Veri, İstatistik ve Grafikler

Veri nedir, nasıl toplanır?

Bir soruya cevap aramak için topladığımız gözlem ve ölçümlere veri denir. "Okulumuzdaki öğrenciler ayda kaç kitap okuyor?" sorusunu cevaplamak istiyorsak önce soruyu netleştiririz (hangi öğrenciler, hangi ay), sonra veriyi toplarız, düzenleriz, özetleriz ve en sonunda yorumlarız. Bu sıralama, istatistiksel araştırmanın iskeletidir: soru oluşturma, veri toplama, verileri düzenleme ve gösterme, verileri yorumlama.

Veri toplamanın başlıca yolları anket (kişilere soru sormak), gözlem (kavşaktan geçen araçları saymak gibi), deney (bir bitkinin farklı ışıkta büyümesini ölçmek gibi) ve hazır kaynaklardır (TÜİK gibi kurumların yayımladığı istatistikler). Okuldaki bütün öğrencilere ulaşmak zorsa yalnızca bir kısmından veri toplanır; bu kısma örneklem denir. Örneklemin sonuçları ancak örneklem bütün grubu iyi temsil ediyorsa genellenebilir. Kitap okuma alışkanlığını yalnızca kütüphanede karşılaşılan öğrencilere sorarak ölçmek, gerçek ortalamadan büyük bir sonuç verir; çünkü bu öğrenciler zaten okumaya ilgili olanlardır.

Nitel ve nicel veri

Veriler iki türlüdür. Nitel (kategorik) veri bir özelliği ya da kategoriyi bildirir: kan grubu, göz rengi, okula geliş biçimi, en sevilen ders. Nicel (sayısal) veri ise ölçme ya da sayma ile elde edilen sayılardır: boy, sınav puanı, kardeş sayısı, bir günde atılan adım sayısı. Nicel veriler de ikiye ayrılır: sayarak bulunan ve yalnızca belirli değerleri alabilen kesikli veriler (kardeş sayısı 2 ya da 3 olur, 2,4 olamaz) ve ölçerek bulunan, bir aralıktaki her değeri alabilen sürekli veriler (boy 167,3 cm olabilir).

Bir verinin sayıyla yazılması onu nicel yapmaz. Forma numarası, posta kodu ya da öğrenci numarası birer sayı gibi görünse de birer etikettir; iki forma numarasının ortalamasını almak anlamsızdır. Bir veri için "toplamak ya da ortalamasını almak anlamlı mı?" diye sormak, türünü belirlemenin en kısa yoludur. Bu ayrım önemlidir, çünkü ortalama ve standart sapma yalnızca nicel verilerde hesaplanır; nitel veriler için en çok kullanılan özet tepe değer ve yüzdelerdir.

Sıklık tablosu ve aritmetik ortalama

Çok sayıda veri, değerlerin kaç kez tekrarlandığını gösteren bir sıklık (frekans) tablosu ile düzenlenir. Aşağıda 30 öğrencinin bir ayda okuduğu kitap sayıları hem tablo hem sütun grafiği olarak verilmiştir.

\(n\) tane verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür ve \(\bar{x}\) ile gösterilir:

Ortalamayı anlamanın iyi bir yolu onu bir denge noktası olarak düşünmektir. Her verinin ortalamadan farkına (sapmasına) bakarsak, ortalamanın üstündekilerin farkları toplamı altındakilerin farkları toplamına eşittir; yani bütün sapmaların toplamı sıfırdır: \((x_1 - \bar{x}) + \dots + (x_n - \bar{x}) = (x_1 + \dots + x_n) - n\bar{x} = 0\). Bu eşitlik "toplam = veri sayısı · ortalama" bağıntısının başka bir yazılışıdır ve ortalama sorularının çoğu bu bağıntıyla çözülür. 5 sayının ortalaması 14 ise toplamları 70'tir; içlerinden biri çıkarılınca kalan 4 sayının ortalaması 12 oluyorsa kalanların toplamı 48, çıkarılan sayı da \(70 - 48 = 22\)'dir.

Ağırlıklı ortalama ve grupları birleştirmek

Sıklık tablosunda her değer, sıklığı kadar tekrarlandığı için o kadar "ağırlık" taşır. Değerler \(x_1, \dots, x_k\) ve sıklıkları \(f_1, \dots, f_k\) ise

olur. Kitap tablosunda toplam \(0 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 75\) kitaptır ve ortalama \(\frac{75}{30} = 2{,}5\) kitaptır. Tablodaki 0, 1, …, 5 değerlerinin ortalamasını almak (2,5 burada tesadüfen tutar) ya da sıklıkların ortalamasını almak (5) bu konudaki iki klasik hatadır.

Aynı fikir notlarda da kullanılır: ders saati 4 olan bir dersten 80, ders saati 2 olan bir dersten 65 alan öğrencinin ağırlıklı ortalaması \(\frac{4 \cdot 80 + 2 \cdot 65}{6} = 75\)'tir, \(\frac{80 + 65}{2} = 72{,}5\) değildir. İki grubu birleştirirken de ağırlıklar kişi sayılarıdır. 30 kişilik bir sınıfın ortalaması 64, 20 kişilik bir sınıfın ortalaması 74 ise birleşik ortalama \(\frac{30 \cdot 64 + 20 \cdot 74}{50} = 68\) olur. Sonuç her zaman iki ortalamanın arasındadır ve kalabalık grubun ortalamasına daha yakındır.

Ortanca ve tepe değer

Veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değere ortanca (medyan) denir. Veri sayısı \(n\) tekse ortanca \(\frac{n+1}{2}\). sıradaki veridir. \(n\) çiftse ortada iki veri kalır (\(\frac{n}{2}\). ve \(\frac{n}{2} + 1\). sıradakiler) ve ortanca bu ikisinin ortalamasıdır. 3, 8, 5, 12, 7 verisi sıralanınca 3, 5, 7, 8, 12 olur ve ortanca 7'dir. Bu veriye 10 eklenirse 3, 5, 7, 8, 10, 12 olur ve ortanca \(\frac{7 + 8}{2} = 7{,}5\) olur. Ortanca, verilerin yarısının ondan küçük ya da ona eşit, yarısının ondan büyük ya da ona eşit olduğu değerdir. Kitap tablosunda 30 veri vardır; 15. ve 16. veriler sırasıyla 2 ve 3 olduğundan ortanca 2,5'tir.

Verilerde en çok tekrar eden değere tepe değer (mod) denir. Bir veri grubunun birden fazla tepe değeri olabilir; kitap tablosunda 2 ve 3 sekizer kez tekrarlandığı için iki tepe değer vardır. Bütün değerler aynı sayıda tekrarlanıyorsa (örneğin her değer bir kez geçiyorsa) tepe değer yoktur. Tepe değer, nitel verilerde de kullanılabilen tek merkezi eğilim ölçüsüdür: "en çok tercih edilen ulaşım biçimi otobüstür" cümlesi bir tepe değer bildirir.

Hangi merkezi eğilim ölçüsü daha iyi?

Ortalama, ortanca ve tepe değer verinin "merkezini" farklı biçimlerde özetler. Bir iş yerinde beş kişinin aylık kazancı (bin TL) 30, 32, 35, 38 ve 215 olsun. Ortalama \(\frac{350}{5} = 70\)'tir ama beş kişiden dördü bunun yarısını bile kazanmaz; çünkü tek bir uç değer (215) toplamı ve dolayısıyla ortalamayı yukarı çekmiştir. Ortanca ise 35'tir ve "tipik" çalışanı çok daha iyi anlatır. Uç değer 215 yerine 2 150 olsa bile ortanca yine 35 kalır. Bu yüzden gelir, ev fiyatı gibi birkaç çok büyük değerin bulunabildiği verilerde ortanca tercih edilir.

Ortalamanın üstünlüğü bütün verileri kullanmasıdır; toplamla doğrudan ilişkili olduğu için de eksik veri ve birleştirme hesaplarına elverişlidir. Tepe değer ise en sık rastlanan değeri arayan sorularda (bir mağazanın en çok sattığı ayakkabı numarası) anlamlıdır. Veri simetrikse (kitap tablosunda olduğu gibi) ortalama ile ortanca birbirine eşit ya da çok yakındır; sağda çok büyük uç değerler varsa ortalama çoğu zaman ortancadan büyük çıkar.

Açıklık ve çeyrekler açıklığı

Merkezi eğilim ölçüleri veriler hakkında yarım bilgi verir. Ortalaması 60 olan iki sınıftan birinde herkes 55 ile 65 arasında, ötekinde notlar 10 ile 100 arasında olabilir. Verilerin ne kadar dağınık olduğunu yayılım ölçüleri gösterir.

En basit yayılım ölçüsü açıklıktır (ranj): en büyük veri ile en küçük verinin farkı. Hesaplaması kolaydır ama yalnızca iki uç veriye bağlı olduğu için tek bir uç değer onu çok büyütebilir.

Uç değerlerden etkilenmeyen bir ölçü için verinin orta yarısına bakılır. Veriler sıralanır ve ortanca bulunur. MEB ders kitaplarındaki tanıma göre ortancanın solunda kalan verilerin (alt yarı) ortancasına alt çeyrek \(Q_1\), sağında kalan verilerin (üst yarı) ortancasına üst çeyrek \(Q_3\) denir. Veri sayısı tekse ortancanın kendisi iki yarıya da katılmaz; çiftse veriler tam ortadan iki eşit yarıya ayrılır. Çeyrekler açıklığı \(Q_3 - Q_1\) farkıdır ve verilerin ortadaki yaklaşık yarısının ne kadar geniş bir aralığa yayıldığını gösterir.

Örneğin 2, 5, 6, 9, 10, 12, 15 verisinde \(n = 7\) ve ortanca 9'dur. Alt yarı 2, 5, 6 olduğundan \(Q_1 = 5\); üst yarı 10, 12, 15 olduğundan \(Q_3 = 12\); çeyrekler açıklığı 7, açıklık ise 13'tür.

Kutu grafiği ve beşli özet

En küçük değer, \(Q_1\), ortanca, \(Q_3\) ve en büyük değerden oluşan beş sayıya beşli özet denir. Kutu grafiği bu beş sayıyı bir sayı doğrusu üzerinde gösterir: \(Q_1\) ile \(Q_3\) arasına bir kutu çizilir, ortanca kutunun içinde bir çizgiyle işaretlenir ve kutunun iki yanından en küçük ile en büyük değere kadar birer çizgi (bıyık) uzatılır.

Kutu grafiğinden doğrudan okunabilenler şunlardır: açıklık (iki bıyık ucu arasındaki uzaklık), çeyrekler açıklığı (kutunun uzunluğu) ve ortanca. Ayrıca verilerin yaklaşık dörtte biri her bir bıyıkta, yaklaşık yarısı kutunun içindedir. Kesin olarak söylenebilecek şey ise verilerin en az yarısının ortancaya eşit ya da ondan büyük, en az yarısının da ortancaya eşit ya da ondan küçük olduğudur. Kutu grafiği özellikle iki grubu karşılaştırmakta güçlüdür: hangi grubun ortancası büyük, hangisinin orta yarısı daha dağınık, bir bakışta görülür. Kutu grafiğinden ortalama okunamaz.

Standart sapma

Açıklık ve çeyrekler açıklığı yalnızca birkaç veriyi kullanır. Bütün verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını ölçen yayılım ölçüsü standart sapmadır. Sapmaların kendisini toplayamayız, çünkü toplamları her zaman sıfırdır. Bu yüzden sapmaların kareleri toplanır, uygun bir sayıya bölünür ve sonucun karekökü alınır. Bu sitede ve MEB 9. sınıf ders kitaplarında kullanılan tanım şudur:

Hesap dört adımdır: ortalamayı bul; her verinin ortalamadan farkını yaz; bu farkların karelerini topla; toplamı \(n - 1\)'e böl ve karekök al. 7, 9, 10, 10, 11, 13 verisinin ortalaması 10'dur. Sapmalar −3, −1, 0, 0, 1, 3; kareleri toplamı \(9 + 1 + 0 + 0 + 1 + 9 = 20\)'dir. \(n - 1 = 5\) olduğundan \(s = \sqrt{4} = 2\) bulunur.

Standart sapmanın yorumu basittir: küçük standart sapma, verilerin ortalama etrafında toplandığını; büyük standart sapma, dağınık olduğunu gösterir. Ortalamaları eşit iki öğrenciden standart sapması küçük olan daha istikrarlıdır. Standart sapma hiçbir zaman negatif değildir ve yalnızca bütün veriler birbirine eşitse sıfırdır. Birimi de verinin birimiyle aynıdır (puanların standart sapması puan, boyların standart sapması santimetre cinsindendir).

Veriye sabit eklemek ya da veriyi bir sabitle çarpmak

Öğretmen her öğrencinin notuna 5 puan eklerse ne değişir? Bütün veriler 5 birim sağa kayar. Merkezi gösteren her ölçü (ortalama, ortanca, tepe değer, çeyrekler) 5 artar. Ama veriler arasındaki uzaklıklar değişmediği için yayılım ölçüleri (açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma) değişmez. Standart sapma için gerekçe şudur: her veri ve ortalama aynı miktarda arttığı için \(x_i - \bar{x}\) farkları aynı kalır.

Her veri pozitif bir \(k\) sayısıyla çarpılırsa bu kez veriler arasındaki uzaklıklar da \(k\) katına çıkar. Bu durumda merkez ölçüleri de yayılım ölçüleri de \(k\) katına çıkar. Standart sapmada her sapma \(k\) katına, karesi \(k^2\) katına çıkar; karekök alınınca \(s\) yine \(k\) katına çıkar. Negatif bir sayıyla çarpmada yayılım ölçüleri \(|k|\) katına çıkar, çünkü uzaklıklar negatif olamaz.

Bir de veri eklemek vardır. Veriye ortalamaya eşit bir değer eklenirse ortalama değişmez; sapmaların kareleri toplamı da değişmez, ama payda bir artar. Bu yüzden (veriler hepsi eşit değilse) standart sapma küçülür. Ortalamadan çok uzak bir değer eklemek ise standart sapmayı büyütür. Ortanca bu tür eklemelerde değişebilir de değişmeyebilir de; sıralı listeye bakmadan karar verilmez.

Grafikler: sütun, çizgi ve daire grafiği

Sütun grafiği kategorileri ya da kesikli değerleri karşılaştırır; sütunların yüksekliği sıklığı (ya da miktarı) gösterir ve sütunlar arasında boşluk bırakılır. Kitap verisinin grafiği bir sütun grafiğidir.

Çizgi grafiği bir büyüklüğün zamana göre değişimini gösterir. Noktalar zaman sırasıyla birleştirildiği için artış ve azalışlar, en hızlı değişimin nerede olduğu kolayca görülür.

Daire grafiği bir bütünün parçalara nasıl bölündüğünü gösterir. Dairenin tamamı 360° olduğundan bir dilimin merkez açısı, o parçanın bütüne oranının 360° ile çarpımıdır:

180 kişinin katıldığı bir ankette 45 kişi bir seçeneği işaretlediyse o dilimin merkez açısı \(\frac{45}{180} \cdot 360^\circ = 90^\circ\)'dir. Soruda tersine açılar verilip kişi sayıları istenirse önce bir derecenin kaç kişiye karşılık geldiği bulunur. Daire grafiğinde dilimlerin yalnızca oranlarını görürüz; toplam bilinmeden gerçek sayılar bulunamaz.

Histogram

Boy, süre, ağırlık gibi sürekli verilerde hemen her değer bir kez geçer; bu yüzden veriler önce gruplanır. Veriler eşit genişlikte sınıflara (aralıklara) ayrılır ve her sınıftaki veri sayısı bir sütunla gösterilir. Bu grafiğe histogram denir. Histogramda sütunlar arasında boşluk yoktur, çünkü sınıflar sayı doğrusunu kesintisiz böler. Sınıf genişliği genellikle açıklığın sınıf sayısına bölünmesi ve yukarı yuvarlanmasıyla seçilir.

Histogramdan "kaç öğrencinin boyu 165 cm'den kısa?" gibi soruların cevabı sınıf sıklıkları toplanarak bulunur: \(3 + 7 + 12 = 22\). Ama "kaç öğrencinin boyu 162 cm'den kısa?" sorusu cevaplanamaz, çünkü bir sınıfın içindeki verilerin nasıl dağıldığı bilinmez. Histogram sütun grafiğine benzer ama sütun grafiği ayrık kategorileri, histogram ise ardışık sayı aralıklarını gösterir.

Serpilme grafiği ve iki değişken arasındaki ilişki

Her öğrencinin hem çalışma süresi hem puanı gibi iki nicel veri birlikte toplanmışsa her öğrenci koordinat düzleminde bir noktayla gösterilir. Bu grafiğe serpilme (saçılım) grafiği denir. Noktalar soldan sağa yükselen bir şerit oluşturuyorsa pozitif yönlü, alçalan bir şerit oluşturuyorsa negatif yönlü bir ilişki vardır. Noktalar belirli bir yön göstermeden dağılmışsa belirgin bir ilişki yoktur.

İki uyarı önemlidir. Birincisi, pozitif ilişki "her zaman artar" demek değildir; genel eğilimi anlatır, tek tek noktalarda tersi görülebilir. İkincisi, ilişki neden-sonuç anlamına gelmez. Yazın dondurma satışı ile boğulma vakaları birlikte artar ama biri ötekinin nedeni değildir; ikisini de havanın ısınması etkiler.

Doğru grafiği seçmek

Grafik türü, verinin türüne ve sorulan soruya göre seçilir:

• Kategorileri karşılaştırmak (en çok satılan ürün): sütun grafiği.
• Zamana göre değişim (aylık sıcaklık, deneme netleri): çizgi grafiği.
• Bir bütünün parçalara oranı (bütçenin dağılımı): daire grafiği.
• Çok sayıda sürekli verinin dağılımı (boylar, süreler): histogram.
• İki grubun ortanca ve yayılımını karşılaştırmak: kutu grafiği.
• İki nicel değişken arasındaki ilişki: serpilme grafiği.

Bir ay boyunca her gün ölçülen sıcaklığı daire grafiğiyle göstermek anlamsızdır; çünkü günlerin sıcaklıkları bir bütünün parçaları değildir. Aynı biçimde bir sınıftaki öğrencilerin kan grubu dağılımını çizgi grafiğiyle göstermek de yanlıştır, çünkü kan grupları arasında bir sıra ya da zaman yoktur.

Eksik veri soruları: en büyük ya da en küçük değer

ÖSYM'nin sevdiği bir soru tipi, ortalama ve ortancası bilinen ama verileri bilinmeyen bir gruptur. "Ortalaması 12, ortancası 11 olan 5 farklı pozitif tam sayıdan en büyüğü en çok kaçtır?" sorusunu düşünelim. Sayıları sıralayıp \(a < b < 11 < d < e\) yazarız; toplam \(5 \cdot 12 = 60\)'tır. \(e\)'nin en büyük olması için ötekiler olabildiğince küçük seçilir: \(a = 1\), \(b = 2\), \(d = 12\). Buradan \(e = 60 - 1 - 2 - 11 - 12 = 34\) bulunur. Sayılar farklı olmak zorunda değilse \(a = b = 1\) ve \(d = 11\) alınabilir, bu kez \(e = 36\) olur. Yöntem her zaman aynıdır: toplamı yaz, sıralamayı ve koşulları (farklılık, tek tepe değer, ortanca) koru, istenen sayı dışındakileri koşulların izin verdiği en uç değere götür.