EBOB ve EKOK

Bölen, kat ve ortak bölen

Bir \(a\) doğal sayısı bir \(b\) doğal sayısını kalansız bölüyorsa \(a\)'ya \(b\)'nin böleni, \(b\)'ye de \(a\)'nın katı denir. 6 sayısı 24'ü böler, çünkü \(24 = 6 \cdot 4\); aynı cümleyi "24, 6'nın katıdır" diye de kurabiliriz. Bölen ile kat aynı ilişkinin iki ucudur. Bir sayının bölenleri sonlu tanedir ve hepsi o sayıdan küçük ya da ona eşittir; katları ise sonsuz tanedir ve hepsi o sayıdan büyük ya da ona eşittir (sıfırı saymazsak). Örneğin 12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; pozitif katları ise 12, 24, 36, 48, … biçiminde sonsuza kadar sürer.

İki sayının ikisini birden bölen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir. 24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 36'nın bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. İki listede de bulunan sayılar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bunların en büyüğü olan 12'ye 24 ile 36'nın en büyük ortak böleni denir ve kısaca

yazılır. Burada dikkat çeken bir şey var: ortak bölenlerin hepsi (1, 2, 3, 4, 6) 12'nin de bölenidir. Bu bir rastlantı değildir; iki sayının bütün ortak bölenleri, EBOB'un bölenleridir. Bu yüzden EBOB'u bulduktan sonra ortak bölenlerin sayısını sormak, aslında EBOB'un bölen sayısını sormaktır. 1 her sayının böleni olduğundan iki pozitif tam sayının en az bir ortak böleni her zaman vardır.

Ortak kat ve en küçük ortak kat

İki sayının ikisinin de katı olan sayılara ortak kat denir. 6'nın katları 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …; 8'in katları 8, 16, 24, 32, 40, 48, … biçimindedir. İki listede ortak olan ilk sayılar 24, 48, 72, … olur. Ortak katların sonu gelmez, bu yüzden "en büyük ortak kat" diye bir şey yoktur; ancak pozitif ortak katların en küçüğü vardır. 6 ile 8'in en küçük ortak katı 24'tür:

Ortak katlar listesine yeniden bakalım: 24, 48, 72, … Hepsi 24'ün katıdır. Genel kural da böyledir: iki sayının bütün ortak katları, EKOK'un katlarıdır. Zil ve otobüs problemlerinin temeli bu cümledir. İki olay ilk kez EKOK kadar zaman sonra çakışıyorsa, ondan sonra da her EKOK sürede bir çakışır.

İki tanım arasında kullanışlı bir sıralama vardır. \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılarsa

olur ve EBOB, EKOK'u her zaman tam böler. Sayılardan biri ötekini bölüyorsa, örneğin \(a \mid b\) ise, \(\text{EBOB}(a, b) = a\) ve \(\text{EKOK}(a, b) = b\) olur: EBOB(9, 45) = 9, EKOK(9, 45) = 45. Bu durumu fark etmek, işlem yapmadan cevap verdirir.

Asal çarpanlarla EBOB ve EKOK

Küçük sayılarda listeleme yöntemi işe yarar ama sayılar büyüdükçe yavaşlar. Asıl güçlü yöntem sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. 84 ve 120 sayılarını ele alalım:

Bir sayının 84'ü bölebilmesi için asal çarpanlarının 84'ün içinde "yeterince" bulunması gerekir: içinde en çok iki tane 2, en çok bir tane 3, en çok bir tane 7 olabilir. Aynı sayı 120'yi de böleceği için en çok üç tane 2, bir tane 3, bir tane 5 içerebilir. İkisini birden bölen en büyük sayı her asaldan iki sayının izin verdiği en küçük miktarı alır: iki tane 2 (çünkü 84 en fazla ikiye izin verir), bir tane 3 ve hiç 5 ya da 7 (çünkü 5, 84'te; 7 de 120'de yoktur). Sonuç \(2^2 \cdot 3 = 12\)'dir.

EKOK'ta durum tersine döner. Bir sayının hem 84'ün hem 120'nin katı olabilmesi için her ikisinin bütün asal çarpanlarını içermesi gerekir. Bu yüzden her asaldan iki sayıdaki en büyük kuvvet alınır: \(2^3\), \(3\), \(5\) ve \(7\). Sonuç \(2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840\)'tır. Kuralı tek cümleyle şöyle özetleyebiliriz:

• EBOB: ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.
• EKOK: bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.

Bu düşünceyi bir Venn şemasıyla görmek çok kolaydır. Her sayının asal çarpanlarını tekrarlarıyla bir daireye yazalım; iki sayıda ortak olan çarpanlar kesişime gelir. Kesişim EBOB'u, iki dairedeki bütün çarpanlar EKOK'u verir.

Bölme yöntemi

Üç ya da daha çok sayının EBOB ve EKOK'unu bulmanın en düzenli yolu bölme yöntemidir. Sayılar yan yana yazılır, sağa dikey bir çizgi çekilir ve sayılar en küçük asaldan başlayarak bölünür. Bölünebilen sayı bölünüp bölüm altına yazılır, bölünemeyen sayı olduğu gibi aşağı indirilir. Bütün sayılar 1 olunca işlem biter.

Sağdaki sütunda yazan bütün asalların çarpımı EKOK'u verir, çünkü her sayı bütün asal çarpanlarına bu sütunda ayrılmıştır ve her asal, en çok kaç kez gerekiyorsa o kadar yazılmıştır. EBOB için ise yalnızca bütün sayıları aynı anda bölen satırlar seçilir. Şekildeki örnekte ilk satırdaki 2 üç sayıyı da böler, ikinci satırdaki 2 ise 9'u bölmez. Bu yüzden EBOB'a yalnızca bir tane 2 ve bir tane 3 girer: \(\text{EBOB}(18, 24, 60) = 6\).

Bölme yöntemiyle çalışırken sık yapılan hata, bir satırda bölünemeyen sayıyı silmek ya da EBOB'u hesaplarken bütün satırları çarpmaktır. Bir başka pratik yol da önce EBOB'a bakmaktır: sayıların hepsini bölen ortak bir sayı (ör. 6) görüyorsan, önce onunla bölüp kalan sayılar üzerinde devam edebilirsin.

Aralarında asal sayılar ve EBOB · EKOK = a · b

EBOB'u 1 olan iki sayıya aralarında asal sayılar denir. Aralarında asal olmak, sayıların kendilerinin asal olması demek değildir: 8 ile 9'un ikisi de asal değildir ama ortak bir asal çarpanları olmadığı için aralarında asaldır. Bilinmesi gereken birkaç durum şunlardır:

• Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır. \(n\) ile \(n + 1\)'i bölen her sayı farklarını, yani 1'i de bölmelidir.
• 1, her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır.
• Farklı iki asal sayı aralarında asaldır.
• Ardışık iki tek sayı da aralarında asaldır (farkları 2'dir ve ikisi de tek olduğu için 2 ortak bölen olamaz).

Aralarında asal \(a\) ve \(b\) sayılarının ortak çarpanı olmadığı için EKOK'ları doğrudan çarpımlarıdır: \(\text{EKOK}(8, 9) = 72\). Ortak çarpan varsa çarpım EKOK'tan büyük çıkar, çünkü ortak çarpan iki kez sayılmıştır. Bu düşünce bizi konunun en çok kullanılan eşitliğine götürür. İki pozitif tam sayı için

eşitliği her zaman doğrudur. Nedenini görmek için bir asalın \(a\)'daki üssüne \(m\), \(b\)'deki üssüne \(n\) diyelim. EBOB'ta bu asalın üssü \(m\) ve \(n\)'nin küçüğü, EKOK'ta büyüğüdür. Küçükle büyüğün toplamı her zaman \(m + n\)'dir; yani her asal, sol tarafta da sağ tarafta da aynı üsle görünür. 84 ve 120 için: \(12 \cdot 840 = 10\,080 = 84 \cdot 120\).

Bir başka faydalı özellik de ortak bir çarpanın dışarı alınabilmesidir: \(\text{EBOB}(k\,a, k\,b) = k \cdot \text{EBOB}(a, b)\) ve \(\text{EKOK}(k\,a, k\,b) = k \cdot \text{EKOK}(a, b)\). Örneğin EBOB(60, 90) = 10 · EBOB(6, 9) = 30 olur. Ayrıca \(\text{EBOB}(a, b) = \text{EBOB}(a, a + b) = \text{EBOB}(a, b - a)\) gibi eşitlikler de doğrudur, çünkü iki sayıyı bölen her sayı toplamlarını ve farklarını da böler.

EBOB'u ve EKOK'u verilen sayıları bulmak

Soru bazen tersten gelir: "EBOB'u 8, EKOK'u 240 olan iki sayı…" Bu durumda kullanılacak yazılış şudur: \(d = \text{EBOB}(a, b)\) ise

Yani iki sayı da EBOB'un katıdır ve EBOB'a bölündüklerinde geriye kalan \(x\) ile \(y\) aralarında asal olmak zorundadır. \(x\) ve \(y\)'nin ortak bir çarpanı olsaydı o çarpan EBOB'a eklenir, EBOB büyürdü. Bu şartı unutmak bu tür sorulardaki en yaygın hatadır.

Örnek: EBOB 6, EKOK 72 ise \(6xy = 72\), yani \(xy = 12\)'dir. 12'yi çarpım olarak yazmanın yolları \(1 \cdot 12\), \(2 \cdot 6\), \(3 \cdot 4\)'tür. Ama \(2\) ile \(6\) aralarında asal değildir; \(a = 12\), \(b = 36\) alınırsa EBOB 12 çıkar, 6 değil. Geçerli ikililer yalnızca (6, 72) ve (18, 24)'tür. "Toplam en az kaçtır" sorulursa \(x\) ile \(y\) birbirine en yakın seçilir: 18 + 24 = 42.

EBOB problemleri: en büyük ortak parça

Günlük hayatta EBOB, bir şeyi eşit ve olabildiğince büyük parçalara ayırmak istediğimizde ortaya çıkar. Sorunun dili genellikle "en az kaç parça, en az kaç fayans, en az kaç ağaç, en az kaç kap" biçimindedir. Parça sayısı en az olsun istiyorsak parça olabildiğince büyük olmalıdır; parçanın her uzunluğu tam bölmesi gerektiği için de parça uzunluğu bu uzunlukların ortak böleni, en büyük olanı da EBOB olur.

Kare fayans. Kenarları 540 cm ve 420 cm olan dikdörtgen bir zemin, kesilmeden ve boşluk kalmadan aynı boyutta kare fayanslarla döşenecek. Fayansın kenarı hem 540'ı hem 420'yi bölmelidir; en az fayans için en büyük ortak bölen alınır: EBOB(540, 420) = 60. Uzun kenar boyunca \(540 \div 60 = 9\), kısa kenar boyunca \(420 \div 60 = 7\) fayans dizilir; toplam \(9 \cdot 7 = 63\) fayans gerekir. Fayans sayısı kenarlardaki sayıların çarpımıdır, toplamı değil.

Eşit kaplara bölüştürme. 180 litre zeytinyağı, 240 litre ayçiçek yağı ve 300 litre mısırözü yağı, birbirine karıştırılmadan, eşit hacimli bidonlara tamamen dolacak ve hiç artmayacak biçimde konulacak. Bidon hacmi üç sayıyı da bölmelidir; en az bidon için EBOB(180, 240, 300) = 60 litre seçilir. Bidon sayısı \(3 + 4 + 5 = 12\) olur. Burada her yağın bidonları ayrı sayılıp toplanır.

Ağaç dikme. Dikdörtgen bir bahçenin çevresine, köşelerin her birine bir ağaç gelecek biçimde eşit aralıklarla ağaç dikilecekse aralık her kenarı tam bölmelidir; köşelerde ağaç olması bunu zorunlu kılar. En az ağaç için aralık kenar uzunluklarının EBOB'u olur. Kapalı bir çevre üzerinde ağaç sayısı aralık sayısına eşittir, çünkü başa dönüldüğünde ilk ağaç son aralığın da ucudur:

Açık bir doğru boyunca (bir yolun bir kenarı gibi) iki uca da ağaç dikilirse ağaç sayısı aralık sayısından bir fazladır. Bu iki durumu karıştırmak, köşedeki ağaçları iki kez saymak ya da hiç saymamak en sık yapılan hatalardır.

EKOK problemleri: yeniden buluşma

EKOK, tekrarlanan olayların yeniden çakıştığı anı sorduğumuzda ortaya çıkar. Üç zil sırasıyla 20, 30 ve 45 dakikada bir çalıyor ve saat 08.15'te birlikte çaldılar diyelim. Birinci zil 20'nin katı olan dakikalarda, ikincisi 30'un, üçüncüsü 45'in katı olan dakikalarda çalar. Üçü ancak üç sayının ortak katı olan anlarda birlikte çalar ve ilk ortak kat EKOK'tur: EKOK(20, 30, 45) = 180 dakika = 3 saat. Zillerin yeniden birlikte çalacağı ilk an 11.15'tir; sonra 14.15, 17.15, … diye her 3 saatte bir tekrar eder.

Aynı düşünce, kenarları farklı tuğla ya da kartonlarla en küçük kare oluşturmakta da kullanılır. Boyutları 18 cm × 24 cm olan kartonlar aynı yönde yan yana ve alt alta dizilerek bir kare oluşturulacaksa karenin kenarı hem 18'in hem 24'ün katı olmalıdır; en küçük kare için kenar EKOK(18, 24) = 72 cm olur ve \(\frac{72}{18} \cdot \frac{72}{24} = 4 \cdot 3 = 12\) karton gerekir.

Gün ve saat hesabı. EKOK bulunduktan sonra soru çoğu zaman "hangi gün" ya da "saat kaçta" diye devam eder. Haftanın günleri 7 günde bir tekrarlandığı için gün sayısını 7'ye böleriz ve yalnızca kalana bakarız. Salı günü birlikte nöbet tutan iki kişi 120 gün sonra yeniden birlikteyse \(120 = 7 \cdot 17 + 1\) olduğundan bu gün salıdan 1 gün sonrası, yani çarşambadır. Saatlerde de 24 saatlik döngü kullanılır: pazartesi 08.00'den 45 saat sonrası, \(45 = 24 + 21\) olduğu için salı 08.00'den 21 saat sonrası, yani çarşamba 05.00'tir. Burada gece yarısını geçtiğini fark etmek gerekir.

Aynı kalanı veren sayılar

Bir sayı 4, 6 ve 9'a bölündüğünde hep 3 kalanını veriyorsa, sayıdan 3 çıkarıldığında üçüne de tam bölünür. Yani \(n - 3\) sayısı 4, 6 ve 9'un ortak katıdır, dolayısıyla EKOK(4, 6, 9) = 36'nın katıdır:

Bu sayılar 3, 39, 75, 111, 147, … dizisini oluşturur. Kalan bölenlerden küçük olduğu sürece bu yazılış doğrudur. Soru "üç basamaklı en küçük", "7 ile de tam bölünen en küçük" gibi bir koşul eklerse dizide koşulu sağlayan ilk terim aranır. 7 ile bölünme koşulunda \(36 = 35 + 1\) olduğundan \(36t + 3\)'ün 7'ye bölümünden kalan \(t + 3\)'ün kalanıyla aynıdır; \(t = 4\) için 147 bulunur.

Kalanlar farklı ama her biri bölenden aynı miktarda eksikse başka bir yol kullanılır. 4'e bölümünden 3, 5'e bölümünden 4, 6'ya bölümünden 5 kalanını veren bir sayı, 1 eklenince üçüne de tam bölünür. O zaman \(n + 1\) sayısı EKOK(4, 5, 6) = 60'ın katıdır ve \(n = 60t - 1\) yazılır; en küçük pozitif değer 59'dur. Kısaca:

• Kalanlar eşitse (\(k\)): \(n = \text{EKOK} \cdot t + k\)
• Bölen ile kalan arasındaki fark eşitse (\(c\)): \(n = \text{EKOK} \cdot t - c\)