Köklü Sayılar

Kare kök: karesi verilen sayıyı bulmak

Bir sayının karesini almak kolaydır: 7'nin karesi 49'dur. Kök alma bu işlemin tersini sorar: "Karesi 49 olan sayı hangisidir?" Bu sorunun iki cevabı vardır, 7 ve \(-7\), çünkü ikisinin de karesi 49'dur. Matematikte bu belirsizliği ortadan kaldırmak için bir anlaşma yapılmıştır: \(\sqrt{49}\) yazıldığında her zaman negatif olmayan cevap kastedilir. Yani

olur ve \(\sqrt{49} = 7\)'dir; \(\sqrt{49} = \pm 7\) yazmak yanlıştır. Buna karşılık \(x^2 = 49\) denkleminin iki kökü vardır: \(x = 7\) ya da \(x = -7\). İşaret meselesi denklemden gelir, kök işaretinden gelmez. \(\sqrt{\phantom{a}}\) işaretinin altındaki sayıya kök içi denir.

Negatif bir sayının gerçek sayılarda kare kökü yoktur, çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamaz. Bu yüzden \(\sqrt{-4}\) bir gerçek sayı belirtmez. Kök içi 0 ise kök de 0'dır. Karesi bir tam sayı olan sayılara tam kare denir: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225… Tam karelerin kökü tam sayıdır; tam kare olmayan bir doğal sayının kökü ise irrasyoneldir. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) bu tür sayılardır: ondalık açılımları sonsuza kadar devirsiz sürer. Ondalık sayılarda da aynı kural işler: \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), \(\sqrt{0{,}0004} = 0{,}02\). Burada virgülden sonraki basamak sayısının kökte yarıya indiğine dikkat et; \(\sqrt{0{,}9}\) ise 0,3 değildir, çünkü \(0{,}3^2 = 0{,}09\)'dur.

n. dereceden kök ve tanımlı olma koşulu

Aynı fikir küp için de geçerlidir. Küpü 8 olan sayı 2'dir ve \(\sqrt[3]{8} = 2\) yazılır. Genel olarak \(n \geq 2\) bir doğal sayı olmak üzere \(\sqrt[n]{a}\), \(n\). kuvveti \(a\) olan sayıyı gösterir; \(n\)'ye kökün derecesi denir. Kare kökte derece 2'dir ve yazılmaz.

Derecenin tek ya da çift olması her şeyi değiştirir. Tek kuvvetler işareti korur: \((-2)^3 = -8\) olduğu için \(\sqrt[3]{-8} = -2\)'dir ve tek dereceli kök her gerçek sayı için tanımlıdır. Çift kuvvetler ise hep negatif olmayan sonuç verir; bu yüzden çift dereceli kökte kök içi sıfırdan küçük olamaz:

Bir ifadede birden fazla kök varsa her çift dereceli kök için koşul ayrı ayrı yazılır ve hepsinin birlikte sağlandığı değerler alınır. Örneğin \(\sqrt{x - 1} + \sqrt[4]{5 - x}\) ifadesinde \(x \geq 1\) ve \(x \leq 5\) olmalıdır; ifade \(1 \leq x \leq 5\) için tanımlıdır. Aynı ifadeye \(\sqrt[3]{x - 20}\) eklense bu koşul değişmez, çünkü küp kök hiçbir değeri dışarıda bırakmaz. Paydada bir kök varsa kök içi sıfır da olamaz: \(\frac{1}{\sqrt{x - 3}}\) için \(x > 3\) gerekir.

Kökün karesi ve karenin kökü: \(\sqrt{a^2} = |a|\)

Bu konunun en çok soru üreten kuralı budur. \(\sqrt{a^2}\) ifadesinde önce kare alınır, sonra kök. Kare her zaman negatif olmadığından kök tanımlıdır ve sonuç da negatif olamaz. \(a = 5\) için \(\sqrt{25} = 5\), \(a = -5\) için de \(\sqrt{25} = 5\) bulunur. Yani sonuç \(a\) değil, \(a\)'nın mutlak değeridir:

Tek derecede mutlak değer gerekmez: \(\sqrt[3]{(-5)^3} = \sqrt[3]{-125} = -5\). Ters sırada işlem yapıldığında durum farklıdır: \((\sqrt{a})^2 = a\) eşitliği yalnızca \(a \geq 0\) iken anlamlıdır, çünkü \(a < 0\) için \(\sqrt{a}\) zaten tanımsızdır.

Bu kural en çok işareti bilinen harflerle sorulur. \(a < 0 < b\) verilmişse \(\sqrt{a^2} = -a\), \(\sqrt{b^2} = b\) olur. \(\sqrt{(a - b)^2}\) için içerideki \(a - b\)'nin işaretine bakılır: \(a < b\) olduğundan \(a - b < 0\) ve \(\sqrt{(a - b)^2} = b - a\)'dır. Kural şöyle özetlenebilir: kök içindeki tam kare ifadeyi mutlak değerle dışarı çıkar, sonra mutlak değerin içi pozitifse aynen, negatifse işaretini değiştirerek yaz.

Köklü ifadeyi üslü yazmak

\(\sqrt{a}\) sayısının karesi \(a\) olduğuna göre \(\sqrt{a}\), "karesi \(a\)'yı veren kuvvet" gibi davranır. Üs kurallarına göre \(\left(a^{1/2}\right)^2 = a^1\) olduğundan \(\sqrt{a} = a^{1/2}\) yazmak tutarlıdır. Genel kural \(a > 0\) için

biçimindedir: kök içindeki üs paya, kökün derecesi paydaya yazılır. Bu yazılış köklü sayılarla yapılan bütün çarpma, bölme ve kuvvet alma işlemlerini üs kurallarına çevirir. Örneğin \(\sqrt[4]{8} = 2^{3/4}\), \(\sqrt[3]{25} = 5^{2/3}\) olur. Payda ile pay aynı sayıyla sadeleştirilebildiği için \(\sqrt[6]{a^4} = a^{4/6} = a^{2/3} = \sqrt[3]{a^2}\)'dir; yani kök derecesi ve kök içindeki üs aynı sayıya bölünebilir ya da aynı sayıyla çarpılabilir (taban pozitifken). Bu özellik az sonra farklı dereceli kökleri eşitlerken işimize yarayacak.

Kök dışına çıkarma ve kök içine alma

\(a, b \geq 0\) için \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)'dir; iki tarafın karesi de \(ab\)'yi verir ve ikisi de negatif değildir. Bu özellik, kök içindeki sayının tam kare çarpanını dışarı almamızı sağlar:

Yöntem şudur: kök içindeki sayıyı, en büyük tam kare çarpanı ile geri kalanın çarpımı olarak yaz. 72 için 4 de bir tam kare çarpandır ama \(\sqrt{72} = 2\sqrt{18}\) yazmak işi bitirmez, 18 içinde yine 9 vardır. Asal çarpanlara ayırmak en güvenli yoldur: \(72 = 2^3 \cdot 3^2\); çift üslü kısımlar dışarı yarı üsle çıkar, artan tek çarpan içeride kalır. n. dereceden kökte aynı iş \(n\). kuvvetlerle yapılır: \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}\).

Ters işlem de mümkündür: kök dışındaki pozitif bir katsayı, derece kadar kuvveti alınarak içeri sokulur. \(3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}\), \(2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{40}\). Kök içine alma özellikle sıralama sorularında kullanılır, çünkü bütün sayılar tek bir kökün altında toplanınca karşılaştırma kök içlerini karşılaştırmaya dönüşür. Katsayı negatifse eksi işareti dışarıda bırakılır: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\).

Köklü sayılarla dört işlem

Toplama ve çıkarma yalnızca benzer köklüler arasında yapılabilir: derecesi ve kök içi aynı olan terimlerin katsayıları toplanır, kök aynen kalır. \(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\) olur, tıpkı \(5x + 2x = 7x\) gibi. Kök içleri farklıysa önce kök dışına çıkarma denenir: \(\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Sadeleşmeden sonra hâlâ farklı kalan kökler (\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) gibi) toplanamaz; ifade olduğu gibi bırakılır.

Çarpma ve bölmede aynı dereceli kökler tek kökte birleştirilir: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) ve \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) (\(a \geq 0\), \(b > 0\)). Katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında çarpılır: \(2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{12} = 12\sqrt{3}\). Çift dereceli köklerde birleştirme kuralının negatif sayılara uygulanamayacağını unutma: \(\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}\) gerçek sayılarda tanımsızdır; bunu \(\sqrt{36} = 6\) diye hesaplamak yanlıştır.

Farklı dereceli kökler önce aynı dereceye getirilir. Bunun için derecelerin EKOK'u bulunur ve her kök, derecesi bu sayı olacak biçimde genişletilir; üslü yazım bunu kendiliğinden yapar. \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}\) için dereceler 2 ve 3, EKOK 6'dır:

Taban aynıysa üsleri toplamak daha da kısadır: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{1/2 + 1/3} = 2^{5/6} = \sqrt[6]{32}\).

Bir köklü ifadenin kuvveti alınırken kök içinin kuvveti alınır: \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^2 = \sqrt[3]{25}\). İki terimli ifadelerin karesinde özdeşlik kullanılır ve ortadaki terim unutulmamalıdır: \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}\). Bu açılım, birazdan göreceğimiz iç içe kök kuralının kaynağıdır.

Paydayı rasyonel yapmak

Paydasında kök olan bir kesir hesap yapmaya elverişli değildir; \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) yerine \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) yazmak hem karşılaştırmayı hem toplamayı kolaylaştırır. Bunun için kesir, paydayı rasyonel yapacak bir ifadeyle genişletilir:

• Payda \(\sqrt{a}\) ise pay ve payda \(\sqrt{a}\) ile çarpılır: \(\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).
• Payda \(\sqrt[n]{a^m}\) ise kök içini \(n\). kuvvete tamamlayan çarpan seçilir: \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\).
• Payda iki terimliyse (\(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) ya da \(c \pm \sqrt{b}\)) eşleniği ile çarpılır. Eşlenik, ortadaki işareti ters çevrilmiş ifadedir.

Eşlenikle çarpmanın işe yaramasının nedeni iki kare farkı özdeşliğidir: \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\). Karekökler kare alınca kaybolur ve paydada rasyonel bir sayı kalır:

Özellikle \(a - b = 1\) olduğunda sonuç çok sadeleşir: \(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\). ÖSYM bu durumu art arda gelen kesirlerin toplamında kullanır: \(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots\) toplamında her terim \(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}\) olur ve ortadaki terimler birbirini götürür; geriye yalnızca son terimin büyük kökü ile ilk terimin küçük kökü kalır.

İç içe kökler: \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}\)

\((\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}\) açılımını tersten okursak, \(a + 2\sqrt{b}\) biçimindeki bir sayının kökünü alabiliriz. Toplamı \(a\), çarpımı \(b\) olan iki pozitif sayı \(x\) ve \(y\) bulunabiliyorsa

olur. Eksi işaretli durumda büyük sayının kökü önce yazılır; aksi hâlde sonuç negatif çıkar ve kökün negatif olamayacağı kuralı çiğnenir. Örneğin \(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}\) için toplamı 7, çarpımı 10 olan sayılar 5 ve 2'dir; sonuç \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\)'dir, \(\sqrt{2} - \sqrt{5}\) değil.

Kural ancak kök içindeki ikinci terim tam olarak \(2\sqrt{b}\) biçimindeyse uygulanır. Katsayı 2 değilse önce 2'ye uydurulur: \(6\sqrt{2} = 2\sqrt{18}\) ve \(4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}\) yazılır. \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{11 - 2\sqrt{18}}\) için toplamı 11, çarpımı 18 olan sayılar 9 ve 2'dir; sonuç \(3 - \sqrt{2}\) olur. Ortadaki kökün önünde katsayı görünmüyorsa (\(\sqrt{4 + \sqrt{12}}\) gibi) kök dışına çıkarma 2 katsayısını ortaya çıkarır: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) olduğundan \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1\).

Sonsuz iç içe kökler

Sonsuza kadar devam eden bir kök ifadesinin değeri, ifadenin kendini tekrar etmesinden yararlanılarak bulunur. \(x = \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a \cdots}}}\) olsun. Dıştaki kökün içinde yine aynı sonsuz ifade vardır, yani \(x = \sqrt{a \cdot x}\). İki tarafın karesi alınınca \(x^2 = a\,x\) ve \(x > 0\) için \(x = a\) bulunur. Toplamalı biçimde \(x = \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots}}\) için \(x^2 = a + x\), çıkarmalı biçimde \(x^2 = a - x\) denklemi çözülür ve pozitif kök alınır.

İkinci örnekte \(x^2 - x - 12 = 0\), yani \((x - 4)(x + 3) = 0\) ve \(x = 4\)'tür; üçüncüde \(x^2 + x - 12 = 0\) ve \(x = 3\)'tür. Kök içi \(a = k(k + 1)\) biçiminde ardışık iki sayının çarpımıysa toplamalı ifade \(k + 1\)'e, çıkarmalı ifade \(k\)'ye eşittir: \(30 = 5 \cdot 6\) olduğundan \(\sqrt{30 + \sqrt{30 + \cdots}} = 6\), \(\sqrt{30 - \sqrt{30 - \cdots}} = 5\). Küp köklü sonsuz ifadede de yöntem aynıdır: \(y = \sqrt[3]{b\sqrt[3]{b \cdots}}\) için \(y^3 = b\,y\), yani \(y^2 = b\) ve \(y = \sqrt{b}\) olur.

Sonlu iç içe köklerde ise üslü yazım kullanılır: \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = a^{7/8}\). İçteki her \(a\)'nın üssü, onu saran köklerin derecelerinin çarpımına bölünür.

Köklü sayıları sıralamak ve tam sayılar arasına yerleştirmek

Kare kök fonksiyonu artandır: \(0 \leq a < b\) ise \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\)'dir. Bu yüzden aynı dereceli kökleri karşılaştırmak için kök içlerini karşılaştırmak yeter. Katsayılı sayılarda önce katsayılar içeri alınır: \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\), \(2\sqrt{5} = \sqrt{20}\) ve \(\sqrt{19}\) için \(\sqrt{18} < \sqrt{19} < \sqrt{20}\) bulunur.

Bir köklü sayının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulmak için kök içinin iki yanındaki tam kareler aranır. \(16 < 20 < 25\) olduğundan \(4 < \sqrt{20} < 5\)'tir. Katsayılı sayıda yine önce katsayı içeri alınır: \(3\sqrt{6} = \sqrt{54}\) ve \(49 < 54 < 64\) olduğundan \(7 < 3\sqrt{6} < 8\)'dir. Ters yönde soru da sorulabilir: \(4 < \sqrt{x} < 5\) ise karesi alınarak \(16 < x < 25\) bulunur. Kareyi almak, iki taraf da pozitif olduğu için eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

Farklı dereceli kökler sıralanırken önce derecelerin EKOK'una geçilir. \(\sqrt{2}\) ile \(\sqrt[3]{3}\)'ü karşılaştırmak için 6. dereceye çıkarız: \(\sqrt{2} = \sqrt[6]{8}\), \(\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{9}\). Buradan \(\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}\) olduğu anlaşılır; ondalık yaklaşımla bu farkı görmek çok zordur. İki köklü farkı karşılaştırırken eşlenik yine yardıma gelir: \(\sqrt{11} - \sqrt{10} = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}\) ve \(\sqrt{10} - \sqrt{9} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}}\) olduğundan paydası büyük olan birinci fark daha küçüktür.

Geometride köklü sayılar

Köklü sayılar geometride kendiliğinden ortaya çıkar. Alanı \(A\) olan bir karenin kenarı \(\sqrt{A}\)'dır. Kenarı \(a\) olan karenin köşegeni, iki kenarla bir dik üçgen oluşturduğu için \(\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)'dir. Alanı 50 olan karenin kenarı \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\), köşegeni \(5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10\)'dur. Köşegen \(d\) verilmişse alan doğrudan \(\frac{d^2}{2}\) ile bulunur.

Alanları verilen kareler yan yana konulduğunda kenarlar köklü sayılar olur ve toplamlarını bulmak için benzer köklüler toplanır. Alanları 12 ve 27 olan iki karenin kenarları \(2\sqrt{3}\) ve \(3\sqrt{3}\) olduğundan tabanları toplamı \(5\sqrt{3}\)'tür. Bu kez kök içleri toplanmaz: \(\sqrt{12} + \sqrt{27}\) sayısı \(\sqrt{39}\) değildir.

Köklü denklemlerin basit hâli

\(\sqrt{f(x)} = g(x)\) biçimindeki bir denklemde iki tarafın karesi alınır ve köksüz denklem çözülür. Ama kare alma işlemi yeni, sahte kökler doğurabilir, çünkü \(g(x)\) negatif olsa da karesi pozitiftir. Bu yüzden bulunan her değer ilk denklemde denenir ya da baştan \(g(x) \geq 0\) koşulu yazılır.

\(\sqrt{2x + 1} = x - 1\) denklemini düşünelim. Kare alınca \(2x + 1 = x^2 - 2x + 1\), yani \(x^2 - 4x = 0\) ve \(x = 0\) ya da \(x = 4\) bulunur. \(x = 0\) için sol taraf \(\sqrt{1} = 1\), sağ taraf \(-1\)'dir; eşitlik sağlanmaz. \(x = 4\) için iki taraf da 3'tür. Çözüm kümesi \(\{4\}\)'tür. Denklem yalnızca köklü terim içerdiğinde (\(\sqrt{x - 3} = 5\) gibi) kare almak doğrudan sonucu verir: \(x - 3 = 25\), \(x = 28\).