TYT 10. ve 11. sınıf · 32. konu

Katı Cisimler

Prizma, silindir, piramit, koni ve kürede alan ve hacim; açınımlar, birim küp yapıları, su seviyesi problemleri ve benzer cisimlerde hacim oranı.

Bu konuda öğreneceklerin

Küp ve dikdörtgenler prizmasında yüzey alanını, hacmi ve cisim köşegenini $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ bağıntısıyla bulmayı
Üçgen ve altıgen tabanlı dik prizmalarda ve dik dairesel silindirde yanal alan, tüm alan ve hacmi taban ile yükseklikten kurmayı
Dik piramitte ve dik dairesel konide yükseklik, yanal yüz yüksekliği ve ana doğru arasındaki Pisagor bağıntısını; hacimdeki $\frac{1}{3}$ çarpanını
Koninin açınımında daire diliminin merkez açısını, kürenin alanını ve hacmini
Küp açınımlarında karşılıklı yüzleri bulmayı; birim küplerden yapılmış cisimlerde görünüm, yüzey alanı ve boyanan yüz saymayı
Su doldurma ve taşırma problemlerini hacim korunumuyla, benzer cisimleri $k^2$ ve $k^3$ oranlarıyla çözmeyi

Katı cisim, yüzey alanı ve hacim

Uzayda bir bölgeyi kaplayan cisimlere katı cisim denir. Düzlemsel yüzlerle sınırlanan cisimlerde her düz parçaya yüz, iki yüzün kesiştiği doğru parçasına ayrıt, ayrıtların buluştuğu noktaya köşe adı verilir. Bir küpün 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır.

Bir cisimle ilgili iki temel ölçü sorulur. Yüzey alanı (tüm alan), cismi dışarıdan saran bütün yüzlerin alanlarının toplamıdır; bir kutuyu kaplamak için gereken kâğıt miktarı gibi düşünebilirsin. Hacim ise cismin kapladığı yer miktarıdır ve kenarı 1 birim olan birim küp ile ölçülür. Kenarları 2, 3 ve 4 birim olan bir kutunun tabanına bir sırada $2 \cdot 3 = 6$ birim küp dizilir, bu sıralardan 4 kat üst üste konur; hacim $6 \cdot 4 = 24$ birimküptür.

Bu sayma bize bütün prizmalar ve silindirler için geçerli olan genel kuralı verir: tabanı aynı kalarak yukarı doğru uzayan bir cismin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Taban alanı kadar birim kare bir katı oluşturur; yükseklik kadar kat üst üste konur. Taban üçgen, altıgen ya da daire olsa da düşünce aynıdır.

Birimlere de dikkat et: uzunluk cm ise alan $\text{cm}^2$, hacim $\text{cm}^3$ olur. Sıvılar için kullanılan litre, kenarı 1 dm olan küpün hacmidir: $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ ve $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$.

Küp ve dikdörtgenler prizması

Bütün yüzleri dikdörtgen olan cisme dikdörtgenler prizması denir. Ayrıtları $a$, $b$ ve $c$ ise karşılıklı yüzler eştir ve üç çift yüz vardır:

$$ A = 2(ab + bc + ac), \qquad V = a \cdot b \cdot c $$

Bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizması küptür. Kenarı $a$ olan küpte $A = 6a^2$ ve $V = a^3$ olur. Bir yüzün köşegenine yüz köşegeni, aynı yüzde olmayan iki köşeyi cismin içinden birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Cisim köşegenini iki kez Pisagor uygulayarak buluruz. Şekildeki prizmada önce taban yüzündeki ABC dik üçgeninden taban köşegeni $e^2 = a^2 + b^2$ bulunur. Sonra [CG] ayrıtı taban düzlemine dik olduğu için ACG de C köşesi dik olan bir dik üçgendir:

$$ d^2 = e^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni — Taban köşegeni e ile c ayrıtı dik üçgen oluşturur; hipotenüs cisim köşegeni d olur.

Küpte bu bağıntı $d = a\sqrt{3}$, yüz köşegeni ise $a\sqrt{2}$ verir. Kenarı 4 olan küpün cisim köşegeni $4\sqrt{3}$'tür. Ayrıtları 2, 3 ve 6 olan kutuda $d = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ çıkar.

Dik prizmalar: üçgen ve altıgen tabanlı

Alt ve üst tabanları eş çokgenler olan, yan yüzleri tabanlara dik dikdörtgenlerden oluşan cisme dik prizma denir. Taban üçgense üçgen dik prizma, düzgün altıgense düzgün altıgen dik prizma adını alır. Yan yüzlerin alanları toplamına yanal alan denir. Yan yüzleri yan yana açarsan genişliği taban çevresi, yüksekliği $h$ olan tek bir dikdörtgen elde edersin. Buradan:

$$ A_{\text{yanal}} = (\text{taban çevresi}) \cdot h, \qquad A_{\text{tüm}} = A_{\text{yanal}} + 2 \cdot A_{\text{taban}}, \qquad V = A_{\text{taban}} \cdot h $$

Üçgen ve altıgen dik prizma — Solda eşkenar üçgen tabanlı, sağda düzgün altıgen tabanlı dik prizma.

Taban alanlarını önceki konulardan hatırla. Kenarı $a$ olan eşkenar üçgenin alanı $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$'tür. Düzgün altıgen, merkezden köşelere çizilen doğru parçalarıyla altı eş eşkenar üçgene ayrılır; bu yüzden alanı $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ olur. Altıgenin en uzun köşegeni merkezden geçer ve $2a$ uzunluğundadır. Örneğin taban ayrıtı 2, yüksekliği 5 olan düzgün altıgen dik prizmada yanal alan $12 \cdot 5 = 60$, hacim $6\sqrt{3} \cdot 5 = 30\sqrt{3}$'tür.

Dik dairesel silindir

Tabanları eş daireler olan ve tabanların merkezlerini birleştiren doğru parçası tabanlara dik olan cisme dik dairesel silindir denir. Silindiri bir konserve kutusu gibi düşün: yan yüzeyini dikey bir çizgi boyunca kesip açarsan bir dikdörtgen elde edersin. Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği $h$, öbür kenarı taban çemberinin uzunluğu $2\pi r$'dir.

Silindir ve açınımı — Yan yüzey açılınca kenarları 2πr ve h olan bir dikdörtgen olur; iki taban daire olarak kalır.

$$ A_{\text{yanal}} = 2\pi r h, \qquad A_{\text{tüm}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(r + h), \qquad V = \pi r^2 h $$

Hacim formülü prizmadaki kuralın aynısıdır: taban alanı $\pi r^2$ ile yükseklik çarpılır. Taban yarıçapı 3, yüksekliği 10 olan silindirin hacmi $90\pi$, yanal alanı $60\pi$, tüm alanı $60\pi + 18\pi = 78\pi$'dir.

Açınım sorularında dikdörtgenin hangi kenarının çembere dönüştüğü önemlidir. Kenarları 30 ve 20 olan bir kâğıt iki farklı biçimde silindir yapılabilir; hangi kenar kıvrılırsa o kenar $2\pi r$ olur, öbürü yükseklik olarak kalır. İki silindirin yanal alanı aynıdır (ikisi de kâğıdın alanı), ama hacimleri farklıdır.

Dik piramit

Tabanı bir çokgen olan ve yan yüzleri ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenlerden oluşan cisme piramit denir. Tabanı düzgün çokgen olan ve tepe noktasından tabana inen dikmenin ayağı tabanın merkezine düşen piramide dik piramit (düzgün piramit) denir. Kare dik piramitte tepe T, tabanın merkezi O, bir taban ayrıtının orta noktası M olsun. Burada üç uzunluk ayırt edilir:

Yükseklik $h = |TO|$: tepeden tabana dik uzaklık.
Yanal yüz yüksekliği $h_y = |TM|$: yan yüzdeki ikizkenar üçgenin tepeden tabana inen yüksekliği.
Yanal ayrıt $k = |TB|$: tepeyi taban köşesine bağlayan ayrıt.

Kare dik piramit — TOM ve TMB dik üçgenleri yükseklik, yanal yüz yüksekliği ve yanal ayrıtı birbirine bağlar.

Bu uzunlukları dik üçgenler birbirine bağlar. TOM üçgeninde O köşesi diktir ve $|OM| = \frac{a}{2}$'dir. TMB üçgeninde M köşesi diktir, çünkü ikizkenar yan yüzde tepeden inen yükseklik tabanı ortalar:

$$ h_y^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2, \qquad k^2 = h_y^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} $$

Sonuncusu, O'dan köşeye uzaklığın yarım köşegen $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ olmasından da doğrudan görülür. Taban ayrıtı 6, yüksekliği 4 olan kare dik piramitte $h_y = \sqrt{16 + 9} = 5$ olur.

Piramidin yanal alanı yan yüzlerin alanları toplamıdır; kare dik piramitte $4 \cdot \frac{a \cdot h_y}{2} = 2a \cdot h_y$. Hacim ise aynı taban ve yükseklikli prizmanın üçte biridir:

$$ V = \frac{A_{\text{taban}} \cdot h}{3} $$

Bu $\frac{1}{3}$'ün nereden geldiğini bir küple görebiliriz. Kenarı $a$ olan küpün bir köşesini seç; küpün bu köşeye değmeyen üç yüzünün her biri, tepesi bu köşede olan bir kare piramidin tabanı olur. Bu üç piramit eştir ve küpü tamamen doldurur, dolayısıyla her birinin hacmi $\frac{a^3}{3} = \frac{a^2 \cdot a}{3}$'tür. Taban alanı ile yükseklik aynı kaldıkça bu oran değişmez.

Üçgen tabanlı piramitte de aynı formül kullanılır. Küpün bir köşesinden çıkan ve birbirine dik olan üç ayrıt üzerinde köşeden $p$, $q$ ve $r$ uzaklıktaki noktalardan geçen düzlem, küpten bir üçgen piramit keser. Tabanı dik kenarları $p$ ve $q$ olan dik üçgen, yüksekliği $r$ olduğundan hacmi $\frac{1}{3} \cdot \frac{pq}{2} \cdot r = \frac{pqr}{6}$'dır.

Dik dairesel koni

Tabanı daire olan ve tepe noktasından tabana inen dikmenin ayağı dairenin merkezine düşen cisme dik dairesel koni denir. Tepe noktasını taban çemberinin bir noktasına birleştiren doğru parçasına ana doğru denir ve $\ell$ ile gösterilir. Yükseklik, yarıçap ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur:

$$ \ell^2 = h^2 + r^2 $$

Koninin yan yüzeyini bir ana doğru boyunca kesip açarsan yarıçapı $\ell$ olan bir daire dilimi elde edersin. Dilimin yayı, taban çemberinin uzunluğu $2\pi r$ kadardır. Tam çemberin uzunluğu $2\pi\ell$ olduğundan dilim, dairenin $\frac{r}{\ell}$ kadarlık parçasıdır ve merkez açısı

$$ \alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{\ell} $$

olur. Yanal alan da aynı oranla bulunur: $\pi \ell^2 \cdot \frac{r}{\ell} = \pi r \ell$.

Koni ve açınımı — Yan yüzey açılınca yarıçapı ℓ olan bir daire dilimi olur; yayın uzunluğu taban çevresi 2πr'dir.

$$ A_{\text{yanal}} = \pi r \ell, \qquad A_{\text{tüm}} = \pi r \ell + \pi r^2, \qquad V = \frac{\pi r^2 h}{3} $$

Koninin hacmi, aynı taban ve yükseklikli silindirin hacminin üçte biridir; piramit ile prizma arasındaki ilişkinin aynısı. Taban yarıçapı 3, yüksekliği 4 olan konide $\ell = 5$, merkez açı $360^\circ \cdot \frac{3}{5} = 216^\circ$, yanal alan $15\pi$, hacim $12\pi$ olur.

Küre

Uzayda sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu yüzeye küre denir. Yarıçapı $r$ olan kürenin alanı ve hacmi:

$$ A = 4\pi r^2, \qquad V = \frac{4\pi r^3}{3} $$

Bu formüllerin ispatı TYT kapsamı dışındadır, ama Arşimet'in bulduğu güzel bir ilişkiyle akılda tutulur. Kürenin tam sığdığı silindirin taban yarıçapı $r$, yüksekliği $2r$'dir. Bu silindirin hacmi $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, kürenin hacmi ise bunun $\frac{2}{3}$'üdür. Silindirin yanal alanı da $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$, yani kürenin alanına eşittir.

Silindirin içindeki küre — Küre, yüksekliği 2r olan silindire tam sığar; kürenin hacmi silindirin hacminin üçte ikisidir.

Yarıçapı 3 olan kürenin alanı $36\pi$, hacmi $36\pi$'dir; sayıların eşit çıkması yalnızca $r = 3$'e özgüdür, birimleri farklıdır. Yarım kürenin hacmi $\frac{2\pi r^3}{3}$, dış yüzeyi ise eğri kısım ile düz daireyi birlikte saydığında $2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$ olur.

Küp açınımları ve karşılıklı yüzler

Bir küpü bazı ayrıtları boyunca kesip düzleme açtığında altı kareden oluşan bir şekil elde edersin; buna küpün açınımı denir. Birbirinden farklı 11 küp açınımı vardır. Altı kareden oluşan her şekil küp açınımı değildir. Bir sırada beş kare yan yana gelirse katlama bozulur, çünkü küpün çevresini bir sırada en çok dört yüz dolanabilir; dördüncü ve beşinci kare üst üste biner. Bir köşede dört karenin buluştuğu (2 × 2 kare içeren) şekiller de küp vermez.

Sınavda en çok sorulan, katlanınca hangi yüzlerin karşılıklı geleceğidir. İki kural neredeyse her açınımı çözer:

Aynı sırada (düz bir çizgi üzerinde) arada bir kare bulunan iki kare karşılıklı gelir. 1-4-1 açınımında yatay sıradaki 2 ile 4, 3 ile 5 bu yüzden karşılıklıdır.
Z ya da S biçimli dört karelik bir dizinin (yatay, dikey, yatay ya da merdiven gibi kıvrılan) iki ucundaki kareler karşılıklı gelir.

Kalan iki yüz zaten karşılıklıdır. Komşu iki kare (ortak kenarlı) asla karşılıklı olamaz.

Küp açınımları — Aynı renkli kareler katlanınca karşılıklı yüzler olur.

Soldaki 1-4-1 açınımında 1 ile 6 dikey sıranın uçlarıdır ve karşılıklıdır. Sağdaki 2-3-1 açınımında 3, 4, 5 sırasında 3 ile 5 karşılıklıdır; 1, 2, 3, 4 dizisi Z biçimlidir ve uçları 1 ile 4 karşılıklı gelir; kalan 2 ile 6 da karşılıklıdır. Bir oyun zarında karşılıklı yüzlerin toplamı 7'dir; bir açınımın zar olup olmadığını bu kurallarla denetlersin.

Birim küplerden yapılar

Birim küplerin yüz yüze yapıştırılmasıyla kurulan yapılarda üç tür soru gelir: görünüm, yüzey alanı ve boyanan yüzler.

Görünümler. Yapıya önden, üstten ve yandan dik olarak baktığında gördüğün birim karelerin şekline görünüm denir. Önden görünümde her sütunda o sütundaki en yüksek yığın görünür; arkadaki alçak küpler öndekilerin arkasında kalır. Üstten görünümde ise yükseklik kaybolur, yalnızca hangi hücrelerde küp olduğu görünür. Bu yüzden üstten görünümün hücrelerine sütun yüksekliklerini yazmak yapıyı tam olarak anlatır.

Birim küp yapısı ve görünümleri — Önden görünümde her sütunun en yüksek yığını, üstten görünümde dolu hücreler, sağdan görünümde her sıranın en yüksek yığını görünür.

Yüzey alanı. En güvenli yol saymaktır: her küp 6 yüze sahiptir ve iki küp birbirine değdiğinde iki yüz birden kapanır. $n$ küp ve $t$ temas yüzü varsa yüzey alanı $6n - 2t$ olur. Girintisi, çukuru ya da boşluğu olmayan yapılarda daha kısa bir yol vardır: yüzey alanı $2 \cdot (\text{üstten} + \text{önden} + \text{yandan görünümdeki kare sayısı})$. Çünkü her yön için yapıyı bir taraftan gören yüzler kadar karşı taraftan gören yüzler vardır. Yapıda bir çukur varsa (çevresindeki sütunlardan alçak bir sütun) çukurun iç duvarları hiçbir görünümde çıkmaz ve kısa yol eksik sayar.

Boyanan yüzler. Kenarı $n$ olan bir küpün dış yüzeyi boyanıp $n^3$ birim küpe kesilirse:

3 yüzü boyalı olanlar köşelerdedir: 8 tane.
2 yüzü boyalı olanlar ayrıtların köşe dışındaki kısmındadır: $12(n - 2)$ tane.
1 yüzü boyalı olanlar yüzlerin iç kısmındadır: $6(n - 2)^2$ tane.
Hiç boyanmamış olanlar içte kalan küptedir: $(n - 2)^3$ tane.

Dört sayının toplamı $n^3$'tür; $n = 4$ için $8 + 24 + 24 + 8 = 64$. Ayrıtları $a$, $b$, $c$ olan prizmada da aynı düşünce işler: 2 yüzü boyalılar $4[(a - 2) + (b - 2) + (c - 2)]$, boyasızlar $(a - 2)(b - 2)(c - 2)$ tanedir. Merdiven gibi düzensiz yapılarda formül yerine her küpün açıkta kalan yüzlerini tek tek sayarsın.

Su doldurma, taşırma ve benzer cisimler

Su problemlerinin tek kuralı hacmin korunmasıdır. Kaba tamamen batan bir cisim atılırsa cismin hacmi kadar su yer değiştirir ve seviye yükselir: taban alanı $S$ olan dik kapta yükselme $\Delta h = \frac{V_{\text{cisim}}}{S}$'dir. Taban alanı 200 $\text{cm}^2$ olan kaba 600 $\text{cm}^3$'lük bir taş atılırsa su 3 cm yükselir.

Su seviyesi — Batan cismin hacmi kadar su yer değiştirir; taban alanı sabit olduğundan seviye yükselir.

İki özel durum soruları zorlaştırır:

Cisim suyun üstüne taşıyorsa yalnızca suyun içinde kalan kısmı su yerine geçer. Bu durumda en kolay yol, suyun hacmini sabit tutup suyun yeni tabanını $S - S_{\text{cisim}}$ almaktır: $V_{\text{su}} = (S - S_{\text{cisim}}) \cdot h_{\text{yeni}}$. Bulduğun $h_{\text{yeni}}$ cismin boyundan büyük çıkarsa cisim aslında batmıştır; hesabı batan cisimle yeniden yap.
Kap taşıyorsa taşan su, toplam hacmin (su artı batan cisim) kabın hacmini aştığı kadardır.

Son olarak benzer cisimler: bütün uzunlukları aynı $k$ oranında büyütülmüş iki cisimde alanlar $k^2$, hacimler $k^3$ oranında büyür. Çünkü alan iki uzunluğun, hacim üç uzunluğun çarpımıdır. Kenarı iki katına çıkan küpün alanı 4, hacmi 8 katına çıkar. Tepesi aşağıda koni biçimli bir bardak yüksekliğinin yarısına kadar doldurulursa, sudan oluşan koni bardağa benzerdir ve $k = \frac{1}{2}$'dir; su, bardağın hacminin yalnızca $\frac{1}{8}$'idir.

Formüller

$$A = 2(ab + bc + ac),\ V = abc$$

Dikdörtgenler prizması

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Cisim köşegeni; küpte d = a√3

$$A = 6a^2,\ V = a^3$$

Küp

$$A_{\text{yanal}} = \text{çevre} \cdot h,\ V = A_{\text{taban}} \cdot h$$

Dik prizma

$$\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$

Düzgün altıgenin alanı (altı eşkenar üçgen)

$$A_{\text{yanal}} = 2\pi r h,\ V = \pi r^2 h$$

Dik dairesel silindir

$$h_y^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

Kare dik piramitte yanal yüz yüksekliği

$$V = \frac{A_{\text{taban}} \cdot h}{3}$$

Piramit ve koni

$$\ell^2 = h^2 + r^2,\ A_{\text{yanal}} = \pi r \ell$$

Dik dairesel koni

$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{\ell}$$

Koni açınımında daire diliminin merkez açısı

$$A = 4\pi r^2,\ V = \frac{4\pi r^3}{3}$$

Küre

$$6n - 2t$$

n birim küp, t temas yüzü: yüzey alanı

$$\Delta h = \frac{V_{\text{cisim}}}{S}$$

Batan cisimle su seviyesindeki yükselme

$$\frac{A_1}{A_2} = k^2,\ \frac{V_1}{V_2} = k^3$$

Benzer cisimler

Çözümlü örnekler

Örnek 1Yüz alanlarından hacim ve köşegen

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 12, 15 ve 20 birimkaredir. Prizmanın hacmi ve cisim köşegeninin uzunluğu nedir?

Örnek 2Düzgün altıgen dik prizma

Şekildeki düzgün altıgen dik prizmanın taban ayrıtı 4 cm, yanal alanı 240 $\text{cm}^2$'dir. Prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür? Prizmanın en uzun cisim köşegeni $d$ kaç cm'dir?

Örnek 3Kâğıttan iki farklı silindir

Kenarları 24 cm ve 18 cm olan dikdörtgen biçimli bir kâğıt, önce 24 cm'lik kenarı taban çemberi olacak biçimde, sonra 18 cm'lik kenarı taban çemberi olacak biçimde kıvrılarak iki silindirin yan yüzeyi yapılıyor. Silindirlerin hacimleri kaç $\text{cm}^3$'tür ve farkı kaçtır? ($\pi = 3$ alınız.)

Örnek 4Kare dik piramidin hacmi ve alanı

Şekildeki kare dik piramidin taban ayrıtı 12 cm, yanal yüz yüksekliği $|TM| = 10$ cm'dir. Piramidin yüksekliği, hacmi ve tüm alanı nedir?

Örnek 5Koninin açınımı

Şekildeki dik dairesel koninin taban yarıçapı 6 cm, ana doğrusu 10 cm'dir. Koninin yan yüzeyinin açınımı olan daire diliminin merkez açısı $\alpha$ kaç derecedir? Koninin hacmi ve yanal alanı nedir?

Örnek 6Açınımdan zar

Şekildeki açınım katlanarak bir küp yapılıyor. Hangi sayılar karşılıklı yüzlere gelir? Elde edilen küp, karşılıklı yüzlerinin toplamı 7 olan bir oyun zarı olur mu?

Örnek 7Görünümler ve yüzey alanı

Birim küplerden yapılmış bir yapının üstten görünümünde her hücreye o hücredeki sütunun yüksekliği yazılmıştır (ön sıra en alttadır). Yapıda kaç birim küp vardır? Önden görünüm kaç birim kareden oluşur? Yapının alt yüzü dahil yüzey alanı kaç birimkaredir?

Örnek 8Boyanan prizma

Ayrıtları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki tahta bloğun bütün dış yüzeyi boyanıyor, sonra blok kenarı 1 cm olan küplere kesiliyor. Tam iki yüzü boyalı kaç küp vardır? Hiç boyanmamış kaç küp vardır?

Örnek 9Kaptan taşan su

Şekildeki dikdörtgenler prizması biçimindeki kabın taban ayrıtları 20 cm ve 15 cm, yüksekliği 15 cm'dir. Kapta 12 cm yüksekliğinde su vardır. Kabın içine kenarı 10 cm olan dolu bir küp konuyor. Kaptan kaç $\text{cm}^3$ su taşar?

Sık yapılan hatalar

Cisim köşegenini ayrıtların toplamı ya da bir yüz köşegeni sanmak: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ üç ayrıtı birlikte kullanır.
Koni ve piramitte hacmi yazarken $\frac{1}{3}$'ü unutmak, ya da yanal alanda $\frac{1}{2}$'yi unutmak.
Yükseklik ile yanal yüz yüksekliğini (piramit) ya da yükseklik ile ana doğruyu (koni) karıştırmak.
Koni açınımında merkez açıyı $360^\circ \cdot \frac{\ell}{r}$ ya da $360^\circ \cdot \frac{h}{\ell}$ gibi yanlış oranla kurmak; doğrusu yay uzunluğunun eşitliğinden gelen $\frac{r}{\ell}$'dir.
Silindirin tüm alanında iki tabandan birini saymamak; kapağı olmayan kap sorularında ise üst tabanı saymak.
Kürede alan ile hacmi karıştırmak ya da yarıçap yerine çapı koymak.
Birim küp yapılarında $2(\text{üst} + \text{ön} + \text{yan})$ kısa yolunu çukurlu yapılarda kullanmak; alt yüzü saymayı unutmak.
Su problemlerinde suyun üstüne taşan cismin tamamını batmış saymak ya da benzer cisimlerde hacim oranını $k$ ya da $k^2$ almak.

Günlük hayatta

Sıvıların hacim birimi litre, doğrudan geometriden gelir: 1 litre, kenarı 10 cm olan küpün hacmidir, yani 1000 santimetreküptür; 1 metreküp su da 1000 litredir. Bu yüzden 2 m uzunluğunda, 1 m genişliğinde ve 50 cm derinliğindeki bir su deposu $2 \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 1$ metreküp, yani 1000 litre su alır. Arıların bal peteğindeki hücreler düzgün altıgen prizmaya benzer; altıgenler düzlemi boşluk bırakmadan doldurur ve aynı alanı daha az kenar uzunluğuyla çevreler, böylece daha az balmumu harcanır. Arşimet, kürenin hacminin onu içine alan silindirin hacminin üçte ikisi olduğunu bulmayı o kadar önemsemiştir ki Romalı yazar Cicero, Arşimet'in mezar taşında silindir içinde bir küre çizimi bulunduğunu anlatır.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

Tüm yüzey alanı 96 $\text{cm}^2$ olan bir küpün hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür?

2Kolay

Şekildeki dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 4 cm, 3 cm ve 12 cm'dir. Buna göre prizmanın cisim köşegeni $x$ kaç cm'dir?

3Kolay

Şekildeki dik dairesel silindirin taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 8 cm'dir. Buna göre silindirin hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür? ($\pi = 3$ alınız.)

4Kolay

Yarıçapı 2 cm olan bir kürenin hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür? ($\pi = 3$ alınız.)

5Kolay

Şekildeki dik dairesel koninin taban yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm'dir. Buna göre koninin yanal alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

6Kolay

Taban yarıçapları eşit olan bir dik dairesel koni ile bir dik dairesel silindirin hacimleri de eşittir. Silindirin yüksekliği 5 cm olduğuna göre koninin yüksekliği kaç cm'dir?

7Orta

Şekildeki kare dik piramidin taban ayrıtı 6 cm, yüksekliği $|TO| = 4$ cm'dir. Buna göre piramidin yanal alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

8Orta

Şekildeki açınım katlanarak bir küp yapılıyor. Elde edilen küpte karşılıklı yüzlere yazılmış sayıların toplamları birbirine eşit olduğuna göre $x$ kaçtır?

9Orta

Birim küplerden yapılmış bir yapının üstten görünümünde her hücreye o hücredeki sütunun yüksekliği yazılmıştır (ön sıra en alttadır). Buna göre yapının alt yüzü dahil yüzey alanı kaç birimkaredir?

10Orta

Kenarı 5 cm olan küp biçimindeki bir tahta bloğun bütün dış yüzeyi boyanıyor, sonra blok kenarı 1 cm olan 125 küpe kesiliyor. Buna göre en az bir yüzü boyalı kaç küp vardır?

11Orta

Şekildeki silindir biçimli kabın taban yarıçapı 4 cm'dir ve kapta bir miktar su vardır. Kaba yarıçapı 1 cm olan özdeş demir bilyeler atılıyor; bilyeler tamamen batıyor ve su taşmıyor. Su seviyesinin 2 cm yükselmesi için kaç bilye atılmalıdır? ($\pi = 3$ alınız.)

12Orta

Birbirine benzer iki dik dairesel koninin hacimleri oranı $\frac{8}{27}$'dir. Küçük koninin yanal alanı 20 $\text{cm}^2$ olduğuna göre büyük koninin yanal alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

13Orta

Şekildeki yarıçapı 10 cm, merkez açısı $288^\circ$ olan daire dilimi kıvrılarak bir dik dairesel koninin yan yüzeyi yapılıyor. Buna göre koninin hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür?

14Orta

Şekildeki eşkenar üçgen tabanlı dik prizmanın taban ayrıtı 6 cm, hacmi $72\sqrt{3}\ \text{cm}^3$'tür. Buna göre prizmanın tüm alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

15Orta

Kenar uzunluğu $a$ birim olan bir küple ilgili aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

I.Cisim köşegeninin uzunluğu $a\sqrt{3}$ birimdir.
II.Yüzey alanının sayısal değeri hacminin sayısal değerine eşitse $a = 6$'dır.
III.Kenar uzunluğu iki katına çıkarılırsa cisim köşegeni de iki katına çıkar.

16Orta

Şekildeki dik dairesel silindirin taban yarıçapı 2 cm'dir ve yan yüzeyinin açınımı bir karedir. Buna göre silindirin tüm alanı kaç $\text{cm}^2$'dir? ($\pi = 3$ alınız.)

17Orta

Cisim köşegeninin uzunluğu 6 cm olan bir küpün hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür?

18Orta

Şekildeki cisim, kenarı 6 cm olan bir küpün sekiz köşesinden kenarı 1 cm olan birer küp çıkarılarak elde edilmiştir. Buna göre cismin yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

19Zor

Şekildeki cisim, kenarı 6 cm olan bir küpün her köşesinin, o köşede birleşen üç ayrıtın orta noktalarından geçen düzlemle kesilip atılmasıyla elde edilmiştir. Buna göre cismin hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür?

20Zor

Şekildeki kare dik piramidin taban ayrıtı 12 cm, yanal ayrıtlarının her biri 11 cm'dir. Buna göre piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$'tür?

21Zor

Şekildeki dikdörtgenler prizması biçimindeki kabın taban ayrıtları 10 cm ve 8 cm, yüksekliği 10 cm'dir ve kapta 6 cm yüksekliğinde su vardır. Kabın tabanına, taban ayrıtları 4 cm ve 4 cm, yüksekliği 12 cm olan dolu bir metal blok dik olarak yerleştiriliyor. Buna göre suyun yeni yüksekliği kaç cm olur?

22Zor

Şekildeki merdiven biçimli yapı 18 birim küpten oluşmaktadır. Yapının yere değen yüzleri dışındaki bütün dış yüzeyleri boyanıyor ve sonra küpler birbirinden ayrılıyor. Buna göre tam 3 yüzü boyalı kaç küp vardır?

23Zor

Tepe noktası aşağıda olan dik dairesel koni biçimli bir bardağın hacmi 240 mL'dir. Bardağa, suyun yüksekliği bardağın yüksekliğinin yarısı olacak kadar su konuyor. Buna göre bardağı tamamen doldurmak için kaç mL daha su gerekir?

24Zor

Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 6 cm olan silindir biçimli bir kap ağzına kadar su doludur. Kaba yarıçapı 3 cm olan dolu bir küre bırakılıyor ve küre kaba tam oturuyor. Buna göre kapta kalan su kaç $\text{cm}^3$'tür?

25Zor

Şekildeki kenarı 4 cm olan küpte K, L ve M köşeleri, küpün üç yüzünün köşegenleriyle birleştirilerek KLM üçgeni oluşturulmuştur. Buna göre KLM üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

26Zor

Şekildeki dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 6 cm, 3 cm ve 2 cm'dir. Bir karınca A köşesinden C köşesine prizmanın yüzeyi üzerinde yürüyerek gidecektir. Buna göre karıncanın alabileceği en kısa yolun uzunluğu kaç cm'dir?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.