Hareket Problemleri

Yol, hız ve zaman

Sabit hızla giden bir aracın hızı, birim zamanda aldığı yoldur. Saatte 80 km hızla giden bir otomobil her saat 80 km yol alır; 3 saatte \(3 \cdot 80 = 240\) km gider. Bu basit gözlem bütün hareket problemlerinin temelidir:

Aynı bağıntı iki biçimde daha yazılır: \(v = \frac{x}{t}\) ve \(t = \frac{x}{v}\). Hangisini kullanacağın, soruda hangi iki büyüklüğün bilindiğine bağlıdır. Bu bağıntı oran-orantı konusunda gördüğün iki ilişkiyi birden içerir. Hız sabitken yol ile zaman doğru orantılıdır: iki kat süre, iki kat yol demektir. Yol sabitken hız ile zaman ters orantılıdır: hızı iki katına çıkaran sürücü aynı yolu yarı sürede alır.

Bu konudaki problemlerin çoğu "yol = hız · zaman" bağıntısını bir ya da birkaç kez yazmaktan ibarettir. Zorluk, hangi yolun, hangi hızın ve hangi sürenin birbirine ait olduğunu doğru eşleştirmektedir. Bunun için her problemde önce bir şekil (bir yol çizgisi, üzerinde araçlar ve oklar) çizmek, işin yarısıdır. Şekil, karşılıklı mı aynı yönde mi gidildiğini, kimin ne kadar önde olduğunu ve hangi uzaklığın kapandığını bir bakışta gösterir.

Birim dönüşümleri

Hız bir oran değil, iki farklı türden çokluğun bölümüdür; bu yüzden birimi vardır: km/sa (kilometre bölü saat), m/dk, m/sn. Bir problemde hız km/sa, süre dakika olarak verilmişse hesaba başlamadan birimler uyumlu hale getirilmelidir. Dönüşümü ezberlemek yerine birimleri kesir gibi yazmak en güvenli yoldur:

Buradan iki pratik kural çıkar: km/sa'ten m/sn'ye geçmek için 3,6'ya bölünür, m/sn'den km/sa'e geçmek için 3,6 ile çarpılır (çünkü \(\frac{3\,600}{1\,000} = 3{,}6\)). km/sa'ten m/dk'ya geçmek için \(\frac{1\,000}{60} = \frac{50}{3}\) ile çarpılır.

Karşılıklı hareket: hızlar toplanır

Aralarında \(d\) km bulunan iki araç aynı anda birbirine doğru \(v_1\) ve \(v_2\) hızlarıyla yola çıksın. Birinci saatin sonunda birinci araç \(v_1\), ikinci araç \(v_2\) km yol almıştır; aralarındaki uzaklık \(v_1 + v_2\) km azalmıştır. Her saat aynı şey olur. Öyleyse araçlar, aradaki \(d\) km'yi sanki \(v_1 + v_2\) hızıyla giden tek bir araç kapatıyormuş gibi kapatır:

Karşılaştıkları anda iki aracın aldığı yolların toplamı \(d\)'dir. Süreleri eşit olduğu için aldıkları yollar hızlarıyla doğru orantılıdır: hızları 2 : 3 ise yolu da 2 : 3 oranında paylaşırlar. 420 km'lik yolun iki ucundan 80 ve 60 km/sa hızlarla çıkan iki araç \(\frac{420}{140} = 3\) saat sonra karşılaşır; hızlı olan 240 km, yavaş olan 180 km yol almıştır.

Karşılaştıktan sonra araçlar yollarına devam ederse aralarındaki uzaklık bu kez her saat \(v_1 + v_2\) kadar artar. "Karşılaştıktan 2 saat sonra aralarında kaç km olur?" sorusunun cevabı \(2(v_1 + v_2)\)'dir. Henüz karşılaşmamış iki araç için "aralarında 60 km kaldığında" ile "karşılaştıktan sonra aralarında 60 km olduğunda" iki farklı andır; sorular bazen ikisini birden sorar.

Aynı yönde hareket ve yetişme

Bu kez iki araç aynı yönde gitsin: önde \(v_1\) hızıyla giden bir araç, onun \(d\) km gerisinde \(v_2\) hızıyla giden daha hızlı bir araç (\(v_2 > v_1\)). Her saat arkadaki \(v_2\), öndeki \(v_1\) km gider; aradaki uzaklık her saat \(v_2 - v_1\) km azalır:

Arkadaki yavaşsa aradaki uzaklık hiç kapanmaz, her saat açılır. Bu formülü, öndeki aracı duruyormuş gibi düşünüp arkadakinin ona \(v_2 - v_1\) hızıyla yaklaştığını hayal ederek de hatırlayabilirsin. Kamyonun 45 km gerisinden 90 km/sa ile gelen bir otomobil, 60 km/sa ile giden kamyona \(\frac{45}{30} = 1{,}5\) saatte yetişir. Bu sürede otomobil \(90 \cdot 1{,}5 = 135\) km, kamyon \(60 \cdot 1{,}5 = 90\) km yol alır; farkları başlangıçtaki 45 km'dir.

Farklı zamanlarda yola çıkma

Araçlardan biri daha önce yola çıkmışsa "aynı anda" formülleri doğrudan kullanılamaz. Yöntem şudur: ikinci aracın yola çıktığı ana kadar birinci aracın aldığı yolu hesapla, bu yolu aradaki uzaklığa ekle ya da çıkar, sonra iki aracı aynı anda başlamış gibi çöz. Saat 08.00'de 18 km/sa hızla yola çıkan bir bisikletliyi, aynı noktadan 08.40'ta 48 km/sa hızla çıkan bir motosikletli izlesin. 40 dakika \(\frac{2}{3}\) saattir; bu sürede bisikletli \(18 \cdot \frac{2}{3} = 12\) km önde olur. Sonra iş bir yetişme problemine döner: \(\frac{12}{48 - 18} = 0{,}4\) saat, yani 24 dakika. Motosikletli saat 09.04'te yetişir.

Karşılıklı harekette de aynı fikir geçerlidir: önce çıkan aracın tek başına aldığı yol toplam uzaklıktan çıkarılır, kalan uzaklık hızların toplamına bölünür. Sonucu saate çevirirken süreyi ikinci aracın çıkış saatine eklemek gerekir; ilk aracın çıkış saatine eklemek sık yapılan bir hatadır.

Gidiş-dönüş ve ikinci karşılaşma

\(A\) ve \(B\) kentlerinden aynı anda birbirine doğru çıkan iki araç karşılaşıp yoluna devam etsin, karşı kente varınca hemen geri dönsün. İkinci kez karşılaştıklarında ne olmuştur? Birinci karşılaşmada ikisinin aldığı yolların toplamı \(d\)'dir. İkinci karşılaşmaya kadar her biri karşı uca gitmiş ve bir parça geri gelmiştir; toplam yolları \(3d\) olur (biri \(d + y\), öteki \(2d - y\) kadar). Hızlar değişmediği için ikinci karşılaşmaya kadar geçen süre, birinciye kadar geçen sürenin 3 katıdır ve her araç da ilk karşılaşmaya kadar aldığı yolun 3 katını almıştır.

Bu gözlem soruyu birkaç satıra indirir. Birinci karşılaşma \(A\)'dan 12 km uzakta olduysa \(A\)'dan çıkan araç ikinci karşılaşmaya kadar 36 km gitmiştir. Bu yol \(d\) ile geri dönüş parçasının toplamıdır; ikinci karşılaşma \(B\)'den 6 km uzakta olduysa \(36 = d + 6\), yani \(d = 30\) km bulunur. Bu akıl yürütme, ikinci karşılaşmanın iki araç da döndükten sonra yüz yüze gerçekleştiği durumda geçerlidir (hızlar çok farklıysa hızlı araç, dönüşte yavaş olana arkadan yetişebilir; o zaman şekil yeniden çizilmelidir).

Ortalama hız

Hızı yol boyunca değişen bir aracın ortalama hızı, toplam yolun toplam zamana bölümüdür:

Ortalama hız, hızların ortalaması değildir. Bir sürücü 120 km'lik yolu 60 km/sa ile gidip 40 km/sa ile dönsün. Gidiş 2 saat, dönüş 3 saat sürer; 240 km'lik yol 5 saatte alınmıştır ve ortalama hız \(\frac{240}{5} = 48\) km/sa'tir, 50 değil. Nedeni şudur: sürücü yavaş giderken daha uzun zaman geçirir; yavaş hız, ortalamada daha çok ağırlık taşır.

Eşit iki yol \(v_1\) ve \(v_2\) hızlarıyla alınıyorsa yol \(x\) olmak üzere toplam zaman \(\frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2}\) olur ve

bulunur. Bu ifade \(v_1\) ve \(v_2\)'nin harmonik ortalamasıdır; \(v_1 \neq v_2\) iken her zaman aritmetik ortalamadan küçüktür, ama iki hızın küçüğünden büyüktür. Buna karşılık eşit süreler boyunca \(v_1\) ve \(v_2\) hızlarıyla gidilirse alınan yollar \(v_1 t\) ve \(v_2 t\) olur ve ortalama hız \(\frac{v_1 + v_2}{2}\) çıkar. Yani "yolun yarısı" ile "sürenin yarısı" farklı sonuç verir; soruyu okurken hangisinin eşit olduğuna bak.

Akıntı problemleri

Durgun sudaki hızı \(v\) olan bir tekne, hızı \(a\) olan bir akıntıda hareket etsin. Akıntı tekneyi kendi yönünde sürükler: tekne akıntı yönünde giderken iki hız toplanır, akıntıya karşı giderken akıntı tekneyi geri iter.

Bu iki hız biliniyorsa teknenin ve akıntının hızı da bulunur: iki eşitliği toplayınca \(2v\), çıkarınca \(2a\) elde edilir. Bir motor 48 km'lik yolu akıntı yönünde 2 saatte, karşı yönde 3 saatte alıyorsa hızları 24 ve 16 km/sa'tir; \(v = 20\), \(a = 4\) km/sa bulunur. Akıntıya bırakılan bir sal ya da kütüğün kendi hızı yoktur; yalnızca akıntının hızıyla, \(a\) ile sürüklenir.

Akıntı problemlerinde güzel bir kısayol vardır: su üzerindeki iki cismin birbirine göre hareketinde akıntı etkisizdir, çünkü akıntı ikisini de aynı miktarda sürükler. Bir motor ile bir sal birbirine doğru gidiyorsa motorun hızı \(v - a\), salın hızı \(a\) olur ve yaklaşma hızı \((v - a) + a = v\) çıkar. Yani motor ile sal, durgun sudaymış gibi yalnızca motorun kendi hızıyla yaklaşır.

Tren, tünel ve köprü

Şimdiye kadar araçları nokta gibi düşündük. Trenin boyu ise ihmal edilemeyecek kadar uzundur ve soruların çoğu bu uzunluğu kullanır. Kural, trenin tek bir noktasını (örneğin ön ucunu) izlemektir:

• Bir direğin ya da bir kişinin önünden tamamen geçmek: ön uç direğe geldiği andan arka uç direği geçtiği ana kadar ön uç tren boyu kadar yol alır.
• Bir tüneli ya da köprüyü tamamen geçmek (ön ucun girdiği andan arka ucun çıktığı ana kadar): ön uç tünel + tren kadar yol alır.
• Trenin tamamen tünelin içinde kaldığı süre (arka ucun girdiği andan ön ucun çıktığı ana kadar): ön uç tünel − tren kadar yol alır.

İki tren birbirini geçerken de aynı düşünce kullanılır. Boyları \(L_1\) ve \(L_2\) olan iki tren paralel raylarda karşılıklı gidiyorsa birbirlerini tamamen geçmeleri için alınması gereken toplam yol \(L_1 + L_2\), yaklaşma hızı \(v_1 + v_2\)'dir. Aynı yönde giderlerse hızlı olanın yavaşı tamamen geçmesi için yine \(L_1 + L_2\) kadar fark açması gerekir ve bu kez hız farkı kullanılır. Bu problemlerde hız çoğu zaman km/sa, uzunluk metre, süre saniye olarak verilir; önce hız m/sn'ye çevrilmelidir.

Dairesel pistte hareket

Çevresi \(Ç\) olan dairesel bir pistte aynı noktadan aynı anda koşmaya başlayan iki koşucuyu düşün. Zıt yönlerde koşuyorlarsa aralarındaki yay uzunluğu iki taraftan kapanır; tıpkı karşılıklı harekette olduğu gibi hızlar toplanır. İlk karşılaşmada ikisinin koştuğu yolların toplamı bir çevredir:

Karşılaştıktan sonra yine zıt yönlerde koşmaya devam ettikleri için bir sonraki karşılaşmaya kadar toplamda yine bir çevre koşarlar. Bu nedenle karşılaşmalar \(t_1\) aralıklarla, düzenli olarak tekrar eder: \(n\). karşılaşma \(n \cdot t_1\) anındadır.

Aynı yönde koşuyorlarsa hızlı koşucu yavaş olana, ondan tam bir tur fazla koştuğunda yetişir (tur bindirir). Bu, bir çevre kadar fark açmak demektir:

Koşucular farklı noktalardan başlıyorsa ilk karşılaşma için kapatılması gereken yay, aralarındaki hareket yönünde ölçülen yaydır; sonraki karşılaşmalar yine bir çevre aralıklarla gelir. 400 metrelik bir pistte öndekinin 100 m gerisinden başlayan hızlı koşucu, ilk kez 100 m fark açınca, ikinci kez \(100 + 400 = 500\) m fark açınca yetişir. Hangi yayın kapatılacağını şekil üzerinde okla göstermek, 100 yerine 300 almak gibi hataları önler.

Konum-zaman grafiği

Bir aracın hareketini konum-zaman grafiğiyle göstermek, problemi tek bakışta okunur hale getirir. Yatay eksen zaman, dikey eksen aracın bir başlangıç noktasına göre konumudur. Grafiği okurken şu dört kural yeter:

• Doğrunun eğimi hızı verir: 2 saatte 120 km yükselen bir doğru 60 km/sa hızı gösterir. Dik doğru hızlı, yatık doğru yavaş araç demektir.
• Yatay doğru parçası aracın durduğunu (mola, bekleme) gösterir; konum değişmez, zaman akar.
• Aşağı inen doğru, aracın başlangıç noktasına doğru (ters yönde) gittiğini gösterir.
• İki aracın doğrularının kesişim noktası karşılaşma anıdır; o anda ikisi aynı konumdadır. Aynı dikey çizgi üzerindeki iki nokta arasındaki fark ise o anda araçlar arasındaki uzaklıktır.

Grafik sorularında karşılaşma noktası çoğu zaman grafikte işaretli değildir; doğruların denklemlerini kurarak bulursun. Yukarıdaki grafikte A'nın konumu \(60t\), B'nin konumu (\(t \geq 1\) için) \(360 - 90(t - 1)\)'dir; eşitleyince \(t = 3\) saat ve konum 180 km bulunur. Molalı hareketlerde dikkat: bir araç molada iken öteki ona yetişebilir; o zaman eşitlik, molanın sabit konumu ile kurulur.

Problem çözme düzeni

Hareket problemlerinin büyük bölümü aşağıdaki düzenle çözülür:

1. Bir yol çizgisi çiz; araçları, yönlerini ve bilinen uzaklıkları yerleştir.
2. Bütün birimleri aynı sisteme çevir (km ve saat ya da m ve dakika).
3. Araçlar farklı anlarda çıkıyorsa ilk aracın tek başına aldığı yolu hesaplayıp ortak başlangıç anına geç.
4. Karşılıklı ise hızları topla, aynı yönde ise farkını al; kapanacak uzaklığı bu hıza böl.
5. Bulduğun süreyi soruda istenen büyüklüğe (saat, konum, alınan yol) çevir ve bir kez sağduyuyla denetle.