AYT 10. sınıf · 3. konu

Parabol: İkinci Dereceden Fonksiyonlar

Parabol grafiği, tepe noktası ve simetri ekseni, diskriminant, denklem yazma, grafikten işaret okuma, en büyük-en küçük değer, optimizasyon, teğet ve öteleme.

Bu konuda öğreneceklerin

$f(x) = ax^2 + bx + c$ grafiğinin kollarının yönünü, tepe noktasını ve simetri eksenini bulmayı
Parabolün eksenleri kestiği noktaları ve diskriminantla x eksenine göre konumunu belirlemeyi
Tepe noktası biçimini ve kökleri verilen biçimi kullanarak grafiği verilen parabolün denklemini yazmayı
Grafikten $a$, $b$, $c$ ve $\Delta$ işaretlerini okumayı
En büyük ve en küçük değeri, kapalı aralıkta da, bulmayı ve günlük hayattaki optimizasyon problemlerine uygulamayı
Parabol ile doğrunun ve iki parabolün ortak noktalarını, teğet olma koşulunu ve parabolün ötelenmesini incelemeyi

İkinci dereceden fonksiyon ve parabol

$a$, $b$, $c$ gerçek sayılar ve $a \neq 0$ olmak üzere

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir ve grafiklerine parabol adı verilir. $a$ baş katsayıdır; $a = 0$ olsaydı fonksiyon $bx + c$ olur, grafiği de bir doğru olurdu. Bu yüzden "$f(x) = (m - 2)x^2 + 4x + 1$ bir parabol belirtiyorsa" gibi bir ifade, $m \neq 2$ koşulunu gizlice verir.

TYT'de ikinci dereceden denklemi çözmeyi, yani $ax^2 + bx + c = 0$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerini bulmayı öğrendin. Parabol konusu aynı ifadeye bir fonksiyon gözüyle bakar: $x$ değiştikçe $f(x)$ nasıl değişir, nerede en küçük ya da en büyük olur, nerede pozitif ya da negatiftir? Denklemin kökleri artık grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleridir. $c$ sayısı da grafiğin y eksenini kestiği yeri verir, çünkü $f(0) = c$'dir.

En basit parabol $y = x^2$'dir. Tablo yaparsak $x = -2, -1, 0, 1, 2$ için $y = 4, 1, 0, 1, 4$ buluruz. Değerler 0'a göre simetriktir: $x$ ile $-x$ aynı $y$ değerini verir. Grafik, en alt noktası orijin olan ve iki kolu yukarı doğru açılan bir eğridir. Bütün parabollerin şekli budur; yalnızca yeri, yönü ve genişliği değişir.

Kolların yönü ve a'nın büyüklüğü

Baş katsayının işareti kolların yönünü belirler. $a > 0$ ise $x$ çok büyüdüğünde ya da çok küçüldüğünde $ax^2$ terimi baskın gelir ve pozitif büyük değerler alır; kollar yukarı açılır ve grafiğin bir en alçak noktası vardır. $a < 0$ ise kollar aşağı açılır ve grafiğin bir en yüksek noktası vardır. Bu özel noktaya tepe noktası denir.

$|a|$ ise parabolün ne kadar dar olduğunu söyler. $y = 2x^2$ grafiğinde her $y$ değeri $y = x^2$ grafiğindekinin iki katıdır; eğri daha hızlı yükselir ve kollar y eksenine yaklaşır. $y = \frac{1}{2}x^2$ ise daha yavaş yükselir, daha geniş görünür. $a$ ile $-a$ aynı genişlikte, ama ters yönde açılan iki parabol verir.

Parabolün genişliği — $|a|$ büyüdükçe parabol daralır: $y = 2x^2$ en dar, $y = \frac{1}{2}x^2$ en geniş parabol.

Tepe noktası ve simetri ekseni

Tepe noktasını bulmanın yolu tam kareye tamamlamadır. $a$ parantezine alıp tam kare oluşturursak

$$ ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} $$

elde ederiz. Sağdaki kare terim hiçbir zaman negatif olmaz ve yalnızca $x = -\frac{b}{2a}$ için sıfırdır. $a > 0$ ise $f(x)$ en küçük değerini bu noktada alır; $a < 0$ ise en büyük değerini. Bu yüzden tepe noktası $T(r, k)$ şöyledir:

$$ r = -\frac{b}{2a}, \qquad k = f(r) = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} $$

Pratikte $k$'yi formülle değil, $r$'yi fonksiyonda yerine koyarak bulmak daha az hata yaptırır. Örneğin $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ için $r = \frac{8}{4} = 2$ ve $k = f(2) = 8 - 16 + 6 = -2$ olur; tepe noktası $T(2, -2)$'dir.

Tepe noktasından geçen düşey doğruya, yani $x = r$ doğrusuna simetri ekseni denir. Bu doğruya eşit uzaklıktaki iki $x$ değeri aynı $y$ değerini verir: $f(r + t) = f(r - t)$. Bunun nedeni yukarıdaki biçimde $(x - r)^2$ teriminin $x = r + t$ ve $x = r - t$ için aynı $t^2$ değerini almasıdır. Bu özellik çok kullanışlıdır: bir parabol üzerinde ordinatı aynı olan iki nokta görürsen simetri ekseni bu noktaların apsislerinin tam ortasındadır. $f(1) = f(5)$ ise $r = 3$'tür; kökler $x_1$ ve $x_2$ ise $r = \frac{x_1 + x_2}{2}$ olur.

Eksenleri kestiği noktalar ve diskriminant

Parabolün y eksenini kestiği nokta her zaman tektir: $(0, c)$. X eksenini kestiği noktalar ise $f(x) = 0$ denkleminin gerçek kökleridir ve sayıları diskriminanta bağlıdır:

$\Delta = b^2 - 4ac > 0$ ise parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
$\Delta = 0$ ise parabol x eksenine teğettir; tek ortak nokta tepe noktasıdır, $T(r, 0)$.
$\Delta < 0$ ise parabol x eksenini kesmez; $a > 0$ için tamamen x ekseninin üstünde, $a < 0$ için tamamen altındadır.

Diskriminant ve x ekseni — Üç parabolün kolları ve simetri ekseni aynı ($x = 2$); yalnızca sabit terim değişince parabol yukarı kayar ve x ekseniyle ortak nokta sayısı ikiden bire, birden sıfıra iner.

Bu üç durum $k = -\frac{\Delta}{4a}$ eşitliğiyle de açıklanır. $a > 0$ iken $\Delta > 0$ ise $k < 0$ olur: en alçak nokta x ekseninin altındadır ve kollar yukarı çıkarken ekseni iki kez keser. $\Delta = 0$ ise $k = 0$, tepe tam x ekseni üzerindedir. $\Delta < 0$ ise $k > 0$, en alçak nokta bile eksenin üstündedir. Buradan önemli bir sonuç çıkar: $a > 0$ ve $\Delta < 0$ ise her $x$ için $f(x) > 0$; $a < 0$ ve $\Delta < 0$ ise her $x$ için $f(x) < 0$ olur. Grafiğin x eksenine göre konumunu soran soruların neredeyse hepsi bu iki işarete bakılarak çözülür.

Tepe noktası biçimi ve kökleri verilen biçim

Bir parabolün denklemi üç biçimde yazılabilir ve her biri farklı bir bilgiyi hemen gösterir:

Biçim	Denklem	Hemen okunan bilgi
Genel biçim	$y = ax^2 + bx + c$	y eksenini kestiği nokta $(0, c)$
Tepe noktası biçimi	$y = a(x - r)^2 + k$	Tepe noktası $T(r, k)$
Kökleri verilen biçim	$y = a(x - x_1)(x - x_2)$	x eksenini kestiği noktalar

Tepe noktası biçiminde işaretlere dikkat etmek gerekir: $y = 3(x + 1)^2 - 5$ parabolünün tepe noktası $(-1, -5)$'tir, çünkü $x + 1 = x - (-1)$ olarak okunur. Kökleri verilen biçim yalnızca $\Delta \geq 0$ olan, yani x eksenini kesen ya da ona teğet olan paraboller için kullanılabilir; teğet durumda $y = a(x - x_1)^2$ olur ve bu, tepe noktası biçiminin $k = 0$ hâlidir.

Grafiği verilen parabolün denklemini yazmak

Bir parabolü belirlemek için üç bilinmeyen ($a$, $b$, $c$) bulunmalıdır; bu yüzden üç bağımsız bilgi gerekir. Verilen bilgiye göre en kısa yolu seçmek işi çok kolaylaştırır:

Tepe noktası ve bir nokta verilmişse $y = a(x - r)^2 + k$ yazılır; tek bilinmeyen $a$'dır ve verilen nokta yerine konarak bulunur. Tepe noktası iki bilgi sayılır: hem noktanın parabol üzerinde olduğunu hem de simetri eksenini söyler.
Kökler ve bir nokta verilmişse $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ yazılır; yine tek bilinmeyen $a$'dır. Çoğu zaman bu nokta y eksenini kestiği noktadır: $c = a \cdot x_1 \cdot x_2$.
Herhangi üç nokta verilmişse genel biçim $y = ax^2 + bx + c$ kullanılır ve üç bilinmeyenli bir denklem sistemi çözülür. Noktalardan biri $(0, c)$ ise $c$ hemen bulunur; ordinatı eşit iki nokta varsa önce simetri ekseni yazılır.

Örneğin kökleri $-2$ ve $4$ olan ve y eksenini $-4$ noktasında kesen parabol için $y = a(x + 2)(x - 4)$ yazarız. $x = 0$ için $-8a = -4$, yani $a = \frac{1}{2}$ bulunur. Tepe noktasının apsisi köklerin ortası olan 1'dir ve ordinatı $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (-3) = -\frac{9}{2}$'dir.

Kökleri verilen parabol — Kökler −2 ve 4, y eksenini kestiği nokta −4. Tepe noktasının apsisi köklerin ortası olan 1'dir.

Grafikten a, b, c ve Δ'nın işaretini okumak

AYT'nin en sevdiği soru tiplerinden biri, üzerinde sayı olmayan bir parabol grafiği verip katsayıların işaretini sormaktır. Bunun için dört bilgi sırayla okunur:

$a$'nın işareti: Kollar yukarı ise $a > 0$, aşağı ise $a < 0$.
$c$'nin işareti: Grafik y eksenini pozitif bölgede kesiyorsa $c > 0$, negatif bölgede kesiyorsa $c < 0$, orijinden geçiyorsa $c = 0$.
$b$'nin işareti: Tepe noktasının apsisi $r = -\frac{b}{2a}$'dır. Tepe y ekseninin sağındaysa $r > 0$, bu durumda $a$ ile $b$ zıt işaretlidir. Tepe y ekseninin solundaysa $a$ ile $b$ aynı işaretlidir. Tepe y ekseni üzerindeyse $b = 0$'dır.
$\Delta$'nın işareti: x eksenini kestiği nokta sayısından okunur.

Bunlara ek olarak, eksen üzerinde 1 ve $-1$ işaretlenmişse $f(1) = a + b + c$ ve $f(-1) = a - b + c$ değerlerinin işareti de grafikte o noktanın x ekseninin üstünde mi altında mı olduğuna bakılarak okunur.

İşaret okuma — Kollar aşağı ($a < 0$), y eksenini pozitif bölgede kesiyor ($c > 0$), tepe y ekseninin sağında ($r > 0$, bu yüzden $b > 0$) ve x eksenini iki noktada kesiyor ($\Delta > 0$).

En büyük ve en küçük değer

Tepe noktası, parabolün aldığı değerlerin sınırını verir. $a > 0$ ise fonksiyonun en küçük değeri $k$'dir ve en büyük değeri yoktur; görüntü kümesi $[k, \infty)$ olur. $a < 0$ ise en büyük değer $k$'dir ve görüntü kümesi $(-\infty, k]$ olur. "$f(x) = -2x^2 + 8x + m$ fonksiyonunun en büyük değeri 5" gibi bir bilgi doğrudan $f(2) = 5$ demektir.

Tanım kümesi bir kapalı aralık $[p, q]$ ile sınırlandırılınca durum değişir, çünkü artık grafiğin yalnızca bir parçası vardır. Bu durumda en büyük ve en küçük değer şu üç adayın arasından seçilir: $f(p)$, $f(q)$ ve tepe noktası aralığın içindeyse $f(r)$. $a > 0$ ve $r$ aralığın içindeyse en küçük değer $f(r)$'dir; en büyük değer, uç noktalardan simetri eksenine daha uzak olanında alınır. Tepe noktası aralığın dışındaysa fonksiyon o aralıkta yalnızca artan ya da yalnızca azalandır ve iki uç değer cevabı verir.

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer — $f(x) = x^2 - 6x + 5$ için $[-1, 4]$ aralığında: tepe $x = 3$ aralığın içinde, en küçük değer $f(3) = -4$. Simetri eksenine daha uzak olan uç $x = -1$ olduğu için en büyük değer $f(-1) = 12$.

Optimizasyon problemleri

Günlük hayatta bir niceliği en büyük ya da en küçük yapmak isteriz: aynı uzunlukta çitle en geniş bahçeyi çevirmek, fiyatı ayarlayarak geliri en yükseğe çıkarmak gibi. Bu tür problemlerin çoğu ikinci dereceden bir fonksiyona dönüşür ve çözümü tepe noktasıdır. Yöntem dört adımdır:

Değişkeni seç ve ne anlama geldiğini yaz (bir kenar uzunluğu, fiyat artışı…).
En büyük ya da en küçük yapılacak niceliği bu değişken cinsinden yaz.
Elde edilen ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasını bul.
Değişkenin anlamlı değer aralığını denetle (uzunluk ve adet negatif olamaz) ve soruda istenen niceliği hesapla.

Sabit çevreli en büyük alan. Çevresi 60 m olan dikdörtgenin kenarları $x$ ve $30 - x$ olur; alan $A(x) = x(30 - x)$ kökleri 0 ve 30 olan, kolları aşağı bir paraboldür. En büyük değer köklerin ortasında, $x = 15$'te alınır: dikdörtgen bir karedir ve alan 225 metrekaredir. Bir kenar duvara dayanıyor ve çit yalnızca üç kenara çekiliyorsa sonuç değişir; bu durumda en büyük alan kare değil, duvara paralel kenarı diğerinin iki katı olan dikdörtgende elde edilir.

Gelir = fiyat · adet. Fiyat artınca satış azalıyorsa gelir hem artan hem azalan bir çarpandan oluşur. Fiyat $x$ kadar artırıldığında birim fiyat $(p + x)$, satış $(n - dx)$ olursa gelir $R(x) = (p + x)(n - dx)$ olur. Bu, kökleri $-p$ ve $\frac{n}{d}$ olan bir paraboldür; en büyük gelir köklerin ortasında elde edilir. Maliyet de işin içindeyse kâr = (fiyat − birim maliyet) · adet yazılır ve aynı yöntem uygulanır.

Parabol ile doğrunun ortak noktaları

$y = ax^2 + bx + c$ parabolü ile $y = mx + n$ doğrusunun ortak noktaları, iki denklemin ortak çözümleridir. Ordinatlar eşitlenir:

$$ ax^2 + bx + c = mx + n \;\Longrightarrow\; ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0 $$

Bu denklemin kökleri ortak noktaların apsisleridir; ordinatlar doğru denkleminden bulunur. Bu yeni denklemin diskriminantı, doğrunun parabole göre konumunu söyler:

$\Delta > 0$: doğru parabolü iki farklı noktada keser.
$\Delta = 0$: doğru parabole teğettir; tek ortak nokta vardır.
$\Delta < 0$: doğru ile parabolün ortak noktası yoktur.

Teğet koşulu AYT'de sık sorulan bir parametre sorusudur. Örneğin $y = mx + 1$ doğrularının hepsi $P(0, 1)$ noktasından geçer; bunlardan hangilerinin $y = x^2 - 3x + 5$ parabolüne teğet olduğunu bulmak için $x^2 - (3 + m)x + 4 = 0$ denkleminde $\Delta = (3 + m)^2 - 16 = 0$ yazılır ve $m = 1$ ya da $m = -7$ bulunur. Parabolün dışındaki bir noktadan parabole iki teğet çizilebildiğini bu örnek açıkça gösterir.

Teğet doğrular — P(0, 1) noktasından geçen doğrulardan $m = 1$ ve $m = -7$ olanlar parabole teğettir; $m = 3$ olan doğru parabolü iki noktada keser.

Kesişme noktaları sorulmadan yalnızca toplamları istenirse kökleri tek tek bulmaya gerek yoktur. Ortak noktaların apsisleri toplamı, yukarıdaki denklemin kökler toplamı $-\frac{b - m}{a}$'dır; ordinatları toplamı da $m(x_1 + x_2) + 2n$ olur.

İki parabolün kesişimi ve parabolün ötelenmesi

İki parabolün ortak noktaları da aynı yolla bulunur: $y$ değerleri eşitlenir ve oluşan denklem çözülür. Baş katsayılar farklıysa ortaya yine ikinci dereceden bir denklem çıkar ve diskriminantı ortak nokta sayısını verir; $\Delta = 0$ ise iki parabol bir noktada birbirine teğettir. Baş katsayılar eşitse $x^2$ terimleri sadeleşir ve denklem birinci dereceye iner; bu durumda en çok bir ortak nokta vardır.

Öteleme, grafiği şeklini bozmadan kaydırmaktır. $y = f(x)$ grafiği $h$ birim sağa ötelenirse $y = f(x - h)$, $h$ birim sola ötelenirse $y = f(x + h)$ olur; $v$ birim yukarı ötelenirse $y = f(x) + v$, aşağı ötelenirse $y = f(x) - v$ olur. Yatay ötelemedeki işaret ilk bakışta ters görünür: sağa kaydırmak için $x$'ten çıkarırız, çünkü yeni grafikte eski değeri elde etmek için $x$'in $h$ kadar büyük olması gerekir.

Tepe noktası biçimi aslında bir öteleme tarifidir: $y = a(x - r)^2 + k$ grafiği, $y = ax^2$ grafiğinin $r$ birim sağa ve $k$ birim yukarı ötelenmiş hâlidir. Öteleme $a$'yı değiştirmez; kolların yönü ve genişliği aynı kalır, yalnızca tepe noktası taşınır.

Formüller

$$f(x) = ax^2 + bx + c,\ a \neq 0$$

İkinci dereceden fonksiyon; grafiği paraboldür

$$a > 0 \Rightarrow \text{kollar yukarı},\ a < 0 \Rightarrow \text{kollar aşağı}$$

Kolların yönü; $|a|$ büyüdükçe parabol daralır

$$r = -\frac{b}{2a},\quad k = f(r) = -\frac{\Delta}{4a}$$

Tepe noktası $T(r, k)$

$$x = r = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

Simetri ekseni; köklerin ortası

$$f(r + t) = f(r - t)$$

Simetri: eksene eşit uzaklıktaki noktalar aynı değeri verir

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

$\Delta > 0$ iki nokta, $\Delta = 0$ teğet, $\Delta < 0$ x eksenini kesmez

$$y = a(x - r)^2 + k$$

Tepe noktası biçimi

$$y = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Kökleri verilen biçim

$$a > 0,\ \Delta < 0 \Rightarrow f(x) > 0 \ (\forall x)$$

Grafik tamamen x ekseninin üstünde

$$ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0$$

Parabol ile $y = mx + n$ doğrusunun ortak noktaları; teğet için $\Delta = 0$

$$\max / \min \in \{f(p),\ f(q),\ f(r)\}$$

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer adayları

$$y = f(x - h) + v$$

$h$ birim sağa, $v$ birim yukarı öteleme

Çözümlü örnekler

Örnek 1Tepe noktası ve eksenleri kestiği noktalar

$f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ parabolünün tepe noktasını, x eksenini ve y eksenini kestiği noktaları bulunuz.

Örnek 2Tepe noktası ve bir noktası verilen parabol

Tepe noktası $T(-1, 4)$ olan bir parabol $(1, -4)$ noktasından geçmektedir. Bu parabol $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği olduğuna göre $f(2)$ kaçtır?

Örnek 3Kökleri verilen parabol

Aşağıdaki grafik, x eksenini $-2$ ve $4$ noktalarında, y eksenini $-4$ noktasında kesen $y = f(x)$ parabolüne aittir.

Parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Örnek 4Simetriyle üç noktadan denklem

Bir parabol $(0, 5)$, $(1, 2)$ ve $(4, 5)$ noktalarından geçmektedir. Bu parabolün belirttiği fonksiyonun en küçük değeri kaçtır?

Örnek 5Grafikten işaret okuma

$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Buna göre $a$, $b$, $c$, $\Delta$ ve $a \cdot b \cdot c$ ifadelerinin işaretlerini bulunuz.

Örnek 6Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

$f : [-1, 4] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 6x + 5$ fonksiyonunun en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Örnek 7Duvar kenarında en büyük bahçe

Bir çiftçi, bir kenarı uzun bir duvara dayanan dikdörtgen biçimli bir bahçenin duvar dışındaki üç kenarını 120 metre tel çitle çevirecektir. Bahçenin alanı en çok kaç metrekare olur?

Örnek 8Fiyatı ayarlayarak en büyük gelir

Bir kırtasiye, tanesi 40 TL olan bir defterden günde 300 adet satmaktadır. Yapılan araştırmaya göre fiyattaki her 1 TL'lik artış günlük satışı 5 adet azaltmaktadır. Günlük gelirin en büyük olması için defterin fiyatı kaç TL olmalıdır ve bu durumda günlük gelir kaç TL olur?

Örnek 9Teğet olma koşulu

$y = mx + 1$ doğrusu $y = x^2 - 3x + 5$ parabolüne teğet olduğuna göre $m$'nin alabileceği değerleri ve değme noktalarını bulunuz.

Sık yapılan hatalar

Tepe noktasının apsisini $\frac{b}{2a}$ almak; doğrusu $-\frac{b}{2a}$'dır.
Tepe noktası biçiminde işareti ters okumak: $y = (x + 3)^2 - 2$ parabolünün tepe noktası $(3, -2)$ değil $(-3, -2)$'dir.
Kökleri verilen biçimde baş katsayıyı unutup $y = (x - x_1)(x - x_2)$ yazmak; $a$ mutlaka verilen bir noktadan bulunmalıdır.
Kapalı aralıkta en büyük ya da en küçük değeri yalnızca tepe noktasında aramak; uç noktalar her zaman adaydır, tepe ise yalnızca aralığın içindeyse adaydır.
Grafikten $b$'nin işaretini okurken $a$'nın işaretini hesaba katmamak: tepe sağdaysa $b$, $a$ ile zıt işaretlidir.
Teğetlik sorusunda diskriminantı parabolün kendi denklemine uygulamak; önce parabol ile doğru eşitlenmeli, $\Delta = 0$ bu yeni denkleme uygulanmalıdır.
Optimizasyon sorularında değişkenin anlamını unutup soruda istenenin yerine değişkenin değerini yazmak (fiyat artışı yerine fiyatı, kenar yerine alanı).
Yatay ötelemede işareti karıştırmak: 3 birim sola öteleme $f(x + 3)$, 3 birim sağa öteleme $f(x - 3)$ ile yapılır.

Günlük hayatta

Hava direnci ihmal edildiğinde, eğik atılan bir topun izlediği yol bir paraboldür. Topun yüksekliği zamanla ikinci dereceden bir fonksiyona göre değişir, çünkü yer çekimi ivmesi sabittir. Basketbolcunun atışının en yüksek noktası parabolün tepe noktasıdır ve aynı hızla atılan bir top, yatay düzlemde en uzağa yaklaşık 45 derecelik açıyla atıldığında gider. Parabolün bir başka özelliği de yansıtma özelliğidir: parabol biçimli bir aynaya eksenine paralel gelen ışınlar tek bir noktada, odakta toplanır. Uydu çanakları, araba farları ve bazı güneş ocakları bu nedenle parabolün kendi ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen yüzey biçiminde yapılır.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

$f(x) = x^2 - 6x + 11$ parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

2Kolay

$f(x) = -2x^2 + 8x + m$ fonksiyonunun en büyük değeri 5 olduğuna göre $m$ kaçtır?

3Kolay

$y = x^2 - 4x + c$ parabolü x eksenine teğet olduğuna göre $c$ kaçtır?

4Kolay

Kökleri $-1$ ve 5 olan ve y eksenini $(0, -10)$ noktasında kesen parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

5Kolay

$f(x) = x^2 + 2x - 8$ parabolü x eksenini A ve B noktalarında, y eksenini C noktasında kesmektedir. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

6Kolay

$y = (x - 2)^2 + 3$ parabolü 3 birim sola ve 5 birim aşağı ötelendiğinde elde edilen parabolün tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?

7Orta

$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. T, parabolün tepe noktasıdır.

Buna göre

I.$a \cdot b > 0$
II.$b \cdot c > 0$
III.$a \cdot c < 0$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

8Orta

Aşağıda tepe noktası $T(2, -1)$ olan ve y eksenini $(0, 3)$ noktasında kesen $y = f(x)$ parabolünün grafiği verilmiştir.

Buna göre $f(5)$ kaçtır?

9Orta

$y = x^2 - 2x - 1$ parabolü ile $y = x + 3$ doğrusunun kesim noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

10Orta

$y = mx + 3$ doğrusu $y = 2x^2 + 3x + 5$ parabolüne teğet olduğuna göre $m$'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

11Orta

Bir kenarı düz bir duvara dayanan dikdörtgen biçimli bir tavuk kümesi yapılacaktır. Duvar dışındaki üç kenara ve kümesi iki eş bölmeye ayırmak için duvara dik olarak içeriye birer tel çit çekilecektir. Toplam 120 metre tel kullanıldığına göre kümesin alanı en çok kaç metrekare olabilir?

12Orta

Bir sinema salonunda bilet fiyatı 80 TL iken günde 300 bilet satılmaktadır. Bilet fiyatındaki her 1 TL'lik indirim günlük satışı 5 bilet artırmaktadır. Bu salonun günlük bilet geliri en çok kaç TL olabilir?

13Orta

$f : [-1, 3] \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[m, M]$ olduğuna göre $M - m$ farkı kaçtır?

14Orta

$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonu için $f(1) = 4$, $f(-1) = 10$ ve $f(2) = 7$ olduğuna göre parabolün tepe noktasının apsisi kaçtır?

15Orta

$m$ pozitif bir gerçek sayı olmak üzere $f(x) = x^2 - 2(m - 1)x + m + 5$ parabolü x eksenine teğettir. Buna göre parabolün x eksenine değdiği noktanın apsisi kaçtır?

16Orta

$f(x) = x^2 + (k - 2)x + k + 1$ parabolü x eksenini kesmediğine göre $k$'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

17Orta

$y = x^2 - 3x + 2$ ve $y = -x^2 + x + 8$ parabollerinin kesim noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

18Orta

$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonu için $a < 0$ ve $b^2 - 4ac < 0$ olduğu biliniyor. Buna göre

I.Her $x$ gerçek sayısı için $f(x) < 0$'dır.
II.$c < 0$'dır.
III.$b < 0$'dır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

19Zor

Aşağıdaki şekilde $y = x^2 - 4x + 3$ parabolü ile $y = x - 1$ doğrusu A ve B noktalarında kesişmektedir. T, parabolün tepe noktasıdır.

Buna göre ATB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

20Zor

$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Buna göre

I.$a + b + c < 0$
II.$a \cdot b \cdot c > 0$
III.$c - b > 0$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

21Zor

$y = x^2$ parabolü üzerindeki noktalardan $y = 2x - 5$ doğrusuna en yakın olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

22Zor

Dik kenarları $|AB| = 6$ birim ve $|BC| = 8$ birim olan ABC dik üçgeninin içine, bir köşesi B'de, kenarları dik kenarlar üzerinde ve B'nin karşısındaki köşesi P hipotenüs üzerinde olan bir dikdörtgen çiziliyor.

Bu dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkaredir?

23Zor

Bir atölyede birim maliyeti 30 TL olan bir ürün $x$ TL'ye satıldığında günde $(200 - 2x)$ adet satılmaktadır ($30 < x < 100$). Atölyenin bu üründen elde ettiği günlük kâr en çok kaç TL olabilir?

24Zor

$y = x^2 + 2x + m$ ve $y = -x^2 + 6x - 1$ parabolleri yalnızca bir noktada kesişmektedir. Bu ortak noktanın ordinatı kaçtır?

25Zor

$m$ bir gerçek sayı olmak üzere $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 6$ parabolü veriliyor. Buna göre

I.Parabolün tepe noktası, $m$ ne olursa olsun $y = x - 6$ doğrusu üzerindedir.
II.$m = 2$ için parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
III.$m > 6$ için parabol x eksenini kesmez.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

26Zor

$f : [-2, 2] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x + k$ fonksiyonunun en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı 15 olduğuna göre $k$ kaçtır?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.

Biçim	Denklem	Hemen okunan bilgi
Genel biçim	\(y = ax^2 + bx + c\)	y eksenini kestiği nokta \((0, c)\)
Tepe noktası biçimi	\(y = a(x - r)^2 + k\)	Tepe noktası \(T(r, k)\)
Kökleri verilen biçim	\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)	x eksenini kestiği noktalar