TYT 9. sınıf · 28. konu

Üçgenlerde Eşlik, Benzerlik ve Yardımcı Elemanlar

Eşlik ve benzerlik kuralları, benzerlik oranı, tabana paralel doğru ve kelebek, açıortay teoremi, kenarortay ve ağırlık merkezi, orta taban, yükseklik, Menelaus ve Ceva.

Bu konuda öğreneceklerin

KAK, AKA ve KKK eşlik kurallarını ve eşlikten uzunluk ya da açı bulmayı
AA, KAK ve KKK benzerlik kurallarını; benzerlik oranını, çevre oranını ve alan oranını
Tabana paralel doğrunun oluşturduğu benzerliği (temel orantı teoremi) ve paralel tabanlar arasındaki kelebek benzerliğini
İç ve dış açıortayın karşı kenarı nasıl böldüğünü
Kenarortayları, ağırlık merkezinin 2:1 kuralını, kenarortay uzunluğunu ve orta tabanı
Yüksekliği, diklik merkezini; Menelaus ve Ceva teoremlerinin oran çarpımını

Eşlik ne demek?

İki üçgen, biri öbürünün üzerine tam olarak oturtulabiliyorsa eştir. Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir. ABC üçgeni DEF üçgenine eşse $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ yazılır. Bu yazımda harflerin sırası önemlidir: A köşesi D'ye, B köşesi E'ye, C köşesi F'ye karşılık gelir. Böylece $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$, $|AC| = |DF|$ ve $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ gibi eşitlikleri yazımdan doğrudan okursun.

İki üçgenin eş olduğunu göstermek için altı eşitliğin hepsini denetlemek gerekmez. Bir üçgeni tek biçimde kurmaya yetecek kadar bilgi, eşliği de garanti eder. Üç temel kural vardır:

KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı karşılıklı eşitse üçgenler eştir.
AKA (Açı-Kenar-Açı): İki açı ve bu açıların arasındaki kenar karşılıklı eşitse üçgenler eştir.
KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Üç kenar karşılıklı eşitse üçgenler eştir.

Eşlik kuralları — Her kuralda işaretli üç eleman, üçgeni tek biçimde belirler.

Neden yeterli olduklarını görmek kolaydır. KAK'ta iki kenarı aradaki açıyla birleştirdiğinde üçüncü kenarın uçları kesinleşir; üçgen başka türlü kapanamaz. AKA'da kenarın iki ucundan verilen açılarla çizilen ışınlar tek bir noktada kesişir. İki açı ve aradaki olmayan bir kenar verilse bile üçüncü açı $180^\circ$'den bulunacağı için durum AKA'ya döner.

İki yanlış kalıba dikkat et. Üç açının eşit olması eşlik değildir: kenarları iki katına çıkarılmış bir üçgenin açıları aynıdır ama boyu farklıdır. Ayrıca iki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı genelde yetmez, çünkü aynı verilerle iki farklı üçgen çizilebilir. Bunun tek istisnası dik üçgendir: hipotenüsleri ve birer dik kenarları eşit olan iki dik üçgen eştir.

Eşlikle uzunluk ve açı bulma

Eşliğin sınavdaki asıl işi, bir şekildeki gizli eşitlikleri ortaya çıkarmaktır. Önce eş olabilecek iki üçgeni bul, kuralı yaz, sonra eşleşen elemanları birbirine taşı. Sık karşılaşılan durumlar şunlardır:

Birbirini ortalayan iki doğru parçası: [AC] ve [BD], E noktasında kesişiyor ve E her ikisinin de orta noktasıysa, ters açılar eşit olduğundan ABE ile CDE üçgenleri KAK ile eştir. Sonuç: $|AB| = |CD|$.
İkizkenar üçgende tabana inen dikme: $|AB| = |AC|$ ise A'dan çizilen açıortay, üçgeni KAK ile iki eş parçaya ayırır. Buradan bu doğru parçasının tabanı ortaladığı ve tabana dik olduğu çıkar. Yani ikizkenar üçgende tabana ait yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçasıdır.
Bir doğru üzerinde dik açılı "merdiven": Bir doğruya dik iki parça ve aralarında köşesi dik olan, kolları eşit bir açı varsa iki dik üçgen AKA ile eştir. Dik açının iki yanındaki dar açılar tümler olduğu için açılar çapraz eşleşir.

Benzerlik ve benzerlik oranı

İki üçgenin karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılıysa bu üçgenler benzerdir: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Benzer üçgenler aynı biçimde ama farklı büyüklükte olabilir. Karşılıklı kenarların oranına benzerlik oranı denir ve genellikle $k$ ile gösterilir:

$$ \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|AC|} = k $$

$k = 1$ ise üçgenler eştir; eşlik, benzerliğin özel bir durumudur. Benzerliği göstermek için de altı eşitliğe gerek yoktur:

AA benzerliği: İki açı karşılıklı eşitse üçüncü açı da eşittir ve üçgenler benzerdir. Sınavda en çok kullanılan kural budur.
KAK benzerliği: İki kenar orantılı, bu kenarların arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
KKK benzerliği: Üç kenar aynı oranla orantılıysa üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde en kritik adım eşleştirmedir. Kenarları uzunluk sırasına göre değil, eşit açıların karşısına göre eşleştirirsin. Örneğin ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerinde ve $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ ise A açısı ortak olduğundan ADE ile ACB üçgenleri benzerdir. Burada D köşesi C'ye, E köşesi B'ye karşılık gelir; [DE] tabana paralel değildir. Bu "ters konumlu" benzerlikte oran

$$ \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|CB|} $$

biçimindedir. Öğrencilerin çoğu burada $\frac{|AD|}{|AB|}$ yazarak hata yapar.

Çevre, alan ve yardımcı elemanların oranı

Benzerlik oranı $k$ olan iki üçgende her uzunluk $k$ katına çıkar. Bu yalnızca kenarlar için değil, karşılıklı yükseklik, kenarortay, açıortay ve çevre için de geçerlidir. Çevre, kenarların toplamı olduğundan her terim $k$ ile çarpılınca toplam da $k$ ile çarpılır.

Alan ise iki uzunluğun çarpımıyla hesaplanır (taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı). Taban da yükseklik de $k$ katına çıktığından alan $k \cdot k = k^2$ katına çıkar:

$$ \frac{\text{Ç}(DEF)}{\text{Ç}(ABC)} = k, \qquad \frac{A(DEF)}{A(ABC)} = k^2 $$

Tabana paralel doğru: temel orantı teoremi

ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerinde ve $[DE] \parallel [BC]$ olsun. Paralel doğrularda yöndeş açılar eşit olduğundan $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC})$ ve $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB})$ olur. A açısı ortaktır; AA kuralıyla $\triangle ADE \sim \triangle ABC$. Buradan

$$ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} $$

çıkar. Bu sonuca temel orantı teoremi (okullarda çoğu zaman Tales teoremi) denir. İlk iki orandan ayrıca $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$ de elde edilir; yani paralel doğru iki kenarı aynı oranda böler. Tersi de doğrudur: bir doğru iki kenarı aynı oranda bölüyorsa üçüncü kenara paraleldir.

Tabana paralel doğru ve kelebek — Solda DE ∥ BC; sağda AB ∥ CD ve köşegenler E'de kesişiyor, aynı renkli açılar iç ters açılardır.

Aynı fikir daha genel bir biçimde de kullanılır: paralel üç doğru, kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır. Bir arazide ya da bir merdiven çiziminde eşit aralıklı paraleller, eğik bir doğru üzerinde de eşit parçalar keser.

Kelebek benzerliği

$[AB] \parallel [CD]$ ve [AC] ile [BD] doğru parçaları E noktasında kesişsin. Bu kez E'nin iki yanında, uçları paralel doğrular üzerinde olan iki üçgen oluşur. $\widehat{BAE}$ ile $\widehat{DCE}$ iç ters açılardır; $\widehat{AEB}$ ile $\widehat{CED}$ ters açılardır. AA kuralıyla $\triangle ABE \sim \triangle CDE$, benzerlik oranı da paralel kenarların oranıdır:

$$ \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|BE|}{|ED|} = \frac{|AB|}{|CD|} $$

Eşleşmeye yine dikkat: A köşesi C'ye, B köşesi D'ye karşılık gelir. Bir köşegeni bu oranda bölmek için köşegenin tamamını $|AB| + |CD|$ parçaya ayırırsın.

Açıortay teoremi

ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortay [BC]'yi D noktasında kessin. Açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler:

$$ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} $$

Bunun nedenini paralel çizerek görebiliriz. C'den [AD]'ye paralel bir doğru çiz; bu doğru BA doğrusunu A'nın ötesinde bir F noktasında kessin. Paralellikten $\widehat{AFC}$ yöndeş açı olarak $\widehat{BAD}$'ye, $\widehat{ACF}$ de iç ters açı olarak $\widehat{DAC}$'ye eşittir. Bu iki açı açıortay yüzünden eşit olduğundan ACF üçgeni ikizkenardır: $|AF| = |AC|$. Şimdi BCF üçgeninde $[AD] \parallel [FC]$ olduğundan temel orantı teoremi $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|BA|}{|AF|} = \frac{|AB|}{|AC|}$ verir.

A köşesindeki dış açıortay da BC doğrusunu, kenarın uzantısında bir E noktasında keser ve aynı oranı korur:

$$ \frac{|EB|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|} $$

E noktası kısa kenarın tarafındadır: $|AB| > |AC|$ ise E, C'nin ötesine düşer. $|AB| = |AC|$ ise dış açıortay tabana paralel olur ve BC doğrusunu kesmez.

İç ve dış açıortay — İç açıortay [BC]'yi c : b oranında böler; dış açıortay BC doğrusunun uzantısını aynı oranda böler.

Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir, çünkü komşu bütünler iki açının yarılarının toplamı $90^\circ$'dir. Bu yüzden D ile E arasındaki uzaklık sorulduğunda iki oranı ayrı ayrı kurmak yeter; DAE açısının dik olduğunu da hatırla.

Kenarortay ve ağırlık merkezi

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu $V_a$ ile gösterilir. Üç kenarortay her zaman üçgenin içinde, ağırlık merkezi denen tek bir G noktasında kesişir. Karton bir üçgeni bu noktadan bir iğne ucuna koyarsan dengede durur; adı buradan gelir.

Ağırlık merkezinin en önemli özelliği şudur: G, her kenarortayı köşeden itibaren $2 : 1$ oranında böler.

$$ |AG| = 2|GD|, \qquad |AG| = \frac{2}{3}V_a, \qquad |GD| = \frac{1}{3}V_a $$

Kanıtı orta tabana dayanır. [BE] ve [CF] kenarortayları G'de kesişsin. [FE], ABC'nin orta tabanıdır: $[FE] \parallel [BC]$ ve $|FE| = \frac{|BC|}{2}$. Kelebek benzerliğiyle GFE ve GCB üçgenleri $\frac{1}{2}$ oranında benzerdir; dolayısıyla $|GE| = \frac{1}{2}|GB|$, yani $|BG| = 2|GE|$.

Kenarortaylar ve dik üçgende hipotenüse ait kenarortay — Solda G her kenarortayı 2 : 1 böler; sağda dik açılı köşeden çizilen kenarortay hipotenüsün yarısıdır.

Kenarortaylar üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırır; G'den geçen ve bir kenara paralel olan doğru ise öbür iki kenarı $2 : 1$ oranında böler, çünkü bu doğru kenarortayı da aynı oranda keser.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay: $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ ise A'dan çizilen kenarortay hipotenüsün yarısıdır: $|AD| = |BD| = |DC|$. Nedeni, D'den [AB]'ye paralel çizilen orta tabanın [AC]'yi ortalaması ve [AC]'ye dik olmasıdır; bu dikme ADC üçgenini iki eş dik üçgene ayırır. Sonuç olarak D noktası A, B ve C'ye eşit uzaklıktadır.

Kenarortay uzunluğu: Kenarları $a = |BC|$, $b = |AC|$, $c = |AB|$ olan üçgende

$$ 4V_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 $$

dir. A'dan [BC]'ye dikme indirip Pisagor bağıntısını iki dik üçgende yazarak ve iki eşitliği toplayarak bu sonuca ulaşılır. Kenarlar tam sayıysa sonuç çoğu zaman güzel çıkar: 13, 9, 10 kenarlı üçgende 10'luk kenara ait kenarortay için $4V_a^2 = 162 + 338 - 100 = 400$, $V_a = 10$.

Orta taban

Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. D ve E, [AB] ile [AC]'nin orta noktalarıysa

$$ [DE] \parallel [BC], \qquad |DE| = \frac{|BC|}{2} $$

olur. Bu, temel orantı teoreminin $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{1}{2}$ olan hâlidir: $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|}$ olduğundan [DE] tabana paraleldir ve uzunluğu tabanın yarısıdır. Tersi de sık kullanılır: bir kenarın orta noktasından öbür kenara paralel çizilen doğru, üçüncü kenarı da ortalar.

Orta taban ve orta üçgen — Solda orta taban tabana paralel ve onun yarısıdır; sağda üç orta taban üçgeni dört eş üçgene ayırır.

Üç kenarın orta noktaları birleştirilince oluşan DEF üçgeni, ABC'yi dört eş üçgene böler. Her biri ABC'ye $\frac{1}{2}$ oranında benzerdir. Bu yüzden DEF'in çevresi ABC'nin çevresinin yarısı, alanı ise dörtte biridir.

Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara (ya da onun uzantısına) indirilen dikmeye yükseklik denir; A köşesinden çizilen yükseklik $h_a$ ile gösterilir. Üç yüksekliği taşıyan doğrular tek bir noktada kesişir; bu noktaya diklik merkezi (H) denir.

Dar açılı üçgende H üçgenin içindedir.
Dik üçgende iki dik kenar aynı zamanda yüksekliktir; H dik açının köşesidir.
Geniş açılı üçgende geniş açının yanındaki iki köşeden çizilen yüksekliklerin ayakları kenarların uzantısına düşer ve H üçgenin dışında kalır.

Alan, hangi kenar taban alınırsa alınsın aynıdır: $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$. Buradan yüksekliklerin kenarlarla ters orantılı olduğu çıkar: en uzun kenara ait yükseklik en kısadır. Yükseklik, benzerlik sorularında da önemlidir: tabana paralel bir doğru, A'dan inen yüksekliği de aynı oranda böler. Üçgene yerleştirilen kare ya da dikdörtgen sorularında bu bilgi doğrudan denklem kurdurur.

Menelaus ve Ceva (kısaca)

Bu iki teorem, bir üçgendeki oranları tek bir çarpımla bağlar. TYT'de seyrek ama "oranı bul" sorularında kısa yol olarak işe yarar.

Menelaus: Bir doğru ABC üçgeninin BC, CA ve AB doğrularını sırasıyla D, E, F noktalarında kesiyorsa

$$ \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AF|}{|FB|} = 1 $$

olur. Noktalardan biri (ya da üçü birden) kenarın uzantısındadır. Formülü ezberlemek yerine bir köşeden başlayıp "köşe, nokta, köşe, nokta…" diye üçgenin çevresini dolaşarak yaz; her kesirde pay ve payda art arda gelen iki parçadır.

Ceva: ABC üçgeninde köşelerden çizilen [AD], [BE] ve [CF] doğru parçaları bir noktada kesişiyorsa yine aynı çarpım 1'dir. Kenarortaylar bunun en basit örneğidir: üç oranın her biri 1'dir.

Menelaus ve Ceva — Solda D, E, F aynı doğru üzerinde; sağda AD, BE ve CF bir noktada kesişiyor.

Formüller

$$\text{KAK},\ \text{AKA},\ \text{KKK}$$

Eşlik kuralları (üç açının eşitliği eşlik değildir)

$$\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|AC|} = k$$

Benzerlik oranı (eşit açıların karşısındaki kenarlar eşleşir)

$$\frac{\text{Ç}_2}{\text{Ç}_1} = k,\ \frac{A_2}{A_1} = k^2$$

Benzer üçgenlerde çevre ve alan oranı

$$\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}$$

DE ∥ BC (temel orantı teoremi)

$$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$$

Tabana paralel doğru kenarları aynı oranda böler

$$\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|BE|}{|ED|} = \frac{|AB|}{|CD|}$$

Kelebek: AB ∥ CD

$$\frac{2ab}{a + b}$$

Yamukta köşegenlerin kesişiminden geçen paralelin uzunluğu

$$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$

İç açıortay teoremi

$$\frac{|EB|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$

Dış açıortay teoremi

$$|AG| = 2|GD| = \frac{2}{3}V_a$$

Ağırlık merkezi

$$4V_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$$

Kenarortay uzunluğu

$$|DE| = \frac{|BC|}{2}$$

Orta taban

$$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$$

Yükseklikler kenarlarla ters orantılı

$$\frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AF|}{|FB|} = 1$$

Menelaus (D, E, F doğrusal) ve Ceva (AD, BE, CF bir noktada)

Çözümlü örnekler

Örnek 1Birbirini ortalayan doğru parçaları

Şekilde [AC] ve [BD] doğru parçaları E noktasında kesişmektedir. $|AE| = |EC|$, $|BE| = |ED|$, $|AB| = 2x + 3$ ve $|CD| = 5x - 9$ olduğuna göre $x$ kaçtır ve $|AB|$ kaç birimdir?

Örnek 2Dik açılı merdiven

Şekilde $[AB] \perp [BC]$, $[DC] \perp [BC]$, E noktası [BC] üzerindedir, $|AE| = |ED|$ ve $[AE] \perp [ED]$'dir. $|AB| = 3$ cm ve $|DC| = 7$ cm olduğuna göre $|BC|$ kaç cm'dir?

Örnek 3Ters konumlu benzerlik

ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$'dir. $|AD| = 4$, $|AE| = 5$ ve $|EC| = 3$ birim olduğuna göre $|DB| = x$ kaç birimdir?

Örnek 4Tabana paralel doğru

ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve $[DE] \parallel [BC]$'dir. $|AD| = 6$, $|DB| = 4$, $|DE| = 9$ ve $|AC| = 20$ birim olduğuna göre $|BC|$ ve $|EC|$ kaç birimdir?

Örnek 5Yamukta kelebek

ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$, köşegenler E noktasında kesişiyor; E'den geçen ve tabanlara paralel olan doğru [AD]'yi K'de, [BC]'yi L'de kesiyor. $|AB| = 12$, $|DC| = 8$ ve $|AC| = 15$ birim olduğuna göre $|AE|$ ve $|KL|$ kaç birimdir?

Örnek 6İç ve dış açıortay birlikte

ABC üçgeninde $|AB| = 12$, $|AC| = 6$ ve $|BC| = 9$ birimdir. A köşesinden çizilen iç açıortay [BC]'yi D'de, dış açıortay BC doğrusunu E'de kesiyor. $|BD|$, $|CE|$ ve $|DE|$ kaç birimdir?

Örnek 7Dik üçgende ağırlık merkezi

ABC üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$, $|BC| = 18$ birim ve G ağırlık merkezidir. G'den geçen ve [BC]'ye paralel olan doğru [AB]'yi K'de, [AC]'yi L'de kesiyor. $|AG|$ ve $|KL|$ kaç birimdir?

Örnek 8Kenarortay uzunluğu

ABC üçgeninde $|AB| = 13$, $|AC| = 9$, $|BC| = 10$ birim ve [AD] kenarortaydır. $|AD|$ kaç birimdir? G ağırlık merkezi ise $|AG|$ kaçtır?

Örnek 9Sokak lambası ve gölge

Boyu 1,6 m olan Ece, yüksekliği 4,8 m olan bir sokak lambasının dibinden 6 m uzakta duruyor. Lambanın ışığıyla oluşan gölgesinin boyu kaç metredir? Ece lambadan 3 m daha uzaklaşırsa gölgesi kaç metre olur?

Sık yapılan hatalar

Üç açısı eşit olan üçgenleri eş sanmak: bu yalnızca benzerliktir.
Benzer üçgenlerde kenarları uzunluk sırasına ya da şekildeki konuma göre eşleştirmek; eşleşme eşit açıların karşısına göre yapılır.
$[DE] \parallel [BC]$ iken $\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DB|}$ yazmak; doğru oran bütün kenarla kurulur: $\frac{|AD|}{|AB|}$.
Alan oranını benzerlik oranına eşit almak: alan oranı $k^2$'dir.
Açıortay oranını ters yazmak: $[BD]$ parçası, kendisine komşu olan $[AB]$ kenarıyla orantılıdır.
Ağırlık merkezinde oranı $1 : 2$ diye köşeden başlatmak: köşeye yakın parça uzun olandır, $|AG| = 2|GD|$.
Orta üçgenin alanını büyük üçgenin yarısı sanmak: çevre yarıya iner, alan dörtte bire.
Kelebekte köşegeni eşit parçalara bölmek; parçalar paralel kenarların oranındadır.

Günlük hayatta

Benzerlik, doğrudan ölçülemeyen uzunlukları ölçmenin en eski yollarından biridir. Antik çağda Thales'in Mısır piramitlerinden birinin yüksekliğini, kendi gölgesi boyuna eşit olduğu anda piramidin gölgesini ölçerek bulduğu anlatılır; güneş ışınları neredeyse paralel geldiği için insan ile gölgesinin oluşturduğu üçgen, piramit ile gölgesinin oluşturduğu üçgene benzerdir. Haritalar da aynı fikre dayanır: 1 : 100 000 ölçekli bir haritada her uzunluk gerçeğinin yüz binde biridir, alanlar ise $10^{10}$'da biridir. Bir fotoğrafı her kenarı iki katına çıkacak biçimde büyüttüğünde baskı için gereken kâğıt alanının dört katına çıkması da benzer şekillerde alanın $k^2$ ile büyümesinin sonucudur.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

İki üçgende aşağıdaki eşitliklerden hangileri, bu üçgenlerin eş olduğunu her zaman gösterir?

I.Karşılıklı üç kenarı eşittir.
II.Karşılıklı üç açısı eşittir.
III.Karşılıklı iki kenarı ve bu kenarların arasındaki açıları eşittir.

2Orta

Şekilde $[AB] \perp [BD]$, $[ED] \perp [BD]$, C noktası [BD] üzerindedir, $|AC| = |CE|$ ve $[AC] \perp [CE]$'dir. $|AB| = x$, $|ED| = 2x$ ve $|BD| = 18$ birim olduğuna göre $x$ kaçtır?

3Orta

Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde D noktası [BC], E noktası [AC] üzerindedir ve $|BD| = |CE|$'dir. [AD] ile [BE] doğru parçaları F noktasında kesiştiğine göre $m(\widehat{AFE}) = x$ kaç derecedir?

4Kolay

Benzerlik oranı $\frac{2}{3}$ olan iki üçgenden küçük olanın alanı 20 $\text{cm}^2$'dir. Büyük üçgenin alanı kaç $\text{cm}^2$'dir?

5Zor

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası [AB], E noktası [AC] üzerindedir ve $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})$'dir. $|AD| = 3$, $|AE| = 4$ ve $|EC| = 5$ birim olduğuna göre $|DB| = x$ kaç birimdir?

6Kolay

Şekildeki ABC üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$'dir. $|AD| = 4$, $|DB| = 6$, $|AE| = 6$ ve $|EC| = x$ birim olduğuna göre $x$ kaçtır?

7Orta

Şekildeki ABC üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$ ve $[EF] \parallel [AB]$'dir. $|AD| = 3$, $|DB| = 5$ ve $|BC| = 16$ birim olduğuna göre $|FC| = x$ kaç birimdir?

8Orta

Şekildeki ABC üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$, $|AD| = 2$ cm ve $|DB| = 3$ cm'dir. DBCE dörtgeninin alanı 42 $\text{cm}^2$ olduğuna göre ADE üçgeninin alanı $S$ kaç $\text{cm}^2$'dir?

9Orta

Şekilde $[AB] \parallel [DC]$ ve [AC] ile [BD] doğru parçaları E noktasında kesişmektedir. $|AB| = 12$, $|DC| = 18$ ve $|BD| = 20$ birim olduğuna göre $|BE| = x$ kaç birimdir?

10Zor

Aralarındaki uzaklık 15 m olan, yere dik iki direğin boyları 6 m ve 12 m'dir. Her direğin tepesinden öbür direğin dibine gergin bir tel bağlanmıştır. Tellerin kesiştiği nokta yerden kaç metre yüksektedir?

11Kolay

Güneşli bir günde yere dik konulan 1,2 m boyundaki bir çubuğun gölgesi 0,8 m'dir. Aynı anda yakındaki bir binanın gölgesi 14 m olduğuna göre binanın yüksekliği kaç metredir?

12Zor

Yüksekliği 4,5 m olan bir sokak lambasının dibinden düz bir yol boyunca uzaklaşan, boyu 1,8 m olan Ece'nin gölgesinin boyu 4 m'den 6 m'ye çıkıyor. Bu sürede Ece kaç metre yürümüştür?

13Orta

Şekildeki ABC üçgeninde [AD] iç açıortaydır. $|AB| = 15$, $|AC| = 20$, $|BD| = x$ ve $|DC| = x + 2$ birim olduğuna göre $|BC|$ kaç birimdir?

14Orta

Şekildeki ABC üçgeninde $|AB| = 8$, $|AC| = 6$ ve $|BC| = 5$ birimdir. A köşesindeki dış açıortay BC doğrusunu E noktasında kestiğine göre $|CE| = x$ kaç birimdir?

15Zor

Şekildeki ABC üçgeninde [AD] iç açıortay, E noktası [AC] üzerinde ve $[DE] \parallel [AB]$'dir. $|AB| = 12$ ve $|AC| = 6$ birim olduğuna göre $|DE| = x$ kaç birimdir?

16Kolay

Şekildeki ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylardır ve G noktasında kesişmektedir. $|GD| = 4$ birim olduğuna göre $|AD|$ kaç birimdir?

17Orta

Şekildeki ABC üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$, $|AB| = 9$ cm, $|AC| = 12$ cm ve G ağırlık merkezidir. $|AG| = x$ kaç cm'dir?

18Orta

Şekildeki ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. G'den geçen ve [AC]'ye paralel olan doğru [BC]'yi E noktasında kesmektedir. $|BC| = 24$ birim olduğuna göre $|EC| = x$ kaç birimdir?

19Zor

ABC üçgeninde $|AB| = 11$ cm, $|AC| = 7$ cm, $|BC| = 12$ cm ve G ağırlık merkezidir. $|AG|$ kaç cm'dir?

20Zor

Şekildeki ABC üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 10$ cm ve [AD] kenarortaydır. $|AD| = x$ cm bir tam sayı olduğuna göre $x$ kaç farklı değer alabilir?

21Kolay

Şekildeki ABC üçgeninde D ve E sırasıyla [AB] ve [AC] kenarlarının orta noktalarıdır. $|DE| = 2x - 1$ ve $|BC| = 3x + 4$ birim olduğuna göre $x$ kaçtır?

22Orta

ABC üçgeninde D, E ve F noktaları sırasıyla [BC], [CA] ve [AB] kenarlarının orta noktalarıdır. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I.DEF üçgeni ABC üçgenine benzerdir.
II.DEF üçgeninin çevresi, ABC üçgeninin çevresinin yarısıdır.
III.DEF üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanının yarısıdır.

23Orta

Üçgenin yükseklikleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I.Her üçgende yükseklikler üçgenin iç bölgesinde kesişir.
II.Dik üçgende yükseklikler dik açının köşesinde kesişir.
III.Bir üçgenin en uzun yüksekliği, en uzun kenarına ait yüksekliktir.

24Zor

ABC üçgeninde $|BC| = 12$ cm ve A köşesinden [BC]'ye inen yüksekliğin uzunluğu 8 cm'dir. Şekildeki karenin bir kenarı [BC] üzerinde, öbür iki köşesi [AB] ve [AC] üzerindedir. Karenin bir kenarı kaç cm'dir?

25Orta

Şekildeki ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] doğru parçaları bir noktada kesişmektedir. $|BD| = 8$, $|DC| = 4$, $|CE| = 9$, $|EA| = 6$ ve $|AB| = 12$ birim olduğuna göre $|AF| = x$ kaç birimdir?

26Zor

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerinde, E noktası [AD]'nin orta noktasıdır ve BE doğrusu [AC]'yi F noktasında kesmektedir. $|BD| = 8$, $|DC| = 4$ ve $|AC| = 10$ birim olduğuna göre $|AF| = x$ kaç birimdir?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.