Dik Üçgen, Pisagor ve Üçgende Alan

Dik üçgen ve Pisagor teoremi

Bir açısı \(90^\circ\) olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, dik açıyı oluşturan iki kenara dik kenar adı verilir. Üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunduğundan ve öbür iki açı dar olduğundan hipotenüs her zaman en uzun kenardır. ABC üçgeninde \(m(\widehat{A}) = 90^\circ\) ise hipotenüs \(a = |BC|\), dik kenarlar \(b = |AC|\) ve \(c = |AB|\) olur.

Dik üçgenin üç kenarı arasında çok sade bir bağıntı vardır. Pisagor teoremi der ki:

Yani hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. Bunun nedenini bir alan hesabıyla görebiliriz. Kenarı \(b + c\) olan bir karenin içine, dik kenarları \(b\) ile \(c\) olan dört eş dik üçgeni şekildeki gibi yerleştir. Ortada kenarı \(a\) olan bir dörtgen kalır. Bu dörtgenin her köşesinde, iki dik üçgenin dar açıları ile ortadaki açı bir doğru açı oluşturur; dar açıların toplamı \(90^\circ\) olduğundan ortadaki açı da \(90^\circ\)'dir ve dörtgen bir karedir. Büyük karenin alanını iki yoldan yazalım:

Teorem iki yönde kullanılır. Dik kenarlar biliniyorsa hipotenüs \(a = \sqrt{b^2 + c^2}\) ile bulunur. Hipotenüs ve bir dik kenar biliniyorsa öbür dik kenar \(b = \sqrt{a^2 - c^2}\) olur. Örneğin hipotenüsü 17, bir dik kenarı 15 olan üçgende öbür dik kenarın karesi \(289 - 225 = 64\), kendisi 8'dir.

Pisagor teoreminin tersi ve üçgenin türü

Teoremin tersi de doğrudur: bir üçgende en uzun kenarın karesi öbür iki kenarın karelerinin toplamına eşitse bu üçgen dik üçgendir ve dik açı en uzun kenarın karşısındadır. Kenarları 7, 24 ve 25 olan üçgende \(49 + 576 = 625 = 25^2\) olduğundan üçgen diktir.

Eşitlik sağlanmıyorsa da kenarlar bize açıyı söyler. İki kenarı \(b\) ve \(c\) olan bir üçgende bu kenarların arasındaki açıyı büyüttükçe karşıdaki kenar uzar. Açı tam \(90^\circ\) iken karşı kenarın karesi \(b^2 + c^2\)'dir. Açı bundan küçükse karşı kenar daha kısa, büyükse daha uzun olur. Buradan, en uzun kenar \(a\) olmak üzere:

• \(a^2 = b^2 + c^2\) ise üçgen dik açılıdır,
• \(a^2 < b^2 + c^2\) ise en büyük açı dar, yani üçgen dar açılıdır,
• \(a^2 > b^2 + c^2\) ise en büyük açı geniştir, üçgen geniş açılıdır.

Kenarları 6, 7 ve 9 olan üçgende \(81 < 36 + 49 = 85\) olduğundan üçgen dar açılıdır. Kenarları 4, 6 ve 8 olan üçgende \(64 > 16 + 36 = 52\) olduğundan üçgen geniş açılıdır.

Pisagor üçlüleri

Kenarları tam sayı olan dik üçgenlerin kenar üçlülerine Pisagor üçlüsü denir. Sınavda en sık karşına çıkanlar şunlardır:

Bir üçlünün her elemanı aynı sayıyla çarpılırsa yine Pisagor üçlüsü çıkar, çünkü \((kb)^2 + (kc)^2 = k^2(b^2 + c^2) = (ka)^2\) olur. Bu yüzden 0,6; 0,8 ve 1 ya da 1,5; 2 ve 2,5 gibi ondalık kenarlar da aslında 3-4-5 üçgenidir. Bir şekilde dik kenarlar 12 ve 16 verilmişse hipotenüsü hesaplamadan 20 diye yazabilirsin: \(12 = 4 \cdot 3\), \(16 = 4 \cdot 4\).

Her dik üçgenin kenarları tam sayı değildir. Dik kenarları 1 ve 1 olan üçgenin hipotenüsü \(\sqrt{2}\)'dir. Üçlüler yalnızca hesabı hızlandırır; tanıyamadığın durumda Pisagor teoremi her zaman işini görür.

Özel dik üçgenler: 30-60-90 ve 45-45-90

Bazı açılarda kenarların oranı sabittir ve ezberlemeye değer. Kenarı \(2k\) olan bir eşkenar üçgeni bir yüksekliğiyle ikiye böl. Yükseklik tabanı ortaladığı için açıları \(30^\circ\), \(60^\circ\) ve \(90^\circ\) olan iki eş dik üçgen oluşur. Hipotenüs \(2k\), kısa dik kenar \(k\) olur ve Pisagor ile uzun dik kenar \(\sqrt{4k^2 - k^2} = k\sqrt{3}\) bulunur:

Kısaca: \(30^\circ\)'nin karşısındaki dik kenar hipotenüsün yarısıdır. Tersi de doğrudur; bir dik üçgende bir dik kenar hipotenüsün yarısıysa onun karşısındaki açı \(30^\circ\)'dir.

Kenarı \(k\) olan bir kareyi köşegeniyle ikiye bölersen açıları \(45^\circ\), \(45^\circ\) ve \(90^\circ\) olan ikizkenar dik üçgen elde edersin. Dik kenarlar \(k\), hipotenüs \(\sqrt{k^2 + k^2} = k\sqrt{2}\)'dir. Bu yüzden karenin köşegeni kenarın \(\sqrt{2}\) katıdır.

Bu üçgenler genellikle tek başına değil, bir yükseklikle ikiye ayrılmış bir üçgenin parçaları olarak gelir. \(m(\widehat{B}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{C}) = 30^\circ\) olan bir üçgende A'dan [BC]'ye dikme indirirsen bir 45-45-90 ve bir 30-60-90 üçgeni elde edersin. Dikme iki üçgenin ortak kenarıdır; hesap ondan başlar.

15-75-90 üçgeni ve 3-4-5'in açıları

Dar açıları \(15^\circ\) ve \(75^\circ\) olan dik üçgende kenarların oranı kökler yüzünden karışıktır, ama hipotenüse ait yüksekliğin güzel bir özelliği vardır. ABC'de \(m(\widehat{A}) = 90^\circ\), \(m(\widehat{C}) = 15^\circ\) ve \(|BC| = a\) olsun. A'dan hipotenüse kenarortay çizelim; M, [BC]'nin orta noktası olsun. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısı olduğundan \(|MA| = |MC| = \frac{a}{2}\)'dir. AMC üçgeni ikizkenar olduğu için \(m(\widehat{MAC}) = 15^\circ\) ve dış açı \(m(\widehat{AMB}) = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ\) olur. Şimdi A'dan [BC]'ye inen yükseklik AH olsun. AMH dik üçgeninde \(30^\circ\)'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır:

Sonuç: 15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik hipotenüsün dörtte biridir; alan da \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{4} = \frac{a^2}{8}\) olur. Hipotenüsü 20 olan böyle bir üçgende yükseklik 5, alan 50'dir.

3-4-5 üçgeninin açıları ise tam sayı değildir. Küçük dar açı yaklaşık \(36{,}87^\circ\), büyük dar açı yaklaşık \(53{,}13^\circ\)'dir. Soru kitaplarında ve bazı sınav sorularında bu üçgen yuvarlatılarak 37-53 üçgeni diye anılır: \(37^\circ\)'nin karşısına \(3k\), \(53^\circ\)'nin karşısına \(4k\), hipotenüse \(5k\) yazılır. Bu bir yaklaşımdır; hesabı açıyla değil, kenar oranı \(3 : 4 : 5\) ile yaparsın. Bir soruda "\(37^\circ\)" görürsen bunun 3-4-5 üçgenine işaret ettiğini düşün, ama sonucu yine kenar oranından bul.

Öklid bağıntıları

Dik üçgende dik köşeden hipotenüse inen yükseklik, üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır. ABC'de \(m(\widehat{A}) = 90^\circ\), \([AH] \perp [BC]\), \(|BH| = p\), \(|HC| = k\) ve \(|AH| = h\) olsun. Üç üçgen de (ABC, HBA ve HAC) birbirine benzerdir: her biri dik üçgendir ve B ya da C açısını büyük üçgenle paylaşır. Örneğin HBA ile ABC'de B açısı ortaktır; HAC ile ABC'de C açısı ortaktır. Ayrıca \(m(\widehat{BAH}) = m(\widehat{C})\) olur, çünkü ikisi de B açısının tümleridir.

Bu benzerliklerden dört bağıntı çıkar:

İlki HBA ile HAC'nin benzerliğinden gelir: \(\frac{h}{p} = \frac{k}{h}\). İkincisi HBA ile ABC'nin benzerliğinden: \(\frac{c}{a} = \frac{p}{c}\). Üçüncüsü aynı biçimde HAC ile ABC'den. Sonuncusu alanın iki yoldan yazılmasıdır: dik kenarlar çarpımının yarısı ile hipotenüs ve yüksekliğin çarpımının yarısı aynı alanı verir.

Sözle ifade etmek akılda tutmayı kolaylaştırır: yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı iki parçanın geometrik ortasıdır; bir dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün çarpımıdır. Örneğin \(p = 4\) ve \(k = 9\) ise \(h = \sqrt{36} = 6\), \(c^2 = 4 \cdot 13 = 52\), \(b^2 = 9 \cdot 13 = 117\) olur. Kontrol: \(52 + 117 = 169 = 13^2\).

Dik üçgende trigonometrik oranlar

Bir dar açısı \(\alpha\) olan bütün dik üçgenler AA kuralıyla benzerdir. Bu yüzden kenarların oranı üçgenin büyüklüğüne değil, yalnızca \(\alpha\) açısına bağlıdır. Bu oranlara ad veririz. \(\alpha\) açısına göre karşıdaki dik kenara karşı dik kenar, açının kolu olan dik kenara komşu dik kenar dersek:

Tanımdan birkaç bağıntı hemen çıkar:

• \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) ve \(\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\).
• Pisagor teoreminden \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): kenarlar \(x\), \(y\), \(r\) ise \(\frac{x^2 + y^2}{r^2} = 1\).
• Dik kenar hipotenüsten kısa olduğu için dar açıda \(0 < \sin\alpha < 1\) ve \(0 < \cos\alpha < 1\)'dir.
• Bir dar açının karşı dik kenarı, öbür dar açının komşu dik kenarıdır. Bu yüzden tümler açılarda \(\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) ve \(\tan\alpha = \cot(90^\circ - \alpha)\) olur.

Özel üçgenlerden 30°, 45° ve 60°'nin değerlerini okuruz. 30-60-90 üçgeninde kenarlar 1, \(\sqrt{3}\), 2; 45-45-90 üçgeninde 1, 1, \(\sqrt{2}\) alınırsa:

Tabloyu ezberlemek yerine üçgeni çiz: \(\sin 60^\circ\) için 60°'nin karşısındaki \(\sqrt{3}\)'ü hipotenüs 2'ye bölersin. Bir oran verilip öbürleri soruluyorsa da aynı yolu izle: \(\tan\alpha = \frac{2}{3}\) ise dik kenarları 2 ve 3 olan bir üçgen çiz, hipotenüsü \(\sqrt{13}\) bul, gerisini oku.

Üçgende alan: taban ve yükseklik

Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

Bunun nedeni, her üçgenin tabanı ve yüksekliği aynı olan bir dikdörtgenin tam yarısını kaplamasıdır. Dik üçgende dik kenarlardan biri öbürüne ait yüksekliktir; alan dik kenarların çarpımının yarısıdır. Geniş açılı üçgende geniş açının yanındaki köşelerden çizilen yüksekliklerin ayağı kenarın uzantısına düşer; yükseklik yine o köşenin taban doğrusuna uzaklığıdır ve formül değişmez.

Formülün en verimli sonucu alan oranlarıdır. Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır. ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerindeyse ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan inen yüksekliği ortaktır, dolayısıyla

olur. Aynı fikir tersine de işler: tabanları aynı olan üçgenlerin alanları yükseklikleriyle orantılıdır. Tepeleri tabana paralel bir doğru üzerinde olan üçgenlerin alanları da bu yüzden eşittir.

Kenarortay ve ağırlık merkezi ile alan

Kenarortay karşı kenarı iki eş parçaya böler ve iki parçanın yüksekliği ortaktır. Bu yüzden her kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya böler. Üç kenarortay birlikte çizilince ağırlık merkezi G'nin çevresinde altı küçük üçgen oluşur ve bunların hepsinin alanı eşittir. Kanıtı kısa: GBD ile GDC'nin tabanları eşit, yükseklikleri ortaktır; alanlarına \(x\) diyelim. ABD ile ADC'nin alanları da eşit olduğundan, bunlardan \(x\)'ler çıkarılınca \(A(ABG) = A(AGC)\) kalır. Aynı akıl yürütmeyle her kenarortayın iki yanındaki küçük üçgenler eşittir. Böylece altı parçanın her biri \(\frac{A(ABC)}{6}\) olur.

Buradan iki kısa sonuç daha çıkar. GBC, GCA ve GAB üçgenlerinin her biri iki parçadan oluştuğu için alanları \(\frac{A(ABC)}{3}\)'tür. Ayrıca G'nin [BC]'ye uzaklığı, A'nın [BC]'ye uzaklığının üçte biridir; çünkü tabanı aynı olan GBC'nin alanı ABC'nin üçte biridir.

Bir köşeden çizilen doğru parçasının orta noktası da benzer bir kısa yol verir. E noktası [AD]'nin orta noktasıysa E'nin [BC]'ye uzaklığı A'nınkinin yarısıdır ve D, [BC]'nin neresinde olursa olsun \(A(EBC) = \frac{A(ABC)}{2}\) olur.

İki kenar ve aradaki açıyla alan

Yükseklik verilmemiş, iki kenar ve aradaki açı verilmişse yüksekliği trigonometriyle buluruz. ABC'de \(|AB| = c\), \(|AC| = b\) ve A açısı dar olsun. C'den AB doğrusuna inen dikmenin uzunluğu, ACH dik üçgeninde \(h = b \cdot \sin A\)'dır. Taban \(c\) alınırsa

bulunur. A açısı geniş olduğunda dikmenin ayağı BA'nın A'nın ötesindeki uzantısına düşer. Bu kez ACH dik üçgeninde A'daki açı \(180^\circ - m(\widehat{A})\)'dır ve yükseklik \(b \cdot \sin(180^\circ - A)\) olur. Bu yüzden \(120^\circ\), \(135^\circ\) ve \(150^\circ\) için sırasıyla \(60^\circ\), \(45^\circ\) ve \(30^\circ\)'nin sinüsünü kullanırsın; \(90^\circ\)'de yükseklik kenarın kendisidir ve alan \(\frac{bc}{2}\) olur.

Kenarları 6 ve 10, aradaki açısı \(150^\circ\) olan üçgenin alanı \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 15\)'tir. Aynı iki kenarla en büyük alan, açı \(90^\circ\) iken elde edilen 30'dur; çünkü yükseklik en fazla kenarın kendisi kadar olabilir.

Eşkenar üçgen ve Heron formülü

Kenarı \(a\) olan eşkenar üçgenin yüksekliği, 30-60-90 üçgeninden \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)'dir. Alan:

Kenarı 6 olan eşkenar üçgenin alanı \(9\sqrt{3}\)'tür. Yükseklik verilmişse önce kenarı bul: \(h = 6\) ise \(a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) ve alan \(12\sqrt{3}\) olur. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan üç kenara inen dikmelerin toplamı da yüksekliğe eşittir; noktayı köşelere birleştirip üç üçgenin alanlarını toplarsan \(\frac{a}{2}(d_1 + d_2 + d_3) = \frac{a \cdot h}{2}\) çıkar.

Üç kenarı bilinen ama yüksekliği bilinmeyen bir üçgende Heron formülü kullanılır. \(u = \frac{a + b + c}{2}\) yarı çevre olmak üzere

Kenarları 13, 14 ve 15 olan üçgende \(u = 21\) ve \(A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\)'tür. Alan bulunduktan sonra her kenara ait yükseklik \(h = \frac{2A}{\text{kenar}}\) ile hemen gelir: 14'e ait yükseklik \(\frac{168}{14} = 12\)'dir. Formülü ikizkenar bir üçgende denetlemek kolaydır: kenarları 5, 5, 6 olan üçgende \(u = 8\), \(A = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12\); tabana ait yükseklik Pisagor'dan 4 olduğu için \(\frac{6 \cdot 4}{2} = 12\) ile aynı sonuç çıkar.