Fonksiyonlar

Bağıntıdan fonksiyona

\(A\) ve \(B\) iki küme olsun. \(A\)'nın bir elemanı ile \(B\)'nin bir elemanından oluşan bütün sıralı ikililerin kümesine kartezyen çarpım denir ve \(A \times B\) ile gösterilir. \(A \times B\)'nin her alt kümesine de \(A\)'dan \(B\)'ye bir bağıntı denir. Bağıntı, iki kümenin elemanları arasında kurulmuş herhangi bir eşleme demektir; bu eşlemede hiçbir kısıtlama yoktur. Bir eleman hiç eşlenmeyebilir, bir eleman birden fazla elemanla eşlenebilir.

Fonksiyon ise kurallı bir bağıntıdır: \(A\)'nın her elemanını \(B\)'nin yalnız bir elemanıyla eşleyen bağıntıya \(A\)'dan \(B\)'ye fonksiyon denir ve \(f: A \to B\) biçiminde yazılır. Tanımın iki şartı vardır ve ikisi de aynı derecede önemlidir:

• \(A\)'da açıkta (eşlenmemiş) eleman kalmaz.
• \(A\)'nın hiçbir elemanı \(B\)'den iki farklı elemanla eşlenmez.

\(B\) için böyle bir şart yoktur. \(B\)'de hiç eşlenmemiş elemanlar bulunabilir, \(B\)'nin bir elemanı \(A\)'nın birçok elemanının görüntüsü olabilir. Fonksiyonu bir makine gibi düşünmek iyi bir sezgi verir: makineye bir girdi verirsin, makine sana tek bir çıktı verir. Aynı girdiye bir gün 5, ertesi gün 7 veren bir makineye güvenemezsin; fonksiyon tanımındaki "yalnız bir" şartı bu güveni sağlar. Okuldaki her öğrencinin tek bir okul numarası olması bir fonksiyondur. Ama bir anne-babanın çocuklarıyla eşlenmesi genel olarak fonksiyon değildir, çünkü birden fazla çocuğu olan bir anne birden fazla elemanla eşlenir.

\(x\) elemanının eşlendiği elemana \(x\)'in görüntüsü denir ve \(f(x)\) ile gösterilir. \(f(x) = 2x + 1\) yazdığımızda, "her \(x\) girdisini iki katının bir fazlasına götür" kuralını anlatmış oluruz. Bu kurala fonksiyonun kuralı denir.

Tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi

\(f: A \to B\) fonksiyonunda \(A\)'ya tanım kümesi, \(B\)'ye değer kümesi denir. Tanım kümesindeki bütün elemanların görüntülerinden oluşan kümeye görüntü kümesi denir ve \(f(A)\) ile gösterilir:

Görüntü kümesi değer kümesinin bir alt kümesidir, ama değer kümesine eşit olmak zorunda değildir. Örneğin \(A = \{0, 1, 2, 3\}\), \(B = \{1, 2, 3, \dots, 9\}\) ve \(f(x) = 2x + 1\) ise görüntüler 1, 3, 5 ve 7'dir; yani \(f(A) = \{1, 3, 5, 7\}\) olur. Değer kümesindeki 2, 4, 6, 8 ve 9 hiçbir elemanın görüntüsü değildir. Değer kümesi "çıktıların düşebileceği yer", görüntü kümesi "çıktıların gerçekten düştüğü yer"dir.

Sonlu kümelerde kaç fonksiyon tanımlanabileceğini saymak da kolaydır. \(A\)'nın \(m\), \(B\)'nin \(n\) elemanı varsa \(A\)'nın her elemanı için \(B\)'den \(n\) seçenek vardır ve seçimler birbirinden bağımsızdır. Bu yüzden \(A\)'dan \(B\)'ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı \(n^m\)'dir. Üssün tanım kümesinin, tabanın değer kümesinin eleman sayısı olduğuna dikkat et: 2 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye \(3^2 = 9\) fonksiyon tanımlanır, \(2^3 = 8\) değil.

Gerçek sayılarda çalışırken tanım kümesi çoğu zaman açıkça verilmez; o zaman kuralın anlamlı olduğu en geniş küme alınır. Bu kümeyi bulmak için iki yasağa bakarız: kesrin paydası sıfır olamaz ve karekökün (genel olarak çift dereceli kökün) içi negatif olamaz. Örneğin

fonksiyonunda kökün içi için \(x \ge 2\), payda için \(x \neq 5\) gerekir. En geniş tanım kümesi \([2, 5) \cup (5, \infty)\) olur. İki şartı ayrı ayrı yazıp sonra kesiştirmek, birini unutmayı önler.

Şemadan ve grafikten fonksiyonu tanımak

Sonlu kümelerde bağıntı çoğu zaman bir şema (ok diyagramı) ile verilir. Şemaya bakarken yalnızca soldaki kümeye odaklanırsın: soldaki her elemandan tam bir ok çıkıyorsa bağıntı fonksiyondur. Sağdaki kümeye kaç ok geldiği ya da sağda boşta kalan eleman olup olmadığı karar için önemsizdir.

Gerçek sayılarda tanımlı bir bağıntı ise analitik düzlemde bir grafik olarak verilir. Grafiğin her noktası \((x, y)\) biçiminde bir sıralı ikilidir. Bir \(x\) değerinin iki farklı \(y\) ile eşlenmesi, aynı düşey doğru üzerinde grafiğin iki noktasının bulunması demektir. Buradan düşey doğru testi çıkar: tanım kümesindeki her \(x\) için çizilen düşey doğru grafiği tam bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyon grafiğidir. Bir düşey doğru grafiği iki ya da daha çok noktada kesiyorsa bağıntı fonksiyon değildir. Tanım kümesindeki bir \(x\) için düşey doğru grafiği hiç kesmiyorsa da fonksiyon yoktur, çünkü o \(x\) açıkta kalmıştır.

Fonksiyon değeri ve f(x + a) türündeki ifadeler

Fonksiyonun kuralı verildiğinde bir değeri bulmak için \(x\) yerine o sayı yazılır. \(f(x) = x^2 - 3x\) ise \(f(-2) = 4 + 6 = 10\)'dur. Negatif sayıları yerine koyarken parantez kullanmak işaret hatalarını önler: \((-2)^2 = 4\)'tür, \(-2^2 = -4\) değil.

ÖSYM sorularında kural çoğu zaman doğrudan verilmez; \(f(2x - 1) = 3x + 4\) gibi bir ifade verilir ve \(f(5)\) istenir. Bu eşitlik, "fonksiyonun içine \(2x - 1\) girdiğinde çıktı \(3x + 4\) olur" demektir. \(f(5)\)'i bulmak için içerinin 5 olmasını sağlayan \(x\)'i buluruz: \(2x - 1 = 5\) ise \(x = 3\)'tür ve bu \(x\) sağ tarafa yazılır:

Kuralın tamamı istenirse içeriye yeni bir ad verilir. \(t = 2x - 1\) dersek \(x = \frac{t + 1}{2}\) olur ve

bulunur. Harfin adı önemsiz olduğu için \(f(x) = \frac{3x + 11}{2}\) yazılır. Denetim: \(f(5) = \frac{26}{2} = 13\).

Bazen fonksiyon, kendi değerleriyle ilişkilendirilerek verilir: \(f(x) + 2f(-x) = 3x + 6\) gibi. Böyle bir eşitlik her \(x\) için doğru olduğundan \(x\) yerine \(-x\) yazılarak ikinci bir eşitlik elde edilir: \(f(-x) + 2f(x) = -3x + 6\). Artık \(f(x)\) ve \(f(-x)\) iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin bilinmeyenleridir ve sistem çözülerek \(f(x)\) bulunur.

Eşit fonksiyonlar

\(f\) ve \(g\) aynı \(A\) kümesinden aynı \(B\) kümesine tanımlı iki fonksiyon olsun. \(A\)'nın her elemanı için \(f(x) = g(x)\) ise bu iki fonksiyona eşit fonksiyonlar denir. Kuralların farklı görünmesi eşitliği engellemez; önemli olan her girdide aynı çıktının verilmesidir. Örneğin \(A = \{0, 1\}\) üzerinde \(f(x) = x^2\) ile \(g(x) = x\) eşit fonksiyonlardır, çünkü \(0^2 = 0\) ve \(1^2 = 1\)'dir. Aynı iki kural gerçek sayılarda eşit değildir: \(f(2) = 4\), \(g(2) = 2\). Demek ki iki fonksiyonun eşit olup olmadığı tanım kümesine bağlıdır. Eşit olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeter; eşit olduğunu göstermek için tanım kümesinin bütün elemanları denenmelidir.

Fonksiyon çeşitleri

Bire bir fonksiyon. Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir:

Şemada sağdaki hiçbir elemana iki ok gelmez. Grafikte ise yatay doğru testi kullanılır: hiçbir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon bire birdir. \(f(x) = 2x - 5\) bire birdir: \(2x_1 - 5 = 2x_2 - 5\) ise \(x_1 = x_2\) olur. \(f(x) = x^2\) ise gerçek sayılarda bire bir değildir, çünkü \(f(-3) = f(3) = 9\)'dur. \(A\)'dan \(B\)'ye bire bir fonksiyon tanımlanabilmesi için \(B\)'nin en az \(A\) kadar elemanı olmalıdır. \(A\)'nın \(m\), \(B\)'nin \(n\) elemanı varsa ilk elemana \(n\), ikinciye kalan \(n - 1\), üçüncüye \(n - 2\) seçenek kalır ve bire bir fonksiyon sayısı \(n \cdot (n - 1) \cdots (n - m + 1)\) olur.

Örten ve içine fonksiyon. Görüntü kümesi değer kümesine eşitse, yani \(f(A) = B\) ise fonksiyon örtendir. Şemada sağdaki kümede boşta eleman kalmaz. Örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir. \(B\)'nin \(A\)'dan çok elemanı varsa fonksiyon örten olamaz, çünkü \(m\) elemanın görüntüsü en çok \(m\) farklı eleman olabilir. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı \(f(x) = x^2 + 1\) örten değildir: görüntüleri hep 1 ya da daha büyüktür ve örneğin 0 hiçbir sayının görüntüsü değildir.

Sabit, birim ve doğrusal fonksiyonlar. Tanım kümesinin bütün elemanlarını aynı elemana götüren fonksiyona sabit fonksiyon denir: \(f(x) = c\). Görüntü kümesi tek elemanlıdır. Her elemanı kendisine götüren fonksiyona birim fonksiyon denir ve \(I(x) = x\) ile gösterilir. \(a\) ve \(b\) gerçek sayılar olmak üzere \(f(x) = ax + b\) biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir; grafikleri bir doğrudur. \(x\) bir birim arttığında \(f(x)\) her zaman \(a\) kadar değişir. Doğrusal fonksiyonun iki bilinmeyeni olduğundan iki değeri verildiğinde kuralı bulunur: \(f(1) = 5\) ve \(f(4) = 14\) ise \(x\) üç birim artarken değer 9 artmıştır, yani \(a = 3\)'tür; \(3 + b = 5\) için \(b = 2\) ve \(f(x) = 3x + 2\) olur. \(a = 0\) ise doğrusal fonksiyon sabittir; \(a = 1\) ve \(b = 0\) ise birim fonksiyondur.

Günlük hayatta doğrusal modeller her yerdedir. Bir taksimetre, yolculuğun başında bir açılış ücreti yazar ve her kilometre için aynı tutarı ekler. Açılış 40 TL ve kilometre başı 12 TL ise \(x\) km'lik yolculuğun ücreti \(f(x) = 12x + 40\) olur. Burada \(b = 40\), yolculuk hiç yapılmasa da ödenen kısmı; \(a = 12\) ise her ek kilometrenin maliyetini gösterir.

Tek ve çift fonksiyonlar

Tanım kümesi sıfıra göre simetrik olan (her \(x\) ile birlikte \(-x\)'i de içeren) bir fonksiyonda her \(x\) için

Adlar polinomlardan gelir. \(x^2\), \(x^4\) gibi çift kuvvetler işaret değişikliğini "yutar": \((-x)^2 = x^2\). \(x\), \(x^3\) gibi tek kuvvetler ise işareti dışarı taşır: \((-x)^3 = -x^3\). Bu yüzden yalnızca çift kuvvetlerden (ve sabit terimden) oluşan bir polinom çifttir, yalnızca tek kuvvetlerden oluşan bir polinom tektir. \(x^2 + x\) gibi ikisini birden içeren polinom ise ne tek ne çifttir: \(x = 1\) için 2, \(x = -1\) için 0 verir.

Grafikte çift fonksiyon \(y\) eksenine göre simetriktir: \((a, b)\) noktası grafikteyse \((-a, b)\) de grafiktedir. Tek fonksiyon ise orijine göre simetriktir: \((a, b)\) ile birlikte \((-a, -b)\) de grafiktedir. Bu simetri, grafiğin yalnızca yarısı verildiğinde öteki yarısını tamamlamaya yarar.

Tek fonksiyonların önemli bir sonucu vardır: 0 tanım kümesindeyse \(f(0) = -f(0)\) olur, bu da \(f(0) = 0\) demektir. Tek fonksiyonun grafiği (0'da tanımlıysa) orijinden geçer. İşlemlerde de kurallar işaretlerin çarpımı gibi işler: iki tek fonksiyonun çarpımı çifttir, çünkü \((f \cdot g)(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x)\,g(x)\)'tir. İki çift fonksiyonun çarpımı çift, bir tek ile bir çiftin çarpımı tektir. İki tek fonksiyonun toplamı tek, iki çiftin toplamı çifttir.

Parçalı tanımlı fonksiyonlar

Bazı fonksiyonlar tanım kümesinin farklı bölgelerinde farklı kurallarla verilir. Bunlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Mutlak değer bunun en bilinen örneğidir: \(|x|\), \(x \ge 0\) için \(x\), \(x < 0\) için \(-x\)'tir. Parçalı bir fonksiyonun değeri hesaplanırken önce \(x\)'in hangi aralıkta olduğuna bakılır, sonra yalnızca o aralığın kuralı kullanılır. Aralıkların sınırları dikkatle okunmalıdır; sınır noktası hangi parçada eşitlik işareti taşıyorsa o parçaya aittir. Bir fonksiyon olabilmesi için her \(x\) tam olarak bir parçaya düşmelidir.

Parçalı fonksiyonda \(f(a) = k\) denklemi çözülürken her parça ayrı ayrı denenir ve bulunan çözümün o parçanın aralığında olup olmadığı denetlenir. Aralık dışında kalan çözüm atılır. Kademeli tarifeler (ilk 10 metreküp suyun bir fiyattan, fazlasının başka fiyattan hesaplanması gibi) gerçek hayattaki parçalı fonksiyonlardır.

Fonksiyonlarda dört işlem

\(f\) ve \(g\) iki fonksiyon olsun. Bu fonksiyonlar, ortak tanım kümelerindeki her \(x\) için değerleri üzerinden toplanır, çıkarılır, çarpılır ve bölünür:

Yeni fonksiyonun tanım kümesi, \(f\) ile \(g\)'nin tanım kümelerinin kesişimidir; bölmede ayrıca \(g(x) = 0\) yapan noktalar çıkarılır. Örneğin \(f(x) = x + 2\) ve \(g(x) = x^2 - 9\) ise \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 9}\) fonksiyonu \(x = 3\) ve \(x = -3\)'te tanımsızdır. Bir sayıyla çarpma da benzerdir: \((3f)(x) = 3f(x)\).

Bileşke fonksiyon

Bir fonksiyonun çıktısı başka bir fonksiyona girdi olarak verilebilir. Önce \(g\), sonra \(f\) uygulanarak elde edilen fonksiyona \(f\) ile \(g\)'nin bileşkesi denir:

Yazılışta \(f\) solda olduğu hâlde önce sağdaki \(g\) uygulanır; bu, konunun en çok karıştırılan noktasıdır. Bileşkenin tanımlı olması için \(g\)'nin görüntülerinin \(f\)'nin tanım kümesinde bulunması gerekir.

Bileşkede değişme özelliği yoktur. \(f(x) = x + 1\) ve \(g(x) = 2x\) için \((f \circ g)(x) = 2x + 1\) iken \((g \circ f)(x) = 2(x + 1) = 2x + 2\)'dir. Gündelik bir benzetme: önce çorabı sonra ayakkabıyı giymekle önce ayakkabıyı sonra çorabı giymek aynı sonucu vermez. Buna karşılık bileşkenin birleşme özelliği vardır: \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\), çünkü iki yazılışta da önce \(h\), sonra \(g\), en son \(f\) uygulanır. Birim fonksiyon bileşkenin etkisiz elemanıdır: \(f \circ I = I \circ f = f\).

Bileşkede bilinmeyen fonksiyonu bulmak için iki durum ayırt edilir. Dıştaki fonksiyon biliniyorsa (ör. \(f(x) = 3x - 2\) ve \((f \circ g)(x) = 6x + 7\)), \(f\)'nin kuralı \(g(x)\) üzerine uygulanır: \(3g(x) - 2 = 6x + 7\) ve \(g(x) = 2x + 3\) bulunur. İçteki fonksiyon biliniyorsa (ör. \(f(x) = 2x - 3\) ve \((g \circ f)(x) = 4x - 1\)), bu \(g(2x - 3) = 4x - 1\) demektir ve önceki bölümdeki \(f(ax + b)\) yöntemi kullanılır.

Ters fonksiyon

\(f: A \to B\) fonksiyonundaki bütün okların yönünü ters çevirdiğimizi düşünelim. Elde edilen bağıntının \(B\)'den \(A\)'ya bir fonksiyon olması için iki şey gerekir. \(f\) bire bir olmalıdır: aksi hâlde \(B\)'deki bir elemandan geriye doğru iki ok çıkar. \(f\) örten olmalıdır: aksi hâlde \(B\)'de ok çıkmayan, yani açıkta kalan eleman olur. Demek ki yalnızca bire bir ve örten fonksiyonların tersi vardır. Bu durumda ters fonksiyon \(f^{-1}: B \to A\) ile gösterilir ve

bağıntısı geçerlidir. Burada \(f^{-1}\), "\(f\)'nin tersi" diye okunur; \(\frac{1}{f}\) anlamına gelmez.

Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için \(y = f(x)\) yazılır, \(x\) yalnız bırakılır ve sonunda harflerin adları değiştirilir. \(f(x) = 2x - 4\) için \(y = 2x - 4\), \(x = \frac{y + 4}{2}\) ve \(f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{2}\) olur. Genel olarak \(f(x) = ax + b\) (\(a \neq 0\)) ise \(f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}\)'dır. Aynı yöntem \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) biçimindeki kesirli fonksiyona uygulanırsa \(y(cx + d) = ax + b\), yani \(x(cy - a) = b - dy\) bulunur ve

elde edilir: \(a\) ile \(d\) yer ve işaret değiştirir, \(b\) ile \(c\) yerinde kalır.

Ters fonksiyon, fonksiyonun yaptığını geri alır: \(f^{-1}(f(x)) = x\) ve \(f(f^{-1}(x)) = x\), yani \(f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = I\). Tersin tersi fonksiyonun kendisidir: \((f^{-1})^{-1} = f\). Bileşkenin tersi için de çorap-ayakkabı benzetmesi işe yarar. Önce çorap (\(g\)), sonra ayakkabı (\(f\)) giyildiyse çıkarırken önce ayakkabı, sonra çorap çıkarılır:

Sıra ters döner; \(f^{-1} \circ g^{-1}\) yazmak yanlıştır. Kuralın doğruluğu doğrudan denetlenebilir: \((g^{-1} \circ f^{-1}) \circ (f \circ g) = g^{-1} \circ (f^{-1} \circ f) \circ g = g^{-1} \circ g = I\).

Grafikte \((a, b)\) noktası \(f\)'nin grafiğindeyse \((b, a)\) noktası \(f^{-1}\)'in grafiğindedir. Koordinatların yer değiştirmesi, \(y = x\) doğrusuna göre yansıma demektir. Bu yüzden bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği \(y = x\) doğrusuna göre simetriktir.

Grafikten bilgi okumak

Grafik okuma soruları TYT'nin vazgeçilmezidir ve hepsi birkaç temel okumaya dayanır:

• \(f(a)\) değeri: \(x = a\)'dan çıkılan düşey doğrunun grafiği kestiği noktanın yüksekliğidir.
• \(f(x) = 0\) denkleminin kökleri: grafiğin \(x\) eksenini kestiği (ya da ona değdiği) noktaların apsisleridir.
• \(f(x) > 0\) olan aralıklar: grafiğin \(x\) ekseninin üstünde kaldığı yerler; \(f(x) < 0\) ise altında kaldığı yerlerdir.
• Görüntü kümesi: grafiğin \(y\) eksenine izdüşümüdür; en alçak ve en yüksek noktaların ordinatları sınırları verir.
• \(f(x) = k\) denkleminin çözüm sayısı: \(y = k\) yatay doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısıdır.

\(f(f(a))\) gibi iç içe sorularda okuma iki kez yapılır: önce \(f(a)\) bulunur, bulunan değer yeniden \(x\) ekseninde aranır. \(x \cdot f(x) < 0\) gibi çarpımlı eşitsizliklerde ise \(x\) ile \(f(x)\)'in işaretleri ayrı ayrı belirlenir: \(x < 0\) iken grafik eksenin üstünde, \(x > 0\) iken eksenin altında olan noktalar aranır. Grafik doğru parçalarından oluşuyorsa grafikte okunan iki noktadan parçanın kuralı yazılabilir; böylece grafikte tam okunamayan değerler de hesaplanır.

Grafikte basit kaydırmalar

Bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa onunla ilişkili bazı fonksiyonların grafikleri kolayca çizilebilir. \(y = f(x) + k\) fonksiyonunda her çıktıya \(k\) eklendiğinden grafik \(k\) birim yukarı kayar (\(k < 0\) ise aşağı). \(g(x) = f(x - a)\) fonksiyonunda ise \(g(x_0 + a) = f(x_0)\) olur: \(f\)'nin \(x_0\)'da aldığı değeri \(g\), \(a\) birim sağda alır. Bu yüzden \(a > 0\) için grafik \(a\) birim sağa kayar; \(f(x + a)\) ise sola kaydırır. İçerideki eksi işaretinin sağa kaydırması ilk bakışta ters gelir, ama yukarıdaki eşitlik nedenini açıklar. Örneğin \(f(3) = 5\) ise \(y = f(x - 2) + 1\) grafiği \((5, 6)\) noktasından geçer. Simetriler ve diğer dönüşümler AYT'deki "Fonksiyonlarda Uygulamalar" konusunda ayrıntılı işlenir.