Grafik, Tablo ve Rutin Olmayan Problemler

Yeni nesil soru nedir, nasıl okunur?

TYT'de son yıllarda giderek artan bir soru türü var: uzun bir paragraf, yanında bir tablo ya da grafik, sonunda da tek bir soru cümlesi. Bu soruların çoğu yeni bir formül istemez; dört işlem, oran ve biraz sabırla çözülür. Zorluk, bilginin dağınık verilmesinden ve kuralın bir kez okunup hemen anlaşılamamasından gelir. Bu yüzden bu konuda öğrenilecek şey bir yöntemdir: veriyi düzenlemek, kuralı doğru uygulamak ve sonucu denetlemek.

İşe yarayan okuma sırası şudur. Önce soru cümlesini oku; neyin istendiğini bilmeden paragrafı okursan her sayıyı önemli sanırsın. Sonra paragrafı ve şekli okurken her bilgiyi kısa bir not olarak yaz: "1 saat = 60 TL, sonraki her başlayan saat 40 TL" gibi. Üçüncü adımda kuralı küçük bir örnekle dene: tarife soruysa 1 saat ve 2 saat için ücreti hesapla, örüntüyse ilk üç adımı say. Kuralı yanlış anladıysan bu deneme seni hemen uyarır. Son adımda bulduğun sonucu soruya geri koy: istenen litre miydi, gün müydü, kişi miydi?

Bu tür sorularda çeldiriciler çoğu zaman yarım çözümden gelir. Bir durumu saymayı unutmak, "her başlayan saat" ifadesini "her tam saat" diye okumak, iki grafikten birini atlamak ya da istenen değer yerine ara bir değeri işaretlemek en sık görülen hatalardır. Seçeneklerde gördüğün sayı, senin bulduğun ara sonuçlardan biriyse bir kez daha soruya bak.

Sütun ve çizgi grafiği okuma

Sütun grafiğinde her kategori (ay, gün, ürün) bir sütunla gösterilir; sütunun yüksekliği o kategorinin değeridir. Değeri okumak için sütunun üst kenarından dikey eksene yatay bir çizgi çekilir. Grafiğin üzerinde değerler yazmıyorsa eksendeki ölçeğe dikkat et: aralıklar 1'er değil, 5'er ya da 30'ar artıyor olabilir.

Grafikten çoğu zaman şu bilgiler istenir: en büyük ve en küçük değer, toplam ve ortalama, iki kategori arasındaki fark ya da oran ve bir önceki değere göre değişim. Ortalama, değerlerin toplamının değer sayısına bölümüdür. Yukarıdaki grafikte altı ayın toplamı 900, ortalaması 150'dir. Ortalamanın üstünde kalan aylar yalnızca Nisan ve Haziran'dır; Şubat ve Mayıs tam ortalamadadır, "üstünde" sayılmaz. Değişim sorularında ise ardışık iki sütunun farkına bakılır: Mart'tan Nisan'a satış 90 artmıştır ve bu, grafikteki en büyük aylık artıştır. "En büyük değer" ile "en büyük artış" farklı şeylerdir; en büyük değer Haziran'dadır ama en büyük artış Nisan'dadır.

Çizgi grafiği, zamana göre değişen bir büyüklüğü gösterir: depodaki su, bir şehirdeki sıcaklık, bir aracın aldığı yol. Noktaları birleştiren çizginin eğimi değişimin hızını anlatır. Çizgi yukarı çıkıyorsa artış, aşağı iniyorsa azalış, yataysa değişmeme vardır. En dik iniş, en hızlı azalışın olduğu aralıktır. Çizgi grafiğinde iki farklı soru karıştırılır: "net değişim" ile "toplam değişim". Bir depo 600 litreden 100 litreye inmişse net değişim 500 litredir; ama arada bir saat su girmiş ve depo yeniden dolmuşsa çekilen toplam su 500'den fazladır. Toplam çekilen suyu bulmak için yalnızca azalan aralıkların düşüşleri toplanır.

Aynı eksen üzerinde iki çizgi varsa (iki şehrin sıcaklığı gibi) her saat için iki değeri ayrı ayrı oku. "Hangi saatte fark en büyük?" sorusunda çizgilerin arasındaki dikey uzaklığa bakılır; çizgilerin kesiştiği yerde fark sıfırdır.

Daire grafiği

Daire grafiği, bir bütünün parçalara nasıl dağıldığını gösterir. Dairenin tamamı 360° olduğu için her dilimin açısı, o parçanın bütüne oranını verir:

Toplam 720 öğrenciyse \(1^\circ\) dilim \(720 \div 360 = 2\) öğrenciye karşılık gelir; 70°'lik bir dilim 140 öğrencidir. Bu "bir derece kaç birim" fikri, daire grafiği sorularının anahtarıdır. Toplam verilmemişse bile iki dilim arasındaki fark verilebilir: 90° ile 45° arasındaki fark 2 700 TL ise \(45^\circ\) dilim 2 700 TL'dir ve \(1^\circ\) 60 TL eder. Ardından istenen dilim bu sayıyla çarpılır.

İki grafiği birlikte yorumlamak

ÖSYM'nin zor grafik sorularında bilgi iki grafiğe bölünür. Tipik bir kurgu şöyledir: daire grafiği toplamın gruplara dağılımını, sütun grafiği ise her grubun içindeki bir alt grubu gösterir. Örneğin bir okulun 1 200 öğrencisinin sınıflara dağılımı daire grafiğinde, her sınıftan spor kulübüne üye olanların sayısı sütun grafiğindedir. Tek bir grafiğe bakarak "kulübe en çok ilgi gösteren sınıf" bulunamaz; çünkü 135 üye, 300 kişilik bir sınıfta, 120 üyenin 360 kişilik bir sınıftakinden daha büyük bir orandır.

İki grafikli sorularda en güvenli yol, bir ara tablo yapmaktır. Her grup için bir satır aç: önce daire grafiğinden grubun büyüklüğünü hesapla, sonra sütun grafiğinden alt grubu yaz, son sütunda istenen farkı ya da oranı bul. Bu tabloyu yaptıktan sonra soru çoğu zaman tek bir karşılaştırmaya iner. Grafiklerin ölçeklerine de dikkat et: sütun grafiğinin dikey ekseni 0'dan başlamıyorsa sütun boyları değerlerle orantılı değildir ve göze göre karar vermek yanıltır.

Tablo ile verilen kurallar: tarifeler ve kademeli fatura

Otopark, kargo, telefon paketi, taksi ya da fatura sorularında kural bir tabloyla verilir. Bu soruların ortak tuzağı kuralın sınırlarıdır. "Her başlayan saat" ifadesi, 1 saat 5 dakikanın 2 saat sayılacağını söyler; yani süre yukarı yuvarlanır. Bu yuvarlamayı \(\lceil t \rceil\) ile gösterebiliriz: \(\lceil 4{,}75 \rceil = 5\). Kargo tablolarında "2 kg'a kadar" ve "2 kg'dan fazla" ifadeleri, tam 2 kg'lık paketin hangi satıra girdiğini belirler; sınır değeri hangi satırın kapsadığını mutlaka kontrol et.

Kademeli tarifede birim fiyat tüketim arttıkça değişir ama yeni fiyat yalnızca sınırı aşan kısma uygulanır. Bir su idaresi ilk 10 metreküp için metreküp başına 20 TL, sonraki 10 metreküp için 30 TL, 20 metreküpü aşan kısım için 45 TL alıyorsa 26 metreküplük tüketimin faturası

olur. Bütün tüketimi 45 TL'den hesaplamak (1 170 TL) en sık yapılan hatadır. Fatura ile tüketim arasındaki ilişkinin grafiği, kırılma noktaları olan bir doğru parçaları dizisidir; her parçanın eğimi o kademenin birim fiyatıdır.

Ters soru, yani faturadan tüketimi bulmak, önce hangi kademede olunduğunu belirlemekle başlar. İlk iki kademenin tamamı 500 TL eder. Fatura 410 TL ise tüketim ikinci kademededir: \(200 + 30(x - 10) = 410\) denkleminden \(x = 17\) metreküp bulunur. Kademeyi belirlemeden denklem kurmak, olmayan bir kademe için çözüm üretir.

Örüntüler ve kurallı diziler

Bir şekil ya da sayı dizisi belli bir kurala göre büyüyorsa ona örüntü denir. Örüntü sorularında amaç, n. adımı hesaplamadan tek tek çizmek zorunda kalmamaktır. Bunun için ilk birkaç adım sayılır, ardışık adımlar arasındaki fark incelenir.

Fark sabitse örüntü doğrusaldır. Yan yana dizilmiş karelerden oluşan kibrit çöpü dizisinde ilk kare 4 kibrit ister; sonraki her kare, bir kenarı öncekiyle ortak olduğu için yalnızca 3 kibrit ekler. Bu yüzden n kare için

kibrit gerekir. Kural mutlaka küçük bir adımda denetlenir: \(n = 2\) için \(3 \cdot 2 + 1 = 7\), şekildeki sayıyla aynıdır.

Fark sabit değil de düzenli artıyorsa örüntü ikinci derecedendir. Merdiven biçimindeki şekillerde kare sayıları 1, 3, 6, 10, 15, … diye gider; farklar 2, 3, 4, 5, … olur ve n. adımdaki kare sayısı \(\frac{n(n+1)}{2}\)'dir. Kare ızgarada kibrit sayısı da böyledir: n × n ızgarada \(n + 1\) yatay çizginin her biri n kibrit, \(n + 1\) dikey çizginin her biri de n kibrit içerir; toplam \(2n(n+1)\) kibrit eder.

Bazı örüntülerde en kısa yol, şekli iki parçaya bakarak saymaktır. Kare çerçeve örüntüsünde n. adımın dış karesi \((n + 2) \times (n + 2)\), içteki boşluk \(n \times n\) karedir; çerçevedeki kare sayısı \((n+2)^2 - n^2 = 4n + 4\) olur. Aynı sonuca, dört kenarda \(n + 2\) kare olduğu ve dört köşenin iki kez sayıldığı düşünülerek de varılır: \(4(n + 2) - 4 = 4n + 4\).

Periyodik dizilerde aynı terimler belli aralıkla tekrar eder. 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, … dizisinin periyodu 6'dır. 100. terimi bulmak için 100, 6'ya bölünür: bölüm 16, kalan 4'tür; 100. terim bir periyodun 4. terimiyle, yani 4 ile aynıdır. Kalan 0 çıkarsa terim periyodun son terimidir; bunu "periyodun 0. terimi" sanmak sık bir hatadır. Haftanın günleri, saat ve renk dizileri de aynı mantıkla çalışır.

Algoritma ve akış şeması

Akış şeması, bir işlem kuralının adım adım çizilmiş hâlidir. Dikdörtgen kutular işlem yapar ("s = s + 1" gibi), eşkenar dörtgen kutular bir soru sorar ve cevaba göre yol ayırır. Böyle bir soruyu çözmenin tek güvenilir yolu şemayı elle çalıştırmaktır: her değişkenin değerini bir tabloya yaz, her kutudan geçtiğinde güncelle.

Yukarıdaki şemada 679 girilirse 6 · 7 · 9 = 378, sonra 3 · 7 · 8 = 168, 1 · 6 · 8 = 48, 4 · 8 = 32 ve 3 · 2 = 6 bulunur. Her işlemde s bir arttığı için ekrana 5 yazılır. Akış şeması sorularında üç noktaya dikkat edilir: sayaç ne zaman artıyor (işlemden önce mi, sonra mı), döngüden çıkış koşulu nerede sorgulanıyor ve eşitlik mi yoksa eşitsizlik mi soruluyor. "n ≥ 10 mu?" ile "n > 10 mu?" arasındaki fark, 10 girildiğinde sonucu değiştirir.

Ters sorular da sık gelir: "Ekrana 4 yazdıran kaç farklı sayı vardır?" Bunun için çıkış değerinden geriye doğru gidilir ve her adımda "bu sayıya hangi sayılardan gelinebilir?" diye sorulur. Geriye giderken bulunan her adayın şemadan ileri doğru gerçekten geçtiği mutlaka denetlenir.

Mantıksal yerleştirme ve sıralama

"Beş arkadaş yan yana oturuyor, Cem ortada, Ali bir uçta…" türündeki sorularda bilgileri kesinlikten belirsizliğe doğru kullanmak gerekir. Önce kesin konum veren ipuçları (ortada, en üst katta, üçüncü) yerleştirilir. Sonra yan yana olma, hemen önce gelme gibi blok ipuçları kullanılır; iki kişi yan yana oturuyorsa onları tek bir blok gibi düşünmek, olası yerleri azaltır. En son "uçta değil", "daha üst katta" gibi eleyici ipuçları uygulanır.

Kalan durumlar azsa hepsini yaz. Soru "kesinlikle doğrudur" diyorsa doğru seçenek, kalan bütün durumlarda doğru olmalıdır; bir durumda bile yanlışsa o seçenek elenir. "Olabilir" diyorsa tek bir durumda doğru olması yeter. Bu ayrım, yerleştirme sorularındaki puanın yarısıdır.

Sıralama sorularında (boy, yarış, yaş) "önce" ile "hemen önce" farkına dikkat et. "Kaan, Mert'ten hemen önce bitirdi" bilgisi iki kişiyi bitişik bir blok yapar; "Lale, Nil'den önce bitirdi" bilgisi ise aralarında başka koşucu olabileceğini söyler.

Saat ve takvim problemleri

Takvim sorularında haftanın günü 7'lik bir döngüdür. Bir tarihten \(d\) gün sonrası, \(d\)'nin 7'ye bölümünden kalan kadar gün ileridir. 1 Mart Salı ise 1 Haziran'a kadar \(31 + 30 + 31 = 92\) gün vardır; \(92 = 7 \cdot 13 + 1\) olduğundan 1 Haziran, Salı'dan bir gün sonra, Çarşamba'dır. Ayların gün sayılarını bilmek gerekir: Nisan, Haziran, Eylül ve Kasım 30 gün, Şubat artık yıllarda 29, diğer yıllarda 28 gün, öteki aylar 31 gündür. Artık olmayan bir yıl 365 gün, yani 52 hafta 1 gündür; bu yüzden bir tarih ertesi yıl haftanın bir sonraki gününe denk gelir.

Saat sorularında iki tür bilgi karışır: saat okuma ve süre. Saat 09.20'den 14.05'e kadar geçen süre 4 saat 45 dakikadır; dakikalar çıkarılamıyorsa bir saat 60 dakikaya bozulur. Geri kalan ya da ileri giden saat sorularında akrepli bir saat 12 saatte bir aynı görüntüye döner. Bu yüzden günde 4 dakika geri kalan bir saat, toplam gecikmesi 12 saat, yani 720 dakika olduğunda yeniden doğru zamanı gösterir: \(720 \div 4 = 180\) gün sonra.

Optimizasyon: en ucuz seçenek, en az adım

"En ucuz", "en az kaç adım", "en çok kaç tane" soruları birer optimizasyon sorusudur. TYT düzeyinde bunlar çoğu zaman az sayıda seçeneği karşılaştırarak çözülür. Bir kırtasiyede kalemler tanesi 12 TL'ye, 5'li paket 50 TL'ye, 12'li paket 108 TL'ye satılıyorsa en az 23 kalem için olası alışverişleri sıralamak gerekir: 12'li + iki 5'li + 1 tek kalem 220 TL, iki 12'li paket 216 TL'dir. "Tam 23 kalem" demeyip "en az 23 kalem" dendiği için fazladan bir kalem almak daha ucuz olabilir. Soru kökündeki "en az", "tam olarak" gibi sözcükler sonucu değiştirir.

En az adım sorularında en iyi yöntem çoğu zaman sondan başa gitmektir. Ekrandaki 1'i "2 ile çarp" ve "3 ekle" tuşlarıyla 50'ye çıkarmak istiyorsak, 50'den geriye bakarız: 50 çift olduğu için 25'in iki katı olabilir; 25 tek olduğu için ancak 22'ye 3 eklenerek elde edilmiştir. Böyle geriye gidince seçenekler hızla azalır.

Şifreler, kurallı sayılar ve ızgarada sayma

Şifre sorularında bir sayının basamakları için birkaç kural verilir. En kısıtlayıcı kuraldan başlanır: "binler basamağı birler basamağının 3 katı" kuralı yalnızca (3, 1), (6, 2) ve (9, 3) çiftlerine izin verir. Sonra bölünebilme kuralları gibi daha genel koşullar eklenir. Her adımda kalan adaylar yazıldığı için hiçbir durum unutulmaz.

Izgara sorularında ise sayım boyutlara göre gruplanır. 3 × 5 bir ızgarada 1 × 1 kareler 15 tane, 2 × 2 kareler \(2 \cdot 4 = 8\) tane, 3 × 3 kareler \(1 \cdot 3 = 3\) tanedir; toplam 26 kare vardır. Genel kural, \(k \times k\) karenin sol üst köşesinin yerleşebileceği konum sayısını saymaktır: \((m - k + 1)(n - k + 1)\). Yalnızca küçük kareleri saymak bu soruların klasik çeldiricisidir.