Karışım Problemleri
Karışımda madde miktarı ve yüzde, karışımları birleştirme, su ekleme ve buharlaştırma, terazi yöntemi, altın ayarı, yerine su koyma ve fiyat karışımları.
- Bir karışımdaki madde miktarını toplam miktar ve yüzde (derişim) ile hesaplamayı
- Problemi "miktar, yüzde, madde" tablosuyla düzenli kurmayı ve karışımları birleştirmeyi
- Su eklemede, su buharlaştırmada ve saf madde eklemede neyin değişip neyin sabit kaldığını
- Terazi (çapraz) yöntemiyle karışım oranını bulmayı ve yöntemin neden çalıştığını
- Altın ayarıyla alaşım hesaplarını ve "alıp yerine su koyma" işleminin tekrarını
- Kilogram fiyatları farklı ürünlerin karışımında ortalama birim fiyatı bulmayı
Karışım, madde miktarı ve yüzde
Kantinde satılan limonata, eczanedeki serum, kuyumcunun eritip döktüğü altın ve bakkalın harmanladığı çay aynı matematiğe sahiptir: hepsi iki ya da daha fazla bileşenin bir araya gelmesiyle oluşan karışımlardır. Karışım problemlerinde genellikle bir bileşeni izleriz: tuzlu suda tuzu, şekerli suda şekeri, limonatada limon suyunu, alaşımda saf altını. Bu bileşene kısaca madde diyelim. Maddenin karışımın tamamı içindeki payına yüzde ya da derişim denir.
"%15'lik 240 gram tuzlu su" ifadesi, 240 gramın yüzde 15'inin tuz olduğunu söyler. Her 100 gramda 15 gram tuz vardır; 240 gramda \(240 \cdot \frac{15}{100} = 36\) gram tuz ve \(240 - 36 = 204\) gram su bulunur. Bütün konu tek bir bağıntının üzerine kurulur:
Bu bağıntıyı üç yönde kullanırız: karışım miktarı ve yüzde verilirse madde bulunur; madde ve karışım verilirse yüzde bulunur; madde ve yüzde verilirse karışımın tamamı bulunur. 36 gram tuz içeren %12'lik tuzlu su \(36 \div 0{,}12 = 300\) gramdır.
Yüzdenin tabanı her zaman karışımın tamamıdır, yalnızca su değildir. "Tuzun suya oranı \(\frac{1}{4}\)" bilgisi ile "tuzun karışıma oranı \(\frac{1}{4}\)" bilgisi farklıdır. Birincisinde her 1 gram tuza 4 gram su düşer; 5 gramlık her parçanın 1 gramı tuzdur ve karışım %20'liktir. İkincisinde karışım %25'liktir. Soruyu okurken "neyin neye oranı" verildiğine dikkat etmek, bu konudaki hataların önemli bir kısmını önler.
Tablo ile düzenli çözüm
Karışım sorularında bilgi çoğu zaman uzun bir paragrafın içine dağılmıştır. En güvenli yol, her karışım için bir satır açan küçük bir tablodur. Sütunlar miktar, yüzde ve madde olur; madde sütunu, ilk iki sütunun çarpımıdır. Karışımlar bir araya getirildiğinde miktar sütunu da madde sütunu da toplanır. Yüzde sütunu ise toplanmaz; son yüzde, toplam maddenin toplam miktara bölümüyle bulunur.
| Karışım | Miktar (g) | Şeker yüzdesi | Şeker (g) |
|---|---|---|---|
| I. kap | 200 | %30 | 60 |
| II. kap | 300 | %10 | 30 |
| Karışım | 500 | ? | 90 |
Tablodan son yüzde \(\frac{90}{500} = 0{,}18\), yani %18 bulunur. Yüzdeleri toplayıp %40 demek ya da ortalamalarını alıp %20 demek yanlıştır. %20 sonucu yalnızca iki kaptan eşit miktar alınsaydı doğru olurdu.
Tablonun asıl yararı, bilinmeyenin nereye yazılacağını göstermesidir. Miktar bilinmiyorsa satıra \(x\) yazılır, madde sütununa \(x\) ile yüzdenin çarpımı gelir ve son satırdaki madde toplamı için bir denklem kurulur. Hangi büyüklüğün sorulduğu değişse de denklemin iskeleti hep aynıdır: maddelerin toplamı, karışımdaki maddeye eşittir.
İki ya da üç karışımı birleştirmek: ağırlıklı ortalama
\(m_1\) miktarında %\(p_1\)'lik bir karışım ile \(m_2\) miktarında %\(p_2\)'lik bir karışım birleştirildiğinde maddeler toplanır. Yeni yüzde \(p\) için
bulunur. Bu ifade bir ağırlıklı ortalamadır: yüzdelerin ortalaması alınırken her yüzde kendi miktarıyla "ağırlıklandırılır". Üç ya da daha çok karışımda aynı kural geçerlidir; paydada bütün miktarların, payda bütün madde miktarlarının toplamı bulunur.
Ağırlıklı ortalamanın iki önemli sonucu vardır. Birincisi, karışımın yüzdesi her zaman en küçük ve en büyük yüzdenin arasındadır. %10'luk ve %30'luk iki şekerli su ne oranda karıştırılırsa karıştırılsın %35'lik ya da %8'lik bir karışım elde edilemez. Bu gözlem, seçeneklerdeki bazı değerleri hesap yapmadan elemeye yarar. İkincisi, sonuç miktarı çok olan karışımın yüzdesine daha yakındır. %10'luktan 300 g, %30'luktan 200 g alınca sonuç %18'dir; ortadaki %20'den %10'a doğru kaymıştır.
Su eklemek, su buharlaştırmak
Bir karışıma su eklendiğinde ya da karışımdaki suyun bir kısmı buharlaştırıldığında madde miktarı değişmez, yalnızca karışımın toplam miktarı değişir. Bu yüzden bu tür soruların anahtar cümlesi "sabit kalanı bul" cümlesidir. %20'lik 600 g tuzlu suda \(600 \cdot 0{,}2 = 120\) g tuz vardır. Karışımı %25'lik yapmak istiyorsak 120 g tuzun karışımın dörtte biri olması gerekir; karışım \(120 \div 0{,}25 = 480\) g olmalı, yani \(600 - 480 = 120\) g su buharlaştırılmalıdır. Aynı karışımı %15'lik yapmak için ise karışımın \(120 \div 0{,}15 = 800\) g olması, yani 200 g su eklenmesi gerekir.
Madde sabitken yüzde ile toplam miktar ters orantılıdır: \(m \cdot p = m' \cdot p'\). Karışımın miktarı iki katına çıkarsa yüzde yarıya iner; miktar yarıya inerse yüzde iki katına çıkar. Bu bakış, uzun hesapları kısaltır. %12'lik bir karışımı %8'lik yapmak için miktarın \(\frac{12}{8} = 1{,}5\) katına çıkması, yani karışımın yarısı kadar su eklenmesi gerekir.
Suyu bir karışım gibi düşünmek de işe yarar: su, %0'lık bir karışımdır. Tabloda su eklemek, madde sütunu 0 olan bir satır eklemektir. Buharlaştırma ise bu satırın miktarını eksi yazmaktır. Böylece su ekleme ve buharlaştırma, ayrı kurallar gerektirmeden karışımları birleştirme kuralının özel bir hâli olur.
Saf madde eklemek
Karışıma su yerine maddenin kendisi eklenirse hem madde hem toplam miktar artar. %12'lik 400 g tuzlu suya \(x\) g tuz eklenip karışımın %20'lik olması isteniyorsa tablo şöyle kurulur: önce 48 g tuz vardır, sonra \(48 + x\) g tuz ve \(400 + x\) g karışım olur.
Burada yapılan en yaygın hata, eklenen tuzu yalnızca paya yazıp paydayı 400 bırakmaktır: \(\frac{48 + x}{400} = 0{,}2\) denklemi \(x = 32\) verir ve yanlıştır, çünkü eklenen tuz karışımın kütlesini de artırır. Suyun %0'lık bir karışım olması gibi, saf madde de %100'lük bir karışımdır. Bu bakış, sonraki bölümdeki terazi yöntemini saf madde ve su eklemeye de uygulamamızı sağlar.
Terazi (çapraz) yöntemi ve neden çalıştığı
Sınavlarda sık sorulan bir kalıp şudur: "%\(p_1\)'lik ve %\(p_2\)'lik iki karışımdan %\(p\)'lik karışım elde etmek için hangi oranda karıştırmalıyız?" Ağırlıklı ortalama bağıntısını içler-dışlar çarpımıyla düzenleyelim:
Buradan
bulunur. Bu eşitlik bir tahterevalli dengesi gibi okunur. Yüzdeleri bir sayı doğrusuna yerleştir ve sonucu (\(p\)) destek noktası say. Her karışımın miktarı, kendi yüzdesinin destek noktasına uzaklığıyla çarpıldığında iki taraf eşit çıkar. Uzaklığı az olan taraf daha ağırdır; yani sonuca yakın olan karışımdan daha çok kullanılır. Pratikte "çapraz" denmesinin nedeni şudur: bir karışımın miktarı, öteki karışımın sonuca uzaklığıyla orantılıdır.
Bu yöntem yalnızca bir kısayol değildir; ağırlıklı ortalamanın denklemiyle aynı şeyi söyler, o yüzden her durumda güvenle kullanılabilir. Su ve saf madde de yöntemin içine girer: su %0, saf madde %100 yazılır. %12'lik tuzlu suya tuz ekleyip %20'lik yapmak istiyorsak uzaklıklar \(20 - 12 = 8\) ve \(100 - 20 = 80\)'dir. Tuzlu suyun eklenen tuza oranı \(80 : 8 = 10 : 1\) olur; 400 g tuzlu suya 40 g tuz eklenir. Önceki bölümdeki denklemin sonucuyla aynıdır.
Yöntemi kullanırken iki noktaya dikkat et. Birincisi, sonuç iki yüzdenin arasında olmalıdır; değilse soru çözümsüzdür. İkincisi, oranlar miktarların oranıdır; elde edilen oranı toplam miktara göre paylaştırmak gerekir. 18 ayarlık 70 g altın için 2 : 5 oranında toplam 7 parça vardır; bir parça 10 g olur, 8 ayardan 20 g, 22 ayardan 50 g kullanılır.
Alaşımlar ve altın ayarı
Kuyumcular saf altını yumuşak olduğu için genellikle bakır ve gümüş gibi metallerle karıştırarak kullanır. Bir alaşımdaki saf altının oranı ayar ile belirtilir. Saf altın 24 ayardır; 22 ayar altında kütlenin \(\frac{22}{24}\)'ü, 14 ayar altında \(\frac{14}{24}\)'ü saf altındır. Ayar, yüzdenin 24 üzerinden yazılmış hâli gibidir:
48 g'lık 22 ayar bir bilezikte \(48 \cdot \frac{22}{24} = 44\) g saf altın vardır. "22 ayar, %22 saf demektir" düşüncesi en sık yapılan hatadır; 22 ayar altında altın oranı %90'ın üzerindedir. Ayarı farklı alaşımlar eritilip birleştirildiğinde yine ağırlıklı ortalama kullanılır: 20 g 8 ayar ile 50 g 22 ayar altının karışımı \(\frac{20 \cdot 8 + 50 \cdot 22}{70} = \frac{1\,260}{70} = 18\) ayardır. Terazi yönteminde de yüzde yerine ayar yazılır; saf altın 24 ayar, altın içermeyen bir metal 0 ayar sayılır.
Alaşım sorularının bir başka kalıbı, saf altın ekleyerek ayarı yükseltmektir. 18 ayar 40 g altına saf altın eklenerek 22 ayar yapılacaksa uzaklıklar \(22 - 18 = 4\) ve \(24 - 22 = 2\)'dir. 18 ayarın saf altına oranı \(2 : 4\) olur; 40 g için 80 g saf altın gerekir. Sonuç büyük görünse de doğrudur: 22 ayara yakın bir sonuç istendiği için 24 ayardan çok kullanılmalıdır.
Karışımdan alıp yerine su koymak
ÖSYM'nin zor sorularında sık görülen bir işlem şudur: "Kaptaki karışımdan bir miktar alınıyor ve yerine aynı miktarda su konuyor; bu işlem bir kez daha yapılıyor." Burada kilit nokta, alınan kısmın kaptaki karışımla aynı yüzdede olmasıdır. 20 L saf portakal suyundan 5 L alınırsa kaptakinin dörtte biri gider, dörtte üçü kalır: 15 L portakal suyu. Yerine 5 L su konunca kap yine 20 L olur ama artık %75'liktir. İkinci kez 5 L alındığında yine kaptakinin dörtte biri alınır; bu kez çıkan portakal suyu 5 L değil, \(5 \cdot 0{,}75 = 3{,}75\) L'dir. Kalan \(15 - 3{,}75 = 11{,}25\) L'dir ve karışım %56,25'lik olur.
Her işlemde madde miktarı aynı oranda, \(\frac{V - a}{V}\) katına iner (\(V\) kabın hacmi, \(a\) her seferinde alınan miktar). Bu yüzden \(n\) işlem sonunda
olur. Formülün neden üslü olduğu, her adımda kalanın yine kalanın belirli bir kesri olmasından gelir; tıpkı her yıl aynı oranda değer kaybeden bir malın fiyatı gibi. İki işlemde toplam \(2a\) litre alınsa da sonuç, bir kerede \(2a\) litre alınıp su konmasından farklıdır: \(\left(1 - \frac{a}{V}\right)^2 = 1 - \frac{2a}{V} + \frac{a^2}{V^2}\) olduğundan iki kez az az almak kapta daha çok madde bırakır.
Yerine su yerine saf madde konursa ya da işlemler karışık sırayla yapılırsa formül yerine adım adım tablo kurmak daha güvenlidir: her adımda "kaptan çıkan madde = alınan miktar · o anki yüzde" yazılır, eklenen madde de eklenir.
Fiyat karışımları ve ortalama birim fiyat
Kilogram fiyatları farklı ürünler karıştırıldığında karışımın kilogram fiyatı da bir ağırlıklı ortalamadır. Bu kez "madde" yerine tutar (ödenen para) toplanır:
Kilogramı 240 TL olan çaydan 6 kg ve kilogramı 300 TL olan çaydan 4 kg karıştıran bir çay harmancısı \(1\,440 + 1\,200 = 2\,640\) TL'lik 10 kg harman elde eder; harmanın kilogram fiyatı 264 TL'dir. Yüzde sorularındaki her yöntem burada da geçerlidir: sonuç iki fiyat arasındadır, miktarı çok olan ürünün fiyatına yakındır ve terazi yöntemi fiyatlarla aynen kullanılır.
Bir özel duruma dikkat et. İki üründen eşit miktar alınırsa ortalama fiyat, fiyatların aritmetik ortalamasıdır. Eşit para harcanırsa öyle değildir. Kilogramı 200 TL ve 300 TL olan iki üründen 1 200'er TL'lik alınırsa 6 kg ve 4 kg alınır; ortalama fiyat \(\frac{2\,400}{10} = 240\) TL olur, 250 TL değil. Ucuz üründen daha çok alındığı için ortalama ucuz fiyata yaklaşır.
Oranla verilen karışımlar ve iki aşamalı işlemler
Bazı sorularda yüzde yerine oran verilir: "Kırmızı boyanın beyaz boyaya oranı \(\frac{1}{3}\) olan pembe boya." Bu bilgi her 4 birimin 1'inin kırmızı olduğunu, yani kırmızının %25 olduğunu söyler. Oranı önce "parçanın bütüne oranına" çevirip sonra tabloya yazmak, karışık hesapları basitleştirir.
İki kap arasında aktarma yapılan sorularda her aktarımdan sonra iki kabın da yeni durumunu yazmak gerekir. A kabından B kabına bir miktar karışım aktarıldığında A'nın yüzdesi değişmez ama miktarı azalır; B'nin hem miktarı hem yüzdesi değişir. Sonra B'den A'ya aktarılan karışım, B'nin yeni yüzdesindedir. Bu sırayı atlayıp B'nin ilk yüzdesini kullanmak, iki aşamalı soruların klasik tuzağıdır.
Formüller
Çözümlü örnekler
%15'lik 240 g tuzlu suda kaç gram tuz ve kaç gram su vardır? Bu karışıma 60 g su eklenirse karışımın tuz yüzdesi kaç olur?
- Tuz miktarı \(240 \cdot \frac{15}{100} = 36\) g, su miktarı \(240 - 36 = 204\) g'dır.
- 60 g su eklenince tuz değişmez, karışım \(240 + 60 = 300\) g olur.
- Yeni yüzde \(\frac{36}{300} = \frac{12}{100}\), yani %12'dir.
Cevap: 36 g tuz ve 204 g su; %12
Birinci kapta %30'luk 200 g şekerli su, ikinci kapta %10'luk 300 g şekerli su vardır. İki kaptaki karışımların tamamı boş bir kapta karıştırılırsa elde edilen karışımın şeker yüzdesi kaç olur?
- Birinci kapta \(200 \cdot 0{,}30 = 60\) g, ikinci kapta \(300 \cdot 0{,}10 = 30\) g şeker vardır.
- Karışım \(200 + 300 = 500\) g olur ve içinde \(60 + 30 = 90\) g şeker bulunur.
- Yüzde \(\frac{90}{500} = 0{,}18\), yani %18'dir. Sonuç %10 ile %30 arasında ve miktarı çok olan %10'luğa daha yakındır.
Cevap: %18
%20'lik 600 g tuzlu sudan kaç gram su buharlaştırılırsa karışım %25'lik olur?
- Buharlaşan yalnızca sudur; tuz miktarı sabittir: \(600 \cdot 0{,}2 = 120\) g.
- Son karışımda 120 g tuz, karışımın %25'i olmalı: karışım \(120 \div 0{,}25 = 480\) g.
- Buharlaşan su \(600 - 480 = 120\) g'dır. Denetim: \(\frac{120}{480} = \frac{1}{4}\).
Cevap: 120 g
%12'lik 400 g tuzlu suya kaç gram tuz eklenirse karışım %20'lik olur?
- Başta \(400 \cdot 0{,}12 = 48\) g tuz vardır. \(x\) g tuz eklenince tuz \(48 + x\), karışım \(400 + x\) g olur.
- \(\frac{48 + x}{400 + x} = \frac{1}{5}\) için \(240 + 5x = 400 + x\), yani \(x = 40\).
- Terazi yöntemiyle denetim: tuz %100'lük sayılır; uzaklıklar \(20 - 12 = 8\) ve \(100 - 20 = 80\). Tuzlu suyun tuza oranı \(80 : 8 = 10 : 1\) olduğundan 400 g için 40 g tuz gerekir.
Cevap: 40 g
Bir kuyumcu 22 ayar ve 8 ayar altınları eriterek 18 ayar 70 g'lık bir bilezik yapacaktır. Her ayardan kaç gram kullanmalıdır?
- Ayarları sayı doğrusuna yerleştir: 8, 18 ve 22. Sonuca uzaklıklar \(18 - 8 = 10\) ve \(22 - 18 = 4\)'tür.
- Miktarlar uzaklıklarla ters orantılıdır: 8 ayarın 22 ayara oranı \(4 : 10 = 2 : 5\).
- Toplam 7 parça 70 g ise bir parça 10 g'dır: 8 ayardan 20 g, 22 ayardan 50 g kullanılır.
- Denetim: \(\frac{20 \cdot 8 + 50 \cdot 22}{70} = \frac{1\,260}{70} = 18\) ayar. Bilezikte \(70 \cdot \frac{18}{24} = 52{,}5\) g saf altın vardır.
Cevap: 22 ayardan 50 g, 8 ayardan 20 g
Bir çay harmancısı kilogramı 240 TL olan çaydan 6 kg ve kilogramı 300 TL olan çaydan 4 kg alarak bir harman hazırlıyor. Harmanın kilogram fiyatı kaç TL'dir? Bu harmana kilogramı 360 TL olan çaydan kaç kg eklenirse harmanın kilogram fiyatı 280 TL olur?
- Toplam tutar \(6 \cdot 240 + 4 \cdot 300 = 1\,440 + 1\,200 = 2\,640\) TL, toplam miktar 10 kg'dır. Kilogram fiyatı 264 TL'dir.
- 360 TL'lik çaydan \(y\) kg eklensin: \(\frac{2\,640 + 360y}{10 + y} = 280\).
- \(2\,640 + 360y = 2\,800 + 280y\) için \(80y = 160\), \(y = 2\).
- Denetim: \(\frac{2\,640 + 720}{12} = \frac{3\,360}{12} = 280\) TL.
Cevap: 264 TL; 2 kg
Bir kapta 20 L saf portakal suyu vardır. Kaptan 5 L alınıp yerine 5 L su konuyor, karıştırıldıktan sonra aynı işlem bir kez daha yapılıyor. Kapta kaç litre portakal suyu kalır ve karışım yüzde kaç portakal suyu içerir?
- İlk işlemde kaptakinin \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)'ü alınır: 15 L portakal suyu kalır, karışım %75'liktir.
- İkinci işlemde alınan 5 L'nin \(5 \cdot 0{,}75 = 3{,}75\) L'si portakal suyudur; \(15 - 3{,}75 = 11{,}25\) L kalır.
- Formülle: \(20 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 11{,}25\) L. Yüzde \(\frac{11{,}25}{20} = 0{,}5625\), yani %56,25.
Cevap: 11,25 L; %56,25
Bir laboratuvarda kütlece %40'lık 150 g glikoz çözeltisi, %25'lik 250 g glikoz çözeltisi ve 100 g saf su karıştırılıyor. Elde edilen çözeltinin glikoz yüzdesi kaçtır? Bu çözeltiden kaç gram su buharlaştırılırsa çözelti %35'lik olur?
- Glikoz miktarı \(150 \cdot 0{,}40 + 250 \cdot 0{,}25 + 100 \cdot 0 = 60 + 62{,}5 = 122{,}5\) g'dır; çözelti 500 g'dır.
- Yüzde \(\frac{122{,}5}{500} = 0{,}245\), yani %24,5.
- %35'lik olması için çözelti \(122{,}5 \div 0{,}35 = 350\) g olmalı; \(500 - 350 = 150\) g su buharlaştırılır.
Cevap: %24,5; 150 g
A kabında %20'lik 300 g, B kabında %50'lik 200 g şekerli su vardır. A kabından B kabına 100 g karışım aktarılıp karıştırılıyor. Ardından B kabından A kabına 200 g karışım aktarılıyor. Son durumda A ve B kaplarındaki karışımların şeker yüzdeleri kaçtır?
- A'dan alınan 100 g'da \(100 \cdot 0{,}2 = 20\) g şeker vardır. A'da 200 g karışım ve 40 g şeker kalır (yüzde değişmez, %20).
- B'de \(200 + 100 = 300\) g karışım ve \(100 + 20 = 120\) g şeker olur; B artık %40'lıktır.
- B'den A'ya aktarılan 200 g, %40'lık olduğu için 80 g şeker taşır. A'da \(400\) g karışım ve \(40 + 80 = 120\) g şeker olur: %30.
- B'de 100 g karışım kalır ve yüzdesi değişmez: %40. Denetim: toplam şeker \(120 + 40 = 160 = 60 + 100\).
Cevap: A kabı %30, B kabı %40
Sık yapılan hatalar
- Yüzdeleri doğrudan toplamak ya da miktarlara bakmadan ortalamasını almak; doğrusu madde miktarlarını toplayıp toplam miktara bölmektir.
- Yüzdenin tabanını yalnızca su sanmak: "tuzun suya oranı \(\frac{1}{4}\)" karışımın %20'lik olduğunu söyler, %25'lik değil.
- Saf madde eklerken eklenen maddeyi yalnızca paya yazmak; eklenen madde karışımın toplam miktarını da artırır.
- Su ekleme ve buharlaştırmada madde miktarının sabit kaldığını kullanmamak; uzun denklemlerle zaman kaybetmek.
- Terazi yönteminde oranı ters yazmak: bir karışımın miktarı, öteki karışımın sonuca uzaklığıyla orantılıdır.
- 22 ayar altını %22 saf sanmak; ayar 24 üzerinden okunur.
- "Alıp yerine su koyma" işleminin ikinci adımında da ilk adımdaki kadar madde çıktığını sanmak; ikinci adımda çıkan madde, o anki yüzdeyle hesaplanır.
- İki kap arasında aktarmada, ikinci aktarımda kabın ilk yüzdesini kullanmak.
Kuyumcu vitrinindeki altın takıların üzerinde küçük bir damga bulunur ve bu damga ayarın binde kaç saf altına karşılık geldiğini gösterir. 22 ayar altın 916 damgası taşır, çünkü \(\frac{22}{24} \approx 0{,}9167\)'dir; yani bin gramın yaklaşık 916 gramı saf altındır. 18 ayar altın 750 (\(\frac{18}{24} = 0{,}75\)), 14 ayar altın ise 585 damgası taşır; \(\frac{14}{24} \approx 0{,}583\) olduğundan 585 değeri hesaplananın biraz üzerindedir. Bu sayılara milyem denir. Türkiye'de bilezik ve çeyrek altın gibi ürünlerde 22 ayar, takılarda 14 ayar yaygındır. 14 ayar takıların daha sert ve çizilmeye dayanıklı olmasının nedeni, kütlelerinin yaklaşık yüzde kırkının bakır ve gümüş gibi daha sert metallerden oluşmasıdır.
Konu testi
27 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
Tuz oranı %15 olan 360 gramlık tuzlu suda kaç gram su vardır?
Tuz miktarı \(360 \cdot 0{,}15 = 54\) g olduğundan su \(360 - 54 = 306\) g'dır. 54 tuzun kendisidir; 345, yüzde sayısını gram gibi çıkarmaktan gelir.
Şeker oranı %25 olan 400 g şekerli suya 100 g su ekleniyor. Elde edilen karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
Şeker miktarı \(400 \cdot 0{,}25 = 100\) g'dır ve su eklenince değişmez. Karışım 500 g olur; şeker oranı \(\frac{100}{500} = 0{,}2\), yani %20.
22 ayar altından yapılmış 48 gramlık bir bilezikte kaç gram saf altın vardır? (Saf altın 24 ayardır.)
Saf altın \(48 \cdot \frac{22}{24} = 44\) g'dır. 22 ayarı %22 sanmak 10,56; altın olmayan kısmı yazmak 4 sonucunu verir.
Bir bakkal kilogramı 80 TL olan pirinçten 3 kg ve kilogramı 120 TL olan pirinçten 2 kg alıp karıştırıyor. Elde edilen karışımın kilogram fiyatı kaç TL'dir?
Toplam tutar \(3 \cdot 80 + 2 \cdot 120 = 480\) TL, toplam miktar 5 kg'dır. Kilogram fiyatı \(480 \div 5 = 96\) TL. Fiyatların aritmetik ortalaması olan 100 TL, miktarlar eşit olmadığı için yanlıştır.
Tuz oranı %10 olan 500 g tuzlu sudan 100 g su buharlaştırılıyor. Kalan karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
Tuz miktarı \(500 \cdot 0{,}1 = 50\) g'dır ve buharlaşmayla değişmez. Karışım 400 g olur; tuz oranı \(\frac{50}{400} = 0{,}125\), yani %12,5. Suyu ekler gibi hesaplamak %8 verir.
Şeker oranı %20 olan 200 g şekerli suya 50 g şeker ekleniyor. Elde edilen karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
Başta \(200 \cdot 0{,}2 = 40\) g şeker vardır; eklemeyle \(40 + 50 = 90\) g şeker ve \(200 + 50 = 250\) g karışım olur. Şeker oranı \(\frac{90}{250} = 0{,}36\), yani %36. Paydayı 200 bırakmak %45 verir.
Bir pastanenin mutfağında üç kapta şerbet bulunmaktadır. Kaplardaki şerbet miktarları ve şeker oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Kap | Miktar (g) | Şeker oranı |
|---|---|---|
| I | 200 | %12 |
| II | 200 | %18 |
| III | 100 | %30 |
Üç kaptaki şerbetin tamamı büyük bir kazanda karıştırılırsa elde edilen şerbetin şeker oranı yüzde kaç olur?
Şeker miktarları \(200 \cdot 0{,}12 = 24\), \(200 \cdot 0{,}18 = 36\) ve \(100 \cdot 0{,}30 = 30\) g; toplam 90 g. Toplam miktar 500 g olduğundan şeker oranı \(\frac{90}{500} = 0{,}18\), yani %18. Oranların aritmetik ortalaması %20'dir; miktarlar farklı olduğu için yanlıştır.
Bir laboratuvarda asit oranı %15 ve %40 olan iki çözelti karıştırılarak asit oranı %25 olan 500 mL çözelti hazırlanacaktır. Bu iş için asit oranı %40 olan çözeltiden kaç mL kullanılmalıdır? (Hacimlerin toplandığı kabul edilecektir.)
Terazi yöntemi: uzaklıklar \(25 - 15 = 10\) ve \(40 - 25 = 15\)'tir. %15'liğin %40'lığa oranı \(15 : 10 = 3 : 2\) olur; 500 mL'nin \(\frac{2}{5}\)'i, yani 200 mL %40'lık kullanılır. Denetim: \(300 \cdot 0{,}15 + 200 \cdot 0{,}40 = 125 = 500 \cdot 0{,}25\). Oranı ters yazmak 300 sonucunu verir.
Okul kantinindeki büyük bir bidonda 24 L saf portakal suyu vardır. Kantin görevlisi bidondan 6 L portakal suyu alıp yerine 6 L su koyuyor ve karıştırıyor. Ardından bidondan 6 L karışım alıp yerine yine 6 L su koyuyor. Bidonda kaç litre portakal suyu kalmıştır?
Her işlemde bidondakinin \(\frac{6}{24} = \frac{1}{4}\)'ü alınır, \(\frac{3}{4}\)'ü kalır. İlk işlemden sonra 18 L, ikinci işlemden sonra \(18 \cdot \frac{3}{4} = 13{,}5\) L portakal suyu kalır. İkinci adımda da 6 L portakal suyu çıktığını sanmak 12 sonucunu verir.
Bir kuyumcu 18 ayar 40 g altına saf altın ekleyip eriterek 22 ayar altın elde etmek istiyor. Kuyumcunun kaç gram saf altın eklemesi gerekir? (Saf altın 24 ayardır.)
40 g 18 ayar altında \(40 \cdot \frac{18}{24} = 30\) g saf altın vardır. \(x\) g saf altın eklenirse \(\frac{30 + x}{40 + x} = \frac{22}{24}\) olur. \(24(30 + x) = 22(40 + x)\) için \(720 + 24x = 880 + 22x\), \(x = 80\). Terazi ile: uzaklıklar \(22 - 18 = 4\) ve \(24 - 22 = 2\); 18 ayarın saf altına oranı \(2 : 4\), saf altın 80 g. Oranı ters kurmak 20 verir.
Bir çay fabrikası kilogramı 250 TL ve 400 TL olan iki tür çayı karıştırarak kilogramı 300 TL olan 60 kg harman hazırlayacaktır. Bu harmanda kilogramı 250 TL olan çaydan kaç kg kullanılır?
Terazi yöntemi: uzaklıklar \(300 - 250 = 50\) ve \(400 - 300 = 100\). 250 TL'liğin 400 TL'liğe oranı \(100 : 50 = 2 : 1\) olur; 60 kg'ın \(\frac{2}{3}\)'ü, yani 40 kg. Denetim: \(40 \cdot 250 + 20 \cdot 400 = 18\,000 = 60 \cdot 300\). Oranı ters yazmak 20 verir.
Şeker oranı %20 ve %35 olan iki şekerli su karışımından sıfırdan farklı miktarlarda alınıp karıştırılarak yeni bir karışım elde ediliyor. Buna göre
- I.Yeni karışımın şeker oranı %20'den büyük ve %35'ten küçüktür.
- II.Yeni karışımın şeker oranı %27,5'tir.
- III.Şeker oranı %35 olan karışımdan daha çok kullanılmışsa yeni karışımın şeker oranı %27,5'ten büyüktür.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Yeni oran \(\frac{20 m_1 + 35 m_2}{m_1 + m_2}\) bir ağırlıklı ortalamadır; iki miktar da pozitif olduğundan %20 ile %35 arasındadır. I doğrudur. %27,5 yalnızca iki miktar eşitse elde edilir; örneğin 100 g ve 200 g için oran %30'dur. II her zaman doğru değildir. %35'likten çok kullanılırsa sonuç %35'e daha yakın, yani %27,5'ten büyüktür: \(m_2 > m_1\) için \(\frac{20 m_1 + 35 m_2}{m_1 + m_2} - 27{,}5 = \frac{7{,}5(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2} > 0\). III doğrudur.
Tuz oranı %15 olan bir miktar tuzlu sudan 200 g su buharlaştırıldığında karışımın tuz oranı %20 oluyor. Başlangıçta kaç gram tuzlu su vardır?
Başlangıç miktarı \(m\) olsun. Tuz sabit kaldığından \(0{,}15\,m = 0{,}20\,(m - 200)\). \(0{,}05\,m = 40\), \(m = 800\) g. Buharlaşmadan sonra 600 g kalır; 600'ü yazmak son miktarı başlangıç sanmaktır.
Bir meyve suyu üreticisi, %60'ı meyve suyu olan 3 L içeceğe su ekleyerek meyve suyu oranını %45'e düşürmek istiyor. Üreticinin kaç litre su eklemesi gerekir?
İçecekteki meyve suyu \(3 \cdot 0{,}6 = 1{,}8\) L'dir ve su eklenince değişmez. Son içecek \(1{,}8 \div 0{,}45 = 4\) L olmalıdır; eklenecek su \(4 - 3 = 1\) L. 4, eklenen su değil son hacimdir.
Şekilde K ve L kaplarındaki şekerli su karışımlarının miktarları ve şeker oranları gösterilmiştir.
K ve L kaplarındaki karışımların tamamı boş M kabına boşaltılıyor ve M kabına 100 g su ekleniyor. M kabındaki karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
Şeker miktarları \(300 \cdot 0{,}24 = 72\) g ve \(200 \cdot 0{,}09 = 18\) g; toplam 90 g. M kabında \(300 + 200 + 100 = 600\) g karışım olur; şeker oranı \(\frac{90}{600} = 0{,}15\), yani %15. Eklenen suyu unutmak %18 sonucunu verir.
Bir boya ustasının birinci kutusunda kırmızı boyanın beyaz boyaya oranı \(\frac{1}{3}\) olan 12 L pembe boya vardır. İkinci kutudaki pembe boyada ise kırmızı boyanın beyaz boyaya oranı \(\frac{3}{2}\)'dir. Usta, birinci kutudaki boyanın tamamına ikinci kutudan kaç litre boya eklerse kırmızı boyanın beyaz boyaya oranı \(\frac{2}{3}\) olan bir boya elde eder?
Oranlar karışımın tamamına göre yazılır: birinci kutu %25, ikinci kutu %60 kırmızıdır, istenen boya %40 kırmızıdır. Terazi yöntemi: uzaklıklar \(40 - 25 = 15\) ve \(60 - 40 = 20\); birinci kutunun ikinciye oranı \(20 : 15 = 4 : 3\). 12 L için ikinci kutudan \(12 \cdot \frac{3}{4} = 9\) L eklenir. Denetim: \(\frac{3 + 5{,}4}{21} = 0{,}4\). Oranı ters kurmak 16 verir.
Şeker oranı %x olan 300 g şekerli su ile şeker oranı %30 olan 200 g şekerli su karıştırıldığında şeker oranı %18 olan bir karışım elde ediliyor. Buna göre x kaçtır?
Karışımdaki şeker \(500 \cdot 0{,}18 = 90\) g'dır. İkinci kaptan \(200 \cdot 0{,}3 = 60\) g gelir. Birinci kaptan 30 g şeker gelmiştir: \(\frac{30}{300} = 0{,}1\), yani \(x = 10\). Miktarları eşit sanıp \(2 \cdot 18 - 30 = 6\) yazmak yanlıştır.
Bir laboratuvarda şeker oranı %20 ve %50 olan iki çözelti karıştırılarak toplam 600 g çözelti hazırlanacaktır. Şeker oranı %20 olan çözeltiden en az 200 g, %50 olan çözeltiden en az 100 g kullanılması gerekmektedir. Hazırlanan çözeltinin şeker oranı en çok yüzde kaç olabilir?
Şeker oranı, %50'lik çözeltinin miktarı arttıkça artar. %20'likten en az 200 g kullanılacağı için %50'likten en çok 400 g kullanılabilir. Bu durumda şeker \(200 \cdot 0{,}2 + 400 \cdot 0{,}5 = 240\) g ve oran \(\frac{240}{600} = 0{,}4\), yani %40. %25 en küçük değerdir; miktarları yer değiştirmek %30 verir.
Bir kapta 30 L saf elma suyu vardır. Kaptan x litre elma suyu alınıp yerine x litre su konuyor ve karıştırılıyor. Ardından kaptan x litre karışım alınıp yerine yine x litre su konuyor. Son durumda kapta 19,2 L elma suyu bulunduğuna göre x kaçtır?
Her işlemde elma suyu \(\frac{30 - x}{30}\) katına iner: \(30 \cdot \left(\frac{30 - x}{30}\right)^2 = 19{,}2\). \(\left(\frac{30 - x}{30}\right)^2 = 0{,}64\) ve \(0 < x < 30\) olduğundan \(\frac{30 - x}{30} = 0{,}8\), \(x = 6\). Her seferde x litre elma suyu çıktığını sanıp \(30 - 2x = 19{,}2\) yazmak 5,4 sonucunu verir.
A kabında şeker oranı %10 olan 400 g, B kabında şeker oranı %40 olan 200 g şekerli su vardır. A kabından B kabına 100 g karışım aktarılıp B kabı iyice karıştırılıyor. Ardından B kabından A kabına bir miktar karışım aktarıldığında A kabındaki karışımın şeker oranı %18 oluyor. B kabından A kabına kaç gram karışım aktarılmıştır?
İlk aktarımdan sonra A'da 300 g karışım ve 30 g şeker kalır. B'de 300 g karışım ve \(80 + 10 = 90\) g şeker olur; B %30'luktur. B'den A'ya \(y\) g aktarılırsa \(\frac{30 + 0{,}3y}{300 + y} = 0{,}18\) olur: \(30 + 0{,}3y = 54 + 0{,}18y\), \(0{,}12y = 24\), \(y = 200\). Denetim: A'da 500 g karışım ve 90 g şeker; \(\frac{90}{500} = 0{,}18\). B'de yeterli karışım (300 g) vardır.
Şeker oranı %30 olan 400 g şekerli sudan bir miktar su buharlaştırılıyor. Daha sonra karışıma şeker oranı %60 olan 100 g şekerli su ekleniyor ve şeker oranı %40 olan bir karışım elde ediliyor. Kaç gram su buharlaştırılmıştır?
Şeker miktarı \(400 \cdot 0{,}3 + 100 \cdot 0{,}6 = 120 + 60 = 180\) g'dır; buharlaşma şekeri değiştirmez. Son karışım \(180 \div 0{,}4 = 450\) g olmalıdır. Buharlaşmadan önceki toplam \(400 + 100 = 500\) g olduğundan buharlaşan su 50 g. Eklenen karışımı hesaba katmayıp yalnız ilk kabı %40'lık yapmaya çalışmak 100 sonucunu verir.
Bir kuruyemişçi kilogramı 300 TL olan fındık ile kilogramı 500 TL olan antep fıstığını karıştırarak kilogram fiyatı 380 TL olan 20 kg karışım hazırlıyor. Daha sonra bu karışıma bir miktar daha antep fıstığı ekleyerek karışımın kilogram fiyatını 400 TL yapıyor. Son karışımda antep fıstığı miktarının fındık miktarına oranı kaçtır?
İlk karışımda terazi uzaklıkları \(380 - 300 = 80\) ve \(500 - 380 = 120\); fındığın fıstığa oranı \(120 : 80 = 3 : 2\). 20 kg'da 12 kg fındık, 8 kg fıstık vardır. \(z\) kg fıstık eklensin: \(\frac{20 \cdot 380 + 500z}{20 + z} = 400\) için \(7\,600 + 500z = 8\,000 + 400z\), \(z = 4\). Son karışımda \(8 + 4 = 12\) kg fıstık ve 12 kg fındık vardır; oran 1. İlk karışımın oranı \(\frac{2}{3}\)'te kalmak bir tuzaktır.
Bir kuyumcunun elinde 22 ayar 36 g altın vardır. Kuyumcu bu altını bir miktar 14 ayar altınla eriterek 20 ayar bir alaşım elde ediyor. Elde edilen alaşımda kaç gram saf altın vardır? (Saf altın 24 ayardır.)
Terazi yöntemi: uzaklıklar \(22 - 20 = 2\) ve \(20 - 14 = 6\); 22 ayarın 14 ayara oranı \(6 : 2 = 3 : 1\). 36 g 22 ayar için 12 g 14 ayar gerekir. Alaşım 48 g ve 20 ayardır: saf altın \(48 \cdot \frac{20}{24} = 40\) g. Denetim: \(36 \cdot \frac{22}{24} + 12 \cdot \frac{14}{24} = 33 + 7 = 40\). Yalnız 22 ayar kısmın saf altını 33 g'dır.
Bir kapta V litre saf portakal suyu vardır. Kaptan a litre alınıp yerine a litre su konuyor ve karıştırılıyor; bu işlem bir kez daha tekrarlanıyor (\(0 < 2a < V\)). Buna göre
- I.Her işlemden sonra kaptaki portakal suyu miktarı, işlemden önceki miktarın \(\frac{V - a}{V}\) katı olur.
- II.İki işlemde kaptan çıkan portakal suyu miktarları eşittir.
- III.İki işlem sonunda kaptaki portakal suyu miktarı, kaptan bir kerede 2a litre alınıp yerine 2a litre su konsaydı kalacak miktardan fazladır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
I: Alınan a litre, kaptaki karışımla aynı oranda portakal suyu içerir; kaptakinin \(\frac{a}{V}\)'si gider, \(\frac{V - a}{V}\)'si kalır. Doğru. II: İlk işlemde a litre, ikinci işlemde \(a \cdot \frac{V - a}{V}\) litre portakal suyu çıkar; bunlar eşit değildir. Yanlış. III: \(V\left(1 - \frac{a}{V}\right)^2 = V - 2a + \frac{a^2}{V}\), bir kerede ise \(V - 2a\) kalır. Fark \(\frac{a^2}{V} > 0\). Doğru.
Okul kantininde limonata, %60'ı limon suyu olan bir konsantre ile su karıştırılarak hazırlanmaktadır ve satılan limonatanın %20'si limon suyu olmalıdır. Kantin görevlisi bir sabah 4 L konsantreye yanlışlıkla 20 L su ekliyor. Limonatayı istenen orana getirmek için bu karışıma kaç litre daha konsantre eklemesi gerekir?
Karışımda \(4 \cdot 0{,}6 = 2{,}4\) L limon suyu ve 24 L limonata vardır; limonata %10'luktur. \(y\) L konsantre eklensin: \(\frac{2{,}4 + 0{,}6y}{24 + y} = 0{,}2\) için \(2{,}4 + 0{,}6y = 4{,}8 + 0{,}2y\), \(y = 6\). Terazi ile: uzaklıklar \(20 - 10 = 10\) ve \(60 - 20 = 40\); 24 L karışıma \(24 \cdot \frac{10}{40} = 6\) L konsantre. 4 L konsantre için doğru su 12 L olurdu; 8 L "fazla su" yanlış bir sonuca götürür.
K, L ve M kaplarındaki şekerli su miktarları sırasıyla 2, 3 ve 5 sayılarıyla orantılıdır. K kabındaki karışımın şeker oranı %30, L kabındakinin %20 ve M kabındakinin %x'tir. Üç kaptaki karışımların tamamı karıştırıldığında şeker oranı %16 olan bir karışım elde edildiğine göre x kaçtır?
Miktarlar \(2k\), \(3k\) ve \(5k\) olsun. Şekerler \(0{,}6k\), \(0{,}6k\) ve \(0{,}05x \cdot k\) birimdir. Toplam \(10k\) karışımda \(1{,}6k\) şeker olmalıdır: \(1{,}2k + 0{,}05xk = 1{,}6k\), \(x = 8\). Kalan \(0{,}4k\) şekeri toplam \(10k\)'ya bölmek 4 sonucunu verir; doğrusu M kabının \(5k\) miktarına bölmektir.
Bir kapta meyve suyu oranı %50 olan 20 L içecek vardır. Kaptan 4 L içecek alınıp yerine 4 L su konuyor ve karıştırılıyor. Ardından kaptan 4 L karışım alınıp yerine 4 L saf meyve suyu konuyor. Son durumda kaptaki içeceğin meyve suyu oranı yüzde kaçtır?
Başta 10 L meyve suyu vardır. İlk işlemde \(4 \cdot 0{,}5 = 2\) L çıkar, su eklenir: 8 L meyve suyu, oran %40. İkinci işlemde \(4 \cdot 0{,}4 = 1{,}6\) L çıkar ve 4 L meyve suyu eklenir: \(8 - 1{,}6 + 4 = 10{,}4\) L. Oran \(\frac{10{,}4}{20} = 0{,}52\), yani %52. İkinci adımda da %50'lik karışım çıktığını sanmak %50 sonucunu verir.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.