Rasyonel Sayılar ve Ondalık Gösterim

Rasyonel sayı nedir?

Bir pastayı 4 eş parçaya bölüp 3 parçasını aldığında elinde pastanın \(\frac{3}{4}\)'ü vardır. Bu yazılışta alttaki sayı bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, üstteki sayı bu parçalardan kaç tane alındığını söyler. Matematikte bu fikri genelleştiririz: \(a\) ve \(b\) tam sayılar ve \(b \neq 0\) olmak üzere \(\frac{a}{b}\) biçiminde yazılabilen her sayıya rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{Q}\) ile gösterilir:

\(a\)'ya pay, \(b\)'ye payda denir. Paydanın sıfır olamamasının nedeni basittir: \(\frac{6}{0} = x\) olsaydı \(0 \cdot x = 6\) olması gerekirdi ve böyle bir sayı yoktur. Her tam sayı da bir rasyonel sayıdır, çünkü \(5 = \frac{5}{1}\) ve \(-3 = \frac{-6}{2}\) diye yazılabilir. Yani doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar da rasyonel sayıların içindedir.

Eksi işaretinin yeri sonucu değiştirmez: \(\frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}\). Pay ve payda aynı işaretliyse kesir pozitif, farklı işaretliyse negatiftir. Çözümlerde işareti genellikle kesrin önüne ya da paya yazarız, paydayı pozitif tutarız.

Denk kesirler, sadeleştirme ve genişletme

\(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{6}\) ve \(\frac{8}{12}\) farklı yazılmış ama aynı miktarı gösteren kesirlerdir; bunlara denk kesirler denir. Bir şeridi 3 eş parçaya bölüp 2'sini boyamakla, aynı şeridi 12 eş parçaya bölüp 8'ini boyamak aynı uzunluğu boyar. Her parça 4 kat küçülmüş, parça sayısı 4 kat artmıştır.

Bir kesrin payını ve paydasını sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmaya genişletme, aynı sayıya bölmeye sadeleştirme denir. İkisi de kesrin değerini değiştirmez, çünkü kesri \(\frac{k}{k} = 1\) ile çarpmak ya da bölmek demektir. İki kesrin denk olup olmadığını anlamanın kısa yolu çapraz çarpımdır:

Pay ile paydanın 1'den başka ortak böleni kalmayana kadar sadeleştirilmiş kesre en sade kesir (indirgenmiş kesir) denir. En hızlı yol, pay ile paydanın EBOB'una tek seferde bölmektir: \(\frac{252}{396}\) kesrinde EBOB 36'dır ve kesir \(\frac{7}{11}\) olur. Adım adım da gidilebilir (önce 4'e, sonra 9'a bölmek gibi); önemli olan işi bitirmektir. \(\frac{63}{99}\) bulup durmak, kesri yarıda bırakmaktır.

Bir kesre denk ve belirli bir koşulu sağlayan kesir sorulduğunda kesir önce en sade hâline getirilir, sonra \(k\) ile genişletilir. Örneğin \(\frac{12}{18}\)'e denk bir kesrin payı ile paydasının toplamı 45 ise kesir \(\frac{2k}{3k}\) biçimindedir; \(5k = 45\) için \(k = 9\) ve kesir \(\frac{18}{27}\) olur.

Basit, bileşik ve tam sayılı kesirler

Pozitif bir kesirde payı paydasından küçük olan kesre basit kesir denir (\(\frac{3}{7}\) gibi); değeri 0 ile 1 arasındadır. Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesre bileşik kesir denir (\(\frac{7}{3}\), \(\frac{5}{5}\) gibi); değeri 1 ya da 1'den büyüktür. Bileşik kesir bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamı olarak da yazılabilir: \(\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}\). Bu yazılışa tam sayılı kesir denir ve "iki tam üçte bir" diye okunur.

Tam sayılı kesir ile bileşik kesir arasında geçiş bölmeyle yapılır. \(\frac{23}{5}\) için 23'ü 5'e böleriz: bölüm 4, kalan 3'tür; yani \(\frac{23}{5} = 4\frac{3}{5}\). Tersine \(4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}\) olur. İşlem yaparken tam sayılı kesirleri her zaman önce bileşik kesre çevirmek en güvenli yoldur.

Rasyonel sayılarla dört işlem

Toplama ve çıkarma ancak paydalar eşitken yapılır, çünkü yalnızca aynı büyüklükteki parçalar sayılarak toplanabilir: üçte birlerle dörtte birler doğrudan toplanmaz. Paydalar farklıysa kesirler paydaların EKOK'una genişletilir:

Payları paylarla, paydaları paydalarla toplamak (\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}\) yazmak) en bilinen hatadır. Bunun yanlış olduğunu görmek kolaydır: \(\frac{2}{5}\), \(\frac{1}{2}\)'den bile küçüktür; oysa \(\frac{1}{2}\)'ye pozitif bir sayı eklenmiştir.

Çarpmada pay payla, payda paydayla çarpılır: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\,c}{b\,d}\). "Bir kesrin kesri" bu işlemdir: 12'nin \(\frac{3}{4}\)'ü \(12 \cdot \frac{3}{4} = 9\)'dur. Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak sayıları küçük tutar: \(\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{28}\) işleminde 14 ile 28, 15 ile 25 sadeleşir ve sonuç \(\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}\) olur.

Bölme, birinci kesri ikincinin çarpmaya göre tersiyle çarpmaktır:

Neden böyle olduğunu bölmenin anlamı gösterir: \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = x\) demek \(x \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\) demektir ve iki yanı \(\frac{d}{c}\) ile çarpınca \(x = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\) bulunur. Örneğin \(3\frac{1}{2} : 1\frac{3}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} = 2\)'dir; gerçekten de \(1\frac{3}{4}\)'ün iki katı \(3\frac{1}{2}\)'dir. 1'den küçük pozitif bir sayıya bölmek sayıyı büyütür: \(6 : \frac{1}{3} = 18\), çünkü 6'nın içinde 18 tane üçte bir vardır.

İşlem önceliği ve karmaşık kesirler

Kesirlerde de tam sayılardaki öncelik sırası geçerlidir: önce parantez içi, sonra üs, sonra çarpma ve bölme (soldan sağa), en son toplama ve çıkarma (soldan sağa). Kesir çizgisi de bir parantez gibi davranır: kesir çizgisinin üstü ve altı ayrı ayrı hesaplanır, sonra bölünür.

Bu işlemi soldan sağa sırayla yapan öğrenci \(\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) : \frac{1}{6} = 6\) ile başlar ve bambaşka bir sonuca varır. Uzun ifadelerde önce çarpma ve bölmeleri bitirip yerlerine sonuçlarını yazmak, sonra toplama-çıkarmaya geçmek hatayı önler.

Payında ya da paydasında kesir bulunan kesirlere karmaşık kesir denir. Bunları sadeleştirmenin iki yolu vardır. Birincisi pay ve paydayı ayrı ayrı tek kesir yapıp bölmektir:

İkincisi, içteki bütün paydaların EKOK'uyla pay ve paydayı birlikte çarpmaktır. Yukarıdaki kesirde EKOK 12'dir; payı ve paydayı 12 ile çarpınca \(\frac{6 - 4}{4 - 3} = 2\) bulunur. İkinci yol, özellikle içinde çok sayıda küçük kesir bulunan ifadelerde çok hızlıdır.

Merdivenli (zincir) kesirler

Paydasında kesir, o kesrin paydasında yine kesir bulunan ifadelere merdivenli kesir ya da zincir kesir denir. Böyle bir kesir her zaman en alttan başlanarak yukarı doğru hesaplanır; her basamakta "1 bölü bir kesir" çıkar ve bu, o kesrin tersidir:

İçinde bilinmeyen bulunan merdivenli kesirlerde ters yönde yürünür: en üstteki eşitlikten başlayıp her adımda bir basamak aşağı inilir. \(1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} = \frac{8}{5}\) ise önce \(\cfrac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{5}\), sonra \(1 + \frac{1}{x} = \frac{5}{3}\), sonra \(\frac{1}{x} = \frac{2}{3}\) ve \(x = \frac{3}{2}\) bulunur. Her adımda yapılan tek şey, iki yanın tersini almak ya da bir sayıyı karşıya atmaktır. Bazen ifade bir sabit sayıya değil, sade bir harfli ifadeye iner; örneğin \(\cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{x}}}\) ifadesi \(x \neq 0\) ve \(x \neq 1\) için \(1 - x\)'e eşittir. Bunu görmek için yine en içteki \(1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\) ile başlanır.

Rasyonel sayıları sıralama

İki kesri karşılaştırmanın tek bir "en iyi" yöntemi yoktur; sayıların yapısına bakarak en kısa yolu seçmek gerekir.

1. Paydaları eşitlemek. Aynı büyüklükteki parçalardan çok olan büyüktür: \(\frac{5}{8}\) ile \(\frac{7}{12}\) için ortak payda 24'tür; \(\frac{15}{24} > \frac{14}{24}\). Pozitif kesirlerde bu, çapraz çarpımla aynı şeydir: \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff a\,d > b\,c\) (\(b, d > 0\)).
2. Payları eşitlemek. Paylar eşitse paydası küçük olan büyüktür, çünkü aynı sayıda parça alınmış ama parçalar daha büyüktür. \(a = \frac{3}{7}\), \(b = \frac{6}{13}\), \(c = \frac{9}{20}\) için paylar 18'e eşitlenir: \(\frac{18}{42}\), \(\frac{18}{39}\), \(\frac{18}{40}\). Sıralama \(a < c < b\) olur. Paylar küçük ve kolay eşitlenirken bu yol paydaları eşitlemekten çok daha kısadır.
3. 1'e (ya da bir tam sayıya) tamamlamak. \(\frac{13}{15}\), \(\frac{17}{19}\), \(\frac{21}{23}\) kesirlerinin her biri 1'den \(\frac{2}{15}\), \(\frac{2}{19}\), \(\frac{2}{23}\) eksiktir. 1'e en az uzak olan en büyüktür; eksikler arasında en küçüğü \(\frac{2}{23}\) olduğundan \(\frac{21}{23}\) en büyüktür. 1'den büyük kesirlerde 1'den fazlalığa bakılır: \(\frac{13}{12}\), \(\frac{15}{14}\)'ten büyüktür çünkü fazlalığı \(\frac{1}{12} > \frac{1}{14}\)'tür.
4. Ondalığa çevirmek. Kesirler birbirine çok yakınsa ya da devirli ondalık sayılarla karışık verilmişse hepsini birkaç basamak ondalık olarak yazmak en güvenli yoldur.

Pay ve paydaya aynı sayı eklenince

Pozitif bir \(\frac{a}{b}\) kesrinin hem payına hem paydasına aynı pozitif \(n\) sayısı eklenirse kesrin değeri 1'e yaklaşır. Bunu fark alarak görürüz:

Payda pozitiftir; bu yüzden işaret yalnızca \(b - a\)'ya bağlıdır. \(a < b\) (basit kesir) ise fark pozitiftir ve kesir büyür; \(a > b\) ise fark negatiftir ve kesir küçülür; \(a = b\) ise değer 1'de kalır. Sezgisi de açıktır: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{4}{5}\), … dizisinde her adımda pay ve paydaya 1 eklenir ve kesirler 1'e yaklaşır. Aynı sayıyı çıkarmak ise tersini yapar: basit kesirde \(\frac{a - n}{b - n}\) (\(0 < n < a\)) kesri \(\frac{a}{b}\)'den küçüktür. Pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmak ise kesri hiç değiştirmez; toplama ile çarpmayı karıştırmak öncüllü sorularda sık kurulan bir tuzaktır.

Bu fikrin bir uzantısı da şudur: pozitif paydalı \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) kesirleri için paylar toplamının paydalar toplamına oranı olan \(\frac{a + c}{b + d}\) kesri, iki kesrin arasında kalır. Örneğin \(\frac{1}{3}\) ile \(\frac{1}{2}\) arasında \(\frac{2}{5}\) vardır. Bu kesir iki sayının ortalaması değildir, ama her zaman ikisinin arasındadır.

Soru "payına 6, paydasına 9 eklenince değeri değişmiyor" biçiminde de gelebilir. Bu durumda \(\frac{a}{b} = \frac{a + 6}{b + 9}\) çapraz çarpılır: \(9a = 6b\), yani \(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\). Eklenen sayıların oranı kesrin kendisine eşit olmalıdır; bu, oran-orantıdaki toplama özelliğinin aynısıdır.

Sayı doğrusunda rasyonel sayılar

Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda göstermek için önce hangi iki tam sayı arasında olduğu bulunur, sonra o birim aralık paydanın gösterdiği sayıda eş parçaya bölünür. \(\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\) sayısı için 2 ile 3 arasını 3 eş parçaya bölüp 2'den sonraki ilk bölme çizgisini işaretleriz. Negatif sayılarda yön sola doğrudur: \(-\frac{3}{2}\), \(-1\)'den yarım birim soldadır.

Sayı doğrusu sorularında ÖSYM genellikle farklı aralıkları farklı sayıda parçaya böler. Önce her aralıktaki bir parçanın uzunluğunu (\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) gibi) yaz, sonra noktaların değerini en yakın tam sayıdan sayarak bul. İki nokta arasındaki uzaklık büyük değerden küçük değer çıkarılarak, orta nokta ise iki değerin ortalaması alınarak bulunur.

İki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı vardır: \(a < b\) ise ortalamaları \(\frac{a + b}{2}\) ikisinin arasındadır ve rasyoneldir. Bu yeni sayı ile \(a\) arasında yine bir rasyonel sayı bulunur ve bu iş hiç bitmez. Demek ki iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır; buna rasyonel sayıların yoğunluğu denir. Bu yüzden "\(\frac{1}{3}\)'ten büyük en küçük rasyonel sayı" diye bir sayı yoktur. Tam sayılarda durum farklıdır: 3 ile 4 arasında hiç tam sayı yoktur.

Ondalık gösterim ve ondalık sayılarla işlemler

Paydası 10, 100, 1 000 gibi 10'un kuvveti olan kesirler virgülle yazılabilir: \(\frac{37}{100} = 0{,}37\). Virgülün solundaki kısım tam kısım, sağındaki basamaklar sırasıyla onda birler, yüzde birler, binde birler basamağıdır. Paydası 10'un kuvvetine genişletilebilen her kesir sonlu ondalık gösterime sahiptir: \(\frac{3}{8} = \frac{375}{1\,000} = 0{,}375\). Bu genişletme ancak en sade kesrin paydasında 2 ve 5'ten başka asal çarpan yoksa mümkündür. Bu yüzden \(\frac{7}{40}\) sonlu ondalık (\(0{,}175\)) olurken \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{2}{7}\) sonlu ondalık olamaz.

Ondalık sayılarla işlemlerde şu kurallar yeterlidir:

• Toplama ve çıkarmada virgüller alt alta gelecek biçimde yazılır, eksik basamaklar sıfırla tamamlanır: \(3{,}5 - 1{,}27 = 3{,}50 - 1{,}27 = 2{,}23\).
• Çarpmada virgüller yokmuş gibi çarpılır; sonuçta virgülden sonra, çarpanlardaki ondalık basamak sayılarının toplamı kadar basamak ayrılır: \(0{,}3 \cdot 0{,}02 = 0{,}006\).
• Bölmede bölen tam sayı yapılır; bunun için bölünen ve bölen aynı 10'un kuvvetiyle çarpılır (kesri genişletmek gibi): \(\frac{0{,}24}{0{,}008} = \frac{240}{8} = 30\).
• 10, 100, 1 000 ile çarpmada virgül sıfır sayısı kadar sağa, bölmede sola kayar.

Devirli ondalık sayılar ve kesre çevirme

\(\frac{1}{3}\)'ü bölme yaparak ondalığa çevirmeye çalışırsak her adımda kalan yine 1 olur ve 3 rakamı sonsuza kadar tekrar eder: \(0{,}333\ldots\) Bir ya da birkaç rakamı sonsuza kadar aynı sırayla tekrar eden ondalık sayılara devirli ondalık sayı denir. Tekrar eden kısmın üstüne çizgi çekilir: \(0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\), \(1{,}2454545\ldots = 1{,}2\overline{45}\). Bölmede kalanlar paydadan küçük olmak zorunda olduğu için bir yerde tekrar etmeye başlar; bu yüzden her rasyonel sayının ondalık gösterimi ya sonludur ya da devirlidir. Örneğin \(\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}\)'dir.

Tersine her devirli ondalık sayı bir kesirdir. Yöntemi \(x = 0{,}\overline{3}\) ile görelim: \(10x = 3{,}\overline{3}\) olur ve iki eşitlik taraf tarafa çıkarılınca sonsuz kuyruklar birbirini götürür: \(9x = 3\), \(x = \frac{1}{3}\). \(x = 1{,}2\overline{45}\) için önce devretmeyen basamağı virgülün soluna almak üzere \(10x = 12{,}\overline{45}\), sonra bir devir daha geçirmek için \(1\,000x = 1\,245{,}\overline{45}\) yazılır. Çıkarınca \(990x = 1\,233\) ve \(x = \frac{1\,233}{990} = \frac{137}{110}\) olur. Bu işlemden şu kural çıkar:

Kuralla birkaç örnek: \(0{,}\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\), \(0{,}8\overline{3} = \frac{83 - 8}{90} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}\), \(2{,}\overline{3} = \frac{23 - 2}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}\). İlginç bir sonuç da \(0{,}\overline{9} = \frac{9 - 0}{9} = 1\) eşitliğidir. Bu bir yaklaşıklık değil, tam eşitliktir: \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\) eşitliğinin iki yanını 3 ile çarpınca da \(1 = 0{,}\overline{9}\) çıkar. Bu yüzden \(0{,}\overline{2} + 0{,}\overline{7} = 0{,}\overline{9} = 1\)'dir.

Bilimsel gösterime giriş

Çok büyük ya da çok küçük sayıları kısa yazmak için bilimsel gösterim kullanılır: sayı \(a \cdot 10^{n}\) biçiminde yazılır; burada \(1 \le |a| < 10\) ve \(n\) bir tam sayıdır. Virgül sola kaydırıldıkça üs artar, sağa kaydırıldıkça azalır:

İkinci örnekte virgül 5 basamak sağa kaymıştır ve bunu dengelemek için \(10^{-5}\) ile çarpılmıştır. \(52 \cdot 10^{-6}\) de aynı sayıdır, ama bilimsel gösterim değildir, çünkü 52 sayısı 10'dan küçük değildir. Bilimsel gösterimdeki sayılarla çarpma ve bölmede katsayılar kendi aralarında, 10'un kuvvetleri kendi aralarında işlem görür: \((3 \cdot 10^{4}) \cdot (5 \cdot 10^{-7}) = 15 \cdot 10^{-3} = 1{,}5 \cdot 10^{-2}\). Son adımda katsayı yeniden 1 ile 10 arasına getirilmiştir. Üslü sayıların kuralları ayrı bir konuda ayrıntılı işlenir; burada yalnızca 10'un kuvvetleriyle virgül kaydırmayı bilmek yeterlidir.