TYT 10. sınıf · 30. konu

Çokgenler ve Dörtgenler

Çokgende iç ve dış açılar, köşegen sayısı, düzgün çokgenler ve döşeme; yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidde açı, uzunluk ve alan.

Bu konuda öğreneceklerin

Çokgeni, dışbükey ve içbükey çokgeni tanımayı; iç açılar toplamını, dış açılar toplamını ve köşegen sayısını nedeniyle birlikte bulmayı
Düzgün çokgende bir iç ve bir dış açıyı hesaplamayı; düzgün altıgeni eşkenar üçgenlere ayırıp alanını ve köşegenlerini bulmayı
Bir döşemede neden yalnızca bazı düzgün çokgenlerin kullanılabildiğini açılarla açıklamayı
Genel dörtgende alanı köşegenlerle yazmayı; köşegenleri dik dörtgenin kenar bağıntısını kullanmayı
Yamukta orta tabanı, ikizkenar ve dik yamuğu, köşegenlerin ayırdığı üçgenlerin alan ilişkisini kullanmayı
Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidin özelliklerini ayırt edip katlama ve alan bölme sorularında uygulamayı

Çokgen ve dışbükey çokgen

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ noktayı sırayla doğru parçalarıyla birleştirip son noktayı ilkine bağlarsak, kendini kesmeyen kapalı bir şekil elde ederiz. Bu şekle çokgen, noktalara köşe, doğru parçalarına kenar denir. Üç kenarlıya üçgen, dört kenarlıya dörtgen, beş kenarlıya beşgen deriz; altıgen, sekizgen, onikigen diye devam eder. Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen adı verilir.

Bir çokgenin bütün köşegenleri çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa ya da başka bir deyişle her iç açısı $180^\circ$'den küçükse bu çokgen dışbükeydir. Bir iç açısı $180^\circ$'den büyük olan çokgende o köşenin yakınından geçen bazı köşegenler dışarıda kalır; böyle çokgenlere içbükey denir. TYT'de aksi söylenmedikçe çokgen dendiğinde dışbükey çokgen kastedilir ve bu konudaki formüllerin hepsi dışbükey çokgen içindir.

Dışbükey ve içbükey çokgen — Solda bütün köşegenler içeride; sağda N köşesindeki açı 180°'den büyük ve [MP] köşegeni dışarıda kalıyor.

İç açılar toplamı

Bir köşeden çıkan köşegenler dışbükey çokgeni üçgenlere ayırır. $n$ kenarlı bir çokgende bir köşeden, kendisine ve iki komşusuna köşegen çizilemeyeceği için $n - 3$ köşegen çıkar ve bu köşegenler çokgeni $n - 2$ üçgene böler. Üçgenlerin bütün açıları çokgenin köşelerinde toplanır, bu yüzden

$$ \text{İç açılar toplamı} = (n - 2) \cdot 180^\circ $$

olur. Dörtgende $360^\circ$, beşgende $540^\circ$, altıgende $720^\circ$, sekizgende $1080^\circ$ bulunur. Formülü tersine de kullanırız: iç açılar toplamı $1440^\circ$ ise $n - 2 = 8$ ve çokgen bir ongendir.

Altıgenin dört üçgene ayrılması — A köşesinden çizilen üç köşegen altıgeni dört üçgene ayırır; iç açılar toplamı 4 · 180° = 720° olur.

Şekilli sorularda bu toplam genellikle bir denklem kurmak için kullanılır. Açıları $x$ cinsinden verilmiş bir beşgende bütün açıları toplayıp $540^\circ$'ye eşitlersin. Dörtgende de aynı yolla dört açının toplamını $360^\circ$'ye eşitlersin; dörtgende açıortaylar ya da uzatılmış kenarlar varsa, oluşan üçgenlerde $180^\circ$ kuralını da birlikte yazarsın.

Dış açılar toplamı

Bir köşedeki iç açı ile o köşede bir kenarın uzantısının oluşturduğu açı bütünlerdir; bu ikinci açıya dış açı denir. Dışbükey bir çokgenin her köşesinden bir dış açı alınırsa bunların toplamı, kenar sayısı ne olursa olsun

$$ \text{Dış açılar toplamı} = 360^\circ $$

olur. Kısa gerekçe: $n$ köşede iç ve dış açı toplamı $n \cdot 180^\circ$'dir. Bundan iç açılar toplamı $(n - 2) \cdot 180^\circ$ çıkarılırsa $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ kalır. Sezgisel bir yol da vardır: çokgenin kenarları boyunca yürüyen biri her köşede dış açı kadar döner ve başladığı yere aynı yöne bakarak döndüğünde tam bir tur, yani $360^\circ$ dönmüş olur.

Beşgende dış açılar — Her köşede kenarın uzantısıyla oluşan dış açılar toplanınca tam bir tur, 360° elde edilir.

Köşegen sayısı

$n$ kenarlı çokgenin her köşesinden $n - 3$ köşegen çıkar. $n$ köşe için bu sayıları toplarsak her köşegeni iki ucundan iki kez saymış oluruz. Bu yüzden

$$ \text{Köşegen sayısı} = \frac{n(n - 3)}{2} $$

bulunur. Beşgende 5, altıgende 9, sekizgende 20, ongende 35 köşegen vardır. Bir başka bakış: $n$ köşeden ikisini seçmenin $\frac{n(n - 1)}{2}$ yolu vardır; bunlardan $n$ tanesi kenardır ve kalanlar köşegendir. Köşegen sayısının kenar sayısına eşit olduğu tek çokgen beşgendir: $\frac{n(n - 3)}{2} = n$ denklemi $n = 5$ verir.

Düzgün çokgenler

Bütün kenarları eşit ve bütün iç açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir. Eşkenar üçgen ve kare en bilinen örneklerdir. Yalnızca kenarların eşit olması yetmez: eşkenar dörtgenin kenarları eşittir ama açıları eşit olmadığı için düzgün değildir. Dikdörtgenin açıları eşittir ama kenarları eşit olmadığı için o da düzgün değildir.

Düzgün $n$-genin dış açıları eşit olduğundan her biri $\frac{360^\circ}{n}$'dir; iç açı bunun bütünleridir:

$$ \text{Bir dış açı} = \frac{360^\circ}{n}, \qquad \text{Bir iç açı} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} $$

Düzgün beşgende iç açı $108^\circ$, düzgün altıgende $120^\circ$, düzgün sekizgende $135^\circ$, düzgün onikigende $150^\circ$'dir. Soru bir iç açı verip kenar sayısını sorduğunda dış açıya geçmek hesabı kısaltır: iç açısı $156^\circ$ olan düzgün çokgenin dış açısı $24^\circ$, kenar sayısı $\frac{360}{24} = 15$'tir.

Düzgün çokgenin köşelerinin hepsi bir çemberin üzerindedir ve bu çemberin merkezi çokgenin de merkezidir. Merkezi köşelere birleştirirsen çokgen $n$ tane eş ikizkenar üçgene ayrılır; tepe açılarının her biri $\frac{360^\circ}{n}$'dir. Düzgün çokgenlerde açı sorularının çoğu bu ikizkenar üçgenlerle ya da iki komşu kenar ve bir köşegenin oluşturduğu ikizkenar üçgenle çözülür. Düzgün beşgende ABC üçgeni ikizkenardır, tepe açısı $108^\circ$ olduğundan taban açıları $36^\circ$'dir.

Düzgün altıgen

Düzgün altıgende merkezdeki tepe açıları $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ olur. Tepe açısı $60^\circ$ olan ikizkenar üçgenin taban açıları da $60^\circ$ olduğundan bu altı üçgenin her biri eşkenar üçgendir. Kenarı $a$ olan düzgün altıgen kenarı $a$ olan altı eşkenar üçgenden oluşur:

$$ A = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} $$

Bu bölünmeden köşegenler de hemen çıkar. Karşılıklı köşeleri birleştiren uzun köşegen merkezden geçer ve iki eşkenar üçgen kenarından oluşur: $|AD| = 2a$. Bir köşe atlayan kısa köşegen ise ABC ikizkenar üçgeninin tabanıdır; B'deki açı $120^\circ$ olduğundan B'den inen yükseklik bir 30-60-90 üçgeni oluşturur ve $|AC| = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$ bulunur. ACE üçgeni kenarı $a\sqrt{3}$ olan bir eşkenar üçgendir ve alanı altıgenin tam yarısıdır.

Düzgün altıgen — Merkezden çizilen altı doğru parçası altıgeni altı eşkenar üçgene ayırır; kısa köşegen a√3, uzun köşegen 2a'dır.

Düzgün çokgenlerle döşeme

Bir zemini eş düzgün çokgen biçimli karolarla boşluksuz ve üst üste binmeden kaplamak için bir köşe noktasında buluşan karoların iç açıları toplamı tam $360^\circ$ olmalıdır. Tek bir çeşit karo kullanılıyorsa iç açı $360^\circ$'nin bir bölenine eşit olmalıdır. Eşkenar üçgende $6 \cdot 60^\circ$, karede $4 \cdot 90^\circ$, düzgün altıgende $3 \cdot 120^\circ$ bu koşulu sağlar. Düzgün beşgenin $108^\circ$'lik açısı 360'ı bölmez; üç beşgen $324^\circ$ eder ve aralarda boşluk kalır. Yedi ve daha fazla kenarlı düzgün çokgenlerin iç açısı $120^\circ$'den büyük, $180^\circ$'den küçüktür; bir köşede üç tanesi sığmaz, iki tanesi de $360^\circ$'yi tamamlamaz. Bu yüzden tek tür düzgün çokgenle yapılan döşemeler yalnızca bu üçüdür.

İki ya da üç çeşit düzgün çokgen kullanılırsa başka seçenekler doğar. Bir köşede iki düzgün sekizgen ve bir kare buluşabilir: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. Bir kare, bir düzgün altıgen ve bir düzgün onikigen de bir köşeyi tamamlar: $90^\circ + 120^\circ + 150^\circ = 360^\circ$.

Düzgün döşemeler — Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen tek başına döşeme yapabilir; düzgün sekizgen ancak kareyle birlikte.

Dörtgenler: açı ve alan

Her dörtgen bir köşegeniyle iki üçgene ayrılır, iç açıları toplamı $360^\circ$'dir. Köşegenlerin uzunlukları $e$ ve $f$, aralarındaki açı $\theta$ olan bir dışbükey dörtgenin alanı

$$ A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin\theta $$

olur. Nedeni şu: köşegenler dörtgeni dört üçgene ayırır ve her üçgenin alanı iki köşegen parçasıyla aralarındaki açının sinüsünden yazılır ($\theta$ ile $180^\circ - \theta$'nın sinüsü aynıdır). Dört alanı toplayıp ortak çarpanı alınca köşegen parçaları birleşir ve $e$ ile $f$ kalır. Köşegenler dikse $\sin 90^\circ = 1$ olduğundan $A = \frac{e \cdot f}{2}$ bulunur. Bu formül eşkenar dörtgen, kare ve deltoid için de geçerlidir.

Köşegenlerle dörtgenin alanı — Solda genel dörtgen; sağda köşegenleri dik dörtgende alan köşegenlerin çarpımının yarısıdır.

Köşegenleri dik olan dörtgende bir kenar bağıntısı daha vardır. Köşegenlerin kesim noktası O ise dört dik üçgende Pisagor teoremini yazıp karşılıklı kenarları toplarsan

$$ |AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 $$

elde edersin, çünkü iki tarafta da $|OA|^2 + |OB|^2 + |OC|^2 + |OD|^2$ vardır. Üç kenar verilip dördüncüsü sorulduğunda bu eşitlik doğrudan sonuca götürür.

Bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını sırayla birleştirirsen her zaman bir paralelkenar elde edersin. Orta taban teoremine göre bu paralelkenarın karşılıklı kenarları bir köşegene paralel ve onun yarısı uzunluğundadır; alanı da dörtgenin alanının yarısıdır.

Yamuk

Yalnızca iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel kenarlara taban, öbür iki kenara yan kenar denir. Paralel tabanlar arasındaki uzaklık yüksekliktir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir; orta taban tabanlara paraleldir ve uzunluğu tabanların aritmetik ortalamasıdır:

$$ |EF| = \frac{a + c}{2}, \qquad A = \frac{a + c}{2} \cdot h $$

Orta tabanın uzunluğu bir köşegen çizilince görülür: köşegen yamuğu iki üçgene ayırır ve orta taban bu üçgenlerin orta tabanlarının toplamıdır, yani $\frac{a}{2} + \frac{c}{2}$. Alan formülü de aynı bölmeden gelir: yükseklikleri $h$ olan iki üçgenin alanları $\frac{a \cdot h}{2}$ ile $\frac{c \cdot h}{2}$'dir. Aynı akıl yürütmeyle köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklık $\frac{a - c}{2}$'dir; orta taban üzerinde köşegenlerin arasında kalan parça budur.

Yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta taban açıları eşittir, köşegenler eşittir ve şekil bir simetri eksenine göre simetriktir. Kısa tabanın uçlarından uzun tabana inen iki dikme uzun tabanı $\frac{a - c}{2}$, $c$ ve $\frac{a - c}{2}$ uzunluğunda üç parçaya ayırır. Yükseklik ve köşegen bu parçalarla kurulan dik üçgenlerden bulunur. Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir; burada dik kenar yüksekliğin kendisidir ve öbür yan kenardan bir dik üçgen oluşur.

Yamukta köşegenler ve alanlar

ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ olsun ve köşegenler E'de kesişsin. Köşegenler yamuğu dört üçgene ayırır. ABD ve ABC üçgenlerinin tabanı $[AB]$ ve yüksekliği ortaktır, bu yüzden alanları eşittir. İkisinden de ortak parça AEB çıkarılırsa

$$ A(AED) = A(BEC) $$

kalır. Yani yan kenarlara bitişik iki üçgenin alanları her zaman eşittir. Dört üçgenin alanlarını $S_1 = A(DEC)$, $S_3 = A(AEB)$ ve yan üçgenler için $S$ ile gösterirsek, $\frac{S}{S_1} = \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{S_3}{S}$ olur (her oranda yükseklik ortaktır). Buradan

$$ S^2 = S_1 \cdot S_3 $$

bulunur. Tabanların oranı $\frac{c}{a}$ ise E noktası her iki köşegeni de bu oranda böler; $S_1 : S : S_3 = c^2 : ac : a^2$ olur.

Yamukta dört üçgen — Yan üçgenlerin alanları eşittir ve alan, üstteki ile alttaki üçgenin alanlarının geometrik ortasıdır.

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Bir köşegen paralelkenarı iki eş üçgene ayırdığı için (iç ters açılar ve ortak kenar) şu özellikler çıkar:

Karşılıklı kenarlar eşittir, karşılıklı açılar eşittir.
Komşu açılar bütünlerdir: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ$.
Köşegenler birbirini ortalar (ama genelde eşit ve dik değildir).

Bu özelliklerin her biri tersine de çalışır: köşegenleri birbirini ortalayan ya da karşılıklı kenarları eşit olan dörtgen bir paralelkenardır. Alan, bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır; iki kenar ve aradaki açıyla da yazılabilir:

$$ A = a \cdot h_a = a \cdot b \cdot \sin\alpha $$

Paralelkenarda iki kullanışlı alan bilgisi vardır. Birincisi: köşegenler paralelkenarı alanları eşit dört üçgene ayırır. Köşegenler birbirini ortaladığı için yan yana duran iki üçgenin tabanları eşit, yükseklikleri ortaktır. İkincisi: paralelkenarın iç bölgesindeki bir P noktası köşelere birleştirilirse karşılıklı iki üçgenin alanları toplamı paralelkenarın alanının yarısıdır. PAB ve PCD üçgenlerinin tabanları eşittir ($|AB| = |DC|$) ve P'nin bu iki kenara uzaklıklarının toplamı paralelkenarın yüksekliğidir; bu yüzden

$$ A(PAB) + A(PCD) = \frac{|AB| \cdot h}{2} = A(PBC) + A(PDA) $$

Paralelkenarda alanlar — Solda köşegenlerin ayırdığı dört eşit üçgen; sağda iç noktadan karşılıklı üçgenlerin alanları toplamı eşittir.

Açıortaylarla ilgili iki sonuç da sınavda sık işe yarar. A açısının açıortayı [DC]'yi E'de keserse, $[DC] \parallel [AB]$ olduğundan $m(\widehat{DEA}) = m(\widehat{EAB}) = m(\widehat{DAE})$ olur ve ADE ikizkenar üçgendir: $|DE| = |AD|$. Ayrıca komşu iki açının açıortayları birbirini dik keser, çünkü yarılarının toplamı $90^\circ$'dir.

Eşkenar dörtgen

Bütün kenarları eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır; onun bütün özelliklerine ek olarak köşegenleri birbirini dik olarak ortalar ve köşegenler köşelerdeki açıları ikiye böler. Köşegenler $e$ ve $f$, kenar $a$ ise köşegenlerin oluşturduğu dört eş dik üçgenden

$$ a^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2, \qquad A = \frac{e \cdot f}{2} = a \cdot h = a^2 \sin\alpha $$

yazılır. Dar açısı $60^\circ$ olan eşkenar dörtgende kısa köşegen eşkenar dörtgeni iki eşkenar üçgene ayırır ve kenara eşittir; uzun köşegen $a\sqrt{3}$'tür.

Dikdörtgen ve kare

Bütün açıları dik olan dörtgene dikdörtgen denir. Dikdörtgen bir paralelkenardır ve köşegenleri eşittir: kenarları $a$ ve $b$ ise köşegen $\sqrt{a^2 + b^2}$'dir. Köşegenleri eşit olan bir paralelkenar da dikdörtgendir. Köşegenler birbirini ortaladığı ve eşit olduğu için kesim noktası dört köşeye eşit uzaklıktadır.

Hem bütün kenarları hem bütün açıları eşit olan dörtgen karedir; kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir. Kenarı $a$ olan karenin köşegeni $a\sqrt{2}$'dir; köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar. Alan $a^2$'dir ve köşegen cinsinden $\frac{d^2}{2}$ yazılır.

Karenin içindeki sorularda iki fikir çok işe yarar. Birincisi eşlik: karenin bir köşesinden geçen bir doğruya komşu iki köşeden dikmeler inilirse oluşan iki dik üçgenin hipotenüsleri karenin kenarıdır ve dar açıları eşittir; bu üçgenler eştir ve uzunluklar yer değiştirir. İkincisi kırık çizgi: köşeler arasındaki dik açılı kırık çizgileri bir dikdörtgene tamamlarsan köşegen bir dik üçgenin hipotenüsü olur ve alan $\frac{d^2}{2}$'den gelir.

Deltoid

İki ayrı çift komşu kenarı eşit olan dörtgene deltoid denir: $|AB| = |AD|$ ve $|CB| = |CD|$. Eşit kenarların buluştuğu köşeleri birleştiren köşegen [AC] bir simetri eksenidir. Bu yüzden deltoidde köşegenler diktir ve [AC], [BD]'yi ortalar; ancak [BD], [AC]'yi genelde ortalamaz. Alan, köşegenleri dik her dörtgende olduğu gibi $\frac{e \cdot f}{2}$'dir. B ve D köşelerindeki açılar eşittir. Deltoidin dört kenarı da eşitse eşkenar dörtgen elde edilir.

Dörtgenler arasındaki ilişki

Dörtgen türlerini bir aile gibi düşünmek I-II-III öncüllü soruları kolaylaştırır. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir; dikdörtgen ve eşkenar dörtgen birer paralelkenardır; paralelkenar da her dörtgen gibi iç açıları toplamı $360^\circ$ olan bir dörtgendir. Bir özellik büyük bir sınıf için doğruysa alt sınıflar için de doğrudur, tersi her zaman değil. "Köşegenleri dik olan dörtgen eşkenar dörtgendir" yargısı yanlıştır, deltoid buna karşı örnektir; "köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen paralelkenardır" yargısı ise doğrudur.

Dörtgen ailesi — Eşkenar dörtgende köşegenler dik ve birbirini ortalar; dikdörtgende eşit; karede hem eşit hem dik; deltoidde dik ama yalnızca biri öbürünü ortalar.

Özellik	Paralelkenar	Eşkenar dörtgen	Dikdörtgen	Kare	Deltoid
Köşegenler birbirini ortalar	evet	evet	evet	evet	yalnızca biri
Köşegenler eşit	hayır	hayır	evet	evet	hayır
Köşegenler dik	hayır	evet	hayır	evet	evet
Alan	$a \cdot h$	$\frac{e \cdot f}{2}$	$a \cdot b$	$a^2$	$\frac{e \cdot f}{2}$

ÖSYM bu konuyu nasıl soruyor? Sorular çoğunlukla şekillidir ve bilinmeyen bir $x$ ile işaretlenir:

Düzgün çokgenle kare ya da eşkenar üçgenin birlikte çizildiği şekillerde ikizkenar üçgenlerden açı bulma.
Kenar sayısı, iç açı, dış açı ve köşegen sayısı arasında geçiş; "bir iç açısı bir dış açısının $k$ katı" kalıbı.
Kare ya da dikdörtgen kâğıdın katlanması; katlama çizgisi ve üst üste gelen bölgenin alanı.
Yamukta orta taban, ikizkenar yamukta yükseklik, köşegenlerin ayırdığı üçgenlerde alan; paralelkenarda iç nokta ve açıortay.
Bir şeklin alanını parçalara bölme ya da köşe üçgenlerini çıkararak taralı alan bulma.
Döşeme, bahçe ya da avlu gibi günlük hayat bağlamları ve dörtgen türleriyle ilgili I-II-III öncüllü kavram soruları.

Formüller

$$(n - 2) \cdot 180^\circ$$

Dışbükey n-genin iç açıları toplamı

$$360^\circ$$

Dış açılar toplamı, kenar sayısından bağımsız

$$\frac{n(n - 3)}{2}$$

Köşegen sayısı; bir köşeden n − 3 köşegen

$$\frac{360^\circ}{n},\ 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$$

Düzgün n-genin bir dış ve bir iç açısı

$$A = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$

Düzgün altıgen (altı eşkenar üçgen); kısa köşegen a√3, uzun köşegen 2a

$$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin\theta$$

Dörtgenin alanı; köşegenler dikse e · f / 2

$$a^2 + c^2 = b^2 + d^2$$

Köşegenleri dik dörtgende karşılıklı kenarların kareleri toplamı (a ile c, b ile d karşılıklı)

$$A = \frac{a + c}{2} \cdot h$$

Yamuğun alanı; orta taban (a + c) / 2

$$S^2 = S_1 \cdot S_3$$

Yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenler (alanları eşit)

$$A = a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin\alpha$$

Paralelkenarın alanı

$$A(PAB) + A(PCD) = \frac{A(ABCD)}{2}$$

Paralelkenarın iç bölgesindeki P noktası

$$a^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2,\ A = \frac{e \cdot f}{2}$$

Eşkenar dörtgen

$$d = a\sqrt{2},\ A = a^2 = \frac{d^2}{2}$$

Kare

Çözümlü örnekler

Örnek 1Açılar toplamından köşegen sayısına

İç açılarının ölçüleri toplamı $1260^\circ$ olan dışbükey bir çokgenin kaç köşegeni vardır? Bu çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilebilir?

Örnek 2İç açı ile dış açı arasındaki oran

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 4 katıdır. Bu çokgenin kenar sayısı kaçtır ve bir iç açısı kaç derecedir?

Örnek 3Düzgün altıgenin köşegenleri

Şekildeki ABCDEF düzgün altıgeninin bir kenarı 4 birimdir. $|AC|$ ve $|AD|$ kaç birimdir? ACE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Örnek 4İkizkenar yamukta yükseklik ve köşegen

Şekildeki ABCD ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$, $|AB| = 14$ cm, $|DC| = 4$ cm ve $|AD| = |BC| = 13$ cm'dir. Yamuğun yüksekliği, $|AC|$ ve alanı nedir?

Örnek 5Yamukta köşegenlerin ayırdığı alanlar

Şekildeki ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ve köşegenler E noktasında kesişmektedir. $A(DEC) = 4$ birimkare ve $A(AEB) = 25$ birimkare olduğuna göre yamuğun alanı kaç birimkaredir? $|DC| : |AB|$ oranı kaçtır?

Örnek 6Paralelkenarın içindeki nokta

Şekildeki ABCD paralelkenarının iç bölgesindeki bir P noktası köşelere birleştirilmiştir. $A(PAB) = 7$, $A(PBC) = 12$ ve $A(PCD) = 11$ birimkare olduğuna göre PDA üçgeninin alanı ve paralelkenarın alanı kaçtır?

Örnek 7Köşegenlerden eşkenar dörtgene

Şekildeki ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri $|AC| = 24$ birim ve $|BD| = 10$ birimdir. Eşkenar dörtgenin bir kenarı, alanı ve D köşesinden [AB]'ye inen yüksekliği $|DH|$ kaçtır?

Örnek 8Karede iki dikme

Şekildeki ABCD karesinde E noktası [DC] üzerindedir. B ve D köşelerinden AE doğrusuna inen dikmelerin ayakları sırasıyla H ve K'dir. $|BH| = 12$ cm ve $|DK| = 5$ cm olduğuna göre $|HK|$ kaç cm'dir ve karenin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

Örnek 9Köşegen boyunca katlanan dikdörtgen

ABCD dikdörtgeni biçimindeki kâğıtta $|AB| = 8$ cm ve $|AD| = 4$ cm'dir. Kâğıt [BD] köşegeni boyunca katlanınca C köşesi C′ noktasına geliyor ve [DC′], [AB]'yi E noktasında kesiyor. $|AE|$ kaç cm'dir? Kâğıdın iki katmanının üst üste geldiği DEB üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

Sık yapılan hatalar

İç açılar toplamında $(n - 2) \cdot 180^\circ$ yerine $n \cdot 180^\circ$ ya da $(n - 1) \cdot 180^\circ$ yazmak; dörtgende $360^\circ$ çıktığını denetle.
Dış açılar toplamının kenar sayısına bağlı olduğunu sanmak; her dışbükey çokgende $360^\circ$'dir.
Köşegen sayısında 2'ye bölmeyi unutmak ya da bir köşeden çıkan köşegen sayısını ($n - 3$) toplam sanmak.
Düzgün altıgende kısa köşegeni $2a$, uzun köşegeni $a\sqrt{3}$ almak; uzun köşegen merkezden geçer ve $2a$'dır.
Yamukta yükseklik yerine yan kenarı kullanmak; yan kenar ancak dik yamukta yüksekliktir.
Paralelkenarın köşegenlerini eşit ya da dik sanmak; bu yalnızca dikdörtgende (eşit) ve eşkenar dörtgende (dik) doğrudur.
Köşegenleri dik her dörtgeni eşkenar dörtgen saymak; deltoidin köşegenleri de diktir.
Kare alanını köşegenle $d^2$ diye yazmak; doğrusu $\frac{d^2}{2}$'dir.

Günlük hayatta

Bal arılarının peteğindeki gözler düzgün altıgene çok yakındır. Düzlemi eşit alanlı parçalara bölmenin, toplam sınır uzunluğu en kısa olan yolu düzgün altıgenlerle bölmektir; "petek sanısı" denen bu önerme 1999'da matematikçi Thomas Hales tarafından kanıtlandı. Arıların gözlerin duvarlarına görece az balmumu harcamasının geometrik açıklaması olarak bu sonuç anılır. Kaldırım taşlarında ve banyo seramiklerinde kare, altıgen ya da sekizgen ile küçük karelerin birlikte kullanıldığı desenler de bir köşede buluşan açıların toplamının $360^\circ$ olması ilkesine dayanır. Birçok yaylı masa lambasının kolunda paralelkenar oluşturan çubuklar vardır: kol nasıl hareket ettirilirse ettirilsin karşılıklı çubuklar paralel kaldığı için lambanın başı aynı yöne bakmaya devam eder.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

İç açılarının ölçüleri toplamı $1080^\circ$ olan dışbükey bir çokgenin kaç köşegeni vardır?

2Kolay

Bir dış açısının ölçüsü $24^\circ$ olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

3Kolay

Şekildeki ABCDE beşgeninde iç açıların ölçüleri $m(\widehat{A}) = 120^\circ$, $m(\widehat{B}) = 95^\circ$, $m(\widehat{C}) = x + 40^\circ$, $m(\widehat{D}) = 2x$ ve $m(\widehat{E}) = 105^\circ$'dir. Buna göre $x$ kaç derecedir?

4Kolay

Komşu iki kenarının uzunlukları 10 cm ve 8 cm, bu kenarlar arasındaki açısının ölçüsü $30^\circ$ olan paralelkenarın alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

5Kolay

Köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm'dir?

6Kolay

Köşegen uzunluğu 10 cm olan karenin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

7Orta

Şekildeki ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$; E ve F noktaları sırasıyla [AD] ve [BC] kenarlarının orta noktalarıdır. [AC] köşegeni [EF]'yi K noktasında, [BD] köşegeni [EF]'yi L noktasında kesmektedir. $|DC| = 6$ birim ve $|EF| = 11$ birim olduğuna göre $|KL| = x$ kaç birimdir?

8Orta

Şekildeki ABCD ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$, $|AD| = |BC|$, $m(\widehat{DAB}) = 45^\circ$, $|AB| = 18$ birim ve $|DC| = 8$ birimdir. Buna göre ABCD yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

9Orta

Şekildeki ABCD dik yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$, $[AD] \perp [AB]$, $|AB| = 15$ cm, $|DC| = 7$ cm ve $|BC| = 10$ cm'dir. Buna göre ABCD yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

10Orta

Şekildeki ABCD paralelkenarında [AE], A açısının açıortayıdır ve E noktası [DC] üzerindedir. $|AD| = 7$ cm ve $|EC| = 4$ cm olduğuna göre ABCD paralelkenarının çevresi kaç cm'dir?

11Orta

Şekildeki ABCDEF düzgün altıgeninin bir kenarı 6 birimdir. Buna göre taralı ABDE dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

12Orta

Şekildeki ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ve köşegenler E noktasında kesişmektedir. $A(AED) = 12$ birimkare ve $A(DEC) = 8$ birimkare olduğuna göre ABCD yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

13Orta

Dörtgenlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I.Köşegenleri birbirini ortalayan her dörtgen bir paralelkenardır.
II.Köşegenleri birbirine dik olan her dörtgen bir eşkenar dörtgendir.
III.Köşegen uzunlukları eşit olan her paralelkenar bir dikdörtgendir.

14Orta

Bir avlu, hepsi aynı büyüklükte ve aynı düzgün çokgen biçiminde olan karolarla döşenecektir. Karolar arasında boşluk kalmayacak, karolar üst üste binmeyecek ve karoların köşeleri yalnızca başka karoların köşeleriyle buluşacaktır. Kenar sayısı 3 ile 12 arasında (3 ve 12 dahil) olan düzgün çokgenlerden kaç tanesi bu döşeme için kullanılabilir?

15Orta

Şekildeki ABCD deltoidinde $|AB| = |AD| = 13$ cm, $|CB| = |CD| = 20$ cm ve $|BD| = 24$ cm'dir. Buna göre ABCD deltoidinin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

16Orta

Şekildeki ABCD dikdörtgeninde E noktası [DC], F noktası [BC] üzerindedir. $|AB| = 12$ cm, $|AD| = 8$ cm, $|DE| = 3$ cm ve $|BF| = 2$ cm olduğuna göre taralı AEF üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

17Orta

Şekildeki ABCD dörtgeninin köşegenleri birbirine diktir. $|AB| = 6$ birim, $|BC| = 7$ birim ve $|CD| = 9$ birim olduğuna göre $|AD| = x$ kaç birimdir?

18Orta

Bir eşkenar dörtgenin geniş açısının ölçüsü $120^\circ$ ve alanı $18\sqrt{3}$ birimkaredir. Buna göre bu eşkenar dörtgenin uzun köşegeni kaç birimdir?

19Zor

Şekildeki ABCD karesinin iç bölgesinde ABE eşkenar üçgeni çizilmiştir. Buna göre $m(\widehat{DEC}) = x$ kaç derecedir?

20Zor

Şekildeki ABCD paralelkenarında E noktası [BC]'nin orta noktasıdır; [AE] ile [BD] köşegeni F noktasında kesişmektedir. ABCD paralelkenarının alanı 48 birimkare olduğuna göre taralı BFE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

21Zor

Şekildeki ABCD paralelkenarının iç bölgesindeki bir P noktası köşelere birleştirilmiştir. $A(PAB) = 10$, $A(PBC) = 16$ ve $A(PCD) = 14$ birimkare olduğuna göre taralı PAC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

22Zor

Şekildeki ABCD dikdörtgeni biçimindeki kâğıtta $|AB| = 16$ cm ve $|AD| = 8$ cm'dir. Kâğıt, E noktası [AB], F noktası [DC] üzerinde olan [EF] boyunca katlandığında C köşesi A köşesinin üzerine geliyor. Buna göre $|EF|$ kaç cm'dir?

23Zor

Şekildeki ABCD karesinin iç bölgesinde $[AE] \perp [EF]$ ve $[EF] \perp [FC]$'dir; A ve C noktaları EF doğrusunun farklı taraflarındadır. $|AE| = 3$ cm, $|EF| = 6$ cm ve $|FC| = 5$ cm olduğuna göre ABCD karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

24Zor

Şekildeki ABCDEFGH düzgün sekizgeninin bir kenarı 2 birimdir. Buna göre taralı ACEG dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

25Zor

Şekildeki ABCD paralelkenarında A ve B açılarının açıortayları [DC] üzerindeki E noktasında kesişmektedir. $|AE| = 6$ cm ve $|BE| = 8$ cm olduğuna göre ABCD paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

26Zor

Şekildeki ABCDE düzgün beşgeninin iç bölgesinde, [AB] kenarı üzerine ABFG karesi çizilmiştir. Buna göre $m(\widehat{DEG}) = x$ kaç derecedir?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.