Polinomlar

Polinom nedir?

\(3x^2 - 5x + 2\), \(x^4 + 1\), \(7x\) ya da yalnızca \(-4\) gibi ifadeler sana tanıdık gelir. Bunların ortak yanı, değişkenin yalnızca doğal sayı kuvvetleriyle ve sabit sayılarla çarpılıp toplanarak oluşturulmuş olmasıdır. Bu tür ifadelere polinom denir. Genel biçim şöyledir:

Burada \(n\) bir doğal sayıdır ve \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) gerçek sayılardır. Bu sayılara polinomun katsayıları, \(a_k x^k\) biçimindeki her parçaya da bir terim denir. \(P(x) = 2x^3 - x^2 + 5\) polinomunda terimler \(2x^3\), \(-x^2\) ve \(5\)'tir; \(x\)'li terim yazılmamıştır, yani katsayısı 0'dır. Katsayıların tam sayı olması gerekmez: \(\sqrt{2}\,x^2 + \frac{1}{3}x - \pi\) de bir polinomdur, çünkü koşul katsayılara değil üslere konmuştur.

Polinom, aslında içine sayı koyup sonuç aldığımız bir kuraldır. \(P(x) = 2x^3 - x^2 + 5\) için \(P(2) = 16 - 4 + 5 = 17\) olur. Bu değere "\(P\)'nin 2'deki değeri" denir. Konunun neredeyse bütün kısa yolları, polinoma uygun bir sayı koyup bu değeri yorumlamaktan çıkar; bu yüzden \(P(a)\) yazımına baştan alışmak gerekir.

Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak

Bir ifadenin polinom olması için değişkenin bütün üsleri doğal sayı (0, 1, 2, 3, …) olmalıdır. Şu ifadeler polinom değildir:

• \(x^2 + \frac{3}{x}\): \(\frac{3}{x} = 3x^{-1}\) olduğu için üs negatiftir.
• \(\sqrt{x} + 1\): \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) olduğu için üs kesirlidir.
• \(\frac{x^2 + 1}{x - 1}\): paydada değişken vardır; bölme bir polinom vermez.

Buna karşılık \(\frac{x^2 + 1}{4}\) bir polinomdur, çünkü sabit bir sayıya bölmek, katsayıları \(\frac{1}{4}\) ile çarpmaktır. \(\sqrt{5}\,x^3\) de polinomdur; kök değişkenin üzerinde değil katsayının üzerindedir.

Sınavda bu kural çoğu zaman bir parametreyle sorulur. \(P(x) = x^{\frac{6}{n}} + 2x^{n-1}\) ifadesinin polinom olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır: \(n - 1\) bir doğal sayı olmalı, yani \(n \geq 1\) tam sayı; \(\frac{6}{n}\) de bir doğal sayı olmalı, yani \(n\) 6'nın pozitif bir böleni. İki koşulu sağlayan değerler 1, 2, 3 ve 6'dır. Üslerden birini unutup yalnız bölen koşuluna bakan, ya da \(n - 1 \geq 0\) koşulunda sınırı kaçıran öğrenci yanlış sonuca gider.

Derece, baş katsayı ve sabit terim

Bir polinomun derecesi, katsayısı sıfırdan farklı olan terimler arasındaki en büyük üstür ve \(\operatorname{der}[P(x)]\) ile gösterilir. Derecesi \(n\) olan terimin katsayısına baş katsayı, değişken içermeyen terime sabit terim denir. \(P(x) = 4 - 3x^5 + x^2\) polinomunda derece 5, baş katsayı \(-3\), sabit terim 4'tür. Polinom karışık sırayla yazılmış olabilir; baş katsayı ilk yazılan terimin değil, en büyük üslü terimin katsayısıdır.

Sabit terimi bulmanın kısa bir yolu vardır: \(x = 0\) koyunca bütün \(x\)'li terimler sıfırlanır ve geriye sabit terim kalır. Yani sabit terim \(P(0)\)'dır. Polinom çarpım biçiminde verilmişse çarpımı açmaya gerek yoktur: \(P(x) = (2x - 3)^4 (x + 5)\) için sabit terim \(P(0) = 81 \cdot 5 = 405\) olur. Baş katsayı da çarpımı açmadan bulunur: her çarpanın baş terimleri çarpılır ve \((2x)^4 \cdot x = 16x^5\) elde edilir. Derece 5, baş katsayı 16'dır.

Sıfır polinomu, sabit polinom ve eşit polinomlar

Bütün katsayıları sıfır olan polinoma sıfır polinomu denir: \(P(x) = 0\). Sıfır polinomunun sıfırdan farklı katsayılı hiç terimi olmadığı için derecesi tanımsızdır. \(P(x) = c\) biçimindeki ve \(c \neq 0\) olan polinomlara sabit polinom denir; derecesi 0'dır, çünkü \(c = c \cdot x^0\) yazılabilir. "\(P(x) = (a - 2)x^2 + (b + 1)x + 7\) sabit polinomdur" bilgisi, \(x\)'li terimlerin katsayılarının sıfır olduğunu söyler: \(a = 2\) ve \(b = -1\). O zaman \(P(x) = 7\) olur ve hangi sayıyı koyarsan koy sonuç 7'dir.

Aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir. Eşit polinomlar her \(x\) için aynı değeri verir; tersine, iki polinom her \(x\) için aynı değeri veriyorsa katsayıları da eşittir. Bu yüzden

eşitliği her \(x\) için doğruysa katsayılar tek tek karşılaştırılır: \(x^2\)'nin katsayısından \(a - 1 = 4\), \(x\)'in katsayısından \(b + 3 = 0\), sabit terimlerden \(c = -2\) bulunur. Sağ yanda \(x\)'li terim görünmemesi, katsayısının 0 olduğu anlamına gelir; bu satırı atlamak en sık yapılan hatadır.

Eşitliğin her \(x\) için doğru olmasının bir yararı daha vardır: istediğimiz sayıyı koyabiliriz. Katsayılar uzun bir çarpımın içinde saklıysa, uygun \(x\) değerleri koymak çarpımı açmaktan çok daha hızlıdır. Bu düşünce, aşağıdaki katsayılar toplamı kuralının da kaynağıdır.

Katsayılar toplamı: P(1) ve P(−1)

\(x = 1\) koyunca her \(x^k\) terimi 1 olur ve geriye yalnızca katsayılar kalır:

Yani katsayılar toplamı \(P(1)\)'dir. \(P(x) = (x^2 - 3x + 1)^{10}\) polinomunu açmak saatler sürer, ama katsayılar toplamı \(P(1) = (-1)^{10} = 1\) olarak bir satırda bulunur.

\(x = -1\) koyunca çift kuvvetler \(+1\), tek kuvvetler \(-1\) olur. Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamına \(\text{Ç}\), tek dereceli terimlerinkine \(\text{T}\) dersek \(P(1) = \text{Ç} + \text{T}\) ve \(P(-1) = \text{Ç} - \text{T}\) olur. Bu iki eşitlik toplanıp çıkarılınca

bulunur. Sabit terim \(a_0 = a_0 x^0\) olarak düşünülür ve 0 çift sayı olduğundan çift dereceli terimlerin arasında sayılır. Örneğin \(P(x) = (x + 2)^3\) için \(P(1) = 27\), \(P(-1) = 1\) olur; çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı 14, tek dereceli terimlerinki 13'tür. Açınca \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8\) elde edilir ve gerçekten \(6 + 8 = 14\), \(1 + 12 = 13\) olur.

Değişken değiştirme: P(x + a) türündeki sorular

Sorular polinomu çoğu zaman doğrudan değil, \(P(x + 2) = x^3 - 4x + 5\) gibi dolaylı verir. Burada iki yol vardır.

Birinci yol, istenen değeri doğrudan bulmaktır. \(P(1)\) isteniyorsa parantezin içini 1 yapan \(x\) aranır: \(x + 2 = 1\) için \(x = -1\) ve \(P(1) = -1 + 4 + 5 = 8\) olur. Çoğu soruda yalnızca bir iki değer gerektiği için bu yol en hızlısıdır.

İkinci yol, polinomun kendisini bulmaktır. \(x + 2 = t\) dersek \(x = t - 2\) olur ve

yazılır. Harfin adı önemli olmadığı için bu, \(P(x) = (x - 2)^3 - 4(x - 2) + 5 = x^3 - 6x^2 + 8x + 5\) demektir. Ters yön de aynı mantıkla çalışır: \(P(x) = x^2 + x\) verilmişse \(P(x - 1)\) için her \(x\) yerine \(x - 1\) yazılır ve \((x - 1)^2 + (x - 1) = x^2 - x\) bulunur.

Derece bu dönüşümlerde değişmez: \(P(x + a)\) ile \(P(x)\) aynı derecededir ve baş katsayıları aynıdır. Katsayılar toplamı ve sabit terim ise değişir, çünkü \(P(x + 2)\)'nin katsayılar toplamı \(P(3)\), sabit terimi \(P(2)\)'dir.

Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma

Polinomlar toplanırken ve çıkarılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. \(P(x) = 2x^3 - x + 4\) ve \(Q(x) = -2x^3 + 3x^2 + x\) için \(P(x) + Q(x) = 3x^2 + 4\) olur. İki üçüncü dereceden polinomun toplamı ikinci dereceden çıktı, çünkü baş terimler birbirini götürdü. Çıkarmada parantezin önündeki eksi her terime dağıtılır: \(P(x) - Q(x) = 4x^3 - 3x^2 - 2x + 4\).

Çarpmada her terim öteki polinomun her terimiyle çarpılır ve benzer terimler toplanır. Çarpımın baş terimi, baş terimlerin çarpımıdır; bu yüzden çarpımda derece hiçbir zaman düşmez. Bir polinomun sabit bir \(k \neq 0\) sayısıyla çarpılması da dereceyi değiştirmez, yalnızca bütün katsayıları \(k\) katına çıkarır.

Derece kuralları

\(P(x)\) ve \(Q(x)\) sıfırdan farklı polinomlar, \(\operatorname{der}[P(x)] = m\) ve \(\operatorname{der}[Q(x)] = n\) olsun. Aşağıdaki kuralların her biri baş terimlere bakılarak görülür:

Toplama kuralı en çok dikkat isteyenidir. \(m \neq n\) ise toplamın derecesi büyük olanınkidir, çünkü büyük dereceli baş terim karşısında onu götürecek bir terim yoktur. \(m = n\) ise toplamın derecesi \(m\) olabilir, daha küçük olabilir, toplam sıfır polinomu bile olabilir. Bu yüzden "\(\operatorname{der}[P(x) + Q(x)]\) her zaman \(m\)'dir" gibi bir yargıyı kabul etmeden önce baş katsayıların toplanıp sıfırlanıp sıfırlanmadığını sorgula. Bileşkeyle çarpımı karıştırmak da sık rastlanan bir hatadır: \(P(Q(x))\)'in derecesi \(m + n\) değil \(m \cdot n\)'dir. Örneğin \(P(x) = x^2\), \(Q(x) = x^3\) için \(P(Q(x)) = x^6\) olur.

Polinom bölmesi

Polinomlar da tam sayılar gibi bölünür ve yöntem ilkokulda öğrendiğin uzun bölmenin aynısıdır. Bölünen ve bölen, terimleri azalan üslere göre sıralanarak yazılır; eksik dereceler için boşluk bırakılır ya da \(0x^k\) yazılır. Sonra şu üç adım tekrarlanır:

1. Bölünenin (ya da o anda kalan ifadenin) baş terimi, bölenin baş terimine bölünür; çıkan terim bölüme yazılır.
2. Bu terim bölenin bütün terimleriyle çarpılır ve sonuç, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde yazılır.
3. Çıkarma yapılır, bir sonraki terim aşağı indirilir.

Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olunca bölme biter. Aşağıda \(x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) polinomunun \(x - 2\) ile bölümü görülüyor.

İlk adımda \(x^3 \div x = x^2\) bulunur; \(x^2 (x - 2) = x^3 - 2x^2\) çıkarılınca \(4x^2\) kalır ve \(-5x\) indirilir. İkinci adımda \(4x^2 \div x = 4x\); \(4x(x - 2) = 4x^2 - 8x\) çıkarılınca \(3x\) kalır ve \(+7\) indirilir. Son adımda \(3x \div x = 3\); \(3(x - 2) = 3x - 6\) çıkarılınca 13 kalır. Bölüm \(x^2 + 4x + 3\), kalan 13'tür. Çıkarma sırasında işaretlere özellikle dikkat et: \(-5x - (-8x) = 3x\) olur.

Bölme özdeşliği

Tam sayılarda \(23 = 5 \cdot 4 + 3\) yazdığımız gibi polinomlarda da bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasında şu eşitlik vardır:

Burada \(P\) bölünen, \(Q\) bölen, \(B\) bölüm, \(K\) kalandır. Kalan sıfır polinomuysa \(P(x)\), \(Q(x)\)'e tam bölünür. Bu eşitlik her \(x\) için doğru olduğu için bir özdeşliktir ve konunun en güçlü aracıdır: bölme yapmadan bilgi almak için içine uygun sayılar konur. Derecelere bakarak bölümün derecesi de hemen bulunur: \(\operatorname{der}[B(x)] = \operatorname{der}[P(x)] - \operatorname{der}[Q(x)]\).

Kalanın derecesi üzerindeki koşul, kalanın biçimini önceden söyler. Bölen birinci dereceden ise kalan sabit bir sayıdır. Bölen ikinci dereceden ise kalanın derecesi en çok 1'dir, yani kalan \(ax + b\) biçimindedir (\(a\) ya da \(b\) sıfır olabilir). Bölen üçüncü dereceden ise kalan en çok ikinci derecedendir.

Kalan teoremi

Bölme özdeşliğini \(Q(x) = x - a\) için yazalım. Bölen birinci dereceden olduğu için kalan bir sabittir, ona \(k\) diyelim:

Bu özdeşlikte \(x = a\) koyarsak \(x - a\) çarpanı sıfır olur ve \(P(a) = k\) kalır. İşte kalan teoremi budur: \(P(x)\) polinomunun \(x - a\) ile bölümünden kalan \(P(a)\)'dır. Yukarıdaki bölmede kalan 13 bulunmuştu; gerçekten \(P(2) = 8 + 8 - 10 + 7 = 13\) olur. Uzun bölme yapmadan kalanı bulmanın yolu, bölenin kökünü polinoma koymaktır.

Bölen \(ax + b\) ise aynı düşünceyle bölenin kökü \(x = -\frac{b}{a}\) konur ve kalan \(P\left(-\frac{b}{a}\right)\) olur. Örneğin \(2x - 1\) ile bölümde kalan \(P\left(\frac{1}{2}\right)\), \(x + 3\) ile bölümde kalan \(P(-3)\)'tür. İşareti doğru almak için her seferinde "böleni sıfır yapan sayı hangisi?" diye sormak yeterlidir.

Bu fikir ikinci dereceden bölenlere de genişler. \(x^2 - 2\) ile bölümde \(x^2 - 2 = 0\), yani \(x^2 = 2\) yazılabilir. Polinomdaki her \(x^2\) yerine 2 koyup derecesi 2'den küçük bir ifade elde edince kalan bulunmuş olur: \(x^3 + x^2 + 1\) için \(x^3 = x \cdot x^2 = 2x\) olduğundan kalan \(2x + 3\)'tür. Aynı yol \(x^5 + 1\) ile bölümde \(x^5\) yerine \(-1\) koymak gibi daha yüksek kuvvetlere de uygulanır.

İkinci dereceden bir polinomla bölümde kalan

Kalanı bulmak için bölmenin kendisi değil, birkaç değeri bilinen bir polinom verilebilir. "\(P(x)\) polinomunun \(x - 1\) ile bölümünden kalan 4, \(x + 2\) ile bölümünden kalan \(-5\)'tir. \(P(x)\)'in \(x^2 + x - 2\) ile bölümünden kalan nedir?" sorusunda bölen ikinci dereceden olduğu için kalan \(K(x) = ax + b\) biçiminde aranır:

Bölen \((x - 1)(x + 2)\) diye çarpanlarına ayrılır. \(x = 1\) ve \(x = -2\) için bölen sıfır olduğundan \(P(1) = a + b\) ve \(P(-2) = -2a + b\) olur. Kalan teoreminden \(P(1) = 4\) ve \(P(-2) = -5\) bilindiği için \(a + b = 4\), \(-2a + b = -5\) çıkar; buradan \(a = 3\), \(b = 1\) ve kalan \(3x + 1\) bulunur. Bu yöntemin işlemesi için bölenin köklerini bilmek gerekir; bu yüzden ilk iş böleni çarpanlarına ayırmaktır.

Çarpan ve kök ilişkisi

\(P(a) = 0\) ise \(a\) sayısına \(P(x)\)'in bir kökü (sıfırı) denir. Kalan teoremine göre \(P(a) = 0\) demek, \(x - a\) ile bölümden kalanın 0 olması, yani \(P(x)\)'in \(x - a\) ile tam bölünmesi demektir:

Bu yüzden "\(P(x)\), \(x - 3\) ile tam bölünüyor" bilgisi doğrudan \(P(3) = 0\) diye kullanılır. "\(P(x)\), \((x - 1)(x + 2)\) ile tam bölünüyor" bilgisi de iki ayrı denklem verir: \(P(1) = 0\) ve \(P(-2) = 0\). Katsayılarda iki bilinmeyen varsa bu iki denklem onları bulmaya yeter.

Bir polinomun kökleri ve baş katsayısı biliniyorsa polinom yazılabilir. Üçüncü dereceden, baş katsayısı 2 olan ve kökleri 1, 2, 3 olan polinom \(2(x - 1)(x - 2)(x - 3)\)'tür. Aynı düşünce kökü olmayan durumlara da taşınır: \(P(1) = P(2) = P(3) = 5\) ise \(P(x) - 5\) polinomunun kökleri 1, 2 ve 3'tür. \(P(x)\) üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 ise \(P(x) - 5 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\) yazılır ve her değer bu eşitlikten hesaplanır.

P(x) − P(x − 1) türü sorular

\(P(x) - P(x - 1) = 6x - 2\) gibi bir bilgi, ardışık değerler arasındaki farkı verir. Bu eşitlikte \(x = 1, 2, 3, 4\) yazıp alt alta toplarsak aradaki terimler birbirini götürür:

Toplam \(P(4) - P(0) = 52\) olur. \(P(0)\) biliniyorsa \(P(4)\) bulunur. Bu toplamaya "teleskop toplam" denir: her satırda eklenen değer bir sonraki satırda çıkarılır ve yalnızca ilk ve son değerler kalır.

İkinci bir yol, derece düşüncesidir. \(P(x)\) ikinci dereceden ise \(P(x) - P(x - 1)\) birinci derecedendir, çünkü \(x^2 - (x - 1)^2 = 2x - 1\) ifadesinde \(x^2\)'ler sadeleşir. Tersine, fark birinci dereceden verilmişse \(P(x) = ax^2 + bx + c\) aranır. \(a x^2 + bx - a(x - 1)^2 - b(x - 1) = 2ax - a + b\) olduğu için \(2a = 6\) ve \(b - a = -2\) yazılır; \(a = 3\), \(b = 1\) bulunur. Sabit terim \(c\) farkta görünmez, onu belirlemek için ayrıca bir değer (örneğin \(P(0)\)) gerekir.