İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklem nedir?

\(a\), \(b\) ve \(c\) gerçek sayılar ve \(a \neq 0\) olmak üzere

biçimine getirilebilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. \(a\)'ya baş katsayı, \(b\)'ye \(x\)'in katsayısı, \(c\)'ye sabit terim denir. \(a \neq 0\) koşulu tanımın kalbidir: \(a = 0\) olursa geriye \(bx + c = 0\) kalır ve denklem birinci dereceye düşer. Bu yüzden "\((m - 2)x^2 + 5x + 1 = 0\) ikinci dereceden bir denklemdir" cümlesi, sessizce \(m \neq 2\) bilgisini de verir.

Denklemi sağlayan sayılara denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Bir sayının kök olup olmadığını anlamak için onu denklemde yerine koymak yeter. Örneğin \(x = 3\) için \(x^2 - 5x + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) olduğundan 3, bu denklemin bir köküdür. Bu basit gözlem, ilerideki birçok sorunun anahtarıdır: "bir kökü 2 olan denklem" ifadesi, 2'nin denklemde yerine yazılabileceğini söyler.

Bazı denklemlerde \(b\) ya da \(c\) sıfırdır ve çözüm çok kısalır. \(3x^2 - 12 = 0\) denkleminde \(x^2 = 4\), yani \(x = -2\) ya da \(x = 2\) bulunur. \(x^2 = 5x\) denkleminde ise iki tarafı \(x\)'e bölmek büyük bir hatadır: \(x = 0\) kökü kaybolur. Doğrusu her şeyi bir tarafa toplayıp ortak çarpan parantezine almaktır: \(x^2 - 5x = x(x - 5) = 0\), yani çözüm kümesi \(\{0, 5\}\) olur. Bilinmeyen içeren bir ifadeye bölmeden önce o ifadenin sıfır olup olamayacağını mutlaka düşün.

Çarpanlara ayırarak çözüm

Çarpanlara ayırma yönteminin dayandığı kural sıfır çarpım özelliğidir: iki gerçek sayının çarpımı sıfırsa bu sayılardan en az biri sıfırdır.

Neden doğru olduğunu görmek kolaydır: \(p \neq 0\) ise iki tarafı \(p\)'ye bölebiliriz ve \(q = 0\) bulunur. Bu özellik yalnızca sağ taraf sıfırken işe yarar. \((x - 1)(x - 2) = 6\) denkleminden "\(x - 1 = 6\) ya da \(x - 2 = 6\)" sonucu çıkmaz; önce parantezler açılır, her şey bir tarafa toplanır: \(x^2 - 3x - 4 = 0\), \((x - 4)(x + 1) = 0\), kökler 4 ve −1 olur.

Baş katsayısı 1 olan \(x^2 + bx + c\) üç terimlisinde çarpımı \(c\), toplamı \(b\) olan iki sayı aranır. \(x^2 - 5x + 6\) için çarpımı 6, toplamı −5 olan sayılar −2 ve −3'tür; \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) ve kökler 2 ile 3'tür. Baş katsayı 1 değilse çarpanlar \((px + q)(rx + s)\) biçiminde aranır. \(2x^2 - 7x + 3\) ifadesi \((2x - 1)(x - 3)\) olarak ayrılır ve kökler \(\frac{1}{2}\) ile 3'tür. Çarpanlara ayırma, kökler rasyonel sayıysa en hızlı yoldur; kökler \(\sqrt{5}\) gibi irrasyonel sayılar içeriyorsa tam sayılarla ayrılamaz ve başka bir yönteme geçilir.

Tam kareye tamamlama

Her üç terimli kolayca çarpanlarına ayrılmaz. \(x^2 + 6x - 2 = 0\) gibi bir denklemde çarpımı −2, toplamı 6 olan tam sayılar yoktur. Bu durumda ifadeyi bir tam karenin içine yerleştiririz. \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\) olduğunu biliyoruz; yani \(x^2 + 6x\) ifadesine 9 eklersek tam kare elde ederiz. Eklenen sayı, \(x\)'in katsayısının yarısının karesidir: \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\).

Bu adım geometrik olarak da görülebilir. Kenarı \(x\) olan bir karenin yanına \(x\) ile 3 boyutlarında iki dikdörtgen koyarsak toplam alan \(x^2 + 6x\) olur. Şekli büyük bir kareye tamamlamak için köşede eksik kalan \(3 \times 3\) karesini, yani 9'u eklemek gerekir.

Denkleme dönersek:

Bir sayının karesi 11 ise o sayı \(\sqrt{11}\) ya da \(-\sqrt{11}\)'dir. Böylece \(x = -3 + \sqrt{11}\) ya da \(x = -3 - \sqrt{11}\) bulunur. Burada eksi işaretli kökü unutmamak gerekir; \((x + 3)^2 = 11\) eşitliğinden yalnızca \(x + 3 = \sqrt{11}\) yazmak, köklerin yarısını kaybetmektir. Baş katsayı 1 değilse önce bütün denklem baş katsayıya bölünür, sonra aynı işlem yapılır.

Diskriminant ve kök formülü

Tam kareye tamamlamayı genel denkleme uygularsak her ikinci dereceden denklemi çözen bir formül elde ederiz. \(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminin iki tarafını \(a\)'ya bölelim ve sabit terimi sağa geçirelim:

Sol tarafı tam kare yapmak için \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) eklenir:

Pay kısmındaki \(b^2 - 4ac\) sayısı köklerin bütün kaderini belirler. Bu sayıya diskriminant denir ve \(\Delta\) (delta) ile gösterilir: \(\Delta = b^2 - 4ac\). Sağ taraftaki payda \(4a^2\) her zaman pozitif olduğundan sağ tarafın işareti \(\Delta\)'nın işaretiyle aynıdır. \(\Delta \ge 0\) ise iki tarafın karekökü alınır ve kök formülü çıkar:

Örneğin \(2x^2 - 3x - 4 = 0\) için \(\Delta = 9 + 32 = 41\) olur ve kökler \(\frac{3 - \sqrt{41}}{4}\) ile \(\frac{3 + \sqrt{41}}{4}\) bulunur. Kök formülü her zaman çalışır, ama çarpanlara ayırma mümkünse genellikle daha kısadır. Hesaplarda sık yapılan iki hata vardır: \(b\) negatifken \(b^2\)'yi negatif almak ve \(-4ac\) teriminde \(c\)'nin işaretini kaybetmek. \(c\) negatifse \(-4ac\) pozitif olur ve \(\Delta\) büyür.

Diskriminanta göre köklerin durumu

Kök formülündeki karekök, köklerin sayısını belirler. Üç durum vardır:

\(\Delta = 0\) olduğunda \(\sqrt{\Delta} = 0\) olur ve iki kök de \(-\frac{b}{2a}\)'ya eşittir; bu yüzden ifade bir tam karedir: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Bu kökler için "çakışık", "eşit" ya da "çift katlı" denir; çözüm kümesi tek elemanlıdır. \(\Delta < 0\) olduğunda negatif bir sayının gerçek karekökü olmadığından denklemin gerçek kökü yoktur ve çözüm kümesi gerçek sayılarda boş kümedir. Bu denklemlerin de kökleri vardır ama onlar gerçek sayı değildir; bu sayılar AYT'de karmaşık sayılar konusunda ele alınır.

Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler

Kök formülündeki iki kökü toplarsak karekökler birbirini götürür:

Çarparsak iki kare farkı oluşur:

Bu iki eşitlik, kökleri hiç bulmadan onlarla ilgili birçok soruyu yanıtlamayı sağlar. Kökler toplamı ve çarpımı bilindiğinde köklerin "simetrik" ifadeleri, yani kökler yer değiştirince değişmeyen ifadeler hesaplanabilir:

• Kareler toplamı: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\)
• Terslerin toplamı: \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -\frac{b}{c}\)
• Küpler toplamı: \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)\)
• Köklerin farkı: \((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \frac{\Delta}{a^2}\), yani \(|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)

Son eşitlik kök formülünden de görülür: iki kök arasındaki fark \(\frac{2\sqrt{\Delta}}{2|a|}\) kadardır. \(x^2 - 2x - 5 = 0\) için \(\Delta = 4 + 20 = 24\) olduğundan kökler arasındaki uzaklık \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)'dır.

Köklerin işaretleri de katsayılardan okunur. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} < 0\) ise kökler ters işaretlidir. Bu durumda yukarıda gördüğümüz gibi \(\Delta\) zaten pozitiftir. Kökler ters işaretli ve toplamları sıfırsa, yani \(b = 0\) ve \(\frac{c}{a} < 0\) ise kökler mutlak değerce eşittir: \(x^2 - 9 = 0\) denkleminin kökleri −3 ve 3'tür. Kökler aynı işaretliyse \(\frac{c}{a} > 0\) ve \(\Delta \ge 0\) olmalıdır; toplamın işareti köklerin ikisinin de pozitif mi, negatif mi olduğunu söyler.

Kökleri verilen denklemi kurmak

Kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) olan denklemlerden biri \((x - x_1)(x - x_2) = 0\) denklemidir. Parantezler açılırsa

bulunur. Yani baş katsayısı 1 olan denklemi kurmak için yalnızca kökler toplamını ve çarpımını bilmek yeter. Kökler toplamına \(T\), çarpımına \(P\) dersek denklem \(x^2 - Tx + P = 0\) olur. Kökleri −3 ve 5 olan denklem \(x^2 - 2x - 15 = 0\)'dır. Aynı kökleri olan başka denklemler de vardır; her katsayıyı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak kökleri değiştirmez. Bu yüzden sorularda "baş katsayısı 1 olan" gibi bir koşul verilir.

Bu fikrin en çok sorulan biçimi, kökleri başka bir denklemin köklerine bağlı olan denklemdir. \(x^2 - 4x + 1 = 0\) denkleminin kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) ise kökleri \(2x_1\) ve \(2x_2\) olan denklemi kurmak için yeni toplamı (\(2 \cdot 4 = 8\)) ve yeni çarpımı (\(4 \cdot 1 = 4\)) hesaplarız: \(x^2 - 8x + 4 = 0\). İkinci bir yol değişken değiştirmektir: yeni kök \(y = 2x\) ise \(x = \frac{y}{2}\) eski denklemde yerine yazılır ve \(\frac{y^2}{4} - 2y + 1 = 0\), yani \(y^2 - 8y + 4 = 0\) bulunur.

Parametreli denklemler

Katsayılarında \(m\), \(k\) gibi bir harf bulunan denklemlerde bir koşul verilir ve parametre istenir. En sık karşılaşılan koşullar ve kullanılacak araçlar şunlardır:

• Bir kökü verilmiş: Kök denklemde yerine yazılır. \(x^2 + (m - 1)x - 6 = 0\) denkleminin bir kökü 2 ise \(4 + 2(m - 1) - 6 = 0\) ve \(m = 2\) olur. Öteki kök çarpımdan bulunur: \(2 \cdot x_2 = -6\), \(x_2 = -3\).
• Kökler eşit (çakışık): \(\Delta = 0\) yazılır. Çoğunlukla parametre için yeni bir ikinci dereceden denklem çıkar ve iki değer bulunur.
• İki farklı gerçek kök ya da gerçek kök yok: \(\Delta > 0\) ya da \(\Delta < 0\) eşitsizliği kurulur.
• Kökler ters işaretli: \(\frac{c}{a} < 0\) yazılır; \(\Delta\) ayrıca denetlenmez.
• Kökler simetrik (toplamları sıfır): \(b = 0\) yazılır, sonra gerçek kök olup olmadığına bakılır.
• Köklerden biri diğerinin \(k\) katı: Kökler \(t\) ve \(kt\) diye adlandırılır; toplamdan ve çarpımdan iki denklem kurulur.

Son madde için bir örnek: \(x^2 - 12x + m = 0\) denkleminin köklerinden biri diğerinin 3 katıysa kökler \(t\) ve \(3t\)'dir. Toplam \(4t = 12\), buradan \(t = 3\) ve kökler 3 ile 9 olur. Çarpım \(m = 27\) bulunur. Kökler 2 katı ilişkisindeyse genel denklemden \(3t = -\frac{b}{a}\) ve \(2t^2 = \frac{c}{a}\) yazılır; \(t\) yok edilince \(2b^2 = 9ac\) ilişkisi çıkar. Bu ilişkiyi ezberlemek yerine her seferinde \(t\) ile kurmak daha güvenlidir.

İkinci dereceye dönüştürülebilen denklemler

Bazı denklemler ilk bakışta ikinci dereceden değildir ama içlerinde tekrar eden bir ifade vardır. O ifadeye yeni bir ad verince denklem ikinci dereceye iner. Buna değişken değiştirme denir.

\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) denkleminde \(x^2 = t\) dersek \(t^2 - 5t + 4 = 0\) olur ve \(t = 1\) ya da \(t = 4\) bulunur. Şimdi geri döneriz: \(x^2 = 1\) için \(x = \mp 1\), \(x^2 = 4\) için \(x = \mp 2\). Denklemin dört gerçek kökü vardır. Geri dönüşte koşulları gözetmek gerekir: \(x^2 = t\) dediğimizde \(t\) negatif olamaz. \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\) denkleminde \(t = 4\) ya da \(t = -1\) çıkar; \(x^2 = -1\) gerçek kök vermez ve denklemin yalnızca iki gerçek kökü (−2 ve 2) vardır.

Aynı fikir üslü ifadelerde de çalışır. \(4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0\) denkleminde \(4^x = (2^x)^2\) olduğundan \(2^x = t\) yazılır: \(t^2 - 6t + 8 = 0\), \(t = 2\) ya da \(t = 4\). Buradan \(2^x = 2\) için \(x = 1\), \(2^x = 4\) için \(x = 2\) bulunur. \(2^x\) her zaman pozitif olduğundan \(t\) için negatif bir değer çıksaydı onu atardık. Bazen tekrar eden ifade bir parantezdir: \((x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0\) denkleminde \(t = x^2 - x\) alınır. Bu tür sorularda kökleri sayarken çakışan kökleri iki kez yazmamaya dikkat et.

Paydalı ve köklü denklemlerde tanımsızlık kontrolü

Paydasında bilinmeyen olan bir denklem, paydalar eşitlenip sadeleştirilince çoğunlukla ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Ama bu dönüşüm sırasında payda sıfır yapan sayılar da kök gibi görünebilir. Örneğin

denkleminde iki taraf \(x - 3\) ile çarpılınca \(x^2 = 9\) ve \(x = \mp 3\) çıkar. Fakat \(x = 3\) için paydalar sıfır olur ve ifade tanımsızdır. Çözüm kümesi yalnızca \(\{-3\}\)'tür. Kural basittir: paydalı denklemde önce paydayı sıfır yapan değerleri yaz, sonunda bulunan kökleri bu listeyle karşılaştır.

Köklü denklemlerde tehlike başka yerden gelir. \(\sqrt{x + 6} = x\) denkleminde iki tarafın karesi alınınca \(x + 6 = x^2\), yani \(x^2 - x - 6 = 0\) bulunur ve \(x = 3\) ya da \(x = -2\) çıkar. \(x = 3\) için \(\sqrt{9} = 3\) doğrudur. \(x = -2\) için ise sol taraf \(\sqrt{4} = 2\), sağ taraf −2'dir; eşitlik sağlanmaz. Kare almak, \(\sqrt{x + 6} = -x\) denkleminin köklerini de içeri sokar, çünkü iki denklemin karesi aynıdır. Bu yüzden karekök \(\ge 0\) olduğundan diğer taraf da \(\ge 0\) olmalıdır ve bulunan her kök asıl denklemde denenmelidir.

Problemleri denkleme çevirmek

Alan, ardışık sayılar ya da fiyat ile adet arasındaki ilişkiler çoğunlukla bir çarpım içerir; bu çarpım da bilinmeyenin karesini doğurur. Çözüm planı her zaman aynıdır: bilinmeyeni seç, verilen ilişkiyi denklem olarak yaz, denklemi çöz ve bulduğun kökü problemin anlamına göre değerlendir. Son adım ihmal edilmemelidir. Bir uzunluk, bir kişi sayısı ya da bir fiyat negatif olamaz; bir yolun genişliği bahçenin kenarından büyük olamaz.

Ardışık sayı problemlerinde sayılar \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\) ya da ortadaki sayı \(n\) seçilerek \(n - 1\), \(n\), \(n + 1\) diye yazılır; ikinci seçim çoğunlukla hesabı kısaltır. Fiyat-adet problemlerinde temel ilişki "toplam tutar = birim fiyat · adet" eşitliğidir. Tutar sabitken fiyat düşerse adet artar; iki durum için iki çarpım yazılıp karşılaştırılır.

Alan problemlerinin klasik örneği, dikdörtgen bir bahçenin çevresine yapılan eşit genişlikte yoldur. Bahçenin boyutları \(a\) ve \(b\), yolun genişliği \(x\) ise yol dahil bütün alanın boyutları \(a + 2x\) ve \(b + 2x\) olur. Yolun alanı, büyük dikdörtgenin alanından bahçenin alanı çıkarılarak bulunur:

Yol bahçenin içine, kenarlar boyunca yapılırsa boyutlar \(a - 2x\) ve \(b - 2x\) olur. Bu durumda denklemin iki kökü de pozitif çıkabilir; büyük kök bahçenin kısa kenarının yarısından büyükse anlamsızdır ve atılır.