İkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılar

Neden yeni bir sayıya ihtiyaç var?

TYT'de \(x^2 + x + 1 = 0\) gibi diskriminantı negatif olan denklemler için "gerçek kök yok" deyip geçtik. Gerçek sayılarda bunun nedeni açıktır: hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamaz, bu yüzden \(x^2 = -1\) denkleminin gerçek çözümü yoktur. Matematikçiler bu engeli, sayı kümesini bir kez daha genişleterek aştı. Doğal sayılarda \(x + 5 = 2\) çözülemediği için negatif sayılar, tam sayılarda \(3x = 2\) çözülemediği için rasyonel sayılar, rasyonel sayılarda \(x^2 = 2\) çözülemediği için irrasyonel sayılar kullanılır. Aynı mantıkla karesi \(-1\) olan yeni bir sayı tanımlanır:

Bu sayıya sanal birim denir. \(a > 0\) için \(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) yazılır: \(\sqrt{-9} = 3i\), \(\sqrt{-12} = 2\sqrt{3}\,i\). Böylece \(x^2 = -9\) denkleminin kökleri \(3i\) ve \(-3i\) olur; ikisinin de karesi \(9i^2 = -9\)'dur.

i'nin kuvvetleri

\(i\)'nin ardışık kuvvetlerini hesaplayalım: \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\), \(i^4 = (i^2)^2 = 1\). Dördüncü kuvvette 1'e dönüldüğü için sonrası aynen tekrar eder: \(i^5 = i^4 \cdot i = i\), \(i^6 = -1\), \(i^7 = -i\), \(i^8 = 1\). Yani kuvvetler 4 adımlık bir döngü oluşturur ve \(i^n\)'yi bulmak için \(n\)'nin 4 ile bölümünden kalana bakmak yeter:

Örneğin \(2027 = 4 \cdot 506 + 3\) olduğundan \(i^{2027} = i^3 = -i\)'dir. Kural negatif üslerde de çalışır: \(i^{-1} = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = -i\) ve \(-1 = 4 \cdot (-1) + 3\) olduğundan bu da \(i^3\)'e eşittir. Negatif üste kalanı bulurken kalanın 0, 1, 2 ya da 3 olması gerektiğini unutma: \(-6 = 4 \cdot (-2) + 2\), yani \(i^{-6} = i^2 = -1\).

Döngüden çıkan önemli bir sonuç: ardışık dört kuvvetin toplamı sıfırdır, çünkü \(i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = i^n(1 + i - 1 - i) = 0\). Bu yüzden \(i + i^2 + \dots + i^{30}\) gibi uzun toplamlarda terimler dörtlü gruplara ayrılır, gruplar sıfır verir ve yalnızca artan birkaç terim hesaplanır. Ayrıca \(i^{2n}\) ifadesi \((i^2)^n = (-1)^n\)'e eşittir: \(n\) çiftse 1, tekse \(-1\) olur.

Karmaşık sayı: gerçel kısım, sanal kısım ve eşitlik

\(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(z = a + bi\) biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir; karmaşık sayılar kümesi \(\mathbb{C}\) ile gösterilir. \(a\)'ya \(z\)'nin gerçel kısmı, \(b\)'ye sanal kısmı denir ve \(\text{Re}(z) = a\), \(\text{İm}(z) = b\) yazılır. Sanal kısım \(bi\) değil \(b\)'dir: \(z = 5 - 2i\) için \(\text{İm}(z) = -2\)'dir. \(b = 0\) ise \(z\) bir gerçek sayıdır; bu yüzden gerçek sayılar karmaşık sayıların bir alt kümesidir. \(a = 0\) ve \(b \neq 0\) ise \(z = bi\) sayısına saf sanal sayı denir.

İki karmaşık sayının eşitliği, gerçel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı eşitliği demektir:

Bu kural tek bir eşitlikten iki denklem elde etmemizi sağlar ve karmaşık sayı sorularının çoğu buna dayanır. Örneğin \((x + y) + (x - y)i = 7 + 3i\) ise \(x + y = 7\) ve \(x - y = 3\) yazılır, \(x = 5\), \(y = 2\) bulunur. Burada \(x\) ve \(y\)'nin gerçek sayı olması şarttır; aksi hâlde kısımları ayırmak anlamsız olur.

Karmaşık sayılar arasında "büyüktür, küçüktür" sıralaması tanımlı değildir. \(3i > 2i\) ya da \(1 + i > 1\) gibi yazılar anlamsızdır. Eşitsizlik içeren bir soruda karmaşık bir ifade görürsen, önce onun gerçek bir sayıya (çoğu zaman modüle) dönüştüğünden emin ol.

Eşlenik ve dört işlem

\(z = a + bi\) sayısının eşleniği \(\overline{z} = a - bi\) sayısıdır; sanal kısmın işareti değişir. Toplama, çıkarma ve çarpma, \(i\)'yi bir harf gibi kullanıp sonunda \(i^2\) yerine \(-1\) yazarak yapılır:

Bir sayıyı eşleniğiyle çarpmak iki kare farkı verir ve sanal kısım yok olur:

Bu sonuç her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Ayrıca \(z + \overline{z} = 2a\) ve \(z - \overline{z} = 2bi\) olur; bu iki eşitlik gerçel ve sanal kısmı ayıklamanın kısa yoludur. Eşlenik işlemlerle uyumludur: \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\), \(\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\) ve \(\overline{\overline{z}} = z\).

Bölme bu özelliğe dayanır. Paydada \(c + di\) varken pay ve payda paydanın eşleniği \(c - di\) ile genişletilir; payda \(c^2 + d^2\) gibi bir gerçek sayıya dönüşür:

Bu, köklü ifadelerde paydayı eşleniğiyle genişleterek rasyonel yapmaya çok benzer. Sık kullanılan birkaç sonucu ezbere bilmek zaman kazandırır: \((1 + i)^2 = 2i\), \((1 - i)^2 = -2i\), \(\frac{1 + i}{1 - i} = i\) ve \(\frac{1}{i} = -i\). Örneğin \((1 + i)^{10} = \left((1 + i)^2\right)^5 = (2i)^5 = 32\,i^5 = 32i\) bir satırda bulunur.

Karmaşık düzlem ve modül

Her \(z = a + bi\) sayısı, bir koordinat düzleminde \((a, b)\) noktasıyla eşleştirilebilir. Yatay eksen gerçel eksen (Re), düşey eksen sanal eksen (İm) adını alır; bu düzleme karmaşık düzlem denir. Gerçek sayılar yatay eksen üzerinde, saf sanal sayılar düşey eksen üzerinde durur. \(\overline{z} = a - bi\) noktası \((a, -b)\) olduğundan eşlenik, noktanın gerçel eksene göre yansımasıdır.

\(z\)'nin orijine uzaklığına \(z\)'nin modülü (mutlak değeri) denir. Pisagor teoreminden

bulunur. \(z = 3 + 4i\) için \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\)'tir. Gerçek sayılardaki mutlak değer bunun özel hâlidir: \(b = 0\) iken \(\sqrt{a^2} = |a|\) olur. İki noktanın arasındaki uzaklık da modülle yazılır: \(z_1\) ile \(z_2\) arasındaki uzaklık \(|z_1 - z_2|\)'dir.

Modülün en çok kullanılan özelliği çarpımla uyumudur:

İlkinin nedeni kısadır: \(|z_1 z_2|^2 = z_1 z_2 \cdot \overline{z_1 z_2} = (z_1 \overline{z_1})(z_2 \overline{z_2}) = |z_1|^2 |z_2|^2\). Bu özellik sayesinde \(\left|\frac{(3 - 4i)^2}{1 + i}\right|\) gibi bir ifadeyi hiç açmadan \(\frac{5^2}{\sqrt{2}}\) diye hesaplarız. Toplamada ise böyle bir kural yoktur: genel olarak \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\) olur ve eşitlik ancak iki nokta orijinden aynı yönde dizildiğinde sağlanır. \(|1 + i|\) ifadesini \(|1| + |i| = 2\) diye hesaplamak bu yüzden yanlıştır; doğrusu \(\sqrt{2}\)'dir.

Diskriminant negatifken: karmaşık kökler

Artık \(\Delta < 0\) olan denklemlerin de kökleri vardır. Kök formülünde \(\sqrt{\Delta} = i\sqrt{-\Delta}\) yazılır:

\(x^2 - 4x + 13 = 0\) için \(\Delta = 16 - 52 = -36\), \(\sqrt{\Delta} = 6i\) ve kökler \(\frac{4 \mp 6i}{2} = 2 \mp 3i\) olur. Bu iki kök birbirinin eşleniğidir. Bu bir rastlantı değildir: katsayılar gerçekse \(-\frac{b}{2a}\) ortak gerçel kısım, \(\mp\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\) da işaretleri zıt sanal kısımlardır. Daha genel bir gerekçe de verilebilir: \(z\) kök ise \(a z^2 + b z + c = 0\) eşitliğinin eşleniği alındığında katsayılar gerçek olduğu için değişmez ve \(a\overline{z}^2 + b\overline{z} + c = 0\) bulunur, yani \(\overline{z}\) de köktür. Aynı gerekçe her dereceden gerçel katsayılı polinomda işler.

Kök-katsayı ilişkileri karmaşık köklerde de aynen geçerlidir: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) ve \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\). Kökler eşlenik olduğundan çarpım \(x_1 \overline{x_1} = |x_1|^2\)'dir; yani gerçel katsayılı ve \(\Delta < 0\) olan bir denklemde \(\frac{c}{a} > 0\) olur ve her kökün modülü \(\sqrt{\frac{c}{a}}\)'dır. Bir şaşırtıcı sonuç: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\) formülü burada negatif bir sayı verebilir. \(x^2 - 4x + 13 = 0\) için \(16 - 26 = -10\) çıkar. Gerçek köklerde imkânsız olan bu sonuç, karmaşık köklerde tamamen doğrudur; çünkü karmaşık bir sayının karesi negatif gerçel kısımlı olabilir.

Kök-katsayı ilişkilerinin AYT düzeyindeki kullanımı

TYT'de kökler toplamı \(T = x_1 + x_2\) ve çarpımı \(P = x_1 x_2\) ile kareler toplamını, terslerin toplamını ve köklerin farkını hesapladık. AYT'de aynı araçlar daha karmaşık simetrik ifadelerle birleşir. Temel fikir değişmez: kökler yer değiştirince değişmeyen her ifade \(T\) ve \(P\) cinsinden yazılabilir.

• \(x_1^3 + x_2^3 = T^3 - 3PT\)
• \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{T^2 - 2P}{P}\)
• \(x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = P \cdot T\)
• \((x_1 - k)(x_2 - k) = P - kT + k^2\), yani \(f(x) = ax^2 + bx + c\) için \(f(k) = a(k - x_1)(k - x_2)\)

Son satır özellikle kullanışlıdır: \((2 - x_1)(2 - x_2)\) gibi bir çarpım istendiğinde denklemin sol tarafında \(x = 2\) yazıp baş katsayıya bölmek yeter.

Kökleri dönüştürülmüş denklem kurmak AYT'nin sevdiği bir kalıptır. Kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) olan bir denklem verilir, kökleri \(2x_1 - 1\) ve \(2x_2 - 1\), ya da \(\frac{1}{x_1}\) ve \(\frac{1}{x_2}\), ya da \(x_1^2\) ve \(x_2^2\) olan denklem istenir. İki yol vardır:

1. Toplam-çarpım yolu: Yeni köklerin toplamını ve çarpımını \(T\) ve \(P\) cinsinden bul, \(x^2 - T'x + P' = 0\) yaz. Kökleri \(x_1^2\), \(x_2^2\) olan denklem için \(T' = T^2 - 2P\) ve \(P' = P^2\)'dir.
2. Yerine koyma yolu: Yeni kök \(y = 2x - 1\) ise \(x = \frac{y + 1}{2}\)'dir. Bunu eski denklemde \(x\) yerine yazınca \(y\)'nin sağladığı denklem doğrudan çıkar. Kökleri \(\frac{1}{x_1}\), \(\frac{1}{x_2}\) olan denklem bu yolla çok kısadır: \(x\) yerine \(\frac{1}{x}\) yazıp \(x^2\) ile çarpınca \(ax^2 + bx + c = 0\) denklemi \(cx^2 + bx + a = 0\) olur; katsayılar ters sırayla yazılır (\(c \neq 0\) iken).

Kökler doğrusal biçimde dönüşüyorsa (\(x_1 + 3\), \(2x_1 - 1\) gibi) yerine koyma genellikle daha az hata ile sonuç verir; kareler ya da oranlar söz konusuysa toplam-çarpım yolu daha hızlıdır.

Ortak kök

İki denklemin ortak kökü \(x_0\) ise \(x_0\) iki denklemi birden sağlar. En sık kullanılan yöntem, iki denklemi taraf tarafa çıkararak \(x^2\)'li terimi yok etmektir; geriye birinci dereceden bir denklem kalır ve ortak kök bulunur. \(x^2 + mx + 2 = 0\) ve \(x^2 + 2x + m = 0\) için çıkarma \((m - 2)x + (2 - m) = 0\), yani \((m - 2)(x - 1) = 0\) verir. \(m \neq 2\) ise ortak kök 1'dir; bunu denklemlerden birinde yerine yazınca parametre bulunur. \(m = 2\) olursa iki denklem aynı olur ve bütün kökleri ortaktır; "yalnız bir ortak kökü var" diyen bir soruda bu durum elenir.

Denklemlerden biri kolayca çarpanlarına ayrılıyorsa başka bir yol daha kısadır: onun köklerini bul ve her birini öteki denklemde dene. Her aday ayrı bir parametre değeri verebilir; soruda "alabileceği değerler" deniyorsa hepsini topla, ama her değerde ortak kökün gerçekten tek mi olduğunu denetle.

Bir kökü köklü ya da karmaşık verilen denklem

Katsayıları rasyonel olan \(x^2 + mx + n = 0\) denkleminin bir kökü \(3 - \sqrt{2}\) ise öteki kök \(3 + \sqrt{2}\)'dir. Toplam 6, çarpım \(9 - 2 = 7\) olduğundan \(m = -6\), \(n = 7\) bulunur. Kök kesirli verildiyse önce paydayı rasyonel yapmak gerekir: \(\frac{2}{\sqrt{3} - 1}\) sayısı \(\sqrt{3} + 1\)'e eşittir ve eşleniği \(1 - \sqrt{3}\)'tür, \(\sqrt{3} - 1\) değildir. Paydadaki ifadeyi kökle karıştırmak bu soruların klasik tuzağıdır.

Gerçel katsayılı bir denklemin bir kökü \(1 + 2i\) ise öteki kök \(1 - 2i\)'dir; toplam 2, çarpım \(1 + 4 = 5\) olur ve denklem \(x^2 - 2x + 5 = 0\)'dır. Çarpımı \(1 - 4 = -3\) hesaplamak, \(i^2 = -1\) olduğunu unutmaktır. Bir kısa yol: \((x - 1)^2 = (2i)^2 = -4\) yazmak da aynı denklemi verir.

Parametreye göre köklerin işaretleri

Kökleri hesaplamadan, yalnızca \(\Delta\), \(P = \frac{c}{a}\) ve \(T = -\frac{b}{a}\) işaretlerine bakarak köklerin nerede olduğunu söyleyebiliriz. Çarpımın işareti köklerin aynı ya da ters işaretli olduğunu, toplamın işareti de hangisinin "baskın" olduğunu söyler:

Aynı işaretli kökler için \(\Delta\) koşulu atlanamaz. \(P > 0\) ve \(T > 0\) olup \(\Delta < 0\) olan bir denklemin kökleri karmaşıktır ve karmaşık sayılar için "pozitif" sözcüğü anlamsızdır. Ters işaretli köklerde ise \(\Delta\) ayrıca denetlenmez, çünkü \(P < 0\) ise \(ac < 0\) olur ve \(\Delta = b^2 - 4ac\) pozitiftir. Her koşul ayrı bir eşitsizlik verir; sonuç bu eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir. Kesişimi alırken bir aralığı unutmak, sorunun en sık kaybedildiği yerdir; sayı doğrusu çizmek bu hatayı önler. Baş katsayıda parametre varsa \(a \neq 0\) koşulunu da kesişime katmayı unutma.

Yüksek dereceli denklemlerde kökler toplamı ve çarpımı

Kök-katsayı ilişkileri yalnızca ikinci dereceye özgü değildir. Kökleri \(x_1, x_2, x_3\) olan üçüncü dereceden bir denklem \(a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0\) biçiminde yazılabilir. Parantezler açılıp \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) ile karşılaştırılınca Viète bağıntıları çıkar:

İşaretler sırayla eksi, artı, eksi diye değişir. \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) denkleminin kökleri 1, 2 ve 3'tür: toplam 6, ikişerli çarpımlar toplamı \(2 + 3 + 6 = 11\), çarpım 6'dır. Genel olarak \(n\). dereceden bir denklemde kökler toplamı \(-\frac{a_{n-1}}{a_n}\), kökler çarpımı \((-1)^n \frac{a_0}{a_n}\)'dir; dördüncü derecede çarpımın işareti artıya döner. Bu bağıntılarla \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3}\) ya da \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)\) gibi ifadeler kökler bulunmadan hesaplanır.

Gerçel katsayılı üçüncü dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık ise eşleniği de köktür; üçüncü kök gerçek olmak zorundadır. Kökler çarpımından üçüncü kök, toplamdan ve ikişerli çarpımlardan da kalan katsayılar bulunur.