Kümeler ve Kartezyen Çarpım

Küme ve eleman

Matematikte küme, iyi tanımlanmış nesnelerin bir topluluğudur. "İyi tanımlanmış" demek, herhangi bir nesnenin bu topluluğa ait olup olmadığına kesin olarak karar verilebilmesi demektir. "Türkiye'nin komşu ülkeleri" bir kümedir, çünkü bir ülkenin bu listede olup olmadığı tartışmaya açık değildir. "Sınıfın en çalışkan öğrencileri" ise bir küme belirtmez; kime göre, hangi ölçüte göre çalışkan olduğu belli değildir.

Kümeyi oluşturan nesnelere eleman denir. \(a\) nesnesi \(A\) kümesinin elemanıysa \(a \in A\), değilse \(a \notin A\) yazılır. Kümeler genellikle büyük harflerle adlandırılır. Bir kümede aynı eleman iki kez yazılmaz ve elemanların sırası önemli değildir: \(\{1, 2, 3\}\) ile \(\{3, 1, 2\}\) aynı kümedir. "KALEM" ve "KELAM" sözcüklerinin harflerinden oluşan kümeler de bu yüzden aynıdır.

Bir küme üç biçimde gösterilir:

• Liste yöntemi: Elemanlar küme parantezi içinde virgülle ayrılarak yazılır: \(A = \{2, 3, 5, 7\}\).
• Ortak özellik yöntemi: Elemanların hepsinin sağladığı ve başka hiçbir nesnenin sağlamadığı özellik yazılır: \(A = \{x \mid x \text{ asal sayı ve } x < 10\}\). Dikey çizgi "öyle ki" diye okunur.
• Venn şeması: Elemanlar kapalı bir eğrinin içine nokta ya da sayı olarak yazılır. Kümeler arasındaki ilişkiyi görmenin en kolay yolu budur.

Ortak özellik yönteminden listeye geçerken koşulu dikkatle okumak gerekir. \(\{x \mid x \text{ tam sayı ve } -2 \leq x < 3\}\) kümesi \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\) kümesidir; 3 eşitsizliği sağlamadığı için dışarıda kalır. "Doğal sayı" denince 0'ı kümeye katmayı, "pozitif tam sayı" denince 0'ı dışarıda bırakmayı unutma.

Boş küme, sonlu ve sonsuz kümeler, eleman sayısı

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve \(\emptyset\) ya da \(\{\ \}\) ile gösterilir. \(\{x \mid x \text{ doğal sayı ve } x < 0\}\) boş kümedir. Burada sık yapılan bir yanlış vardır: \(\{\emptyset\}\) boş küme değildir. Bu küme, elemanı boş küme olan tek elemanlı bir kümedir. Bunu, içinde boş bir kutu bulunan bir kutu gibi düşünebilirsin: dıştaki kutu boş değildir.

Elemanları sayılarak bitirilebilen kümelere sonlu küme, bitirilemeyen kümelere sonsuz küme denir. Türk alfabesindeki harfler sonlu, doğal sayılar sonsuz bir kümedir. Sonlu bir \(A\) kümesinin eleman sayısı \(s(A)\) ile gösterilir. \(s(\emptyset) = 0\), \(s(\{\emptyset\}) = 1\) olur.

Alt küme ve öz alt küme

\(A\) kümesinin her elemanı \(B\) kümesinin de elemanıysa \(A\)'ya \(B\)'nin alt kümesi denir ve \(A \subset B\) (ya da \(A \subseteq B\)) yazılır. Tanımdan iki önemli sonuç çıkar:

• Her küme kendisinin alt kümesidir: \(A\)'nın her elemanı elbette \(A\)'dadır.
• Boş küme her kümenin alt kümesidir: \(\emptyset \subset A\) önermesinin yanlış olması için boş kümede \(A\)'da bulunmayan bir eleman olması gerekirdi; boş kümenin hiç elemanı olmadığı için böyle bir eleman yoktur.

\(A \subset B\) ve \(B \subset A\) ise iki kümenin elemanları aynıdır, yani \(A = B\) olur. Bir kümenin kendisinden farklı olan alt kümelerine öz alt küme denir. Boş küme de (küme boş değilse) bir öz alt kümedir.

Alt küme sayısı ve nedeni

\(n\) elemanlı bir kümenin alt kümesini oluştururken her eleman için tek bir soru sorulur: "Bu eleman alt kümeye girecek mi?" Her elemanın iki cevabı vardır (girer, girmez) ve bu kararlar birbirinden bağımsızdır. \(n\) eleman için karar sayısı \(2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^n\) olur. Bütün elemanlara "girmez" demek boş kümeyi, hepsine "girer" demek kümenin kendisini verir.

\(\{a, b, c\}\) kümesinin \(2^3 = 8\) alt kümesi şunlardır: \(\emptyset\), \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\), \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\), \(\{a, b, c\}\). Kümeye bir eleman eklemek alt küme sayısını iki katına çıkarır, çünkü eski alt kümelerin her biri yeni elemanlı ve yeni elemansız olmak üzere ikiye ayrılır.

Koşullu alt kümeler ve k elemanlı alt kümeler

Aynı "karar" düşüncesi koşullu soruları da çözer. \(n\) elemanlı bir kümenin belirli \(r\) elemanını mutlaka içeren alt kümelerinde bu \(r\) elemanın kararı önceden verilmiştir; geriye kalan \(n - r\) eleman serbesttir. Bu yüzden sayı \(2^{n-r}\) olur. Belirli \(r\) elemanı hiç içermeyen alt kümeler için de kararlar önceden verilmiştir ve sayı yine \(2^{n-r}\)'dir. "\(a\) bulunsun, \(b\) bulunmasın" gibi karışık koşullarda da iki elemanın kararı sabittir: \(2^{n-2}\).

"En az bir" koşulu varsa tümleyenden saymak daha kısadır. \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) kümesinin en az bir çift sayı içeren alt kümelerini saymak için bütün alt kümelerden (\(2^6 = 64\)) hiç çift sayı içermeyenleri, yani \(\{1, 3, 5\}\) kümesinin alt kümelerini (\(2^3 = 8\)) çıkarırız: \(64 - 8 = 56\).

Bazen yalnızca belirli sayıda elemanı olan alt kümeler sorulur. \(\{a, b, c, d\}\) kümesinin alt kümelerini eleman sayısına göre ayırıp sayalım:

İki elemanlı alt kümeler \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{a, d\}\), \(\{b, c\}\), \(\{b, d\}\), \(\{c, d\}\) olmak üzere 6 tanedir. Düzenli saymanın yolu, en küçük elemana göre gruplamaktır: \(a\) ile başlayan 3, \(b\) ile başlayan 2, \(c\) ile başlayan 1 ikili vardır. Tablonun simetrik olmasının nedeni de basittir: 3 elemanlı her alt küme, dışarıda bıraktığı tek elemanla eşleşir; bu yüzden 3 elemanlı alt küme sayısı 1 elemanlı alt küme sayısına eşittir. Satırın toplamı \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4\) olur. \(n\) elemanlı bir kümenin \(k\) elemanlı alt kümelerinin sayısına ileride kombinasyon diyecek ve bunu formülle hesaplayacağız; şimdilik küçük kümelerde düzenli sayarak bulmak yeterlidir.

Eşit kümeler ve denk kümeler

Elemanları tamamen aynı olan iki kümeye eşit kümeler denir: \(A = B\). Eleman sayıları aynı olan iki sonlu kümeye denk kümeler denir ve \(A \equiv B\) yazılır. \(\{a, b, c\}\) ile \(\{1, 2, 3\}\) denktir ama eşit değildir. Eşit kümeler her zaman denktir; tersi her zaman doğru değildir. Denk kümelerin elemanları arasında bire bir eşleme kurulabilir; bu fikir, fonksiyonlar konusunda yeniden karşına çıkacak.

Kümelerde işlemler: kesişim, birleşim, fark, tümleme

Üzerinde çalıştığımız bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve \(E\) ile gösterilir. Venn şemasında evrensel küme bir dikdörtgenle çizilir.

• Kesişim: \(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ ve } x \in B\}\). İki kümenin ortak elemanlarıdır. Kesişimi boş olan kümelere ayrık kümeler denir.
• Birleşim: \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ veya } x \in B\}\). İki kümeden en az birinde bulunan elemanlardır.
• Fark: \(A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ ve } x \notin B\}\). \(A\)'da olup \(B\)'de olmayan elemanlardır; \(A - B\) biçiminde de yazılır. Genellikle \(A \setminus B \neq B \setminus A\) olur.
• Tümleme: \(A' = \{x \mid x \in E \text{ ve } x \notin A\}\). Evrensel kümede olup \(A\)'da olmayan elemanlardır. \(A' = E \setminus A\) ve \(s(A') = s(E) - s(A)\) olur.

Fark işlemi tümleme ile de yazılabilir: bir eleman "\(A\)'da ve \(B\)'de değil" ise "\(A\)'da ve \(B'\)'de"dir. Bu yüzden

olur. Taralı bölge sorularında bu eşitlik çok işe yarar, çünkü seçenekler aynı bölgeyi farklı biçimlerde yazar.

İşlemlerin bazı temel özellikleri şunlardır: kesişim ve birleşim değişme ve birleşme özelliğine sahiptir; \(A \cap \emptyset = \emptyset\), \(A \cup \emptyset = A\), \(A \cap E = A\), \(A \cup E = E\), \(A \cap A' = \emptyset\), \(A \cup A' = E\), \((A')' = A\) olur. Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\), birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) biçimindedir. \(A \subset B\) ise \(A \cap B = A\), \(A \cup B = B\) ve \(A \setminus B = \emptyset\) olur.

De Morgan kuralları

Bir birleşimin ya da kesişimin tümleyeni alınırken işlem değişir:

Birinci kuralın nedeni sözle açıktır: bir eleman \(A \cup B\)'nin dışındaysa ne \(A\)'dadır ne de \(B\)'de; yani hem \(A'\)'de hem \(B'\)'dedir. İkinci kuralda bir eleman \(A \cap B\)'nin dışındaysa iki kümenin ikisinde birden değildir; demek ki en az birinin dışındadır, yani \(A' \cup B'\)'dedir. Kurallar üç küme için de aynı biçimde geçerlidir: \((A \cup B \cup C)' = A' \cap B' \cap C'\).

De Morgan kuralları karmaşık ifadeleri sadeleştirmeye yarar. Örneğin \((A' \cup B)'\) ifadesi \(A'' \cap B' = A \cap B'\), yani \(A \setminus B\) olur. Sadeleştirmede kararsız kalırsan küçük bir Venn şeması çiz ve her bölgenin ifadeye girip girmediğine bak.

İki küme için eleman sayısı

\(s(A) + s(B)\) toplamında kesişimdeki elemanlar iki kez sayılır: bir kez \(A\)'nın, bir kez \(B\)'nin içinde. Bu fazlalığı bir kez çıkarınca birleşimin eleman sayısı bulunur:

Aynı mantıkla \(s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)\) olur. Problemlerde en güvenli yöntem, sayıları formüle koymak yerine Venn şemasının bölgelerine yerleştirmektir: önce kesişim, sonra "yalnız" bölgeler, en son dışarıdaki bölge. Dört bölgenin (yalnız \(A\), yalnız \(B\), ikisi, hiçbiri) toplamı evrensel kümenin eleman sayısını verir.

Üç küme ve sekiz bölge

Üç küme evrensel kümeyi sekiz bölgeye ayırır: yalnız birinde bulunanlar (3 bölge), tam olarak ikisinde bulunanlar (3 bölge), üçünde bulunanlar (1 bölge) ve hiçbirinde bulunmayanlar (1 bölge).

Üç kümenin birleşimi için formül şöyledir:

Formülün doğruluğunu 7. bölgeyi izleyerek görebiliriz. Bu bölgedeki bir eleman ilk üç terimde 3 kez eklenir, ikili kesişimlerde 3 kez çıkarılır; sayılmamış hâle gelir. Son terim onu bir kez geri ekler. 4. bölgedeki bir eleman ise \(s(A)\) ve \(s(B)\)'de 2 kez eklenir, yalnızca \(s(A \cap B)\)'de 1 kez çıkarılır; o da tam bir kez sayılmış olur.

Üç kümeli problemlerde de en sağlam yol bölgeleri içten dışa doldurmaktır: önce üçlü kesişim, sonra ikili kesişimlerin "yalnız" kısımları (ikili kesişimden üçlüyü çıkararak), sonra "yalnız bir kümede" bulunan bölgeler, en son dış bölge. Bir başka kullanışlı bağıntı da şudur: yalnız birinde bulunanların sayısı \(n_1\), tam ikisinde bulunanların sayısı \(n_2\), üçünde bulunanların sayısı \(n_3\) ise

olur, çünkü her eleman bulunduğu küme sayısı kadar sayılır.

Taralı bölgeyi küme diliyle yazmak

"Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir?" sorularında en güvenilir yol, bölgeleri numaralamaktır. Her seçeneğin hangi numaralı bölgeleri kapsadığını yazar, taralı bölgelerle karşılaştırırsın. Örneğin üç kümeli şekilde \(A \cap B\), 4 ve 7 numaralı bölgelerdir; \(C'\) ise 1, 2, 4 ve 8 numaralı bölgelerdir. İkisinin kesişimi olan \((A \cap B) \cap C'\), yani \((A \cap B) \setminus C\), yalnızca 4 numaralı bölgedir. Seçeneklerde De Morgan kuralları ya da \(A \setminus B = A \cap B'\) eşitliği ile yazılmış eş ifadeler bulunabilir; bölge numaraları bu tuzakları kendiliğinden yakalar.

Sözel problemlerde "en az" ve "en çok"

Bazen bölgelerin sayıları tek türlü belirlenemez ve soru bir bölgenin alabileceği en küçük ya da en büyük değeri sorar. 30 kişilik bir sınıfta 18 kişi basketbol, 20 kişi voleybol oynuyorsa \(18 + 20 = 38\) kişi 30'u aşar. Fazlalık olan 8 kişi en az iki sporu birden oynamak zorundadır; bu yüzden ikisini birden oynayan en az 8 kişidir. İkisini birden oynayanlar ise basketbol oynayan 18 kişiden fazla olamaz, yani en çok 18'dir. Genel kural:

Kesişim en büyük olduğunda birleşim en küçük olur ve hiçbir spor yapmayanların sayısı en büyük değerine ulaşır. Bu tür sorularda hep şu soruyu sor: "Hangi bölgeyi büyütürsem istenen bölge küçülür?" Seçtiğin değer için bütün bölgelerin negatif olmayan tam sayılar olduğunu da denetle.

Sıralı ikili ve kartezyen çarpım

Kümelerde sıra önemsizdir; ama bazı durumlarda sıra önemlidir. Sinema biletindeki "sıra 3, koltuk 7" ile "sıra 7, koltuk 3" farklı yerleri gösterir. Birinci bileşeni \(a\), ikinci bileşeni \(b\) olan nesneye sıralı ikili denir ve \((a, b)\) yazılır. İki sıralı ikili ancak bileşenleri sırasıyla eşitse eşittir:

\(a \neq b\) ise \((a, b) \neq (b, a)\) olur. \(A\) kümesinin her elemanıyla \(B\) kümesinin her elemanından oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine \(A\) ile \(B\)'nin kartezyen çarpımı denir:

Birinci bileşen için \(s(A)\), ikinci bileşen için \(s(B)\) seçenek olduğundan \(s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)\) olur. Bu yüzden \(s(A \times B) = s(B \times A)\) her zaman doğrudur; ama kümelerin kendileri genellikle farklıdır. \(A \times B = B \times A\) eşitliği yalnızca \(A = B\) olduğunda ya da kümelerden biri boş olduğunda sağlanır. Kümelerden biri boşsa kartezyen çarpım da boştur. \(A \times A\) kümesi kısaca \(A^2\) biçiminde de yazılır.

Kartezyen çarpım birleşim ve kesişim üzerine dağılır: \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\) ve \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\). Ayrıca \((A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)\) olur, çünkü bir ikilinin iki kümede birden bulunması için iki bileşeninin de hem \(A\)'da hem \(B\)'de olması gerekir.

Kartezyen çarpımın grafiği

\(A\) ve \(B\) sayı kümeleri ise \(A \times B\)'nin her elemanı analitik düzlemde bir noktadır: birinci bileşen yatay eksende, ikinci bileşen dikey eksende okunur. Sonlu kümelerin kartezyen çarpımının grafiği bu yüzden noktalardan oluşan bir ızgaradır. Grafikte görünen farklı yatay konumlar \(A\)'nın, farklı dikey konumlar \(B\)'nin elemanlarını verir. \(A\) ya da \(B\) bir aralık olsaydı grafik bir doğru parçası ya da dikdörtgensel bir bölge olurdu.