Mutlak Değer

Mutlak değer: sıfıra uzaklık

Sayı doğrusunda −3 ile 3 farklı sayılardır ama ikisi de sıfıra aynı uzaklıktadır: biri 3 birim solda, öteki 3 birim sağda durur. Bir gerçek sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve \(|a|\) biçiminde gösterilir. Buna göre \(|3| = 3\), \(|-3| = 3\), \(|0| = 0\)'dır. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamayacağı için her gerçek sayı için

olur. Eşitlik yalnızca \(a = 0\) iken sağlanır, çünkü sıfıra uzaklığı sıfır olan tek nokta sıfırın kendisidir. Bu iki küçük gözlem soru çözerken çok işe yarar. Örneğin \(|x - 3| + |y + 2| = 0\) verilirse iki negatif olmayan sayının toplamı sıfırdır; bu ancak ikisi birden sıfırsa olur, yani \(x = 3\) ve \(y = -2\) bulunur. Aynı nedenle \(|x - 1| = -4\) gibi bir denklemin çözümü yoktur: hiçbir uzaklık −4 olamaz.

Mutlak değer işareti bir parantez gibi davranır: önce içerideki işlem yapılır, sonra çıkan sayının sıfıra uzaklığı alınır. \(|4 - 9|\) ifadesinde önce \(4 - 9 = -5\) bulunur, sonra \(|-5| = 5\) yazılır. Mutlak değerin önündeki eksi işareti ise mutlak değerin dışındadır ve dokunulmaz: \(-|-5| = -5\)'tir. Öğrencilerin sık yaptığı bir yanlış, \(|a - b|\) yerine \(|a| - |b|\) yazmaktır. \(|4 - 9| = 5\) iken \(|4| - |9| = -5\) olduğu için bu iki ifade genelde eşit değildir.

Parçalı tanım: içerinin işaretine bak

Uzaklık tanımını cebirsel bir kurala çevirelim. Sayı sıfır ya da pozitifse sıfıra uzaklığı kendisidir. Sayı negatifse sıfıra uzaklığı onun ters işaretlisidir: −7'nin sıfıra uzaklığı \(-(-7) = 7\)'dir. Bu yüzden

yazılır. Buradaki \(-a\) ifadesi "negatif bir sayı" anlamına gelmez; \(a\) negatif olduğu için \(-a\) pozitiftir. Bu nokta, konunun en çok kafa karıştıran yeridir. Kural kısaca şudur: mutlak değerin içi negatif değilse ifade olduğu gibi çıkar, negatifse başına eksi konarak (yani işaret değiştirilerek) çıkar.

Tanım bir ifadeye uygulandığında, ifadenin işaret değiştirdiği noktaya kritik nokta denir. \(|x - 4|\) için kritik nokta \(x = 4\)'tür:

Kritik noktanın kendisini hangi parçaya koyduğumuz sonucu değiştirmez, çünkü orada içerisi sıfırdır ve iki parça da 0 verir. Kritik nokta, ileride denklemleri ve eşitsizlikleri bölgelere ayırarak çözerken kullanacağımız temel araçtır.

Mutlak değerin özellikleri ve nedenleri

Aşağıdaki özellikleri ezberlemek yerine nedenlerini görmek, sınavda hangisinin doğru hangisinin tuzak olduğunu ayırt etmeni sağlar. Her birinde \(a\) ve \(b\) gerçek sayılardır.

1. \(|-a| = |a|\) ve \(|a - b| = |b - a|\). Bir sayı ile ters işaretlisi sıfırın iki yanında aynı uzaklıktadır. İkinci eşitlik birincinin özel durumudur, çünkü \(b - a = -(a - b)\)'dir.
2. \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\). Çarpımın işareti çarpanların işaretine bağlıdır ama büyüklüğü bağlı değildir. Dört işaret durumunu (\(++\), \(+-\), \(-+\), \(--\)) tek tek denediğinde iki tarafın her zaman aynı çıktığını görürsün. Örneğin \(|(-3) \cdot 5| = 15 = 3 \cdot 5\).
3. \(b \neq 0\) için \(\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}\). Bölme, çarpmaya göre tersiyle çarpmak olduğundan ikinci özellikten gelir.
4. \(|a|^2 = a^2\) ve \(\sqrt{a^2} = |a|\). Bir sayının karesi işaretini "unutur": \((-3)^2 = 3^2 = 9\). Bu yüzden \(\sqrt{(-3)^2} = 3\)'tür, −3 değildir. \(\sqrt{x^2} = x\) yazmak ancak \(x \ge 0\) iken doğrudur.
5. \(|a^n| = |a|^n\). Çarpma özelliğinin tekrarıdır.

Toplamada ise eşitlik yoktur. Bunun yerine üçgen eşitsizliği geçerlidir:

Nedenini işaretlere bakarak görebiliriz. \(a\) ve \(b\) aynı işaretliyse (ya da biri sıfırsa) büyüklükleri toplanır ve eşitlik olur: \(|3 + 5| = 8 = |3| + |5|\). İşaretleri farklıysa toplamada biri ötekini kısmen götürür ve sonuç daha küçük çıkar: \(|3 + (-5)| = 2 < 8\). Kısacası eşitlik ancak \(a \cdot b \ge 0\) iken olur. Aynı düşünceyle \(|a - b| \ge |a| - |b|\) eşitsizliği de her zaman doğrudur.

İşareti bilinen ifadeleri mutlak değerden çıkarmak

ÖSYM'nin en sevdiği kalıplardan biri şudur: harflerin sıralaması verilir ve mutlak değerli bir ifadenin sadeleşmiş hâli istenir. Yöntem her zaman aynıdır: her mutlak değerin içinin işaretini bul, pozitifse olduğu gibi, negatifse işaretini değiştirerek dışarı çıkar, en sonda topla.

Örneğin \(a < 0 < b\) olsun. \(a - b\) ifadesinde negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılıyor, sonuç kesinlikle negatiftir; bu yüzden \(|a - b| = -(a - b) = b - a\) olur. \(b - a\) ise pozitiftir ve olduğu gibi çıkar. Peki \(a + b\)? Burada işaret sıralamadan tek başına anlaşılamaz: \(a = -5,\ b = 2\) için \(a + b < 0\), \(a = -2,\ b = 5\) için \(a + b > 0\)'dır. Bu yüzden sorular genellikle ek bir bilgi verir. \(a < 0 < b < |a|\) yazılmışsa \(b\), \(a\)'nın sıfıra uzaklığından küçüktür; negatif sayı "daha ağır basar" ve \(a + b < 0\) olur. \(|a| < b\) verilmişse \(a + b > 0\) olur.

Çarpım ve bölümlerde işaret kuralı kullanılır: \(a < 0 < b\) iken \(a \cdot b < 0\) olduğundan \(|a \cdot b| = -ab\) yazılır. Kareli ifadeler hiçbir zaman negatif olmaz: \(|a^2 + 1| = a^2 + 1\) her \(a\) için doğrudur.

|x − a|: iki nokta arasındaki uzaklık

Sayı doğrusunda \(x\) ile \(a\) arasındaki uzaklık, büyükten küçüğü çıkararak bulunur. Hangisinin büyük olduğunu bilmiyorsak farkın mutlak değeri bu işi kendiliğinden yapar:

−2 ile 5 arasındaki uzaklık \(|5 - (-2)| = 7\)'dir; sırayı değiştirsek de \(|-2 - 5| = 7\) çıkar. Toplam biçimindeki ifadeleri de böyle okuyabiliriz: \(|x + 3| = |x - (-3)|\) olduğundan \(|x + 3|\), \(x\)'in −3'e uzaklığıdır. Bu yorum, birçok soruyu hesap yapmadan çözdürür. "\(|x - 2| = 5\)" cümlesi "2'ye uzaklığı 5 olan sayılar" demektir; 2'nin 5 birim sağı 7, 5 birim solu −3'tür.

Aynı yorum eşitsizlikleri de görünür kılar. "\(|x - 2| < 5\)" demek "2'ye uzaklığı 5'ten küçük olan sayılar" demektir; bunlar −3 ile 7 arasındaki sayılardır. "\(|x - 2| > 5\)" ise 2'den 5 birimden daha uzaktaki sayılar, yani −3'ün solundakiler ve 7'nin sağındakilerdir.

Mutlak değerli denklemler

1. \(|A| = c\) türü. \(c > 0\) ise sıfıra uzaklığı \(c\) olan iki sayı vardır, bu yüzden \(A = c\) ya da \(A = -c\) yazılır. \(c = 0\) ise tek çözüm \(A = 0\)'dır. \(c < 0\) ise çözüm yoktur. Örneğin \(|2x - 3| = 7\) denkleminde \(2x - 3 = 7\) için \(x = 5\), \(2x - 3 = -7\) için \(x = -2\) bulunur.

2. \(|A| = |B|\) türü. İki sayının sıfıra uzaklıkları eşitse bu sayılar ya eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir. Bu yüzden \(A = B\) ya da \(A = -B\) yazılır. Bir başka bakış da kare almaktır: \(|A| = |B| \iff A^2 = B^2 \iff (A - B)(A + B) = 0\). Sonuç aynıdır.

3. İç içe mutlak değer. Dıştan içe doğru açılır. \(\big||x - 3| - 2\big| = 1\) denkleminde dış mutlak değer için \(|x - 3| - 2 = 1\) ya da \(|x - 3| - 2 = -1\) yazılır, yani \(|x - 3| = 3\) ya da \(|x - 3| = 1\). Her biri yeniden açılınca dört kök çıkar. Her adımda sağ tarafın negatif olup olmadığını denetlemek gerekir: \(|x - 3|\) negatif bir sayıya eşitlenmişse o kol çözüm vermez.

4. \(|A| = B\) türü, sağ tarafta bilinmeyen var. Bu durumda \(B \ge 0\) olmalıdır, çünkü mutlak değer negatif olamaz. İki durum açılır, sonra her kök bu koşulla denetlenir. \(|x - 4| = 2x + 1\) denkleminde \(x - 4 = 2x + 1\) kolundan \(x = -5\) çıkar; ama bu değerde \(2x + 1 = -9 < 0\) olduğu için kök değildir. \(x - 4 = -(2x + 1)\) kolundan \(x = 1\) çıkar; \(2x + 1 = 3 \ge 0\) ve \(|1 - 4| = 3\) olduğu için gerçek köktür.

Mutlak değerli eşitsizlikler

Uzaklık yorumu iki temel kuralı verir. \(b > 0\) olmak üzere:

Birincisinde çözüm \(a\) merkezli, yarı genişliği \(b\) olan bir aralıktır: \((a - b,\ a + b)\). İkincisinde çözüm bu aralığın dışıdır, iki ayrı ışından oluşur. "\(\le\)" ve "\(\ge\)" kullanıldığında uç noktalar da çözüme katılır.

İçerisi daha karmaşık olduğunda aynı kural uygulanır, sonra eşitsizlik düzenlenir. \(|2x - 3| \le 7\) için \(-7 \le 2x - 3 \le 7\), üç tarafa 3 ekleyince \(-4 \le 2x \le 10\), ikiye bölünce \(-2 \le x \le 5\) bulunur. İçerideki katsayı negatifse önce \(|3 - x| = |x - 3|\) gibi bir dönüşüm yapmak işi kolaylaştırır; çünkü negatif bir sayıyla bölerken eşitsizlik yön değiştirir ve bu adım sık unutulur.

Eşitsizliğin sağ tarafının işaretine de dikkat et. \(|x - 1| < -2\) eşitsizliğinin çözümü yoktur, çünkü uzaklık negatif bir sayıdan küçük olamaz. \(|x - 1| > -2\) ise her gerçek sayı için doğrudur. \(|x - 1| \le 0\) eşitsizliğini yalnızca \(x = 1\) sağlar.

İki yanlı eşitsizliklerde iki koşul ayrı ayrı çözülüp kesiştirilir. \(2 < |x - 1| \le 5\) için \(|x - 1| \le 5\) koşulu \(-4 \le x \le 6\) aralığını, \(|x - 1| > 2\) koşulu ise \(x < -1\) ya da \(x > 3\) bölgesini verir. Kesişim \([-4, -1) \cup (3, 6]\) olur. Uzaklık diliyle söylersek, 1'e uzaklığı 2'den büyük, 5'ten büyük olmayan sayılar 1'in iki yanında simetrik iki parça oluşturur.

Tam sayı çözümlerini saymak

Sınavda çözüm kümesinin kendisinden çok "kaç tam sayı" sorusu gelir. Bir \([m, n]\) kapalı aralığında \(n - m + 1\) tam sayı, \((m, n)\) açık aralığında \(n - m - 1\) tam sayı vardır (\(m\) ve \(n\) tam sayıyken). Uç noktaların dahil olup olmadığı tek tek sayılarak sonuç değişir; bu yüzden "\(<\)" ile "\(\le\)" arasındaki farkı her zaman ayrıca denetle. \(|x - a| \le b\) (\(a\), \(b\) tam sayı) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların sayısı \(2b + 1\)'dir: \(a\)'nın kendisi ve iki yanında \(b\)'şer sayı.

Simetriden de yararlanılabilir. Yalnızca \(|x - a|\) ifadesine bağlı eşitsizliklerin tam sayı çözümleri \(a\) tam sayısının iki yanına simetrik dağılır. Bu yüzden \(a\) tam sayı olduğunda tam sayı çözümlerin toplamı, çözüm sayısı ile \(a\)'nın çarpımına eşittir. \(2 < |x - 1| \le 5\) eşitsizliğinin tam sayı çözümleri −4, −3, −2, 4, 5, 6'dır; altı sayının toplamı \(6 \cdot 1 = 6\)'dır.

Bölgelere ayırma yöntemi

Birden fazla mutlak değer içeren ifadelerde her mutlak değerin kritik noktası bulunur. Bu noktalar sayı doğrusunu bölgelere ayırır ve her bölgede her mutlak değerin içi sabit işaretlidir. Böylece her bölgede ifade mutlak değersiz, sıradan bir doğrusal ifadeye dönüşür. \(|x - 1| + |x + 2|\) için kritik noktalar −2 ve 1'dir:

• \(x < -2\) iken iki iç de negatiftir: \(-(x - 1) - (x + 2) = -2x - 1\).
• \(-2 \le x < 1\) iken \(x + 2 \ge 0\), \(x - 1 < 0\): \(-(x - 1) + (x + 2) = 3\).
• \(x \ge 1\) iken ikisi de negatif değildir: \((x - 1) + (x + 2) = 2x + 1\).

Bir denklem çözülürken her bölgede bulunan kök, o bölgenin içinde kalıyorsa kabul edilir. Bölge dışına düşen kök, o bölgedeki işaret varsayımıyla çelişir ve atılır. Bu denetimi unutmak, fazladan kök yazmanın en yaygın nedenidir.

|x − a| + |x − b| ifadesinin en küçük değeri

\(a < b\) olsun. \(|x - a| + |x - b|\), \(x\) noktasının \(a\)'ya ve \(b\)'ye uzaklıklarının toplamıdır. \(x\) iki noktanın arasındaysa iki uzaklık birlikte tam olarak \([a, b]\) parçasını kaplar ve toplam \(b - a\) olur. \(x\) parçanın dışına çıkarsa, dışarıdaki fazlalık iki uzaklığa da eklenir ve toplam büyür. Sonuç:

Bölgelere ayırma bunu cebirsel olarak da gösterir: yukarıdaki \(|x - 1| + |x + 2|\) örneğinde orta bölgede ifade sabit 3'tür, sol bölgede \(-2x - 1\) ve sağ bölgede \(2x + 1\) olarak orta bölgeden uzaklaştıkça büyür. Grafik, düz tabanlı bir "çanak" görünümündedir: iki eğik kol ve aradaki yatay taban.

Terim sayısı artınca aynı düşünce ortanca ile sürer. \(|x - a_1| + |x - a_2| + \dots + |x - a_n|\) toplamı, \(x\) noktaların ortancasında en küçük olur. Terim sayısı tekse ortanca tek bir noktadır: \(|x - 1| + |x - 3| + |x - 8|\) en küçük değerini \(x = 3\)'te alır ve bu değer \(2 + 0 + 5 = 7\)'dir. Terim sayısı çiftse ortadaki iki nokta arasındaki her \(x\) en küçük değeri verir. Katsayılı toplamlarda, örneğin \(3|x| + 2|x - 5|\), her terim katsayısı kadar "nokta" sayılır ve yine ortanca aranır.

Farkta durum değişir: \(|x - a| - |x - b|\) ifadesi en küçük \(-|b - a|\), en büyük \(|b - a|\) değerini alır. Üçgen eşitsizliğinin \(|A| - |B| \le |A - B|\) biçimi bunu doğrudan verir.