Mantık
Önerme, doğruluk değeri, değil, ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak, doğruluk tabloları, mantık kuralları, karşıt ters, açık önerme ve niceleyiciler.
- Önermeyi tanımayı, doğruluk değerini 1 ve 0 ile göstermeyi ve bir önermenin değilini yazmayı
- Ve, veya, ya da, ise ve ancak ve ancak bağlaçlarıyla kurulan bileşik önermelerin doğruluk değerini bulmayı
- Doğruluk tablosu kurmayı; totoloji, çelişki ve denk önerme kavramlarını kullanmayı
- De Morgan, dağılma ve \(p \Rightarrow q \equiv p' \vee q\) kurallarıyla bileşik önermeleri sadeleştirmeyi
- Koşullu bir önermenin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazmayı; hangilerinin denk olduğunu göstermeyi
- Açık önermenin doğruluk kümesini bulmayı, her ve bazı niceleyicilerini kullanmayı ve ispat yöntemlerini tanımayı
Önerme ve doğruluk değeri
Matematikte bir cümleyi kullanabilmemiz için önce onun doğru mu yanlış mı olduğuna karar verebilmemiz gerekir. Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen, hüküm bildiren ifadelere önerme denir. "17 bir asal sayıdır" bir önermedir ve doğrudur. "\(3 + 4 = 8\)" de bir önermedir; yanlıştır ama yine önermedir, çünkü yanlış olduğunu kesin olarak söyleyebiliyoruz. Önermeler genellikle küçük harflerle adlandırılır: \(p\), \(q\), \(r\), …
Buna karşılık "Kapıyı kapat.", "Bugün hava ne güzel!" ve "Saat kaç?" cümleleri önerme değildir. Emir, ünlem ve soru cümleleri bir hüküm bildirmez. "Bu film çok sıkıcıdır" gibi kişiden kişiye değişen yargılar da önerme sayılmaz. "\(x + 4 = 9\)" ifadesi de kendi başına önerme değildir: \(x = 5\) için doğru, başka değerler için yanlıştır. Böyle ifadelere ileride açık önerme diyeceğiz.
Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına onun doğruluk değeri denir. Doğru önermenin doğruluk değeri 1 (ya da D), yanlış önermenin doğruluk değeri 0 (ya da Y) ile gösterilir. \(p\): "17 bir asal sayıdır" için \(p \equiv 1\) yazarız.
Bir önermenin değili ve denk önermeler
Bir önermenin hükmünü tersine çeviren önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir. \(p\) önermesinin değili \(p'\) ile gösterilir ve "p değil" diye okunur. \(p\): "7 bir çift sayıdır" ise \(p'\): "7 bir çift sayı değildir" olur. Tanımdan şu çıkar: \(p\) doğruysa \(p'\) yanlış, \(p\) yanlışsa \(p'\) doğrudur. Bir önermenin değilinin değili kendisidir: \((p')' \equiv p\).
Değil yazarken dikkat edilmesi gereken nokta, değilin "tam tersi" değil "çelişeni" olmasıdır. "\(a > 5\)" önermesinin değili "\(a < 5\)" değil, "\(a \le 5\)" önermesidir; çünkü \(a = 5\) durumunda iki önerme de yanlış olurdu, oysa bir önerme ile değilinden biri her zaman doğru olmalıdır.
Doğruluk değerleri her durumda aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve \(p \equiv q\) biçiminde yazılır. "Bir üçgenin iki kenarı eşittir" ile "Bu üçgenin iki açısı eşittir" önermeleri aynı üçgen için denktir.
Bileşik önermeler: ve, veya, ya da
İki ya da daha fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle elde edilen önermelere bileşik önerme denir. Bileşik önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan önermelerin doğruluk değerlerine ve kullanılan bağlaca bağlıdır.
- Ve (\(\wedge\)): \(p \wedge q\), iki önerme de doğruysa doğrudur; en az biri yanlışsa yanlıştır. "Bugün pazartesi ve hava yağmurlu" cümlesi ancak iki bilgi birden doğruysa doğrudur.
- Veya (\(\vee\)): \(p \vee q\), önermelerden en az biri doğruysa doğrudur; yalnızca ikisi birden yanlışsa yanlıştır.
- Ya da (\(\veebar\)): \(p \veebar q\), önermelerden yalnızca biri doğruysa doğrudur. İkisi aynı doğruluk değerine sahipse yanlıştır. Bu bağlaca "özel veya" da denir.
Günlük dilde "veya" ile "ya da" çoğu zaman aynı anlamda kullanılır, ama mantıkta farklıdırlar. "Tatlı olarak sütlaç ya da kazandibi alabilirsin" diyen garson büyük olasılıkla yalnız birini kastediyor: bu \(\veebar\) anlamıdır. "Matematik veya fizik sınavından yüksek alan öğrenci ödül alacak" cümlesinde ise ikisinden de yüksek alan öğrenci ödülü kaybetmez: bu \(\vee\) anlamıdır.
Koşullu önerme (ise) ve iki yönlü koşullu önerme
\(p\) ve \(q\) önermelerinin "ise" bağlacıyla birleştirilmesiyle elde edilen \(p \Rightarrow q\) önermesine koşullu önerme denir. "p ise q" diye okunur. \(p\)'ye hipotez (koşul), \(q\)'ya hüküm (sonuç) denir. Koşullu önerme yalnızca hipotez doğru, hüküm yanlış olduğunda yanlıştır; öteki üç durumda doğrudur.
Bu kural ilk bakışta tuhaf gelebilir. Bir öğretmenin sınıfa "Sınavdan 85'in üzerinde alırsan sana kitap hediye edeceğim" dediğini düşün. Öğrenci 85'in üzerinde alır ve kitabı alırsa söz tutulmuştur (1, 1 → 1). 85'in üzerinde alır ama kitabı alamazsa öğretmen sözünü bozmuştur (1, 0 → 0). Öğrenci 85'in altında kalırsa öğretmen kitap verse de vermese de sözünü bozmuş sayılmaz; çünkü söz yalnızca 85'in üstü için verilmişti (0, 1 → 1 ve 0, 0 → 1). Hipotezi yanlış olan bir koşullu önerme kendiliğinden doğrudur.
Bu tablodan çok kullanılan bir denklik çıkar: \(p \Rightarrow q\) önermesi yalnızca \(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) iken yanlış olduğuna göre
yazılabilir. Gerçekten de \(p' \vee q\) yalnızca \(p' \equiv 0\) ve \(q \equiv 0\), yani \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) iken yanlıştır. Bunun değilini alınca \((p \Rightarrow q)' \equiv p \wedge q'\) bulunur: "p ise q" önermesini çürütmek için \(p\) doğruyken \(q\)'nun yanlış olduğu tek bir durum göstermek yeter.
\((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\) önermesine iki yönlü koşullu önerme denir; \(p \Leftrightarrow q\) ile gösterilir ve "p ancak ve ancak q" diye okunur. \(p \Leftrightarrow q\), iki önermenin doğruluk değerleri aynıyken doğru, farklıyken yanlıştır. Bu yüzden \(p \Leftrightarrow q \equiv (p \veebar q)'\) olur.
Günlük dilde koşullu önerme farklı kalıplarla karşımıza çıkar. "p ise q", "p olursa q olur", "p, q için yeterlidir" ve "q, p için gereklidir" kalıplarının hepsi \(p \Rightarrow q\) anlamındadır. "Ehliyet almak için 18 yaşında olmak gerekir" cümlesi "ehliyet alan kişi 18 yaşındadır" demektir: ehliyet \(\Rightarrow\) 18 yaş. Tersi doğru değildir; 18 yaşında olan herkes ehliyet almış değildir.
Doğruluk tabloları, totoloji ve çelişki
Bir bileşik önermenin, bileşenlerinin alabileceği bütün değerler için doğruluk değerini gösteren tabloya doğruluk tablosu denir. Her önerme 2 değer alabildiğinden \(n\) farklı önerme için tablo \(2^n\) satırdır: iki önerme için 4, üç önerme için 8 satır. Satırları düzenli yazmak hata yapmayı önler. İlk sütunda değerler yarıya kadar 1, sonra 0; ikinci sütunda ikişer ikişer; son sütunda birer birer değişir.
Tabloyu kurarken iç parantezden dışa doğru ara sütunlar açılır. Örneğin \((p \vee q) \Rightarrow p'\) için önce \(p \vee q\) ve \(p'\) sütunları yazılır, sonra bunlar "ise" kuralıyla birleştirilir. İki önermenin denk olup olmadığını anlamanın en güvenilir yolu da budur: iki önermenin sütunları her satırda aynıysa önermeler denktir.
Bileşenlerin doğruluk değerleri ne olursa olsun her zaman doğru olan bileşik önermeye totoloji, her zaman yanlış olana çelişki denir. \(p \vee p'\) bir totolojidir: \(p\) ile \(p'\)'den biri mutlaka doğrudur. \(p \wedge p'\) bir çelişkidir. Bir totolojinin değili çelişki, bir çelişkinin değili totolojidir. İki önermenin denk olması, aralarına konan \(\Leftrightarrow\) bağlacıyla oluşan önermenin totoloji olması demektir.
Mantık kuralları
Bileşik önermeleri tablo kurmadan sadeleştirmek için aşağıdaki kurallar kullanılır. Hepsinin doğruluğu, iki tarafın doğruluk tablosu kurularak gösterilebilir.
- Değişme ve birleşme: \(p \wedge q \equiv q \wedge p\), \(p \vee q \equiv q \vee p\); \((p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r)\). Aynı özellikler \(\vee\), \(\veebar\) ve \(\Leftrightarrow\) için de geçerlidir. Koşullu önermede ise değişme yoktur: \(p \Rightarrow q\) ile \(q \Rightarrow p\) denk değildir.
- Etkisiz ve yutan eleman: \(p \wedge 1 \equiv p\), \(p \wedge 0 \equiv 0\), \(p \vee 0 \equiv p\), \(p \vee 1 \equiv 1\). Ayrıca \(p \wedge p \equiv p\), \(p \vee p \equiv p\), \(p \wedge p' \equiv 0\), \(p \vee p' \equiv 1\).
- Dağılma: \(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\) ve \(p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\).
- De Morgan kuralları: \((p \wedge q)' \equiv p' \vee q'\) ve \((p \vee q)' \equiv p' \wedge q'\). Değil, parantezin içine girerken her önermeyi değiller ve bağlacı çevirir.
- Yutma: \(p \vee (p \wedge q) \equiv p\) ve \(p \wedge (p \vee q) \equiv p\).
- Koşullu önerme: \(p \Rightarrow q \equiv p' \vee q\), \((p \Rightarrow q)' \equiv p \wedge q'\); \(1 \Rightarrow p \equiv p\), \(0 \Rightarrow p \equiv 1\), \(p \Rightarrow 1 \equiv 1\), \(p \Rightarrow 0 \equiv p'\).
De Morgan kuralının nedenini günlük dille görmek kolaydır. "Ali hem İngilizce hem Almanca biliyor" önermesinin yanlış olması için Ali'nin iki dilden en az birini bilmemesi yeterlidir: \((p \wedge q)' \equiv p' \vee q'\). "Ali İngilizce veya Almanca biliyor" önermesinin yanlış olması için ise Ali'nin ikisini de bilmemesi gerekir: \((p \vee q)' \equiv p' \wedge q'\).
Koşullu önermeyle ilgili birkaç kural daha ÖSYM sorularında sık kullanılır. \(p' \vee q\) yazılışından ve dağılmadan şunlar elde edilir:
Birincisinin nedeni: \((p \vee q)' \vee r \equiv (p' \wedge q') \vee r \equiv (p' \vee r) \wedge (q' \vee r)\). "Ya yağmur yağarsa ya da kar yağarsa maç ertelenir" demek, "yağmur yağarsa maç ertelenir ve kar yağarsa maç ertelenir" demektir. Ayrıca koşullu önermede birleşme özelliği yoktur: \((p \Rightarrow q) \Rightarrow r\) ile \(p \Rightarrow (q \Rightarrow r)\) denk değildir. Bu yüzden ifadelerde parantezler hiçbir zaman atlanmamalıdır.
Karşıt, ters ve karşıt ters
\(p \Rightarrow q\) koşullu önermesinden üç yeni koşullu önerme elde edilir:
| Ad | Önerme | Nasıl elde edilir? |
|---|---|---|
| Koşullu önerme | \(p \Rightarrow q\) | Verilen önerme |
| Karşıtı | \(q \Rightarrow p\) | Hipotez ile hüküm yer değiştirir |
| Tersi | \(p' \Rightarrow q'\) | Hipotez ve hüküm değillenir |
| Karşıt tersi | \(q' \Rightarrow p'\) | Yer değiştirir ve değillenir |
Karşıt ters, verilen önermeye denktir: \(q' \Rightarrow p' \equiv (q')' \vee p' \equiv q \vee p' \equiv p' \vee q \equiv p \Rightarrow q\). Aynı biçimde tersi ile karşıtı da birbirine denktir. Buna karşılık bir önerme ile karşıtı denk değildir. "Bir sayı 6'ya bölünüyorsa 3'e bölünür" doğrudur, ama karşıtı "Bir sayı 3'e bölünüyorsa 6'ya bölünür" yanlıştır (9 sayısı karşı örnektir). Karşıt tersi ise "Bir sayı 3'e bölünmüyorsa 6'ya bölünmez" olur ve verilen önerme gibi doğrudur.
Açık önerme ve doğruluk kümesi
İçinde değişken bulunan ve değişkene verilen her değer için bir önerme olan ifadeye açık önerme denir. \(p(x)\): "\(x + 3 < 7\)" bir açık önermedir; \(x\) bir doğal sayı olmak üzere \(p(2)\) doğru, \(p(5)\) yanlıştır. Bir açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir. Burada doğruluk kümesi \(\{0, 1, 2, 3\}\) olur. Doğal sayılar kümesinin 0 ile başladığını unutmamak gerekir.
Açık önermelerin bileşik önermeleri küme işlemleriyle ilişkilidir. Evrensel küme \(E\) içinde \(p(x)\) ile \(q(x)\)'in doğruluk kümeleri \(P\) ve \(Q\) olsun. \(p(x) \wedge q(x)\)'in doğruluk kümesi \(P \cap Q\), \(p(x) \vee q(x)\)'in doğruluk kümesi \(P \cup Q\), \(p'(x)\)'in doğruluk kümesi \(P\)'nin tümleyenidir. \(p(x) \veebar q(x)\) ise yalnızca birine ait olan elemanlardan oluşur. \(p(x) \Rightarrow q(x)\), \(x\), \(P\)'de olup \(Q\)'da olmadığında yanlıştır; doğruluk kümesi \(P \setminus Q\) dışındaki bütün elemanlardır.
Niceleyiciler: her ve bazı
Açık önermeyi önermeye çevirmenin bir yolu değişkene değer vermektir. Öteki yolu, açık önermenin kaç eleman için doğru olduğunu söylemektir. "Her" ve "bazı" sözcüklerine niceleyici denir.
- Evrensel niceleyici \(\forall\) ("her", "bütün"): \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0\) önermesi "her gerçek sayının karesi sıfıra eşit ya da sıfırdan büyüktür" demektir ve doğrudur.
- Varlıksal niceleyici \(\exists\) ("bazı", "en az bir"): \(\exists x \in \mathbb{Z},\ 2x = 7\) önermesi "2 katı 7 olan bir tam sayı vardır" demektir ve yanlıştır.
Her niceleyicili önermenin doğru olması için açık önermenin evrensel kümenin bütün elemanlarında doğru olması gerekir; yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter. Bazı niceleyicili önermenin doğru olması için tek bir örnek yeter; yanlış olduğunu göstermek için bütün elemanları denetlemek gerekir.
Niceleyicili önermenin değili alınırken niceleyici değişir ve açık önerme değillenir:
"Her öğrenci ödevini yaptı" önermesinin değili "Hiçbir öğrenci ödevini yapmadı" değil, "Bazı öğrenciler ödevini yapmadı" önermesidir. Yalnızca bir öğrencinin ödevini yapmamış olması bile ilk önermeyi yanlış yapar. "Bazı kuşlar uçamaz" önermesinin değili ise "Bütün kuşlar uçabilir" önermesidir. Niceleyici değiştirilirken eşitsizlik değillenmesi de unutulmamalıdır: \(\forall x,\ x > 2\)'nin değili \(\exists x,\ x \le 2\) olur.
Tanım, aksiyom, teorem ve ispat yöntemleri
Matematik, anlamı kesin olarak belirlenmiş kavramlar üzerine kurulur. Bir kavramı kesin ve açık biçimde anlatan önermeye tanım denir: "İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir." Doğruluğu ispatsız kabul edilen temel önermelere aksiyom denir: "İki farklı noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer." Doğruluğu ispatla gösterilmesi gereken önermelere ise teorem denir. Teoremler çoğu zaman \(p \Rightarrow q\) biçimindedir; \(p\) teoremin hipotezi, \(q\) hükmüdür.
- Doğrudan ispat: Hipotezden başlanır, bilinen kurallarla adım adım hükme ulaşılır. "İki çift sayının toplamı çifttir" teoreminde sayılar \(2a\) ve \(2b\) olarak yazılır; toplamları \(2(a + b)\) olduğundan çifttir.
- Olmayana ergi (çelişki yoluyla ispat): Hükmün yanlış olduğu varsayılır ve bir çelişkiye ulaşılır. "\(a + b \ge 10\) ise \(a \ge 5\) veya \(b \ge 5\)" teoremini düşünelim. Hükmün yanlış olduğunu, yani \(a < 5\) ve \(b < 5\) olduğunu varsayalım. O zaman \(a + b < 10\) olur ve bu hipotezle çelişir. Demek ki hüküm doğrudur.
- Karşıt tersle ispat: \(p \Rightarrow q\) yerine ona denk olan \(q' \Rightarrow p'\) ispatlanır. "\(n^2\) çift ise \(n\) çifttir" doğrudan ispatlanması zor bir önermedir. Karşıt tersi "\(n\) tek ise \(n^2\) tektir" önermesidir: \(n = 2k + 1\) için \(n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) tektir.
- Karşı örnekle çürütme: "Her" ile başlayan bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter. "Her asal sayı tektir" önermesini 2 sayısı çürütür. Buna karşılık birkaç örnekte doğru çıkması bir önermeyi ispatlamaz.
Formüller
Çözümlü örnekler
Aşağıdaki ifadelerden hangileri önermedir? Önerme olanların doğruluk değerlerini yazınız.
- I.17 bir asal sayıdır.
- II.Bu ne güzel bir şarkı!
- III.Her kare bir dikdörtgendir.
- IV.\(x + 4 = 9\)
- V.\(3 + 4 = 8\)
- I kesin bir hüküm bildirir ve doğrudur: 17'nin 1 ve kendisinden başka pozitif böleni yoktur.
- II bir ünlem cümlesidir ve kişisel bir beğeni bildirir; önerme değildir.
- III doğrudur: karenin dört açısı dik açıdır, bu yüzden her kare bir dikdörtgendir.
- IV, \(x\)'in değerine göre doğru ya da yanlış olduğundan açık önermedir, önerme değildir.
- V kesin bir hüküm bildirir; \(3 + 4 = 7\) olduğundan yanlıştır ama yine bir önermedir.
Cevap: I, III ve V önermedir; doğruluk değerleri sırasıyla 1, 1, 0
\(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) ve \(r \equiv 1\) olduğuna göre \((p \Rightarrow q) \vee (q' \wedge r)\) ve \((p \Leftrightarrow r) \veebar (q \Rightarrow p')\) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
- \(p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0\) ve \(q' \wedge r \equiv 1 \wedge 1 \equiv 1\). Birinci önerme \(0 \vee 1 \equiv 1\) olur.
- \(p \Leftrightarrow r \equiv 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1\). \(p' \equiv 0\) olduğundan \(q \Rightarrow p' \equiv 0 \Rightarrow 0 \equiv 1\).
- İkinci önerme \(1 \veebar 1 \equiv 0\) olur; ya da bağlacı iki taraf aynı olduğunda yanlıştır.
Cevap: 1 ve 0
\((p \vee q) \Rightarrow p'\) önermesinin doğruluk tablosunu kurunuz. Bu önerme hangi basit önermeye denktir?
- Satırlar \((p, q)\) için (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0) sırasıyla yazılır. \(p \vee q\) sütunu 1, 1, 1, 0; \(p'\) sütunu 0, 0, 1, 1 olur.
- "İse" yalnızca sol taraf 1, sağ taraf 0 iken yanlıştır. İlk iki satırda \(1 \Rightarrow 0 \equiv 0\), üçüncü satırda \(1 \Rightarrow 1 \equiv 1\), son satırda \(0 \Rightarrow 1 \equiv 1\).
- Sonuç sütunu 0, 0, 1, 1 çıkar ve \(p'\) sütunuyla aynıdır.
- Kurallarla denetim: \((p \vee q)' \vee p' \equiv (p' \wedge q') \vee p' \equiv p'\) (yutma).
Cevap: Sütun 0, 0, 1, 1; önerme \(p'\) önermesine denktir
\([(p' \Rightarrow q) \wedge p']'\) önermesinin en sade denkini bulunuz.
- \(p' \Rightarrow q \equiv (p')' \vee q \equiv p \vee q\).
- Dağılmayla \((p \vee q) \wedge p' \equiv (p \wedge p') \vee (q \wedge p') \equiv 0 \vee (q \wedge p') \equiv p' \wedge q\).
- De Morgan kuralıyla değili alınır: \((p' \wedge q)' \equiv p \vee q'\).
- Bu sonuç \(q \Rightarrow p\) olarak da yazılabilir, çünkü \(q \Rightarrow p \equiv q' \vee p\).
Cevap: \(p \vee q'\) (yani \(q \Rightarrow p\))
\((p \wedge q') \Rightarrow (r \vee q)\) önermesi yanlış olduğuna göre \(p\), \(q\), \(r\) önermelerinin doğruluk değerlerini ve \((p \Rightarrow r) \Leftrightarrow q\) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
- Koşullu önerme yanlışsa hipotez 1, hüküm 0'dır: \(p \wedge q' \equiv 1\) ve \(r \vee q \equiv 0\).
- \(p \wedge q' \equiv 1\) için \(p \equiv 1\) ve \(q' \equiv 1\), yani \(q \equiv 0\).
- \(r \vee q \equiv 0\) için \(r \equiv 0\) olmalıdır (ve \(q \equiv 0\) zaten bulunmuştu, çelişki yok).
- \(p \Rightarrow r \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0\); \(0 \Leftrightarrow q \equiv 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1\).
Cevap: p = 1, q = 0, r = 0; istenen önermenin değeri 1
"Bir doğal sayı 6'ya tam bölünüyorsa 3'e tam bölünür." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız. Hangileri doğrudur?
- \(p\): "sayı 6'ya bölünür", \(q\): "sayı 3'e bölünür" olsun. Verilen önerme \(p \Rightarrow q\) ve doğrudur, çünkü \(6 = 2 \cdot 3\).
- Karşıtı \(q \Rightarrow p\): "3'e bölünen sayı 6'ya bölünür." 9 sayısı 3'e bölünür ama 6'ya bölünmez; yanlıştır.
- Tersi \(p' \Rightarrow q'\): "6'ya bölünmeyen sayı 3'e bölünmez." Yine 9 karşı örnektir; yanlıştır. Tersin karşıta denk olması da bunu gösterir.
- Karşıt tersi \(q' \Rightarrow p'\): "3'e bölünmeyen sayı 6'ya bölünmez." Verilen önermeye denk olduğu için doğrudur.
Cevap: Önerme ve karşıt tersi doğru; karşıtı ve tersi yanlış
"Her doğal sayının karesi kendisinden büyüktür." önermesini sembollerle yazınız, doğruluk değerini bulunuz ve değilini yazınız.
- Önerme \(\forall x \in \mathbb{N},\ x^2 > x\) biçiminde yazılır.
- \(x = 0\) için \(0 > 0\) ve \(x = 1\) için \(1 > 1\) yanlıştır. Tek bir karşı örnek yettiğinden önerme yanlıştır.
- Değil alınırken \(\forall\) yerine \(\exists\) gelir ve \(>\) yerine \(\le\) yazılır: \(\exists x \in \mathbb{N},\ x^2 \le x\).
- Bir önerme yanlışsa değili doğrudur; gerçekten de \(x = 0\) ve \(x = 1\) bu açık önermeyi sağlar.
Cevap: Önerme yanlış; değili \(\exists x \in \mathbb{N},\ x^2 \le x\) ve bu değil doğru
\(E = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}\) kümesinde \(p(x)\): "\(x\), 4'ün katıdır" ve \(q(x)\): "\(x\), 6'nın katıdır" açık önermeleri veriliyor. \(p(x) \veebar q(x)\) ve \(p(x) \Rightarrow q(x)\) açık önermelerinin doğruluk kümeleri kaçar elemanlıdır?
- \(P = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}\) (7 eleman), \(Q = \{6, 12, 18, 24, 30\}\) (5 eleman), \(P \cap Q = \{12, 24\}\).
- Ya da bağlacı yalnızca birine ait olanlar için doğrudur: \((7 - 2) + (5 - 2) = 8\) eleman.
- \(p(x) \Rightarrow q(x)\) yalnızca \(x \in P\) ve \(x \notin Q\) iken yanlıştır. Bu elemanlar 4, 8, 16, 20, 28'dir (5 tane).
- Geriye kalan \(30 - 5 = 25\) eleman \(p(x) \Rightarrow q(x)\)'i doğru yapar. 4'ün katı olmayan sayıların da hipotezi yanlış olduğu için bu kümeye girdiğine dikkat et.
Cevap: 8 ve 25
\(p\): "Hafta sonu hava güzel olur.", \(q\): "Pikniğe gideriz.", \(r\): "Bisiklete bineriz." önermeleri veriliyor. "Hafta sonu hava güzel olursa ya pikniğe gideriz ya da bisiklete bineriz." önermesini sembollerle yazınız ve değilini en sade biçimde bulunuz. ("ya … ya da" yalnızca birini anlatır.)
- "Olursa" bir koşul bildirir, "ya … ya da" özel veyadır: önerme \(p \Rightarrow (q \veebar r)\) olur.
- Koşullu önermenin değili \((a \Rightarrow b)' \equiv a \wedge b'\) olduğundan değil \(p \wedge (q \veebar r)'\) olur.
- Ya da bağlacının değili ancak ve ancak bağlacıdır: \((q \veebar r)' \equiv q \Leftrightarrow r\).
- Sonuç \(p \wedge (q \Leftrightarrow r)\): "Hava güzel olur ve ya iki etkinliği de yaparız ya da ikisini de yapmayız."
Cevap: \(p \Rightarrow (q \veebar r)\); değili \(p \wedge (q \Leftrightarrow r)\)
Sık yapılan hatalar
- "\(a > 5\)" önermesinin değilini "\(a < 5\)" yazmak; doğrusu "\(a \le 5\)"tir.
- \(p \Rightarrow q\) önermesinin hipotezi yanlışken yanlış olduğunu sanmak. Hipotez yanlışsa koşullu önerme her zaman doğrudur.
- Veya (\(\vee\)) ile ya da (\(\veebar\)) bağlacını karıştırmak: ikisi de doğruyken \(p \vee q \equiv 1\), ama \(p \veebar q \equiv 0\).
- De Morgan kuralında bağlacı çevirmeyi unutmak: \((p \wedge q)'\) önermesini \(p' \wedge q'\) yazmak.
- Koşullu önermenin değilini yine koşullu önerme olarak yazmak: \((p \Rightarrow q)'\) önermesi \(p' \Rightarrow q'\) değil, \(p \wedge q'\)'dür.
- Bir önermeyi karşıtıyla ya da tersiyle denk saymak; yalnızca karşıt ters denktir.
- "Her öğrenci geldi" önermesinin değilini "Hiçbir öğrenci gelmedi" yazmak; doğrusu "Bazı öğrenciler gelmedi"dir.
- "p için q gerekir" cümlesini \(q \Rightarrow p\) diye çevirmek; doğrusu \(p \Rightarrow q\)'dur.
İngiliz matematikçi George Boole, 1854'te yayımlanan The Laws of Thought adlı kitabında mantıksal akıl yürütmeyi 1 ve 0 değerleriyle yapılan bir hesaba dönüştürdü; bugün bu hesaba onun adıyla Boole cebri denir. 1937'de Claude Shannon, yüksek lisans tezinde bu cebrin elektrik anahtarlarından kurulan devrelere uygulanabileceğini gösterdi: seri bağlı iki anahtardan ancak ikisi de kapalıysa akım geçer (ve), paralel bağlı iki anahtardan en az biri kapalıysa akım geçer (veya). Telefonundaki işlemci de milyarlarca küçük anahtarla bu bağlaçları saniyede milyarlarca kez hesaplar. Bir arama motoruna iki sözcüğü birlikte yazdığında ya da bir tablo programında "EĞER" formülü kullandığında da aynı mantık kurallarını uygulamış olursun.
Konu testi
27 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önermedir?
Önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen ifadedir. "Her asal sayı tektir" yanlıştır (2 çift bir asal sayıdır), ama yanlış olduğu kesin bilindiği için bir önermedir. Ünlem, emir ve soru cümleleri hüküm bildirmez. "O" kişisi belli olmadığından "O, bu sınıfın en uzun öğrencisidir" ifadesinin doğruluğuna karar verilemez.
\(p\) doğru, \(q\) yanlış bir önerme olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
\(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) için \(p \wedge q \equiv 0\), \(p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0\), \(p \Leftrightarrow q \equiv 0\) ve \(p' \vee q \equiv 0 \vee 0 \equiv 0\) olur. \(q \Rightarrow p' \equiv 0 \Rightarrow 0 \equiv 1\): hipotezi yanlış olan koşullu önerme doğrudur.
\((p \wedge q')'\) önermesinin denki aşağıdakilerden hangisidir?
De Morgan kuralıyla \((p \wedge q')' \equiv p' \vee (q')' \equiv p' \vee q\). Değil parantezin içine girerken hem her önermeyi değiller hem de \(\wedge\) bağlacını \(\vee\) yapar; bağlacı çevirmeyi unutmak \(p' \wedge q\) sonucunu verir.
Bir sınıfla ilgili "Bazı öğrenciler gözlüklüdür." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?
"Bazı" niceleyicisinin değili "her" niceleyicisidir ve açık önerme değillenir: "Her öğrenci gözlüksüzdür", yani "Hiçbir öğrenci gözlüklü değildir." "Bazı öğrenciler gözlüklü değildir" önermesi, verilen önermeyle aynı anda doğru olabilir; bu yüzden onun değili olamaz.
\(x\) bir doğal sayı olmak üzere \(p(x)\): "\(2x - 3 < 7\)" açık önermesi veriliyor. Bu açık önermenin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır?
\(2x - 3 < 7\) için \(2x < 10\), yani \(x < 5\). Doğal sayılarda doğruluk kümesi \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)'tür ve 5 elemanlıdır. 0'ı saymayı unutan 4, ikiye bölmeyi unutan 10 bulur.
\(p \Rightarrow q'\) önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
Karşıt terste hipotez ile hüküm yer değiştirir ve ikisi de değillenir. Hüküm \(q'\)'nün değili \(q\), hipotez \(p\)'nin değili \(p'\) olduğundan karşıt ters \(q \Rightarrow p'\) olur. Karşıt ters verilen önermeye denktir: \(q \Rightarrow p' \equiv q' \vee p' \equiv p' \vee q' \equiv p \Rightarrow q'\).
\((p \Rightarrow q') \vee r\) önermesi yanlış olduğuna göre \(p\), \(q\), \(r\) önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Veya bağlacıyla kurulan önerme yanlışsa iki taraf da yanlıştır: \(r \equiv 0\) ve \(p \Rightarrow q' \equiv 0\). Koşullu önerme yalnızca hipotez 1, hüküm 0 iken yanlıştır: \(p \equiv 1\) ve \(q' \equiv 0\), yani \(q \equiv 1\).
\((p \Rightarrow q)' \vee r\) önermesi yanlış ve \(p \veebar q\) önermesi doğru olduğuna göre \(p\), \(q\), \(r\) önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Birinci önerme yanlış olduğundan \(r \equiv 0\) ve \((p \Rightarrow q)' \equiv 0\), yani \(p \Rightarrow q \equiv 1\). \(p \veebar q \equiv 1\) olduğundan \(p\) ile \(q\)'nun değerleri farklıdır: (1, 0) ya da (0, 1). (1, 0) durumunda \(p \Rightarrow q \equiv 0\) olacağından geriye \(p \equiv 0\), \(q \equiv 1\) kalır.
\((p \Rightarrow q) \wedge (p \Rightarrow q')\) önermesinin en sade denki aşağıdakilerden hangisidir?
Her koşullu önerme veya ile yazılır: \((p' \vee q) \wedge (p' \vee q')\). Dağılmanın tersiyle \(p' \vee (q \wedge q') \equiv p' \vee 0 \equiv p'\). Sezgisi: \(p\) doğru olsaydı hem \(q\) hem \(q'\) doğru olmak zorunda kalırdı; bu olanaksız olduğundan önerme \(p\) yanlışken doğru, \(p\) doğruyken yanlıştır.
\(p\): "Yağmur yağar.", \(q\): "Stadyum ıslaktır.", \(r\): "Maç ertelenir." önermeleri veriliyor. "Yağmur yağar ve stadyum ıslaksa maç ertelenir." önermesinin değilinin sembolik karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
Cümle \((p \wedge q) \Rightarrow r\) biçimindedir. Koşullu önermenin değili \((a \Rightarrow b)' \equiv a \wedge b'\) olduğundan değil \((p \wedge q) \wedge r'\) olur. Yani "yağmur yağar, stadyum ıslaktır ve maç ertelenmez". Değili yine bir koşullu önerme olarak yazmak sık yapılan bir hatadır.
\(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 > 2x\) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?
Her niceleyicisinin değili bazı niceleyicisidir; açık önerme de değillenir. \(>\) işaretinin değili \(\le\)'dir. Değil \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 \le 2x\) olur. Bu önerme doğrudur: \(x = 1\) için \(1 + 1 = 2\). Demek ki verilen önerme yanlıştır.
Aşağıdaki önermelerden hangisi bir totolojidir?
\((p \wedge q) \Rightarrow p\) yanlış olsaydı \(p \wedge q \equiv 1\) ve \(p \equiv 0\) olurdu; bu olanaksızdır. Önerme hiçbir durumda 0 olmaz. Ötekilerin her birini 0 yapan bir durum vardır: \(p \equiv 1, q \equiv 0\) birincisini; \(p \equiv 0, q \equiv 1\) üçüncüsünü; \(p \equiv 0\) dördüncüsünü; \(p \equiv 1, q \equiv 1\) sonuncusunu yanlış yapar.
Bir öğrenci \(p\) ve \(q\) önermelerinin bütün durumları için bir bileşik önermenin doğruluk tablosunu aşağıdaki gibi doldurmuştur.
Tablodaki son sütun aşağıdaki önermelerden hangisine aittir?
Sütun yalnızca \(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) satırında 1'dir. Bu, \(p \wedge q'\) önermesinin sütunudur. \((p \Rightarrow q)' \equiv p \wedge q'\) olduğundan aranan önerme budur. \((q \Rightarrow p)' \equiv q \wedge p'\) ise yalnızca (0, 1) satırında 1 olur.
\(p \Rightarrow q\) önermesi doğru ve \(q\) önermesi yanlış olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
\(q \equiv 0\) iken \(p \Rightarrow q\)'nun doğru olması için \(p \equiv 0\) olmalıdır; \(p \equiv 1\) olsaydı önerme yanlış olurdu. \(p \equiv 0\), \(q \equiv 0\) için \(p' \wedge q' \equiv 1 \wedge 1 \equiv 1\). Ötekiler bu değerlerde 0 çıkar; örneğin \(p' \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0\).
\(x\) bir doğal sayı olmak üzere \(p(x)\): "\(x\), 12'nin pozitif bir bölenidir." ve \(q(x)\): "\(x\) bir tek sayıdır." açık önermeleri veriliyor. \(p(x) \wedge q'(x)\) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. \(q'(x)\): "\(x\) tek sayı değildir", yani \(x\) çifttir. Doğruluk kümesi \(\{2, 4, 6, 12\}\) olur ve elemanlarının toplamı 24'tür. Tek bölenlerin toplamı 4, bütün bölenlerin toplamı 28'dir.
\(p \veebar q\) önermesinin denki aşağıdakilerden hangisidir?
Ya da bağlacı, değerler farklıyken 1; ancak ve ancak bağlacı değerler aynıyken 1'dir. Biri ötekinin değilidir: \(p \veebar q \equiv (p \Leftrightarrow q)'\). \(p' \Leftrightarrow q'\) önermesi \(p \Leftrightarrow q\)'ya denktir; \((p \wedge q)'\) ise iki önerme de yanlışken 1 olduğundan farklıdır.
Aşağıdaki denkliklerden hangileri doğrudur?
- I.\(p \wedge 1 \equiv p\)
- II.\(p \vee p' \equiv 1\)
- III.\(p \Rightarrow 0 \equiv p\)
I doğrudur: 1, ve bağlacında etkisiz elemandır. II doğrudur: \(p\) ile \(p'\)'den biri mutlaka doğrudur. III yanlıştır: \(p \Rightarrow 0 \equiv p' \vee 0 \equiv p'\) olur. \(p \equiv 1\) için \(1 \Rightarrow 0 \equiv 0\) çıkar, \(p\) ise 1'dir.
Aşağıdaki önermelerden hangisinin yanlış olduğu bir karşı örnekle gösterilebilir?
\(n = 3\) için \(2^3 + 1 = 9 = 3 \cdot 3\) asal değildir; bu tek örnek "her" ile başlayan önermeyi çürütür. \(n = 0, 1, 2\) için 2, 3, 5 asal çıkması önermeyi ispatlamaz. Ötekiler doğrudur: \(n^2 + n = n(n + 1)\) ardışık iki sayının çarpımıdır; ardışık üç sayıdan biri 3'ün katı, en az biri çifttir; iki tek sayı \(2a + 1\) ve \(2b + 1\)'in toplamı \(2(a + b + 1)\)'dir; \(n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)\) ardışık üç sayının çarpımıdır.
\((p \vee q) \Rightarrow r\) önermesi yanlış ve \(q \Rightarrow (p \wedge r)\) önermesi doğru olduğuna göre \(p\), \(q\), \(r\) önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Birinci önerme yanlış olduğundan \(p \vee q \equiv 1\) ve \(r \equiv 0\). \(r \equiv 0\) olduğundan \(p \wedge r \equiv 0\). İkinci önermenin doğru olması için hipotezi yanlış olmalıdır: \(q \equiv 0\). \(p \vee q \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) olduğundan \(p \equiv 1\) bulunur.
\((p \Rightarrow r) \wedge (q \Rightarrow r)\) önermesinin denki aşağıdakilerden hangisidir?
Koşullu önermeler veya ile yazılır: \((p' \vee r) \wedge (q' \vee r) \equiv (p' \wedge q') \vee r\) (dağılma). De Morgan ile \(p' \wedge q' \equiv (p \vee q)'\) olduğundan önerme \((p \vee q)' \vee r \equiv (p \vee q) \Rightarrow r\) olur. Sık yapılan hata hipotezde \(\wedge\) yazmaktır; \((p \wedge q) \Rightarrow r\), örneğin \(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\), \(r \equiv 0\) için doğru, verilen önerme ise yanlıştır.
\(p\): "Ali sınavı geçer.", \(q\): "Ali düzenli çalışır." önermeleri veriliyor. "Ali'nin sınavı geçmesi için düzenli çalışması gerekir." önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
"p için q gerekir" demek, p olduğunda q'nun da olması gerektiğini söyler: sınavı geçen Ali düzenli çalışmıştır. Önerme \(p \Rightarrow q\) olur. Seçeneklerde bu önermenin kendisi yok; ona denk olan karşıt tersi \(q' \Rightarrow p'\) var: "Ali düzenli çalışmazsa sınavı geçemez." \(q \Rightarrow p\) ("düzenli çalışırsa geçer") karşıttır ve \(p' \Rightarrow q'\) terstir; ikisi de verilen önermeye denk değildir.
Aşağıdaki önermelerden hangisinin değili doğrudur?
Değili doğru olan önerme, kendisi yanlış olan önermedir. \(x + 3 = 2\) için \(x = -1\) gerekir; \(-1\) bir doğal sayı olmadığından bu önerme yanlıştır ve değili \(\forall x \in \mathbb{N},\ x + 3 \ne 2\) doğrudur. Ötekiler doğrudur: gerçek sayıların kareleri negatif değildir; \(x = 2\) tam sayısı \(x^2 = 4\)'ü sağlar; doğal sayılarda \(2x - x = x \ge 0\)'dır; \(x = \sqrt{2}\) gerçek sayısı \(x^2 = 2\)'yi sağlar.
\(p \Rightarrow q\) önermesi yanlış olduğuna göre aşağıdaki yargılardan hangileri doğrudur?
- I.\(q \Rightarrow p\) önermesi doğrudur.
- II.\(p' \Rightarrow q'\) önermesi doğrudur.
- III.\(q' \Rightarrow p'\) önermesi yanlıştır.
\(p \Rightarrow q\) yanlışsa \(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) olur. I: \(0 \Rightarrow 1 \equiv 1\), doğru. II: \(p' \equiv 0\) olduğundan \(0 \Rightarrow 1 \equiv 1\), doğru. III: \(q' \equiv 1\), \(p' \equiv 0\) için \(1 \Rightarrow 0 \equiv 0\). Karşıt ters verilen önermeye denk olduğundan o da yanlıştır; yargı doğrudur.
\((p \Rightarrow q) \veebar (q \Leftrightarrow r)\) önermesinin \(p\), \(q\), \(r\) önermelerinin bütün durumları için kurulan 8 satırlık doğruluk tablosunda, önermenin doğruluk değeri kaç satırda 1'dir?
Ya da bağlacı, iki taraf farklıyken 1'dir. \(q \equiv 1\) iken \(p \Rightarrow q \equiv 1\) olduğundan önerme \(r \equiv 0\) olan satırlarda 1'dir: \(p\) için 2 satır. \(q \equiv 0\) iken \(q \Leftrightarrow r \equiv r'\) ve \(p \Rightarrow q \equiv p'\) olur. \(p' \veebar r'\) önermesi \(p\) ile \(r\) farklıyken 1'dir: 2 satır. Toplam \(2 + 2 = 4\) satır.
\(A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}\) kümesinde \(p(x)\): "\(x\) bir asal sayıdır." ve \(q(x)\): "\(x + 1\) sayısı 3'e tam bölünür." açık önermeleri veriliyor. \(p(x) \Rightarrow q(x)\) açık önermesinin \(A\) kümesindeki doğruluk kümesi kaç elemanlıdır?
Koşullu önerme yalnızca \(p(x)\) doğru, \(q(x)\) yanlışken yanlıştır. A'daki asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19'dur. Bunlardan \(x + 1\)'i 3'e bölünenler 2, 5, 11, 17'dir. Geriye kalan 3, 7, 13, 19 önermeyi yanlış yapar. Asal olmayan 12 sayı da hipotez yanlış olduğu için önermeyi doğru yapar. Doğruluk kümesi \(20 - 4 = 16\) elemanlıdır.
Aşağıdaki önermelerden hangileri totolojidir?
- I.\([(p \Rightarrow q) \wedge p] \Rightarrow q\)
- II.\([(p \Rightarrow q) \wedge q] \Rightarrow p\)
- III.\([(p \Rightarrow q) \wedge q'] \Rightarrow p'\)
I yanlış olsaydı \(q \equiv 0\) ve \((p \Rightarrow q) \wedge p \equiv 1\), yani \(p \equiv 1\) ve \(1 \Rightarrow 0 \equiv 1\) olmalıydı; bu olanaksızdır. I totolojidir. II, \(p \equiv 0\), \(q \equiv 1\) için \([1 \wedge 1] \Rightarrow 0 \equiv 0\) olduğundan totoloji değildir. III yanlış olsaydı \(p' \equiv 0\) (\(p \equiv 1\)), \(q' \equiv 1\) (\(q \equiv 0\)) ve \(p \Rightarrow q \equiv 1\) olmalıydı; ama \(1 \Rightarrow 0 \equiv 0\)'dır. III de totolojidir.
\((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) \wedge (r \Rightarrow s)\) önermesi doğru ve \(s\) önermesi yanlış olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Ve bağlacıyla kurulan önerme doğruysa üç koşullu önermenin her biri doğrudur. \(r \Rightarrow s\) doğru ve \(s \equiv 0\) olduğundan \(r \equiv 0\). Aynı akıl yürütmeyle \(q \Rightarrow r\)'den \(q \equiv 0\), \(p \Rightarrow q\)'dan \(p \equiv 0\) bulunur. Dört önerme de 0 olduğundan \(q \Leftrightarrow s \equiv 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1\). Ötekiler 0 çıkar; örneğin \(q' \Rightarrow r \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0\).
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.