos u = \cos v\) ise \(u = \pm v + 2k\pi\); \(\tan u = \tan v\) ise \(u = v + k\pi\) olur. Farklı fonksiyonlar varsa önce \(\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) gibi bir dönüşümle aynı fonksiyona geçilir.

Verilen aralıktaki kökler ve kök sayısı

AYT'de genel çözümden çok "\([0, 2\pi)\) aralığında kaç kökü vardır" ya da "köklerinin toplamı kaçtır" sorusu gelir. Yöntem şudur: genel çözümü yaz, \(k\)'ye sırayla \(0, 1, 2, \dots\) (gerekirse negatif) değerler vererek aralığa düşen kökleri listele. \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) denklemini düşünelim. \(2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ya da \(2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) olur, yani \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\) ya da \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\). \([0, 2\pi)\) aralığında \(k = 0\) ve \(k = 1\) uygundur; kökler \(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}\)'tür.

Kısa yol da buradan görülür: \(\sin nx = a\) denkleminde (\(|a| < 1\)) \(nx\) açısı \([0, 2n\pi)\) aralığını tarar, yani \(n\) tam tur atar; her turda iki kök vardır ve toplam \(2n\) kök çıkar. \(a = \pm 1\) olduğunda her turda yalnızca bir kök vardır, çünkü doğru eğriye tepe noktasında dokunur.

İkinci dereceye dönüşen denklemler

Pek çok denklem uygun bir özdeşlikle tek bir fonksiyonun ikinci dereceden denklemine dönüşür. \(\cos 2x + 3\sin x = 2\) denkleminde \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) yazılırsa \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\) olur. \(\sin x = t\) dönüşümüyle \((2t - 1)(t - 1) = 0\), yani \(t = \frac{1}{2}\) ya da \(t = 1\) bulunur. Her değer ayrı bir temel denklemdir; \([0, 2\pi)\) aralığında \(\sin x = \frac{1}{2}\) iki, \(\sin x = 1\) bir kök verir. Bu dönüşümde iki şeyi unutma: \(t\)'nin \([-1, 1]\) dışındaki değerleri atılır ve \(t\) bulunduktan sonra iş bitmez, her \(t\) için kökler ayrı ayrı sayılır.

Bir başka tür, sinüsle kosinüsün çarpım olarak bir arada bulunduğu denklemlerdir. \(\sin 2x = \cos x\) denkleminde \(2\sin x \cos x - \cos x = 0\) yazılır ve ortak çarpan parantezine alınır: \(\cos x\,(2\sin x - 1) = 0\). Buradan \(\cos x = 0\) ya da \(\sin x = \frac{1}{2}\) gelir. \(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0\) gibi homojen denklemlerde ise \(\cos x = 0\)'ın kök olmadığı gösterildikten sonra iki taraf \(\cos^2 x\) ile bölünür ve \(\tan x\) cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edilir.

Kosinüs teoremi

Dik üçgende Pisagor teoremi kenarlar arasındaki ilişkiyi verir; kosinüs teoremi bu ilişkiyi her üçgene genişletir. ABC üçgeninde kenarlar, karşılarındaki köşelerin küçük harfleriyle gösterilir: \(a = |BC|\), \(b = |AC|\), \(c = |AB|\). C köşesini orijine, B'yi x ekseni üzerine koyalım. A noktasının koordinatları \((b\cos C, b\sin C)\) olur. A'dan BC'ye inen dikmenin ayağı H ise AHB dik üçgeninde Pisagor teoremini yazarız:

Aynı formül her köşe için yazılır: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\). C açısı 90° ise \(\cos C = 0\) olur ve Pisagor teoremi geri gelir; demek ki \(-2ab\cos C\) terimi, açının dik açıdan ne kadar saptığının düzeltmesidir. Bu terimin işaretinden önemli bir sonuç çıkar: \(c^2 < a^2 + b^2\) ise C dar açı, \(c^2 > a^2 + b^2\) ise C geniş açıdır. Bir üçgenin geniş açılı olup olmadığını anlamak için en uzun kenarın karesini öteki ikisinin kareleri toplamıyla karşılaştırmak yeter.

Kosinüs teoremi iki durumda kullanılır. İki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgende üçüncü kenar doğrudan hesaplanır. Üç kenarı verilen üçgende formül açı için çözülür: \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). Kenar uzunlukları 5, 7, 8 olan üçgende 7 birimlik kenarın karşısındaki açının kosinüsü \(\frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{1}{2}\)'dir; bu açı 60°'dir.

Sinüs teoremi ve çevrel çember

Bir üçgende kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır ve orantı sabiti çevrel çemberin çapıdır:

İspat için B köşesinden geçen çapı çizip öteki ucuna A′ diyelim. A ve A′ aynı BC yayını gören çevre açılar olduğundan \(m(\widehat{BA'C}) = m(\widehat{BAC})\)'dir. Çapı gören çevre açı dik olduğundan BCA′ üçgeni C'de diktir ve bu dik üçgende \(\sin A = \frac{a}{2R}\) okunur. (A geniş açıysa A′ yayın öbür yanına düşer ve açısı \(180° - A\) olur; sinüsleri eşit olduğundan sonuç değişmez.)

Sinüs teoremi iki açısı ve bir kenarı bilinen üçgende öteki kenarları bulmak için kullanılır; üçüncü açı 180°'den çıkarılarak bulunur. İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde ise dikkatli olmak gerekir: \(\sin B\) bulunduktan sonra B için dar ve geniş iki aday çıkabilir. "Büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur" kuralı ve açıların toplamının 180° olması, hangi adayın uygun olduğunu söyler.

Üçgenin alanı: iki kenar ve aradaki açı

Kosinüs teoremi şeklinde A'dan inen yükseklik \(h = b\sin C\)'dir. Taban çarpı yüksekliğin yarısını yazarsak

elde edilir. Bu formül "iki kenar ve aradaki açı" bilgisinin bir üçgeni tamamen belirlediğini de gösterir: aynı bilgiyle kosinüs teoremi üçüncü kenarı, alan formülü alanı, sinüs teoremi de öteki açıları verir. Formülde \(\sin C = \frac{c}{2R}\) yazılırsa \(\text{Alan} = \frac{abc}{4R}\) bulunur; bu eşitlik çevrel çemberin yarıçapını kenarlardan hesaplamanın bir yoludur.

Sinüsün \(\sin(180° - C) = \sin C\) özelliği alan sorularında sık kullanılır: kenarları 4 ve 9 olan iki üçgenden birinde aradaki açı 30°, ötekinde 150° ise alanları eşittir, ikisi de 9 birimkaredir. Kenarlar sabitken alan en büyük değerini aradaki açı 90° olduğunda alır. Açıortay uzunluğu da alanla bulunur: A açısının açıortayı üçgeni iki parçaya ayırır ve parçaların alanları toplamı bütün üçgenin alanına eşitlenir.

Eğim açısı ve tanjant

Analitik düzlemde bir doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle saat yönünün tersine yaptığı açıya eğim açısı denir; \(0° \le \alpha < 180°\) aralığındadır. Doğru üzerindeki iki nokta arasında yatayda \(\Delta x\), düşeyde \(\Delta y\) kadar yol alınıyorsa bu iki yer değiştirme, açısı \(\alpha\) olan bir dik üçgenin dik kenarlarıdır. Bu yüzden doğrunun eğimi, eğim açısının tanjantıdır:

Eğim açısı 45° olan doğrunun eğimi 1, 135° olanınki \(-1\), 120° olanınki \(\tan 120° = -\sqrt{3}\)'tür. Yatay doğruların eğimi 0'dır; düşey doğruların eğim açısı 90° olduğu için eğimleri tanımsızdır. Doğru denklemleri, paralellik ve diklik koşulları ileride doğrunun analitiği konusunda ayrıntılı işlenecek; burada bilmen gereken, eğimle eğim açısını tanjant aracılığıyla birbirine çevirebilmektir.