Basit Eşitsizlikler ve Aralıklar

Eşitsizlik nedir?

Eşitlik iki ifadenin aynı değerde olduğunu söyler; eşitsizlik ise birinin ötekinden küçük ya da büyük olduğunu. Dört sembol kullanırız: \(a < b\) "a küçüktür b", \(a > b\) "a büyüktür b", \(a \le b\) "a küçük ya da eşittir b", \(a \ge b\) "a büyük ya da eşittir b" diye okunur. Sembolün açık ağzı her zaman büyük olan tarafa bakar. \(a \le b\) yazılışı "\(a < b\) ya da \(a = b\)" anlamına gelir; bu yüzden \(3 \le 3\) doğru, \(3 < 3\) yanlış bir önermedir.

Gerçek sayılar sayı doğrusunda soldan sağa doğru büyüyerek dizilir. \(a < b\) demek, sayı doğrusunda \(a\)'nın \(b\)'nin solunda kalması demektir. Bu basit görüntü konunun bütün kurallarını anlamanın anahtarıdır. Örneğin \(-7 < -2\)'dir, çünkü \(-7\) daha soldadır; mutlak büyüklüğü fazla olan negatif sayı daha küçüktür. Negatif sayılarda sezgi bizi sık sık yanıltır; şüpheye düştüğünde sayıları doğru üzerine yerleştir.

İki sayının farkının işaretine bakmak da sıralamayı belirler: \(a < b\) olması ile \(b - a > 0\) olması aynı şeydir. Bu tanım, aşağıdaki kuralları kanıtlarken işimize yarayacak. İçinde bir bilinmeyen bulunan \(2x - 1 < 7\) gibi ifadelere de eşitsizlik denir; bunu doğru yapan bütün \(x\) değerlerinin kümesine çözüm kümesi denir.

Aralıklar: sayı doğrusunda bir parça

Bir eşitsizliğin çözüm kümesi genellikle sayı doğrusunun bir parçasıdır. Bu parçalara aralık denir ve uçlarının dahil olup olmamasına göre adlandırılır. \(a < b\) olmak üzere:

Köşeli parantez ucun kümeye dahil olduğunu, normal parantez dahil olmadığını gösterir. Sayı doğrusunda dahil olan uç dolu yuvarlakla, dahil olmayan uç boş yuvarlakla çizilir. \(\infty\) (sonsuz) bir sayı değildir; yalnızca aralığın o yönde sınırsız devam ettiğini anlatır. Bu yüzden \(\infty\) tarafında köşeli parantez kullanılmaz.

Aynı kümeyi küme gösterimiyle de yazabiliriz: \([-2, 3) = \{x \in \mathbb{R} : -2 \le x < 3\}\). İki yazılış tamamen aynı kümeyi anlatır. Dikkat edilecek nokta, \(x\)'in hangi sayı kümesinden seçildiğidir. \(\{x \in \mathbb{Z} : -2 \le x < 3\}\) bir aralık değildir; yalnızca \(-2, -1, 0, 1, 2\) tam sayılarından oluşan beş elemanlı bir kümedir. Soru kökündeki "gerçek sayı" ve "tam sayı" sözcükleri bu yüzden cevabı değiştirir.

Eşitsizliğe sayı eklemek ya da çıkarmak

\(a < b\) ise her \(c\) gerçek sayısı için \(a + c < b + c\) olur. Nedeni açıktır: \((b + c) - (a + c) = b - a\) ve bu fark pozitiftir. Sayı doğrusunda düşünürsek iki sayıyı aynı miktarda sağa ya da sola kaydırmak aralarındaki sırayı bozmaz. Çıkarma da \(-c\) eklemek olduğundan aynı kural geçerlidir.

Bu özellik, bir terimi eşitsizliğin bir yanından öteki yanına geçirmemizi sağlar: \(x + 5 < 2\) ise iki yandan 5 çıkararak \(x < -3\) buluruz. Eşitliklerde yaptığımız "karşı tarafa işaret değiştirerek geçirme" işlemi eşitsizliklerde de aynen yapılabilir; yön değişmez.

Aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir: \(a < b\) ve \(c < d\) ise \(a + c < b + d\) olur. Ama aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa çıkarılamaz. \(1 < 5\) ve \(0 < 4\) doğrudur, oysa taraf tarafa çıkarınca bulunan \(1 < 1\) yanlıştır. Bir farkın aralığını bulmak için ileride göreceğimiz gibi önce çıkarılan ifadenin işaretini değiştirip sonra toplarız.

Çarpma, bölme ve yön değişmesi

Eşitsizliğin iki yanı pozitif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön korunur; negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön ters döner:

Kanıt yine farka dayanır: \(b\,c - a\,c = (b - a)\,c\). \(b - a\) pozitiftir; \(c\) pozitifse çarpım pozitif kalır, \(c\) negatifse çarpım negatif olur ve sıra ters döner. Somut bir görüntü daha akılda kalıcıdır: \(-1\) ile çarpmak, her sayıyı sayı doğrusunda 0'a göre aynadaki yerine taşır. 2 sayısı 5'in solundayken \(-2\), \(-5\)'in sağına düşer.

Ters çevirme kuralı

\(a\) ve \(b\) aynı işaretli iki sayı ve \(a < b\) ise çarpmaya göre tersleri için

olur. Bunu görmek için \(a < b\) eşitsizliğinin iki yanını \(a\,b\) ile bölelim. Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir, bu yüzden yön korunur ve \(\frac{a}{ab} < \frac{b}{ab}\), yani \(\frac{1}{b} < \frac{1}{a}\) bulunur. Örneğin \(2 < 5\) iken \(\frac{1}{2} > \frac{1}{5}\); \(-4 < -1\) iken \(-\frac{1}{4} > -1\)'dir.

Sayılar farklı işaretliyse kural geçersizdir. \(-2 < 3\) iken \(-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}\) olur ve yön değişmez, çünkü negatif bir sayının tersi yine negatif, pozitif bir sayının tersi yine pozitiftir. Aralıklarda da aynı düşünce kullanılır: \(2 < x < 5\) ise \(\frac{1}{5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}\) olur. Ama \(-1 < x < 3\) aralığında \(x = 0\) bulunduğu için \(\frac{1}{x}\) için böyle bir sınır yazılamaz; 0'a yaklaştıkça \(\frac{1}{x}\) çok büyür ya da çok küçülür.

Birinci dereceden eşitsizlikleri çözmek

\(a\,x + b < c\) biçimindeki eşitsizlikler denklem gibi çözülür; tek fark, negatif bir sayıyla çarpıp böldüğümüz anda yönü çevirmektir. \(3x - 7 > 5x + 3\) eşitsizliğinde \(x\)'li terimleri sola, sayıları sağa toplarız: \(3x - 5x > 3 + 7\), yani \(-2x > 10\). İki yanı \(-2\)'ye bölünce yön döner: \(x < -5\). Çözüm kümesi \((-\infty, -5)\) aralığıdır.

Kesirli eşitsizliklerde paydaları eşitlemek yerine iki yanı paydaların EKOK'uyla (pozitif bir sayıyla) çarparız; yön değişmez. Burada en sık yapılan hata, payda birden fazla terim varken parantez açmayı unutmaktır: \(\frac{x - 2}{3}\) ifadesi 6 ile çarpılınca \(2(x - 2) = 2x - 4\) olur, \(2x - 2\) değil. Önünde eksi bulunan bir kesirde bu daha da önemlidir.

Sonucu denetlemenin kolay bir yolu vardır: çözüm kümesinden bir sayı ve kümenin dışından bir sayı seçip ilk eşitsizlikte yerine yazarsın. Birincisi eşitsizliği sağlamalı, ikincisi sağlamamalıdır. Sınır noktasını da ayrıca dene: \(\le\) varsa sınır sağlamalı, \(<\) varsa sağlamamalıdır.

Sıralı (iki taraflı) eşitsizlikler

\(-7 < 5 - 3x \le 11\) gibi bir ifade aslında iki eşitsizliğin aynı anda sağlanması demektir. Ortadaki ifadeyi \(x\) yalnız kalana kadar düzenleriz ve her işlemi üç tarafa birden uygularız. Önce üç yandan 5 çıkarılır: \(-12 < -3x \le 6\). Sonra üç yan \(-3\)'e bölünür ve iki sembol birden yön değiştirir: \(4 > x \ge -2\). Bunu küçükten büyüğe yazarız: \(-2 \le x < 4\).

Yön değiştirirken uçların dahil olma durumu da sembolüyle birlikte taşınır: \(\le\) olan taraf \(\ge\) olur ama dahil olma özelliği kaybolmaz. Ters dönen eşitsizliği hep küçükten büyüğe sıralı biçimde yeniden yazmak, uçları karıştırmayı önler.

Değişkenlerin aralığı verildiğinde toplam ve fark

ÖSYM'nin en sevdiği kalıplardan biri şudur: \(x\) ve \(y\)'nin aralıkları verilir, \(2x - y\) gibi bir ifadenin alabileceği en büyük ya da en küçük değer sorulur. Burada \(x\) ve \(y\) birbirinden bağımsızdır; biri en büyük değerini alırken öteki en küçük değerini alabilir.

Önce her terimin aralığını ayrı ayrı bulup sonra aynı yönlü eşitsizlikleri toplarız. \(x \in [-3, 5)\) ve \(y \in (-2, 4]\) olsun. \(2x\) için \(-6 \le 2x < 10\) bulunur. \(-y\) için \(y\)'nin aralığı \(-1\) ile çarpılır ve yön ters döner: \(-4 \le -y < 2\). Taraf tarafa toplarsak

elde ederiz. Fark sorusunda en büyük değer, çıkanın en küçük değeri alındığında oluşur. "\(x\)'in en büyüğünden \(y\)'nin en büyüğünü çıkarmak" bu soruların en klasik hatasıdır.

Uçlara dikkat edelim: sonuçtaki bir uç ancak onu oluşturan iki uç da dahilse dahildir. \(-10\) değeri \(x = -3\) ve \(y = 4\) için gerçekten alınır, çünkü iki uç da dahildir. 12 ise \(x = 5\) ve \(y = -2\) gerektirir; ikisi de dahil olmadığı için 12'ye yaklaşılır ama ulaşılmaz. Bu yüzden \(2x - y\)'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 11'dir.

Çarpım ve kare: negatif aralıkta tuzaklar

Çarpımda toplama gibi uçları doğrudan çarpmak çoğu zaman yanlış sonuç verir, çünkü negatif bir sayıyla çarpmak sırayı ters çevirir. Güvenli yöntem şudur: iki aralığın uçlarını dört farklı biçimde çarp; bu dört çarpımın en küçüğü alt sınır, en büyüğü üst sınırdır. \(-4 < x < 3\) ve \(-2 < y < 5\) ise uç çarpımları \((-4)(-2) = 8\), \((-4) \cdot 5 = -20\), \(3 \cdot (-2) = -6\) ve \(3 \cdot 5 = 15\) olur. Dolayısıyla \(-20 < x\,y < 15\). Yalnızca \(x\) ve \(y\)'nin en büyük değerlerini çarpıp en büyük çarpımı 15, en küçüklerini çarpıp en küçük çarpımı 8 sanmak tam olarak ÖSYM'nin kurduğu tuzaktır.

Karede de benzer bir tuzak vardır. \(-3 < x < 2\) için uçların karelerini alıp \(4 < x^2 < 9\) yazmak yanlıştır, çünkü aralıkta 0 da vardır ve \(0^2 = 0\)'dır. Doğrusu şudur: aralık 0'ı içeriyorsa karenin en küçük değeri 0'dır ve bu değer alınır; en büyük değer ise mutlak büyüklüğü fazla olan ucun karesidir. Burada \(0 \le x^2 < 9\) olur.

Aralık 0'ı içermiyorsa durum basittir. \(-5 < x < -2\) gibi tamamen negatif bir aralıkta kare almak yönü çevirir: \(4 < x^2 < 25\). Çünkü negatif sayılarda sola gittikçe kare büyür. Tamamen pozitif bir aralıkta ise yön korunur: \(2 < x < 5\) için \(4 < x^2 < 25\).

Birlikte çözüm: kesişim ve birleşim

İki eşitsizliğin ikisinin birden sağlanması isteniyorsa ("ve" bağlacı) çözüm kümesi iki kümenin kesişimidir; en az birinin sağlanması yeterliyse ("ya da" bağlacı) çözüm kümesi birleşimdir. Bunu sayı doğrusunda iki kümeyi alt alta çizerek bulmak en güvenlisidir.

Uçlarda karar verirken her ucu ayrı ayrı düşün: bir sayı kesişime girmek için iki kümede de olmalıdır. \(A = [-1, 4)\) ve \(B = (2, 6]\) için 2 sayısı \(A\)'dadır ama \(B\)'de değildir, bu yüzden kesişime girmez. Birleşime girmek için ise bir kümede olmak yeter; 4 sayısı \(A\)'da değildir ama \(B\)'de olduğu için birleşimdedir.

Kesişim boş da olabilir: \(x < 1\) ve \(x > 3\) koşullarını aynı anda sağlayan sayı yoktur ve çözüm kümesi \(\varnothing\) olur. Sıralı bir eşitsizlik de aslında iki eşitsizliğin kesişimidir; \(-2 \le x < 4\) yazılışı "\(x \ge -2\) ve \(x < 4\)" demektir.

İşaret bilgisinden sıralama soruları

"\(a < b < 0 < c\) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?" türündeki sorularda iki yol vardır. Birincisi kurallarla düşünmektir: \(a < b\) eşitsizliği pozitif \(c\) ile çarpılırsa \(a\,c < b\,c\) olur; \(a\) ve \(b\) negatif ve \(a\) daha solda olduğundan \(a^2 > b^2\) olur. İkincisi sayı vermektir: koşula uyan birkaç farklı sayı dörtlüsü seçip ifadeleri dener, yanlış olanları elersin. "Kesinlikle doğru" bir ifade için tek bir karşı örnek, onu elemeye yeter. Sayı verirken uç durumları da denemeyi unutma: 0'a çok yakın değerler, çok büyük değerler, birbirine çok yakın iki sayı.

Bu sorularda en çok karıştırılan durumlar karede ve ters çevirmede çıkar. Negatif iki sayıdan küçük olanın karesi büyüktür; aynı işaretli iki sayıdan küçük olanın tersi büyüktür; farklı işaretli iki sayıda ise ters çevirme yönü değiştirmez. 0 ile 1 arasındaki bir sayının karesi kendisinden küçüktür (\(0{,}5^2 = 0{,}25\)), 1'den büyük bir sayının karesi kendisinden büyüktür.