Olasılık

Deney, çıktı ve örneklem uzayı

Bir madeni parayı havaya attığında sonucun yazı mı tura mı geleceğini önceden bilemezsin; ama gelebilecek sonuçların neler olduğunu bilirsin. Olasılık, sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen ama olası sonuçları belli olan bu tür durumları inceler. Sonucu şansa bağlı olan her işleme deney denir: zar atmak, torbadan top çekmek, bir sınıftan rastgele öğrenci seçmek, bir çarkı çevirmek birer deneydir. Deneyin her bir olası sonucuna çıktı, bütün çıktıların kümesine de örneklem uzayı denir ve genellikle \(E\) ile gösterilir.

Bir zar atıldığında örneklem uzayı \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), bir para atıldığında \(E = \{Y, T\}\) olur. Deney birden fazla aşamalıysa çıktılar sıralı ikililer ya da üçlüler olarak yazılır. Bir para ile bir zar birlikte atıldığında \((Y, 1), (Y, 2), \ldots, (T, 6)\) biçiminde \(2 \cdot 6 = 12\) çıktı vardır. Burada saymanın temel ilkesi devrededir: birinci aşama \(m\), ikinci aşama \(n\) farklı biçimde sonuçlanıyorsa deney \(m \cdot n\) çıktı verir. Üç para atıldığında \(2^3 = 8\), iki zar atıldığında \(6^2 = 36\) çıktı vardır.

Örneklem uzayını doğru yazmak, olasılık sorularının yarısını çözmek demektir. Özellikle iki zarda \((2, 5)\) ile \((5, 2)\) iki ayrı çıktıdır: birinci zarda 2, ikincide 5 gelmesiyle birinci zarda 5, ikincide 2 gelmesi farklı sonuçlardır. Zarlar aynı renkte olsa ve onları ayırt edemesek bile durum değişmez; zarlar fiziksel olarak iki ayrı nesnedir. Bunu unutup \(\{2, 5\}\)'i tek çıktı saymak, olasılık hesabındaki en eski hatalardan biridir.

Olay ve olayların dili

Örneklem uzayının her alt kümesine olay denir. "Zarın çift gelmesi" olayı \(A = \{2, 4, 6\}\), "zarın 5'ten büyük gelmesi" olayı \(B = \{6\}\) kümesidir. Bir olayın eleman sayısı \(s(A)\) ile gösterilir. Örneklem uzayının kendisi de bir olaydır ve deney her yapıldığında gerçekleşir; buna kesin olay denir. Boş küme de bir olaydır ve hiçbir zaman gerçekleşmez; buna imkânsız olay denir. Bir zarın 7 gelmesi imkânsız, 7'den küçük gelmesi kesin olaydır.

Olaylar küme olduğu için kümelerdeki işlemler olaylara doğrudan taşınır:

• \(A \cup B\): "\(A\) ya da \(B\) gerçekleşir" (en az biri gerçekleşir).
• \(A \cap B\): "\(A\) ve \(B\) birlikte gerçekleşir".
• \(A'\): "\(A\) gerçekleşmez"; \(A\)'nın tümleyenidir ve \(E\)'de olup \(A\)'da olmayan çıktılardan oluşur.
• \(A \cap B = \emptyset\) ise \(A\) ile \(B\) ayrık olaylardır; ikisi aynı anda gerçekleşemez.

Bir zar atıldığında "çift gelme" ile "tek gelme" olayları ayrıktır ve birbirinin tümleyenidir. "Çift gelme" ile "asal gelme" olayları ise ayrık değildir, çünkü 2 hem çift hem asaldır. Soru metnindeki "ya da", "ve", "değil", "en az", "en çok" sözcüklerini küme işlemlerine çevirmek bu konunun dilidir.

Eş olasılıklı örneklem uzayında olasılık

Hilesiz bir zarda altı yüzün her birinin gelme şansı aynıdır. Bütün çıktıların gelme şansının eşit olduğu örneklem uzayına eş olasılıklı örneklem uzayı denir. Böyle bir uzayda bir \(A\) olayının olasılığı, \(A\)'ya uygun çıktı sayısının bütün çıktıların sayısına oranıdır:

Bir zarın çift gelme olasılığı \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)'dir. 1'den 20'ye kadar numaralanmış kartlardan rastgele seçilen birinin 3'ün katı olma olasılığı \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)'dur. Sorularda geçen "hilesiz", "rastgele", "özdeş" sözcükleri, eş olasılık varsayımını kurmamızı sağlar. Bu kuralın neden doğru olduğunu düşünelim: eş olasılıklı \(n\) çıktının olasılıkları eşit ve toplamları 1 ise her birinin olasılığı \(\frac{1}{n}\)'dir; \(A\) olayı bunlardan \(k\) tanesini içeriyorsa olasılığı \(k \cdot \frac{1}{n}\) olur.

İki zar sorularında en güvenli yol, 36 çıktıyı bir tabloya yerleştirmektir. Satırlar ikinci zarı, sütunlar birinci zarı gösterir; her hücreye istenen büyüklük (toplam, fark, çarpım) yazılır ve uygun hücreler sayılır.

Tablodan başka bilgiler de okunur. Toplamı aynı olan hücreler hep ters köşegenler üzerinde durur; toplam 7'den uzaklaştıkça hücre sayısı birer birer azalır (toplam 6 ve 8 için 5, toplam 5 ve 9 için 4 hücre). Fark sorularında ise ana köşegen kullanılır: köşegendeki 6 hücrede iki zar eşittir, köşegenin iki yanındaki 5'er hücrede fark 1, sonraki 4'er hücrede fark 2'dir.

Olasılığın temel özellikleri ve tümleyen olay

Tanımdan hemen birkaç özellik çıkar. \(0 \le s(A) \le s(E)\) olduğu için her olay için

olur. Bir olasılık sorusunda 1'den büyük ya da negatif bir sonuç bulduysan bir yerde hata vardır. \(A \subset B\) ise \(s(A) \le s(B)\) olacağından \(P(A) \le P(B)\) olur: daha geniş olay daha olasıdır.

\(A\) ile \(A'\) ayrık olaylardır ve birleşimleri \(E\)'dir; bu yüzden \(s(A) + s(A') = s(E)\) ve

bulunur. Bu basit eşitlik, olasılığın en kullanışlı aracıdır. Bir olayı doğrudan saymak zor, tümleyenini saymak kolaysa tümleyen hesaplanır ve 1'den çıkarılır. Bunun en tipik örneği "en az bir" sorularıdır. "Üç para atıldığında en az bir yazı gelmesi" olayının tümleyeni "hiç yazı gelmemesi", yani üçünün de tura gelmesidir. Bu tek çıktılık bir olaydır: \(P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). Doğrudan saymaya kalksaydık bir yazı, iki yazı ve üç yazı durumlarını ayrı ayrı sayıp toplamamız gerekirdi.

Birleşim kuralı ve ayrık olaylar

İki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığını bulmak için iki olayın olasılıklarını toplamak yetmez. \(A\) ile \(B\)'nin ortak çıktıları hem \(s(A)\) içinde hem \(s(B)\) içinde sayılmıştır; bu yüzden bir kez çıkarılmalıdır. Kümelerdeki \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\) eşitliğini \(s(E)\)'ye bölersek

kuralı elde edilir. \(A\) ve \(B\) ayrıksa kesişimleri boş, olasılığı 0'dır ve kural \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) biçimine iner. Ayrık olaylarda olasılıklar doğrudan toplanır; ayrık olmayanlarda kesişim çıkarılır.

Örneğin 1'den 20'ye kadar numaralı kartlardan biri seçildiğinde "numaranın 3'ün katı olması" (6 kart) ve "4'ün katı olması" (5 kart) olayları ayrık değildir: 12 her ikisinde de vardır. 3'ün ya da 4'ün katı olan kart sayısı \(6 + 5 - 1 = 10\)'dur ve olasılık \(\frac{10}{20} = \frac{1}{2}\) çıkar. Kesişimi çıkarmayı unutan biri \(\frac{11}{20}\) bulur.

Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı

Bir parayı atıp ardından bir zar attığında paranın sonucu zarın sonucunu hiç etkilemez. Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmeyen olaylara bağımsız olaylar denir. Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımıdır:

Bunun nedenini sayarak görebiliriz. Para ve zar birlikte atıldığında 12 eş olasılıklı çıktı vardır. "Para yazı" olayı 6 çıktı, "zar 5'ten küçük" olayı 8 çıktı içerir; ikisinin birlikte olduğu çıktılar \((Y, 1), (Y, 2), (Y, 3), (Y, 4)\) olmak üzere 4 tanedir. \(\frac{4}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}\) eşitliği, çarpma kuralının sayma ilkesinden geldiğini gösterir: birinci aşamanın uygun durumları ile ikinci aşamanın uygun durumları çarpılır, tüm durumlar da aynı biçimde çarpılır.

Çarpma kuralı ikiden çok olaya da uygulanır. Hilesiz bir zar üç kez atıldığında üçünde de 6 gelme olasılığı \(\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}\), hiç 6 gelmeme olasılığı \(\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}\)'dır. Tümleyen kuralıyla birleşince "en az bir kez 6 gelme" olasılığı \(1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}\) bulunur. Atış sayısı arttıkça "hiç gelmeme" olasılığı küçülür ama hiçbir zaman sıfır olmaz; 6 atışta bir kez 6 gelmesi kesin değildir.

Olasılıklar kesir olarak değil de yüzde ya da ondalık olarak verildiğinde de aynı kurallar işler. Bir okçunun hedefi vurma olasılığı 0,7, ikinci bir okçununki 0,6 ve atışlar birbirini etkilemiyorsa ikisinin de ıskalama olasılığı \(0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12\), hedefin en az bir kez vurulma olasılığı \(1 - 0{,}12 = 0{,}88\) olur.

Ardışık çekiliş: iade ederek ve iade etmeden

Torbadan art arda top çekilen sorularda ilk iş, çekilen topun torbaya geri konup konmadığına bakmaktır. İade ederek çekilişte her çekilişten önce torba ilk hâline döner; çekilişler bağımsızdır ve olasılıklar çarpılır. 4 kırmızı ve 6 mavi top bulunan bir torbadan iade ederek iki top çekilirse ikisinin de kırmızı olma olasılığı \(\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{4}{25}\)'tir.

İade etmeden çekilişte ise ilk çekiliş torbayı değiştirir. İlk top kırmızıysa torbada 3 kırmızı ve 6 mavi, yani 9 top kalır. İkinci çekilişin olasılıkları bu yeni torbaya göre yazılır ve çarpılır: ikisinin de kırmızı olma olasılığı \(\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15}\) olur. Bu tür soruları düzenli çözmenin yolu ağaç şemasıdır. Her dalın üzerine o adımdaki olasılık yazılır; bir yol boyunca olasılıklar çarpılır, istenen olaya uyan yolların sonuçları toplanır.

Ağaç şemasında dikkat edilecek iki nokta vardır. Birincisi, "iki farklı renk" olayı tek bir yol değildir: önce kırmızı sonra mavi (KM) ve önce mavi sonra kırmızı (MK) yollarının ikisi de bu olaya uyar. Olasılık \(\frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{8}{15}\)'tir. İkincisi, bütün yolların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır; bu, şemanın doğru kurulduğunu denetlemenin pratik yoludur.

İade etmeden çekilişle ilgili şaşırtıcı bir gerçek daha vardır: ikinci topun kırmızı olma olasılığı, ilk topun rengi bilinmiyorsa, birinci topun kırmızı olma olasılığına eşittir. Ağaçtan \(\frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{4}{10}\) bulunur. Bunun nedeni simetridir: topları sırayla çekmek, onları rastgele bir sıraya dizmekle aynıdır ve bir topun dizinin birinci yerine gelme şansı ile ikinci yerine gelme şansı aynıdır.

Kombinasyonla olasılık

Torbadan aynı anda birden çok top alındığında ya da bir gruptan komite seçildiğinde sıra önemli değildir. Bu durumda tüm durumların sayısı da istenen durumların sayısı da kombinasyonla sayılır. \(n\) elemanlı bir kümenin \(r\) elemanlı alt kümelerinin sayısı \(C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\)'dir ve her alt küme eş olasılıklıdır.

5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından rastgele 3 kişilik bir komite seçilecekse tüm durumların sayısı \(C(9, 3) = 84\)'tür. Komitede tam 2 kız olması için kızlardan 2'si \(C(5, 2) = 10\), erkeklerden 1'i \(C(4, 1) = 4\) yolla seçilir; çarpma ilkesiyle \(40\) durum vardır ve olasılık \(\frac{40}{84} = \frac{10}{21}\)'dir. Bu yöntemin özü şudur: istenen durumu "her gruptan kaçar tane seçildiği" biçiminde parçalara ayır, her parçayı kombinasyonla say, parçaları çarp; birden çok uygun dağılım varsa sonuçları topla.

"Aynı anda iki top çekmek" ile "iade etmeden art arda iki top çekmek" aynı olasılıkları verir. Birincisinde sırasız seçim \(C(10, 2) = 45\) durum, ikincisinde sıralı seçim \(10 \cdot 9 = 90\) durum verir; ama istenen durumlar da aynı oranda (iki katına) değişir. Önemli olan, pay ile paydayı aynı yöntemle saymaktır: payı sıralı, paydayı sırasız saymak sonucu iki katına çıkarır.

Tablo ile verilen olasılık

Bir okulda, bir ankette ya da bir sporcu grubunda insanlar iki özelliğe göre sınıflandırıldığında veriler iki yönlü bir tabloyla verilir: satırlar bir özelliği (kız, erkek), sütunlar öteki özelliği (spor yapıyor, yapmıyor) gösterir. Gruptan rastgele bir kişi seçildiğinde her kişi eş olasılıklıdır ve olasılıklar tablodaki sayılardan okunur.

Bu tabloda seçilen kişinin spor yapan bir kız olma olasılığı \(\frac{48}{200}\), kız ya da spor yapan biri olma olasılığı birleşim kuralıyla \(\frac{120 + 100 - 48}{200} = \frac{172}{200}\)'dür. Soru "seçilen kişinin kız olduğu biliniyor" diye başlıyorsa durum değişir: artık seçim yalnızca 120 kızın arasından yapılmış sayılır. Bilinen bilgi örneklem uzayını daraltır ve olasılık \(\frac{48}{120} = \frac{2}{5}\) olur. Bu kavramın genel adı koşullu olasılıktır ve formülleriyle AYT'de ele alınır; TYT düzeyinde tabloda doğru satırı ya da sütunu seçip ona bölmek yeterlidir.

Geometrik olasılık

Bazı deneylerde çıktılar sayılamaz: bir hedef tahtasına atılan bir dart, tahtanın herhangi bir noktasına düşebilir. Nokta bölgenin içinde rastgele seçiliyorsa eşit alanlı bölgelere düşme şansları da eşittir. Bu durumda olasılık alanların oranıyla hesaplanır:

Bu kural, sayılan çıktıların yerine alanların geçtiği \(\frac{s(A)}{s(E)}\) kuralıdır. Kenarı 6 birim olan bir karenin içinde rastgele seçilen bir noktanın aşağıdaki şekilde boyalı üçgenin içinde olma olasılığını bulmak için üçgenin alanı hesaplanır. Üçgenin alanını doğrudan bulmak yerine kareden üç dik üçgenin alanını çıkarmak çoğu zaman en kolay yoldur.

Çark sorularında da aynı düşünce kullanılır. Bir çarkın ibresinin bir bölgede durma olasılığı, o bölgenin merkez açısının \(360^\circ\)'ye oranıdır. 120 derecelik bir dilimin olasılığı \(\frac{120}{360} = \frac{1}{3}\)'tür. Çark dilimleri eşit değilse sayılar eş olasılıklı değildir; "çarkta 4 sayı var, her biri \(\frac{1}{4}\)" demek, iki zarın toplamlarını eş olasılıklı saymakla aynı hatadır. Daire içeren şekillerde soruda verilen \(\pi\) değeri kullanılır.