Çember ve Daire

Çember, daire ve elemanları

Düzlemde sabit bir O noktasına uzaklığı sabit bir \(r\) sayısı olan noktaların kümesine çember denir. O noktası çemberin merkezi, \(r\) de yarıçapıdır. Çember yalnızca bir eğridir; içini kapsamaz. Çember ile iç bölgesinin birleşimine daire denir. Bu ayrım sorularda önemlidir: "çemberin uzunluğu" denince eğrinin boyu, "dairenin alanı" denince içi dolu bölgenin büyüklüğü sorulur. Bir bisiklet tekerleğinin lastiği çembere, bir pizzanın kendisi daireye benzer.

Merkezi çembere birleştiren her doğru parçası bir yarıçaptır ve hepsi eşittir. Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. Merkezden geçen kirişe çap denir ve uzunluğu \(2r\)'dir. Çap, çemberin en uzun kirişidir: AB herhangi bir kiriş ise üçgen eşitsizliğinden \(|AB| \le |AO| + |OB| = 2r\) olur ve eşitlik ancak O noktası [AB] üzerindeyken sağlanır.

Çemberin iki noktası arasında kalan parçasına yay denir. A ve B noktaları çemberi iki yaya ayırır: kısa olana küçük yay, uzun olana büyük yay denir. Karışıklık olmasın diye büyük yay genellikle üzerindeki üçüncü bir noktayla adlandırılır: ACB yayı gibi. Çemberi iki noktada kesen doğruya kesen, çembere yalnızca bir noktada değen doğruya teğet denir; ortak noktaya değme noktası adı verilir. Bir doğru ile çember arasında üç durum vardır: merkezin doğruya uzaklığı \(d\) olmak üzere \(d < r\) ise doğru kesendir, \(d = r\) ise teğettir, \(d > r\) ise doğru çemberi kesmez.

İki çember de benzer biçimde karşılaştırılır. Yarıçapları \(R\) ve \(r\) (\(R > r\)), merkezleri arasındaki uzaklık \(d\) olsun. \(d = R + r\) ise çemberler dıştan teğettir, \(d = R - r\) ise içten teğettir. Değme noktası her iki durumda da merkezleri birleştiren doğru üzerindedir. Merkezleri aynı olan çemberlere eş merkezli çemberler denir; aralarında bir halka kalır.

Merkez açı, çevre açı ve yay ölçüsü

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir yayın ölçüsü, o yayı gören merkez açının ölçüsüdür. Bütün çember \(360^\circ\), yarım çember \(180^\circ\)'dir. \(m(\widehat{AOB}) = 70^\circ\) ise küçük AB yayının ölçüsü \(70^\circ\), büyük yayınki \(290^\circ\)'dir. Yay ölçüsü bir açı ölçüsüdür, uzunluk değildir: \(70^\circ\)'lik bir yay küçük bir çemberde kısa, büyük bir çemberde uzundur.

Köşesi çemberin üzerinde olan ve kolları çemberi kesen açıya çevre açı denir. Temel kural şudur: çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. Nedeni ikizkenar üçgende saklıdır. Önce çevre açının bir kolunun çaptan geçtiği durumu düşünelim: C çevre açının köşesi, [CA] bir çap ve B çemberin başka bir noktası olsun. OBC üçgeninde \(|OB| = |OC| = r\) olduğundan B ve C açıları eşittir; bunlara \(x\) diyelim. AOB açısı bu üçgenin dış açısıdır ve iki iç açının toplamına eşittir: \(m(\widehat{AOB}) = 2x\). Yani \(m(\widehat{ACB}) = x\), gördüğü AB yayının yarısıdır. Merkez açının içindeyse çaptan iki parçaya ayırıp bu sonucu iki kez kullanırız; dışındaysa iki açının farkını alırız. Kural her durumda geçerlidir.

Bu kuralın iki sonucu çok kullanılır:

• Aynı yayı gören çevre açılar eşittir. C ve D noktaları AB yayının karşısındaki büyük yay üzerindeyse \(m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ADB})\) olur.
• Çapı gören çevre açı \(90^\circ\)'dir. [AB] çap ise gördüğü yay \(180^\circ\)'dir ve C çemberin başka bir noktasıyken \(m(\widehat{ACB}) = 90^\circ\) olur. Tersi de doğrudur: bir dik üçgenin hipotenüsü, üç köşeden geçen çemberin çapıdır.

İkinci sonuç, bir çemberde çap gördüğünde aklına hemen bir dik üçgen getirmen gerektiğini söyler. [AB] çap, \(|AC| = 6\) ve \(|BC| = 8\) ise ACB üçgeni C'de diktir, \(|AB| = 10\) ve yarıçap 5'tir.

Merkezden kirişe inen dikme

O merkezli çemberde [AB] bir kiriş, H de O'dan [AB]'ye inen dikmenin ayağı olsun. OAB üçgeni ikizkenardır, çünkü \(|OA| = |OB| = r\). İkizkenar üçgende tepeden tabana inen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Bu yüzden merkezden kirişe inen dikme kirişi iki eş parçaya ayırır: \(|AH| = |HB|\). Aynı dikme AOB açısını da ikiye böler.

Bu bilgi kirişle ilgili hesapların neredeyse hepsini bir dik üçgene indirir. OHA dik üçgeninde hipotenüs yarıçap, dik kenarlar merkezin kirişe uzaklığı \(d = |OH|\) ve kirişin yarısıdır:

Yarıçapı 13 olan bir çemberde merkeze uzaklığı 5 olan kirişin yarısı \(\sqrt{169 - 25} = 12\), kendisi 24'tür. Formülden iki kısa sonuç çıkar: merkeze uzaklığı eşit olan kirişler eşittir ve merkeze yaklaştıkça kiriş uzar. En uzun kiriş, uzaklığın sıfır olduğu çaptır.

Teğet ve dış noktadan çizilen teğetler

Bir doğru çembere A noktasında teğetse, teğet değme noktasındaki yarıçapa diktir: \([OA] \perp d\). Nedeni kısa: teğetin A dışındaki her noktası çemberin dışındadır, yani merkeze uzaklığı \(r\)'den büyüktür. Demek ki teğetin üzerinde merkeze en yakın nokta A'dır. Bir noktanın bir doğruya en kısa uzaklığı ise dikme boyunca ölçülür. Bu yüzden [OA] teğete diktir.

Çemberin dışındaki bir P noktasından çembere iki teğet çizilebilir; değme noktaları A ve B olsun. OAP ve OBP üçgenleri A ve B köşelerinde diktir, hipotenüsleri [OP] ortaktır ve \(|OA| = |OB| = r\)'dir. İki dik üçgenin hipotenüsleri ve birer dik kenarı eşit olduğu için üçgenler eştir. Buradan:

Ayrıca [PO], APB ve AOB açılarının açıortayıdır. PAOB dörtgeninde A ve B açıları \(90^\circ\) olduğundan kalan iki açının toplamı \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{APB}) + m(\widehat{AOB}) = 180^\circ\). \(m(\widehat{APB}) = 60^\circ\) ise küçük AB yayı \(120^\circ\)'dir.

Teğet uzunluklarının eşitliği şaşırtıcı sonuçlar verir. P'den çizilen teğetler [PA] ve [PB] olsun; küçük AB yayı üzerindeki bir T noktasından çizilen teğet [PA]'yı D, [PB]'yi E noktasında kessin. D noktasından çembere çizilen iki teğet [DA] ve [DT] olduğundan \(|DA| = |DT|\), aynı biçimde \(|ET| = |EB|\)'dir. PDE üçgeninin çevresi

olur; T noktası yay üzerinde nerede olursa olsun değişmez.

Çemberin uzunluğu ve yay uzunluğu

Bütün çemberlerin şekli aynıdır, yalnızca büyüklükleri farklıdır; yani birbirine benzerdirler. Benzer şekillerde uzunlukların oranı sabit kaldığı için her çemberde uzunluğun çapa oranı aynı sayıdır. Bu sayıya pi denir ve \(\pi\) ile gösterilir:

\(\pi\) irrasyonel bir sayıdır ve \(3{,}14159\ldots\) diye sürer. Arşimet çemberin içine ve dışına 96 kenarlı çokgenler çizerek \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\) olduğunu göstermiştir. Sınavlarda hesap kolay olsun diye "\(\pi = 3\) alınız" ya da "\(\pi = \frac{22}{7}\) alınız" gibi bir yaklaşık değer verilir; verilmemişse cevap \(\pi\) ile yazılır. Bu yüzden kökü dikkatle oku: \(\pi = 3\) verilen bir soruda seçenekler tam sayıdır, verilmeyen bir soruda \(12\pi\) gibi ifadeler görürsün.

Bir yay, çemberin merkez açısıyla orantılı bir parçasıdır. \(360^\circ\)'lik çemberin uzunluğu \(2\pi r\) ise \(\alpha\) derecelik yayın uzunluğu

olur. Yarıçapı 9 olan bir çemberde \(80^\circ\)'lik yay \(\frac{80}{360} \cdot 18\pi = 4\pi\) birimdir.

Tekerlek problemleri doğrudan bu formüle dayanır. Kaymadan dönen bir tekerlek bir tam turda çevresi kadar yol alır. Bu yüzden

olur. Yarıçapı 40 cm olan bir tekerlek \(\pi = 3\) için her turda 240 cm gider. Aynı yolu giden iki tekerlekten küçüğü daha çok tur atar; tur sayıları yarıçaplarla ters orantılıdır.

Koşu pistleri iki düz kısım ile bunları birleştiren iki yarım çemberden oluşur. İki yarım çember birlikte tam bir çember eder, bu yüzden bir tur \(2 \cdot (\text{düz kısım}) + 2\pi r\)'dir. Dışarıdaki bir kulvarda yarıçap kulvar genişliği \(k\) kadar artar ve tur \(2\pi k\) kadar uzar. Bu fark düz kısımların uzunluğuna bağlı değildir.

Dairenin alanı ve formülün nedeni

Bir daireyi pizza gibi çok sayıda eş dilime böl ve dilimleri sivri uçları bir aşağı bir yukarı gelecek biçimde yan yana diz. Dilim sayısı arttıkça dizilen şekil bir dikdörtgene yaklaşır. Bu dikdörtgenin yüksekliği yarıçap \(r\), tabanı ise çemberin yarısı, yani \(\pi r\)'dir; çünkü yayların yarısı üstte, yarısı altta kalır. Alan:

Alan formülü yarıçapın karesini içerir; çap verildiğinde önce yarıya bölmeyi unutma. Çapı 14 cm olan bir dairenin alanı \(\pi = \frac{22}{7}\) için \(\frac{22}{7} \cdot 49 = 154\ \text{cm}^2\)'dir; çapla hesaplarsan dört katını, 616 bulursun.

Daire dilimi, daire halkası ve daire parçası

Daire dilimi, iki yarıçap ile aralarındaki yayın sınırladığı bölgedir. Alanı merkez açıyla orantılıdır:

İkinci yazılışta \(l\) yay uzunluğudur; dilimi tabanı \(l\), yüksekliği \(r\) olan bir "eğri üçgen" gibi düşünebilirsin. Yay uzunluğu ve yarıçap biliniyorsa \(\pi\) hiç kullanılmadan alan bulunur. Dilimin çevresi ise iki yarıçap ile yayın toplamıdır: \(2r + l\).

Daire halkası, eş merkezli iki çemberin arasında kalan bölgedir. Büyük dairenin alanından küçüğünkü çıkarılır:

Halkanın alanı için yarıçapları tek tek bilmek gerekmez; \(R^2 - r^2\) farkı yeter. Büyük çemberin, küçük çembere teğet olan bir kirişini düşün. Teğet yarıçapa dik olduğu için küçük yarıçap bu kirişin orta noktasına iner ve kirişin yarısı \(\frac{|AB|}{2}\) olmak üzere \(R^2 = r^2 + \left(\frac{|AB|}{2}\right)^2\) olur. Demek ki \(R^2 - r^2 = \frac{|AB|^2}{4}\) ve halkanın alanı yalnızca bu kirişe bağlıdır.

Daire parçası, bir kiriş ile gördüğü yay arasında kalan bölgedir. Küçük yay için alanı, dilimden merkezle kirişin oluşturduğu üçgen çıkarılarak bulunur:

Merkez açı \(90^\circ\) ise üçgen ikizkenar diktir ve alanı \(\frac{r^2}{2}\)'dir; \(60^\circ\) ise üçgen eşkenardır ve alanı \(\frac{r^2\sqrt{3}}{4}\)'tür; \(120^\circ\) için de \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\) olduğundan üçgenin alanı yine \(\frac{r^2\sqrt{3}}{4}\) olur.

Üçgen ve çember: dik üçgen ile eşkenar üçgen

Bir üçgenin üç köşesinden geçen çembere çevrel çember, üç kenarına içten teğet olan çembere iç teğet çember denir. TYT'de bunlar en çok iki özel üçgende karşına çıkar.

Dik üçgen. Çapı gören çevre açı dik olduğu için dik üçgenin hipotenüsü çevrel çemberin çapıdır. Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve hipotenüs \(a\) iken \(R = \frac{a}{2}\) olur. İç teğet çemberin yarıçapını teğet uzunluklarından buluruz. Dik açının köşesi A'dan çembere çizilen iki teğet ile iki yarıçap bir kare oluşturur; bu yüzden A'dan çizilen teğet uzunlukları \(r\)'dir. B'den çizilen teğetler \(c - r\), C'den çizilenler \(b - r\) olur ve bunlar hipotenüsü oluşturur: \(a = (c - r) + (b - r)\). Buradan

bulunur. 6-8-10 üçgeninde \(R = 5\) ve \(r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\)'dir. Denetim: iç teğet çemberin merkezini köşelere birleştirince üçgen, yükseklikleri \(r\) olan üç üçgene ayrılır ve alan \(r \cdot u\) olur (\(u\) yarı çevre); \(2 \cdot 12 = 24 = \frac{6 \cdot 8}{2}\).

Eşkenar üçgen. Eşkenar üçgende her yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Bu yüzden ağırlık merkezi, çevrel çemberin merkezi ve iç teğet çemberin merkezi aynı noktadır. Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren \(2 : 1\) oranında böldüğünden, yükseklik \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) olmak üzere

olur. İki çember eş merkezli olduğundan aralarında bir halka kalır.

Taralı alan nasıl bulunur?

Taralı alan sorularında ilk iş şekli tanıdığın parçalara ayırmaktır: kare, üçgen, daire, dilim, halka ya da parça. Sonra alanı bu parçaların toplamı ya da farkı olarak yazarsın. Üç yöntem çoğu soruyu çözer:

• Çıkarma: Taralı bölge büyük bir şekilden boyalı olmayan parçalar çıkarılarak elde edilir. Kare içindeki dairenin dışı, karenin alanından dairenin alanı çıkarılarak bulunur.
• Üst üste binme: İki dilim ya da daire üst üste biniyorsa ortak bölge iki kez sayılır. Alanlar toplamından birleşimin alanını çıkarırsan ortak bölge kalır. Karenin karşılıklı köşelerini merkez alan iki çeyrek dairenin ortak bölgesi (mercek) böyle bulunur: iki çeyrek daire toplamı \(\frac{\pi a^2}{2}\), birleşimleri kare \(a^2\), ortak bölge \(a^2\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\).
• Taşıma: Bazen bir parça şeklin başka bir yerine kaydırılınca boşluğu tam doldurur. Bu durumda karmaşık bir bölge bir kareye ya da bir üçgene dönüşür.

Bir de ölçeğe dikkat et: kenarı 12 olan bir kareye tek bir büyük daire de, \(2 \times 2\) düzeninde dört küçük daire de yerleştirsen dairelerin kapladığı toplam alan aynıdır. Dört dairenin her birinin yarıçapı yarıya iner ve alanı dörtte birine düşer; dört tanesi bir büyük daire eder.