AYT 10. sınıf · 4. konu

Eşitsizlikler ve İşaret Tablosu

İkinci dereceden ve yüksek dereceli eşitsizlikler, işaret tablosu, paydalı eşitsizlikler, sistemler, parametreli eşitsizlikler ve köklerin konumu.

Bu konuda öğreneceklerin

İkinci dereceden bir ifadenin işaretini diskriminanta ve baş katsayıya göre belirlemeyi
Çarpım ve bölüm biçimindeki ifadeler için işaret tablosu kurmayı; çift katlı köklerde ve paydanın köklerinde nelere dikkat edileceğini
Yüksek dereceli eşitsizlikleri çarpanlara ayırarak çözmeyi ve eşitsizlik sistemlerinin ortak çözümünü bulmayı
"Her $x$ için" sağlanan eşitsizliklerde parametrenin aralığını bulmayı
Kökler toplamı ve çarpımından köklerin işaretini, $a \cdot f(k) < 0$ koşuluyla köklerin bir sayıya göre konumunu belirlemeyi
Mutlak değerli ve köklü eşitsizlikleri tanım koşuluyla birlikte çözmeyi, çözüm kümesindeki tam sayıları doğru saymayı

Bir ifadenin işareti neden yalnızca köklerde değişir?

TYT'de $2x - 6 > 0$ gibi birinci dereceden eşitsizlikleri tek adımda çözdük: $x > 3$. Şimdi $x^2 - x - 6 < 0$ ya da $\frac{x^2 - 4}{x - 1} \ge 0$ gibi eşitsizliklere geçiyoruz. Bunlarda $x$'i yalnız bırakmak mümkün değildir. Onun yerine şu soruyu sorarız: ifade hangi $x$ değerlerinde pozitif, hangilerinde negatif, hangilerinde sıfırdır? Bu sorunun cevabına ifadenin işareti denir. Eşitsizlik çözmek, aslında bir ifadenin işaretini incelemektir.

Temel gözlem şudur: bir polinomun grafiği kopuksuz bir eğridir. Eğri x ekseninin üstünden altına geçmek için x eksenini kesmek zorundadır. Bu yüzden bir polinom yalnızca köklerinde işaret değiştirebilir; iki ardışık kök arasındaki aralıkta hep aynı işareti korur. Rasyonel bir ifadede (polinom bölü polinom) buna paydanın kökleri de eklenir, çünkü ifade orada tanımsızdır ve grafik orada kopar. Kısacası pay ve paydanın kökleri sayı doğrusunu aralıklara böler ve her aralıkta ifadenin işareti sabittir. Her aralıktan tek bir sayı denemek işareti bulmaya yeter; aşağıda göreceğimiz kural ise deneme yapmadan işareti yazmayı sağlar.

Bu konudaki bütün eşitsizlikler aynı biçime getirilerek çözülür: bütün terimler bir tarafa toplanır, öteki tarafta 0 kalır.

$$ P(x) > 0, \quad P(x) \ge 0, \quad P(x) < 0, \quad P(x) \le 0 $$

Sonra $P(x)$ çarpanlarına ayrılır, kökler sıralanır ve işaret tablosu kurulur. Bir tarafı sıfır yapmadan iki tarafı doğrudan karşılaştırmaya çalışmak, özellikle paydalı eşitsizliklerde, hataların en büyük kaynağıdır.

İkinci dereceden ifadenin işareti: Δ'ya göre üç durum

$f(x) = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ ifadesinin işaretini diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ ve baş katsayı $a$ belirler.

$\Delta > 0$ ise iki farklı gerçek kök vardır; bunlara $x_1 < x_2$ diyelim. İfade $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ biçiminde yazılır. $x > x_2$ iken iki parantez de pozitiftir ve çarpımın işareti $a$'nın işaretidir. $x_1 < x < x_2$ iken birinci parantez pozitif, ikincisi negatiftir; işaret $a$'nın tersidir. $x < x_1$ iken iki parantez de negatiftir, çarpımları pozitiftir ve işaret yine $a$'nınkidir. Kısaca: köklerin dışında $a$ ile aynı, kökler arasında $a$ ile ters işaret.

$\Delta = 0$ ise çift katlı tek kök vardır: $f(x) = a(x - x_0)^2$. Kare hiçbir zaman negatif olmadığı için ifade $x_0$ dışındaki her yerde $a$ ile aynı işaretlidir, $x_0$'da ise sıfırdır.

$\Delta < 0$ ise gerçek kök yoktur. Tam kareye tamamlayınca

$$ f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-\Delta}{4a^2}\right] $$

bulunur. Köşeli parantezin içi, pozitif bir sayıya bir karenin eklenmesidir; yani her zaman pozitiftir. Öyleyse $f(x)$ her $x$ için $a$ ile aynı işaretlidir.

Δ'ya göre parabolün x eksenine göre konumu — $a > 0$ için: $\Delta > 0$ iken ifade kökler arasında negatif, $\Delta = 0$ iken yalnızca kökte sıfır, $\Delta < 0$ iken her yerde pozitiftir.

$\Delta$	$f(x) = ax^2 + bx + c$ ifadesinin işareti
$\Delta > 0$	Köklerin dışında $a$ ile aynı, kökler arasında $a$ ile ters; köklerde 0
$\Delta = 0$	Kökün dışındaki her yerde $a$ ile aynı; kökte 0
$\Delta < 0$	Her yerde $a$ ile aynı; hiçbir yerde 0 olmaz

Grafikle düşünmek kuralı akılda tutmayı kolaylaştırır. $a > 0$ iken parabolün kolları yukarı bakar. $\Delta > 0$ ise parabol x eksenini iki noktada keser ve yalnızca bu iki nokta arasında eksenin altına iner. $\Delta = 0$ ise eksene teğettir, $\Delta < 0$ ise tamamen eksenin üstündedir. $a < 0$ iken resim x eksenine göre yansır ve bütün işaretler ters döner.

İkinci dereceden eşitsizlikleri çözmek

Yöntem dört adımdır: terimleri bir tarafa topla, kökleri bul (çarpanlara ayırarak ya da kök formülüyle), işareti yaz, eşitsizliğin istediği bölgeyi seç. Eşitsizlikte $\le$ ya da $\ge$ varsa kökler de çözüme girer.

Örneğin $x^2 - x - 6 < 0$ için $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ yazılır; kökler −2 ve 3, baş katsayı pozitiftir. İfade kökler arasında negatif olduğundan çözüm kümesi $(-2, 3)$ olur. Aynı ifade için $x^2 - x - 6 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi ise $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$'dur. Bu iki kümenin birbirini tümlediğine dikkat et: birinin dışında kalan her gerçek sayı ötekindedir.

Δ ≤ 0 olan durumlar "her şey", "hiçbir şey" ya da "tek nokta" gibi uç cevaplar verir. $x^2 + 2x + 5 > 0$ eşitsizliğinde $\Delta = 4 - 20 < 0$ ve $a > 0$ olduğundan çözüm kümesi $\mathbb{R}$'dir. Aynı ifade için $x^2 + 2x + 5 \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi boş kümedir. $x^2 - 10x + 25 \le 0$ eşitsizliği ise yalnızca $x = 5$ için sağlanır, çünkü sol taraf $(x - 5)^2$'dir.

İşaret tablosu: çarpım ve bölüm biçimindeki ifadeler

İfade birkaç çarpanın çarpımı ya da bölümü olduğunda işaret tablosu kurulur:

Pay ve paydadaki her çarpanın kökünü bul ($x + 1 = 0$, $3 - x = 0$ gibi).
Kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe sırala. Bu kökler doğruyu aralıklara böler.
En sağdaki aralığın işaretini bul: her çarpanın en yüksek dereceli terimini çarp (bölümde böl). $(x + 1)(x - 2)^2(3 - x)$ için bu çarpım $x \cdot x^2 \cdot (-x) = -x^4$ olduğundan en sağdaki işaret eksidir. Çok büyük bir sayı (örneğin $x = 100$) koyup bakmak da aynı sonucu verir.
Sağdan sola ilerle: tek katlı bir kökten geçerken işaret değişir, çift katlı bir kökten geçerken değişmez.
Payın köklerinde ifade 0'dır; paydanın köklerinde tanımsızdır.

Tabloda her çarpanı ayrı bir satıra yazıp en altta çarpımın işaretini bulmak, kuralın neden doğru olduğunu da gösterir: bir sütundaki eksi işaretlerinin sayısı çiftse çarpım pozitif, tekse negatiftir. Bir kökten geçerken yalnızca o köke ait çarpanın işareti değişir; diğer satırlar aynı kalır.

Çarpım biçimindeki ifadenin işaret tablosu — $(x + 1)(x - 2)^2(3 - x)$ için tablo: −1 ve 3'te işaret değişir, çift katlı kök 2'de değişmez.

Çift katlı ve tek katlı kökler

$(x - 2)^2$ çarpanı 2'nin solunda da sağında da pozitiftir; 2'de sıfır olur ama işaret değiştirmez. Genel olarak $(x - r)^n$ çarpanı $n$ çiftse $r$'den geçerken işaretini korur, $n$ tekse değiştirir. Çünkü $x - r$ işaret değiştirdiğinde onun çift kuvveti pozitif kalır, tek kuvveti ise $x - r$ ile aynı işareti taşır.

Bu kuralın iki önemli sonucu vardır. Birincisi, çift katlı kök eşitsizlikte kendi başına davranır. $(x - 2)^2(x + 1) > 0$ eşitsizliğinde 2 çözümden düşer, çünkü orada ifade 0'dır; $(x - 2)^2(x + 1) \ge 0$ eşitsizliğinde ise 2 çözüme girer. Hatta $(x - 2)^2(x + 1) \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $(-\infty, -1] \cup \{2\}$ olur: ifade 2'de sıfır olduğu için bu tek nokta, negatif bölgeden ayrı olarak çözüme eklenir. Bu yalnız nokta, tam sayı sayma sorularında en sık unutulan değerdir.

İkincisi, her zaman pozitif olan çarpanlar işareti etkilemez ve tablodan atılabilir. $x^2 + 1$, $x^2 + x + 1$ ($\Delta < 0$, $a > 0$) ya da $2^x$ gibi çarpanlar her yerde pozitiftir. Örneğin $(x^2 + x + 1)(x - 4) < 0$ eşitsizliği doğrudan $x - 4 < 0$ eşitsizliğine dönüşür. Her zaman negatif olan bir çarpan (örneğin $-x^2 - 3$) de atılabilir, ama bu kez eşitsizliğin yönü değişir.

Paydalı eşitsizlikler: paydanın kökü çözüme girmez

$\frac{P(x)}{Q(x)}$ ifadesinin işareti $P(x) \cdot Q(x)$ çarpımının işaretiyle aynıdır, çünkü bir sayıya bölmek de o sayıyla çarpmak da işareti aynı biçimde etkiler. Bu yüzden işaret tablosu pay ve paydanın bütün kökleriyle birlikte kurulur. Tek fark şudur: paydanın kökünde ifade tanımsızdır ve eşitsizlik "$\ge$" ya da "$\le$" olsa bile bu değer hiçbir zaman çözüme girmez. Tabloda bu noktaları ayrıca işaretlemek iyi bir alışkanlıktır.

Paydalı ifadenin işaret tablosu — $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x - 3}$ için tablo: payın kökleri −2 ve 2'de ifade 0, paydanın kökleri −1 ve 3'te tanımsızdır.

Sadeleştirme de dikkat ister. $\frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} > 0$ ifadesinde $x - 1$ sadeleştirilirse $x + 3 > 0$ kalır; ama $x = 1$ başlangıçtaki ifadeyi tanımsız yaptığından çözümden çıkarılmalıdır. Sonuç $(-3, 1) \cup (1, \infty)$ olur.

Yüksek dereceli eşitsizlikler

Üçüncü ya da daha yüksek dereceden bir eşitsizlikte iş, ifadeyi birinci ve ikinci dereceden çarpanlara ayırmaktır. Bunun için ortak çarpan parantezi, gruplama ve özdeşlikler kullanılır. Örneğin

$$ x^3 - 4x^2 - x + 4 = x^2(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(x - 1)(x + 1) $$

olduğundan kökler −1, 1 ve 4'tür. Hepsi tek katlıdır ve en sağdaki işaret artıdır; işaret sağdan sola $+, -, +, -$ diye gider. $x^3 - 4x^2 - x + 4 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $[-1, 1] \cup [4, \infty)$ olur. Gruplama işe yaramazsa kök tahmin edilir: tam sayı katsayılı ve baş katsayısı 1 olan bir polinomun tam sayı kökleri sabit terimin bölenleri arasındadır. $P(1) = 0$ ise $x - 1$ bir çarpandır ve polinom $x - 1$'e bölünerek derece düşürülür.

$x^4 - 5x^2 + 4 < 0$ gibi yalnızca çift kuvvetler içeren ifadeler $t = x^2$ değişken değiştirmesiyle ikinci dereceye iner: $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$, yani $x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$. Dört tek katlı kökle tablo kurulduğunda ifade $(-2, -1)$ ve $(1, 2)$ aralıklarında negatif çıkar.

Eşitsizlik sistemleri: ortak çözüm

Birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlanması isteniyorsa her biri ayrı ayrı çözülür ve çözüm kümelerinin kesişimi alınır. Kesişimi bulmanın en güvenli yolu, çözüm kümelerini alt alta sayı doğruları üzerinde çizmek ve hepsinin boyalı olduğu bölgeleri okumaktır. Uç noktalar dikkat ister: bir eşitsizlikte dahil, ötekinde hariç olan bir uç nokta kesişimde hariçtir.

Eşitsizlik sisteminin ortak çözümü — $x^2 - 2x - 8 < 0$ ve $x^2 - 3x \ge 0$ eşitsizliklerinin ortak çözümü $(-2, 0] \cup [3, 4)$ olur.

"$m < f(x) < n$" biçimindeki iki yanlı bir eşitsizlik de aslında bir sistemdir: $f(x) > m$ ve $f(x) < n$ ayrı ayrı çözülür, kesişim alınır. "veya" bağlacıyla verilen eşitsizliklerde ise kesişim yerine birleşim alınır.

Parametreli eşitsizlikler: "her x için"

"Her $x$ gerçek sayısı için $ax^2 + bx + c > 0$" denildiğinde, parabolün tamamen x ekseninin üstünde olması istenmektedir. Bu da kolların yukarı bakması ve parabolün ekseni hiç kesmemesi demektir:

$$ \text{her } x \in \mathbb{R} \text{ için } ax^2 + bx + c > 0 \iff a > 0 \ \text{ve}\ \Delta < 0 $$

Benzer biçimde her $x$ için $ax^2 + bx + c < 0$ olması $a < 0$ ve $\Delta < 0$ demektir. Eşitsizlik "$\ge$" ya da "$\le$" ise parabolün eksene teğet olmasına izin verilir ve koşul $\Delta \le 0$ olur.

Burada bir tuzak vardır: katsayılarda parametre varsa baş katsayı sıfır olabilir. O durumda ifade ikinci dereceden değildir ve ayrıca incelenmelidir. $(m - 1)x^2 + 2(m - 1)x + 4 > 0$ eşitsizliğinde $m = 1$ için sol taraf 4 olur ve eşitsizlik her $x$ için doğrudur; bu değer cevaba eklenir. Öte yandan $mx^2 + 4x + m < 0$ eşitsizliğinde $m = 0$ için $4x < 0$ kalır ve bu her $x$ için doğru değildir. Baş katsayının sıfır olduğu durum bazen cevaba girer, bazen girmez; mutlaka denenmelidir.

Köklerin işaretleri

$ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun. Kökleri hesaplamadan işaretlerini kökler toplamı $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ve kökler çarpımı $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ söyler:

İstenen	Koşullar
İki kök de pozitif	$\Delta \ge 0$, $x_1 + x_2 > 0$, $x_1 \cdot x_2 > 0$
İki kök de negatif	$\Delta \ge 0$, $x_1 + x_2 < 0$, $x_1 \cdot x_2 > 0$
Kökler ters işaretli	$x_1 \cdot x_2 < 0$
Ters işaretli, negatif kökün mutlak değeri büyük	$x_1 \cdot x_2 < 0$ ve $x_1 + x_2 < 0$

Çarpım pozitifse kökler aynı işaretlidir; hangi işarette olduklarını toplam söyler. Diskriminant koşulu unutulmamalıdır: $x^2 - x + 1 = 0$ denkleminde toplam ve çarpım pozitiftir ama gerçek kök yoktur. Kökler ters işaretliyse Δ ayrıca yazılmaz, çünkü $\frac{c}{a} < 0$ ise $ac < 0$ olur ve $\Delta = b^2 - 4ac$ kesinlikle pozitiftir. Soruda "farklı iki kök" isteniyorsa $\Delta > 0$, eşit olmalarına izin veriliyorsa $\Delta \ge 0$ alınır.

Köklerin bir sayıya göre konumu: a · f(k) < 0

Bazı sorular köklerin işaretini değil, belli bir sayıya göre yerini sorar: "Köklerden biri 1'den büyük, diğeri 1'den küçüktür." Parabolün resmine bakalım. $a > 0$ ise parabol kökler arasında x ekseninin altındadır. 1 sayısı kökler arasındaysa $f(1) < 0$ olur. Tersine, $f(1) < 0$ ise kolları yukarı bakan parabol 1'in hem solunda hem sağında ekseni kesmek zorundadır. $a < 0$ ise her şey ters döner ve koşul $f(1) > 0$ olur. İki durum tek koşulda birleşir:

$$ x_1 < k < x_2 \iff a \cdot f(k) < 0 $$

Bu koşul sağlandığında Δ'yı ayrıca denetlemek gerekmez; kökler kendiliğinden gerçek ve farklıdır. İki sayı söz konusuysa (bir kök $k$'den küçük, öteki $n$'den büyük ve $k < n$) iki koşul birlikte yazılır: $a \cdot f(k) < 0$ ve $a \cdot f(n) < 0$.

Köklerin konumu — Kolları yukarı bakan parabolde $f(1) < 0$ ve $f(3) < 0$ ise 1 ve 3 sayıları iki kökün arasında kalır.

Mutlak değerli eşitsizlikler

TYT'de $|x - a| < b$ türünü uzaklık olarak yorumladık. AYT'de mutlak değerin içinde ya da dışında ikinci dereceden ifadeler bulunur. Kullandığımız kurallar aynıdır ($b > 0$ için):

$$ |A| < b \iff -b < A < b, \qquad |A| > b \iff A < -b \ \text{veya}\ A > b $$

Örneğin $|x^2 - 5| < 4$ eşitsizliği $-4 < x^2 - 5 < 4$, yani $1 < x^2 < 9$ demektir. $x^2 > 1$ eşitsizliği $x < -1$ veya $x > 1$, $x^2 < 9$ eşitsizliği ise $-3 < x < 3$ verir. Ortak çözüm $(-3, -1) \cup (1, 3)$ olur. İki mutlak değer karşılaştırılıyorsa kare almak güvenlidir, çünkü iki taraf da negatif değildir: $|A| < |B| \iff A^2 < B^2 \iff (A - B)(A + B) < 0$.

$x^2$ ile $|x|$ aynı eşitsizlikte geçiyorsa $x^2 = |x|^2$ özdeşliği işe yarar. $x^2 - 5|x| + 6 < 0$ eşitsizliğinde $t = |x|$ denirse $t^2 - 5t + 6 < 0$, yani $2 < t < 3$ bulunur. Buradan $2 < |x| < 3$ ve çözüm kümesi $(-3, -2) \cup (2, 3)$ olur. Bu kümede hiç tam sayı yoktur; böyle bir sonuç hata değil, sık sorulan bir tuzaktır.

Köklü eşitsizlikler ve tanım koşulu

Karekök içeren eşitsizliklerde ilk iş tanım kümesini yazmaktır: $\sqrt{A}$ yalnızca $A \ge 0$ iken tanımlıdır ve değeri hiçbir zaman negatif değildir. İki temel durum şunlardır:

$$ \sqrt{A} < B \iff A \ge 0,\ B > 0,\ A < B^2 $$

$$ \sqrt{A} > B \iff (B < 0 \ \text{ve}\ A \ge 0) \ \text{veya}\ (B \ge 0 \ \text{ve}\ A > B^2) $$

Birincide $B > 0$ koşulu şarttır, çünkü negatif olmayan bir sayı negatif bir sayıdan küçük olamaz. İkincide $B$ negatifse eşitsizlik tanım kümesinin her noktasında kendiliğinden doğrudur. Kare almak ancak iki taraf da negatif değilken eşitsizliğin yönünü korur; bu yüzden koşulları yazmadan doğrudan kare almak yabancı çözümler getirir.

Kök bir çarpan olarak geldiğinde iş kolaydır. $\sqrt{A} \ge 0$ olduğundan $\sqrt{x - 2} \cdot (x^2 - 16) \le 0$ eşitsizliğinde ya kök sıfırdır ($x = 2$) ya da $x^2 - 16 \le 0$ olmalıdır. Tanım koşulu $x \ge 2$ ile birleşince çözüm $[2, 4]$ bulunur. Tanım koşulunu unutan öğrenci $[-4, 4]$ yazar.

Tam sayı çözümlerini saymak

Çözüm kümesi bulunduktan sonra sorular çoğu zaman "kaç tam sayı" ya da "tam sayıların toplamı" diye sorar. $a$ ve $b$ tam sayıysa $[a, b]$ kapalı aralığında $b - a + 1$ tam sayı vardır; uçlardan biri açıksa bir, ikisi de açıksa iki eksiltilir. Asıl hata kaynağı aralıkların kendisi değil, ayrık noktalardır: paydanın kökleri çıkarılır; "$\le$" ve "$\ge$" sorularında çift katlı kökler tek başına eklenir; kesin eşitsizliklerde ise çift katlı kökler aralığın ortasından çıkarılır. Örneğin $(x + 2)(x - 1)^2(x - 4) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $(-2, 1) \cup (1, 4)$'tür. $(-2, 4)$ aralığında 5 tam sayı vardır, ama 1 ifadeyi sıfır yaptığı için çıkarılır ve 4 tam sayı kalır.

Birkaç aralığın birleşimi söz konusu olduğunda çözümü sayı doğrusunda çizip tam sayıları tek tek işaretlemek en güvenli yoldur. Toplam sorulduğunda, $-n$ ile $n$ arasındaki simetrik bir bölgede pozitif ve negatif tam sayıların birbirini götürdüğünü kullanmak zaman kazandırır.

Formüller

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Δ > 0: köklerin dışında a ile aynı, kökler arasında a ile ters işaret

$$\Delta = 0 \Rightarrow f(x) = a(x - x_0)^2$$

Kökün dışında a ile aynı işaret, kökte 0

$$\Delta < 0 \Rightarrow f(x) \text{ her yerde } a \text{ ile aynı işaretli}$$

Kök yok, işaret hiç değişmez

$$\frac{P(x)}{Q(x)} \text{ ile } P(x) \cdot Q(x) \text{ aynı işaretli},\ Q(x) \neq 0$$

Paydanın kökü çözüme girmez

$$(x - r)^{2n}$$

Çift katlı kökte işaret değişmez, tek katlıda değişir

$$ax^2 + bx + c > 0\ (\forall x) \iff a > 0,\ \Delta < 0$$

Her x için pozitif

$$ax^2 + bx + c < 0\ (\forall x) \iff a < 0,\ \Delta < 0$$

Her x için negatif

$$x_1 x_2 = \frac{c}{a} < 0$$

Kökler ters işaretli

$$\Delta \ge 0,\ x_1 + x_2 > 0,\ x_1 x_2 > 0$$

İki kök de pozitif

$$x_1 < k < x_2 \iff a \cdot f(k) < 0$$

k sayısı kökler arasında

$$|A| < b \iff -b < A < b \quad (b > 0)$$

Mutlak değerli eşitsizlik

$$\sqrt{A} < B \iff A \ge 0,\ B > 0,\ A < B^2$$

Köklü eşitsizlik

Çözümlü örnekler

Örnek 1Baş katsayısı negatif eşitsizlik

$-x^2 + 2x + 8 \ge 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

Örnek 2Diskriminanta göre üç durum

$x^2 - 6x + 9 > 0$, $x^2 + x + 1 < 0$ ve $4x^2 - 4x + 1 \le 0$ eşitsizliklerinin çözüm kümeleri nedir?

Örnek 3Çift katlı kökü olan çarpım

$(x - 2)^2 (x + 1)(3 - x) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Bu kümede kaç tam sayı vardır?

Örnek 4Paydalı eşitsizlik

$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x - 3} \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Örnek 5İçler dışlar tuzağı

$\dfrac{x + 1}{x - 2} \ge 2$ eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

Örnek 6Eşitsizlik sistemi

$x^2 - 2x - 8 < 0$ ve $x^2 - 3x \ge 0$ eşitsizliklerini birlikte sağlayan kaç tam sayı vardır?

Örnek 7Her x için pozitif olan ifade

Her $x$ gerçek sayısı için $(m - 1)x^2 + 2(m - 1)x + 4 > 0$ eşitsizliği sağlandığına göre $m$ hangi aralıktadır?

Örnek 8İki sayının da kökler arasında olması

$x^2 - (m + 1)x + 2m - 6 = 0$ denkleminin köklerinden biri 1'den küçük, diğeri 3'ten büyüktür. Buna göre $m$'nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Örnek 9Köklü eşitsizlik

$\sqrt{x + 3} < x - 3$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Sık yapılan hatalar

Paydalı eşitsizlikte iki tarafı paydayla çarpmak ya da içler dışlar çarpımı yapmak; paydanın işareti bilinmeden eşitsizliğin yönü korunamaz.
$x^2 \ge 4x$ gibi bir eşitsizlikte iki tarafı $x$'e bölmek; $x$ negatif ya da sıfır olabilir.
Paydanın kökünü, eşitsizlikte "$\le$" ya da "$\ge$" var diye çözüme katmak.
Çift katlı kökte işareti değiştirmek; "$\le 0$" sorularında çift katlı kökü tek nokta olarak çözüme eklemeyi ya da "$< 0$" sorularında aralıktan çıkarmayı unutmak.
En sağdaki aralığın işaretini her zaman artı sanmak; $3 - x$ gibi çarpanlar baş katsayıyı negatif yapar.
"Her $x$ için" sorularında baş katsayının sıfır olduğu durumu denemeyi unutmak.
Köklerin işaretinde Δ koşulunu atlamak; toplam ve çarpım pozitif olsa da gerçek kök olmayabilir.
Köklü eşitsizliklerde tanım koşulunu yazmadan ya da sağ tarafın işaretine bakmadan kare almak.

Günlük hayatta

Yerden saniyede 20 metre hızla dik yukarı atılan bir topun $t$ saniye sonraki yüksekliği, hava direnci ihmal edilip yer çekimi ivmesi yaklaşık $10\ \text{m/s}^2$ alınırsa $h = 20t - 5t^2$ metredir. Topun 15 metreden yüksekte kaldığı süreyi bulmak, $20t - 5t^2 > 15$ eşitsizliğini çözmek demektir. İki taraf 5'e bölünüp terimler bir tarafa toplanınca $t^2 - 4t + 3 < 0$, yani $(t - 1)(t - 3) < 0$ bulunur. Top 1. saniye ile 3. saniye arasında 15 metrenin üzerindedir; bu süre 2 saniyedir. Mühendisler de bir köprünün taşıyabileceği yük, bir ilacın kandaki güvenli derişimi ya da bir işletmenin kâra geçtiği üretim miktarı gibi sınırları bu tür eşitsizliklerle hesaplar. Bu hesaplarda cevap çoğu zaman tek bir sayı değil, bir aralıktır.

Konu testi

27 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

$x^2 - 7x + 10 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

2Kolay

$x^2 - 6x + 9 \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

3Kolay

$x^2 - 2x - 15 \le 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

4Kolay

Bir $f$ fonksiyonunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir. $f$, yalnızca $x = 4$ için tanımsızdır.

Buna göre $f(x) \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

5Kolay

$x^2 \ge 4x$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

6Kolay

Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin çözüm kümesi gerçek sayılar kümesidir?

7Orta

$(x + 3)(x - 1)^2(x - 5) < 0$ eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

8Orta

$\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 1} \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

9Orta

$\dfrac{3}{x - 1} < 1$ eşitsizliğinin çözüm kümesinde bulunmayan kaç tane tam sayı vardır?

10Orta

$x^2 - 9 \le 0$ ve $x^2 + 2x > 0$ eşitsizliklerini birlikte sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

11Orta

Her $x$ gerçek sayısı için $x^2 - 2(m - 1)x + m + 5 > 0$ eşitsizliği sağlandığına göre $m$'nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

12Orta

Şekilde ikinci dereceden $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Parabol x eksenini $-1$ ve 3 noktalarında kesmektedir.

Buna göre $\dfrac{f(x)}{x - 1} \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

13Orta

$|x^2 - 4x| \le 5$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

14Orta

$\sqrt{x - 1} \cdot (x^2 - 9) \le 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

15Orta

$x^3 - x^2 - 9x + 9 \le 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane pozitif tam sayı vardır?

16Orta

$a \neq 0$ olmak üzere $ax^2 + bx + c > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $(-2, 5)$ aralığıdır. Buna göre

I.$a < 0$
II.$c > 0$
III.$b < 0$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

17Orta

İkinci dereceden $f(x) = x^2 + bx + c$ fonksiyonunun işaret tablosu aşağıda verilmiştir.

Buna göre $b \cdot c$ çarpımı kaçtır?

18Orta

$x^2 - 6|x| + 5 \le 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

19Zor

Her $x$ gerçek sayısı için $mx^2 + 4x + m < 0$ eşitsizliği sağlandığına göre $m$'nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

20Zor

$x^2 + (m - 4)x + m - 6 = 0$ denkleminin kökleri ters işaretlidir ve negatif kökün mutlak değeri pozitif kökten büyüktür. Buna göre $m$ tam sayısı kaçtır?

21Zor

$x^2 - (m + 2)x + 2m + 1 = 0$ denkleminin birbirinden farklı iki pozitif gerçek kökü olduğuna göre $m$'nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

22Zor

$2x^2 - (m + 1)x + m - 7 = 0$ denkleminin köklerinden biri 1'den küçük, diğeri 1'den büyük olduğuna göre $m$'nin alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

23Zor

Her $x$ gerçek sayısı için $(m + 1)x^2 - 2(m - 1)x + m - 5 < 0$ eşitsizliği sağlandığına göre $m$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

24Zor

Şekilde $y = f(x)$ parabolü ile $y = g(x)$ doğrusunun grafikleri verilmiştir. Parabol x eksenini $O(0, 0)$ ve $(4, 0)$ noktalarında kesmekte, doğru ile parabol $O$ ve $A(5, 5)$ noktalarında kesişmektedir.

Buna göre $f(x) \le g(x)$ eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan kaç tanesi $f(x) \cdot g(x) < 0$ eşitsizliğini de sağlar?

25Zor

$\dfrac{(x - 1)^2 (x + 2)}{x^2 - 9} \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

26Zor

$\sqrt{x + 5} > x - 1$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

27Zor

$a \neq 0$ olmak üzere her $x$ gerçek sayısı için $ax^2 + bx + c > 0$ olduğuna göre

I.$c > 0$
II.$b < 0$
III.$4a - 2b + c > 0$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.

\(\Delta\)	\(f(x) = ax^2 + bx + c\) ifadesinin işareti
\(\Delta > 0\)	Köklerin dışında \(a\) ile aynı, kökler arasında \(a\) ile ters; köklerde 0
\(\Delta = 0\)	Kökün dışındaki her yerde \(a\) ile aynı; kökte 0
\(\Delta < 0\)	Her yerde \(a\) ile aynı; hiçbir yerde 0 olmaz

İstenen	Koşullar
İki kök de pozitif	\(\Delta \ge 0\), \(x_1 + x_2 > 0\), \(x_1 \cdot x_2 > 0\)
İki kök de negatif	\(\Delta \ge 0\), \(x_1 + x_2 < 0\), \(x_1 \cdot x_2 > 0\)
Kökler ters işaretli	\(x_1 \cdot x_2 < 0\)
Ters işaretli, negatif kökün mutlak değeri büyük	\(x_1 \cdot x_2 < 0\) ve \(x_1 + x_2 < 0\)