AYT 11. sınıf · 5. konu

Trigonometri I: Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Yönlü açı, derece ve radyan, esas ölçü, birim çember, işaretler, temel özdeşlikler, indirgeme, sıralama, grafikler, periyot, en büyük-en küçük değer ve ters fonksiyonlar.

Bu konuda öğreneceklerin

Yönlü açıyı tanımayı, derece ile radyan arasında dönüşüm yapmayı ve bir açının esas ölçüsünü bulmayı
Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekantı birim çember üzerinde tanımlamayı ve bölgelere göre işaretlerini belirlemeyi
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ve $\tan x \cdot \cot x = 1$ özdeşlikleriyle bir orandan ötekilere geçmeyi
İndirgeme kurallarıyla her açının değerini dar açıya taşımayı ve trigonometrik değerleri sıralamayı
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant grafiklerini okumayı; periyodu, en büyük ve en küçük değeri bulmayı
arcsin, arccos ve arctan fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümelerini kullanmayı

Yönlü açı ve açı ölçü birimleri

TYT'de trigonometrik oranları dik üçgende tanımladın: $\sin\alpha$, karşı dik kenarın hipotenüse oranıydı. Bu tanım yalnızca dar açılar için çalışır, çünkü bir dik üçgende $120^\circ$'lik ya da $-45^\circ$'lik bir açı bulunmaz. Oysa dönen bir tekerleğin, bir salıncağın ya da alternatif akımın açısı $90^\circ$'yi rahatça geçer, hatta birkaç tur atar. Trigonometriyi bütün gerçek sayılara genişletmek için önce açıya bir yön veririz.

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışından birini başlangıç kenarı, öbürünü bitim kenarı olarak sıralarsak yönlü açı elde ederiz. Başlangıç kenarından bitim kenarına saatin dönme yönünün tersine gidiliyorsa açı pozitif yönlü, saat yönünde gidiliyorsa negatif yönlü sayılır. Böylece $60^\circ$ ile $-60^\circ$ aynı büyüklükte ama ters yönde dönülen iki ayrı açı olur.

Açıyı ölçmek için iki birim kullanırız. Derece, tam dönüşün 360'ta biridir; daha küçük parçalar için $1^\circ = 60'$ (dakika) ve $1' = 60''$ (saniye) alınır. Örneğin $37^\circ 30'$ açısı $37{,}5^\circ$'dir. Radyan ise çemberin kendisinden doğan bir birimdir: yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Bir çemberin çevresi $2\pi r$ olduğundan çevreye $2\pi$ tane yarıçap sığar; yani tam dönüş $2\pi$ radyandır.

Derece ile radyan arasında dönüşüm

Tam dönüş hem $360^\circ$ hem $2\pi$ radyan olduğundan temel eşitlik $\pi \text{ rad} = 180^\circ$'dir. Bir açının derece cinsinden ölçüsü $D$, radyan cinsinden ölçüsü $R$ ise ikisi de tam dönüşün aynı kesrini gösterir:

$$ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} $$

Bu orantıdan $150^\circ = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ ve $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$ bulunur. Radyan yazarken "rad" çoğu zaman yazılmaz: $\sin\frac{\pi}{6}$ ifadesindeki $\frac{\pi}{6}$ radyandır. Derece kastediliyorsa mutlaka $^\circ$ işareti konur. Bu ayrım önemlidir: $\sin 2$, 2 radyanın, yani yaklaşık $114{,}6^\circ$'nin sinüsüdür; $\sin 2^\circ$ ile hiç ilgisi yoktur.

Esas ölçü

Bir ışın tam tur döndüğünde başladığı yere geri gelir. Bu yüzden $30^\circ$, $390^\circ$ ve $-330^\circ$ açılarının bitim kenarları aynıdır. Bitim kenarı aynı olan açıların ölçüleri $360^\circ$'nin tam katları kadar farklıdır:

$$ \alpha = \theta + k \cdot 360^\circ \quad \text{ya da} \quad \alpha = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Bu açılardan $[0^\circ, 360^\circ)$ aralığında olanına, yani $[0, 2\pi)$ aralığındakine, açının esas ölçüsü denir. Bitim kenarı aynı olduğu için bütün trigonometrik değerler de aynıdır; bu nedenle her soruda ilk iş esas ölçüyü bulmaktır.

Büyük pozitif açıda 360'a bölüp kalanı alırız: $1140^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 60^\circ$, esas ölçü $60^\circ$.
Negatif açıda, sonuç $[0^\circ, 360^\circ)$ aralığına girene kadar $360^\circ$'nin katlarını ekleriz: $-500^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 220^\circ$.
Radyanla verilen $\frac{a\pi}{b}$ açısında $2\pi = \frac{2b\pi}{b}$ olduğundan payı $2b$'ye böleriz: $\frac{29\pi}{6}$ için $29 = 2 \cdot 12 + 5$, esas ölçü $\frac{5\pi}{6}$. $-\frac{17\pi}{4}$ için $-17 + 3 \cdot 8 = 7$, esas ölçü $\frac{7\pi}{4}$.

Birim çember ve trigonometrik fonksiyonlar

Merkezi orijinde, yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir; denklemi $x^2 + y^2 = 1$'dir. Bir $\theta$ açısını başlangıç kenarı x ekseninin pozitif yönü olacak biçimde yerleştirelim. Bitim kenarı birim çemberi $P(x, y)$ noktasında kessin. Bu noktanın koordinatlarına isim veririz:

$$ \cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y $$

Bu tanım dar açılarda TYT'deki tanımla aynıdır. $\theta$ dar açıysa P'den x eksenine inilen dikmenin ayağı H olsun. OHP dik üçgeninin hipotenüsü $|OP| = 1$ olduğundan karşı dik kenar $\frac{|PH|}{1} = \sin\theta$, komşu dik kenar $\frac{|OH|}{1} = \cos\theta$'dır. Yeni tanımın üstünlüğü, $\theta$ ne olursa olsun bir P noktası bulunmasıdır: $150^\circ$, $-40^\circ$ ya da 7 radyan için de P vardır.

Birim çember — P'nin apsisi $\cos\theta$, ordinatı $\sin\theta$. OP doğrusu x = 1 doğrusunu T(1, tan θ), y = 1 doğrusunu K(cot θ, 1) noktasında keser.

P çemberin üzerinde olduğundan koordinatları $-1$ ile 1 arasındadır: her $\theta$ için $-1 \le \sin\theta \le 1$ ve $-1 \le \cos\theta \le 1$. Öbür fonksiyonlar oran olarak tanımlanır:

$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \ (\cos\theta \neq 0), \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \ (\sin\theta \neq 0) $$

$$ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta} $$

Tanjantın da bir geometrik yeri vardır. Çembere $A(1, 0)$ noktasında teğet olan $x = 1$ doğrusuna tanjant ekseni denir. OP doğrusunun eğimi $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ olduğundan doğrunun denklemi $y = \tan\theta \cdot x$'tir ve bu doğru tanjant eksenini $T(1, \tan\theta)$ noktasında keser. Aynı biçimde $y = 1$ doğrusu kotanjant eksenidir ve OP doğrusunu $K(\cot\theta, 1)$ noktasında keser. T noktası tanjant ekseni boyunca her yere gidebildiği için tanjant ve kotanjant her gerçek değeri alabilir; sınırları yoktur. $\theta = 90^\circ$ olduğunda OP doğrusu y ekseni olur ve tanjant eksenine paralel kalır: $\tan 90^\circ$ tanımsızdır.

Eksen üzerindeki açılarda P noktası doğrudan okunur: $0^\circ$ için $P(1, 0)$, $90^\circ$ için $P(0, 1)$, $180^\circ$ için $P(-1, 0)$, $270^\circ$ için $P(0, -1)$.

Açı	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$
sin	0	1	0	−1
cos	1	0	−1	0
tan	0	tanımsız	0	tanımsız
cot	tanımsız	0	tanımsız	0

Bölgelere göre işaretler

Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır. Bir açının trigonometrik değerlerinin işareti, bitim kenarının hangi bölgede olduğuna bağlıdır, çünkü işaret P'nin koordinatlarının işaretidir. I. bölgede iki koordinat da pozitiftir; II. bölgede apsis negatif, ordinat pozitif; III. bölgede ikisi de negatif; IV. bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Tanjant ve kotanjant oran olduğu için koordinatlar aynı işaretliyken (I ve III. bölge) pozitif, zıt işaretliyken (II ve IV. bölge) negatiftir.

Bir oran ve açının bölgesi verildiğinde öbür oranları bulmak için TYT'deki yolu izleriz: oranın mutlak değerinden bir dik üçgen kurar, değerleri okur, işaretleri bölgeye göre yerleştiririz. Örneğin $\tan x = -\frac{3}{4}$ ve x IV. bölgedeyse kenarları 3, 4, 5 olan üçgenden $|\sin x| = \frac{3}{5}$, $|\cos x| = \frac{4}{5}$ okunur; IV. bölgede kosinüs pozitif, sinüs negatif olduğundan $\sin x = -\frac{3}{5}$ ve $\cos x = \frac{4}{5}$'tir.

Temel özdeşlikler

P noktası birim çember üzerinde olduğundan koordinatları $x^2 + y^2 = 1$ denklemini sağlar. Bu, trigonometrinin en önemli özdeşliğidir:

$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

Burada $\sin^2\theta$, $(\sin\theta)^2$ demektir. Bu eşitliğin iki yanını $\cos^2\theta$'ya bölersek $\tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$, yani $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$; $\sin^2\theta$'ya bölersek $1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta$ elde ederiz. Tanımlardan ayrıca $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ çıkar.

Bu özdeşliklerin sınavda en çok kullanılan biçimi kareye tamamlamadır. $\sin x + \cos x = t$ verilmişse karesini alırız:

$$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + 2\sin x\cos x $$

Buradan $\sin x \cdot \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$ bulunur. Aynı yolla $(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2\sin x\cos x$ olur. Toplam ve çarpım bilinince sinüs ile kosinüs ayrı ayrı bulunabilir; hangi kökün hangisi olduğuna da açının bölgesi karar verir. Bir başka kullanışlı sonuç: $\tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}$.

İndirgeme formülleri

Her açının değerini bir dar açının değerine indirmek mümkündür. Bunun nedeni birim çemberin simetrisidir. Bitim noktası $P_1(a, b)$ olan bir $\theta$ açısını ele alalım. $\pi - \theta$ açısının bitim noktası $P_1$'in y eksenine göre simetriği olan $(-a, b)$'dir; $\pi + \theta$ açısınınki orijine göre simetriği olan $(-a, -b)$'dir; $2\pi - \theta$ ve $-\theta$ açılarınınki ise x eksenine göre simetriği olan $(a, -b)$'dir.

Koordinatları okuyunca kurallar kendiliğinden çıkar:

$\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$, $\tan(-x) = -\tan x$, $\cot(-x) = -\cot x$
$\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\tan(\pi - x) = -\tan x$
$\sin(\pi + x) = -\sin x$, $\cos(\pi + x) = -\cos x$, $\tan(\pi + x) = \tan x$
$\sin(2\pi - x) = -\sin x$, $\cos(2\pi - x) = \cos x$, $\tan(2\pi - x) = -\tan x$

$\frac{\pi}{2} - x$ açısı için P noktasının $y = x$ doğrusuna göre simetriği alınır; bu, koordinatların yer değiştirmesi demektir. Bu yüzden $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ ve $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$'tir; TYT'deki tümler açı kuralı budur. $\frac{\pi}{2} + x$ için de $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ ve $\tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cot x$ olur.

Bunların hepsini tek bir kuralda toplayabiliriz:

Açı $\pi \pm x$ ya da $2\pi \pm x$ biçimindeyse fonksiyonun adı değişmez.
Açı $\frac{\pi}{2} \pm x$ ya da $\frac{3\pi}{2} \pm x$ biçimindeyse ad değişir: sin ile cos, tan ile cot yer değiştirir.
İşareti bulmak için x'i dar açı kabul et, verilen açının hangi bölgede olduğuna bak ve ilk fonksiyonun o bölgedeki işaretini yaz.

Örneğin $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$: ad değişir, sinüs olur. x dar açıysa $\frac{3\pi}{2} - x$ III. bölgededir ve orada kosinüs negatiftir; sonuç $-\sin x$'tir. Sayısal değerlerde de aynı yol izlenir: $\sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\tan 315^\circ = \tan(360^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$.

Trigonometrik değerleri sıralama

"$a = \sin 100^\circ$, $b = \cos 200^\circ$, $c = \tan 230^\circ$ sayılarını sıralayınız" türündeki sorular AYT'nin klasiğidir. Hesap makinesi olmadan sıralama üç adımda yapılır:

Her değerin işaretini bölgeden bul; negatifler pozitiflerden küçüktür.
Aynı işaretlileri indirgemeyle dar açıya taşı.
Dar açıları şu bilgilerle karşılaştır: $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığında sinüs ve tanjant artan, kosinüs ve kotanjant azalandır; $45^\circ$'den küçük açılarda $\sin x < \cos x$, büyük açılarda $\sin x > \cos x$'tir; dar açıda tanjant her zaman sinüsten büyüktür (çünkü $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ve $0 < \cos x < 1$).

Radyanla verilen açılarda önce yaklaşık derece değerini bulmak işi kolaylaştırır: 1 radyan yaklaşık $57^\circ$, 2 radyan yaklaşık $115^\circ$, 3 radyan yaklaşık $172^\circ$'dir. Böylece $\sin 2 > 0$ ama $\cos 2 < 0$ ve $\tan 2 < 0$ olduğu hemen görülür. Dar açılar için bir ölçüt daha vardır: $0 < x < \frac{\pi}{2}$ radyan ise $\sin x < x < \tan x$'tir. Birim çemberde P noktasının ordinatı, çemberdeki yay ve tanjant eksenindeki T noktasının ordinatı sırasıyla bu üç uzunluğu gösterir.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

P noktası çemberi dolaştıkça ordinatı ve apsisi dalgalanır. $y = \sin x$ grafiği orijinden başlar, $\frac{\pi}{2}$'de en büyük değeri olan 1'e çıkar, $\pi$'de sıfıra iner, $\frac{3\pi}{2}$'de en küçük değeri olan $-1$'e düşer ve $2\pi$'de başladığı yere döner. Sonra aynı dalga tekrar eder. $y = \cos x$ grafiği aynı dalganın $\frac{\pi}{2}$ birim sola kaymış hâlidir, çünkü $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$'dir. Sinüs tek fonksiyondur, grafiği orijine göre simetriktir; kosinüs çift fonksiyondur, grafiği y eksenine göre simetriktir.

Sinüs ve kosinüs grafikleri — İki fonksiyonun da tanım kümesi bütün gerçek sayılar, görüntü kümesi $[-1, 1]$, periyodu $2\pi$'dir.

$y = \tan x$ grafiği ise farklıdır. $\cos x = 0$ olan $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ noktalarında tanjant tanımsızdır; grafik bu düşey doğrulara yaklaşırken sınırsız büyür ya da küçülür. Bu doğrulara asimptot denir. Tanjant her aralıkta artandır ve bütün gerçek değerleri alır. Kotanjantın asimptotları $x = k\pi$ doğrularıdır ve kotanjant her aralıkta azalandır.

Tanjant ve kotanjant grafikleri — Tanjant ve kotanjantın periyodu $\pi$'dir; asimptotlar arasında bütün gerçek sayıları alırlar.

Periyot

Her $x$ için $f(x + T) = f(x)$ olacak biçimdeki en küçük pozitif $T$ sayısına $f$'nin periyodu denir. Sinüs ve kosinüs için $T = 2\pi$'dir, çünkü P noktası ancak tam bir turda aynı yere gelir. Tanjant için ise $T = \pi$'dir: $\tan(x + \pi) = \tan x$, çünkü $P$ ile orijine göre simetriği aynı OP doğrusu üzerindedir.

$f(x) = a\sin(bx + c) + d$ fonksiyonunda içteki $bx + c$ ifadesi $2\pi$ kadar artınca bir dalga tamamlanır; bunun için $x$'in $\frac{2\pi}{|b|}$ kadar artması gerekir. Dışarıdaki $a$ ve $d$ dalgayı yalnızca uzatır ve kaydırır, periyodu değiştirmez. Bu yüzden:

$$ T = \frac{2\pi}{|b|} \ (\sin,\ \cos), \qquad T = \frac{\pi}{|b|} \ (\tan,\ \cot) $$

Örneğin $f(x) = 3\cos(4x - 1) + 7$ için $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, $g(x) = \tan\frac{x}{3}$ için $T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$'dir.

En büyük ve en küçük değer

$-1 \le \sin(bx + c) \le 1$ olduğundan $a\sin(bx + c) + d$ ifadesi $d - |a|$ ile $d + |a|$ arasında kalır ve bu iki değeri alır. $|a|$'ya genlik denir; grafikte dalganın orta çizgiden ne kadar uzaklaştığını gösterir. Orta çizgi $y = d$'dir.

Grafiğin dönüşümü — $y = 2\sin 2x + 1$: genlik 2, periyot $\pi$, orta çizgi $y = 1$; en büyük değer 3, en küçük değer $-1$.

Bu bilgiler grafik okumada da kullanılır. Grafiği verilen $f(x) = a\sin(bx) + c$ fonksiyonunda en büyük değer $M$, en küçük değer $m$ ise $c = \frac{M + m}{2}$, $|a| = \frac{M - m}{2}$ olur; bir dalganın yatay uzunluğu periyottur ve $|b| = \frac{2\pi}{T}$ ile bulunur.

Sinüs ve kosinüs aynı açıyla toplanırsa ne olur? $a\sin x + b\cos x$ ifadesinin değerleri

$$ -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt{a^2 + b^2} $$

aralığındadır. Bunun neden doğru olduğunu kısa bir hesapla görebiliriz: açarak denersen

$$ (a\sin x + b\cos x)^2 + (a\cos x - b\sin x)^2 = (a^2 + b^2)(\sin^2 x + \cos^2 x) = a^2 + b^2 $$

eşitliği çıkar (çarpraz terimler birbirini götürür). İkinci kare negatif olamayacağından $(a\sin x + b\cos x)^2 \le a^2 + b^2$'dir. Uç değerlerin gerçekten alındığını toplam formülleriyle Trigonometri II konusunda göreceğiz. Örneğin $3\sin x + 4\cos x$ ifadesi $[-5, 5]$ aralığındaki her değeri alır.

Ters trigonometrik fonksiyonlar

Sinüs bire bir değildir: $\sin\frac{\pi}{6} = \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Bir fonksiyonun tersinin olması için bire bir ve örten olması gerekir. Bu yüzden sinüsü, bütün değerlerini bir kez aldığı $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığına kısıtlarız. Bu kısıtlanmış fonksiyonun tersine arksinüs denir:

$$ \arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \qquad y = \arcsin x \iff \sin y = x $$

Kosinüs $[0, \pi]$ aralığında bire birdir; tanjant ise $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ aralığında. Böylece:

$$ \arccos : [-1, 1] \to [0, \pi], \qquad \arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$

Benzer biçimde $\operatorname{arccot} : \mathbb{R} \to (0, \pi)$ tanımlanır. Ters fonksiyonun değeri her zaman bu görüntü kümesinden seçilir: $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$'dır, $\frac{5\pi}{6}$ değil. $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$'tür, $-\frac{\pi}{3}$ değil; çünkü arkkosinüsün değeri $0$ ile $\pi$ arasındadır.

Ters trigonometrik fonksiyonlar — arcsin ve arccos yalnızca $[-1, 1]$ aralığında tanımlıdır; arctan her gerçek sayıda tanımlıdır ve değerleri $-\frac{\pi}{2}$ ile $\frac{\pi}{2}$ arasında kalır.

Bu tanımlardan sık kullanılan sonuçlar çıkar:

$\sin(\arcsin x) = x$ her $x \in [-1, 1]$ için doğrudur. Ama $\arcsin(\sin x) = x$ yalnızca $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ise doğrudur: $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
$\arcsin(-x) = -\arcsin x$ ve $\arctan(-x) = -\arctan x$; buna karşılık $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arcsin(2x - 3)$ gibi bir ifadenin tanımlı olması için içerinin $[-1, 1]$ aralığında olması gerekir: $-1 \le 2x - 3 \le 1$, yani $1 \le x \le 2$.

$\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$ gibi bileşkeleri hesaplamak için açıya bir ad ver: $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$ ise $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ ve $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$'dir. Sinüs pozitif olduğundan $\alpha$ dar açıdır, 3-4-5 üçgeninden $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ okunur. İçerideki sayı negatifse bölgeyi görüntü kümesi belirler: arcsin ve arctan için IV. bölge, arccos için II. bölge.

ÖSYM bu konuyu nasıl soruyor? Trigonometri AYT matematikte her yıl birkaç soruyla yer alır ve bu konunun kavramları neredeyse hepsinin temelidir. Sık görülen soru tipleri şunlardır:

Büyük ya da negatif bir açının esas ölçüsü ve bu açının trigonometrik değeri; derece ile radyanın birlikte kullanıldığı ifadeler.
$a = \sin 100^\circ$, $b = \cos 200^\circ$ gibi sayıların ya da $\sin 2$, $\cos 2$ gibi radyanla verilen değerlerin sıralanması.
Bir oran ve bölge verilip öbür oranların bulunması; $\sin x + \cos x$ ya da $\tan x + \cot x$ verilip başka bir ifadenin istenmesi.
Birim çember üzerinde bir nokta ya da açı verilip uzunluk, alan veya trigonometrik değer sorulması.
Grafiği verilen $a\sin(bx) + c$ fonksiyonunun katsayılarının okunması; periyot, en büyük ve en küçük değer; I-II-III öncüllü özellik soruları.
Ters trigonometrik fonksiyonların değerleri, tanım kümeleri ve bileşkeleri.

Formüller

$$\pi \text{ rad} = 180^\circ,\quad \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi}$$

Derece ile radyan arasında dönüşüm

$$\alpha = \theta + k \cdot 360^\circ = \theta + 2k\pi$$

Bitim kenarı aynı açılar; esas ölçü $[0, 2\pi)$ aralığındakidir

$$P(\cos\theta, \sin\theta),\quad x^2 + y^2 = 1$$

Birim çember üzerindeki bitim noktası

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Tanjant ve kotanjant; tanjant ekseni $x = 1$, kotanjant ekseni $y = 1$

$$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$

Sekant ve kosekant

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,\quad \tan\theta \cdot \cot\theta = 1$$

Temel özdeşlikler

$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta,\quad 1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta$$

Kareli özdeşliklerin bölünmüş biçimleri

$$\sin(\pi - x) = \sin x,\ \cos(\pi - x) = -\cos x,\ \sin(\pi + x) = -\sin x$$

İndirgeme: $\pi$ ve $2\pi$ ile adı değişmez

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} \pm x\right) = \cos x,\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$

İndirgeme: $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{3\pi}{2}$ ile ad değişir

$$\sin(-x) = -\sin x,\quad \cos(-x) = \cos x$$

Sinüs tek, kosinüs çift fonksiyondur

$$T = \frac{2\pi}{|b|}\ (\sin, \cos),\quad T = \frac{\pi}{|b|}\ (\tan, \cot)$$

$f(bx + c)$ biçimindeki fonksiyonların periyodu

$$d - |a| \le a\sin(bx + c) + d \le d + |a|$$

En büyük ve en küçük değer; $|a|$ genliktir

$$-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt{a^2 + b^2}$$

Sinüs ve kosinüs toplamının sınırları

$$\arcsin, \arccos : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],\ [0, \pi];\ \arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Ters fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri

Çözümlü örnekler

Örnek 1Derece ve radyan

$225^\circ$ ve $37^\circ 30'$ açılarını radyana, $\frac{7\pi}{12}$ radyanlık açıyı dereceye çeviriniz.

Örnek 2Esas ölçü

$-1340^\circ$, $\frac{47\pi}{6}$ ve $-\frac{23\pi}{4}$ açılarının esas ölçülerini bulunuz.

Örnek 3Bölgesi verilen açıda oranlar

$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ ve $\cos x = -\frac{5}{13}$ olduğuna göre $\sin x + \tan x$ toplamı kaçtır?

Örnek 4Toplamı verilen sinüs ve kosinüs

$0 < x < \pi$ ve $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$ olduğuna göre $\tan x$ kaçtır?

Örnek 5İndirgeme ile hesap

$\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3} \cdot \cos\frac{11\pi}{6}}{\tan\frac{3\pi}{4} - \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Örnek 6Dört değeri sıralama

$a = \sin 100^\circ$, $b = \cos 200^\circ$, $c = \tan 230^\circ$ ve $d = \cot 280^\circ$ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Örnek 7Grafikten katsayı okuma

$a > 0$ ve $b > 0$ olmak üzere $f(x) = a\sin(bx) + c$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Örnek 8Sinüs ve kosinüs toplamının değerleri

$f(x) = 3\sin 2x - 4\cos 2x + 2$ fonksiyonunun periyodu kaçtır ve $f(x)$ kaç farklı tam sayı değeri alır?

Örnek 9Ters trigonometrik fonksiyonlar

$A = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ve $B = \tan\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$ değerlerini bulunuz.

Sık yapılan hatalar

Negatif açının esas ölçüsünde eksi işaretini atmak: $-750^\circ$'nin esas ölçüsü $30^\circ$ değil $330^\circ$'dir.
Radyan ile dereceyi karıştırmak: $\sin 2$ ifadesindeki 2 radyandır, yaklaşık $115^\circ$'dir ve $\sin 2 > 0$, $\cos 2 < 0$'dır.
Bir orandan öbürlerine geçerken bölgeyi unutup bütün değerleri pozitif yazmak; işareti her zaman bitim kenarının bölgesi belirler.
İndirgemede $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{3\pi}{2}$ ile adın değiştiğini unutmak ya da işareti yeni fonksiyona göre belirlemek; işaret, ilk fonksiyonun bölgedeki işaretidir.
Periyotta tanjant için de $\frac{2\pi}{|b|}$ kullanmak; tanjant ve kotanjantın periyodu $\frac{\pi}{|b|}$'dir.
$a\sin x + b\cos x$ ifadesinin en büyük değerini $a + b$ sanmak; doğrusu $\sqrt{a^2 + b^2}$'dir.
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ için $-\frac{\pi}{3}$ yazmak; arkkosinüsün değeri $[0, \pi]$ aralığında olmalıdır, doğrusu $\frac{2\pi}{3}$'tür.
$\arcsin(\sin x) = x$ eşitliğini her x için doğru sanmak; yalnızca $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ için geçerlidir.

Günlük hayatta

Evdeki prizden gelen elektrik sinüs fonksiyonuna göre değişir. Türkiye'de şebeke frekansı 50 hertzdir; gerilim saniyede 50 tam dalga yapar, yani periyodu $\frac{1}{50}$ saniye, 0,02 saniyedir. Prizin üzerinde yazan 230 volt gerilimin etkin değeridir; gerilimin ulaştığı en büyük değer bunun $\sqrt{2}$ katı, yaklaşık 325 volttur. Bu yüzden gerilim, genliği yaklaşık 325 volt olan $V(t) = 325\sin(100\pi t)$ biçiminde bir fonksiyonla modellenir; içerideki $100\pi$ katsayısı periyodu $\frac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02$ saniye yapar. Ses dalgaları, gelgit, dönme dolaptaki bir kabinin yüksekliği ve günün uzunluğunun yıl boyunca değişimi de periyodik oldukları için sinüs ve kosinüs fonksiyonlarıyla modellenir.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

$210^\circ$'lik açının radyan cinsinden ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

2Kolay

$-750^\circ$'lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?

3Kolay

$\sin 240^\circ \cdot \cos 150^\circ$ çarpımının değeri kaçtır?

4Kolay

$f(x) = 5\sin(3x - 2) + 1$ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

5Kolay

$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ ve $\cos x = \frac{3}{5}$ olduğuna göre $\tan x$ kaçtır?

6Kolay

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ toplamı kaçtır?

7Orta

$a = \sin 200^\circ$, $b = \cos 200^\circ$ ve $c = \tan 200^\circ$ olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

8Orta

Aşağıdaki birim çemberde P noktası II. bölgededir ve ordinatı $\frac{12}{13}$'tür. OP ışını x ekseninin pozitif yönüyle pozitif yönlü $x$ açısını yapmaktadır.

Buna göre $\cot x + \operatorname{cosec} x$ toplamı kaçtır?

9Orta

Tanımlı olduğu her x gerçek sayısı için $\dfrac{\sin(\pi + x) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\cos(2\pi - x)} + \dfrac{\cos(\pi - x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}$ ifadesinin değeri kaçtır?

10Orta

$-\frac{121\pi}{6}$ radyanlık açının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

11Orta

$a$, $b$ ve $c$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere $f(x) = a\sin(bx) + c$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Buna göre $f(1)$ kaçtır?

12Orta

$f(x) = 5\sin x + 12\cos x - 3$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

13Orta

Aşağıda üç eşitlik verilmiştir.

I.$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$
II.$\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\pi}{3}$
III.$\tan(\arctan 7) = 7$

eşitliklerinden hangileri doğrudur?

14Orta

$f(x) = \arccos\left(\frac{x - 1}{3}\right)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı vardır?

15Orta

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ olmak üzere

I.$\sin x \cdot \cos x < 0$
II.$\tan x + \cot x > 0$
III.$\sin x - \cos x > 0$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

16Orta

$\tan x + \cot x = 4$ olduğuna göre $\tan^2 x + \cot^2 x$ toplamı kaçtır?

17Orta

$\cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \cos^2 30^\circ + \cdots + \cos^2 80^\circ$ toplamının değeri kaçtır?

18Orta

$f(x) = 3\tan\left(\frac{\pi x}{4} + 1\right) - 2$ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

19Zor

$a = \sin 2$, $b = \cos 2$ ve $c = \tan 2$ olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (Açılar radyan cinsindendir.)

20Zor

$f(x) = 2\sin x + 1$ olmak üzere $f(x) = k$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığında tam olarak iki farklı kökü olması için k'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

21Zor

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ ve $\sin x + \cos x = \frac{7}{5}$ olduğuna göre $\tan x - \cot x$ farkı kaçtır?

22Zor

$a = \cos 100^\circ$, $b = \sin 250^\circ$ ve $c = \tan 170^\circ$ olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

23Zor

Aşağıdaki şekilde O merkezli birim çember, $A(1, 0)$ noktası ve $x = 1$ doğrusu verilmiştir. P çember üzerinde, $m(\widehat{AOP}) = 120^\circ$'dir. P ve O noktalarından geçen doğru $x = 1$ doğrusunu T noktasında kesmektedir.

Buna göre PAT üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

24Zor

$f(x) = 3 - 2\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ fonksiyonu için

I.Esas periyodu 4'tür.
II.En küçük değerini $x = 0$ noktasında alır.
III.$f(x) = 1$ denkleminin $[0, 8]$ aralığında 3 kökü vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

25Zor

$\tan\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) + \cot\left(\arccos\frac{5}{13}\right)$ toplamı kaçtır?

26Zor

Bir dönme dolaptaki kabinin t dakika sonra yerden yüksekliği $h(t) = 20 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{15}\right)$ metre olarak modellenmiştir. Kabin $t = 0$ anında en alçak noktadadır. Kabinin yerden yüksekliği ilk kez kaçıncı dakikada 29 metre olur?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.