Temel Kavramlar ve Sayı Kümeleri

Rakam ve sayı

Sayıları yazmak için kullandığımız on simgeye rakam denir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Sayı ise bir çokluğu ya da bir büyüklüğü belirten kavramdır ve rakamlar yan yana yazılarak gösterilir. Her rakam bir sayıdır ama her sayı rakam değildir: 7 hem rakam hem sayıdır, 25 ise iki rakamla yazılmış bir sayıdır. Bir harf için "rakam" dendiğinde o harf yalnızca 0'dan 9'a kadar olan on değerden birini alabilir. En küçük rakam 0, en büyük rakam 9'dur; "pozitif rakam" dendiğinde 0 dışarıda kalır ve değerler 1'den 9'a kadardır.

Sınavlarda rakamlar çoğu zaman bir kısıtla birlikte gelir: "a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere…" Bu cümle, üç harfin aynı değeri alamayacağını söyler. Bir ifadenin en büyük değerini ararken en büyük pozitif katsayılı harfe en büyük rakamı, sonra kalan en büyük rakamı bir sonraki pozitif katsayılı harfe verirsin. Negatif katsayılı harfe ise olabildiğince küçük rakam verilir. Örneğin \(3a - 2b + c\) ifadesinin en büyük değerinde \(a = 9\), \(c = 8\), \(b = 0\) seçilir ve sonuç \(27 - 0 + 8 = 35\) olur. En küçük değerde mantık tersine döner: negatif katsayılı \(b\)'ye 9, pozitif katsayılılara en küçük rakamlar verilir. Bu tür sorularda iki tuzak vardır: 0'ın da bir rakam olduğunu unutmak ve "farklı" koşulunu gözden kaçırıp iki harfe aynı rakamı vermek.

Sayı kümeleri

Matematikte sayıları, hangi işlemlerin içinde kalabildiğine göre kümelere ayırırız. En temel küme, saymak için kullandığımız sayma sayılarıdır: \(\{1, 2, 3, \dots\}\). Buna 0 eklenince doğal sayılar kümesi elde edilir:

Doğal sayılarda toplama ve çarpma her zaman yapılabilir, ama çıkarma yapılamayabilir: \(3 - 5\) bir doğal sayı değildir. Bu eksikliği gidermek için negatif sayılar eklenir ve tam sayılar kümesi oluşur:

Sıfırdan büyük tam sayılara pozitif tam sayılar (\(\mathbb{Z}^+\)), sıfırdan küçüklere negatif tam sayılar (\(\mathbb{Z}^-\)) denir. Sıfır ne pozitif ne negatiftir; işaretsizdir. Bu yüzden "x bir pozitif tam sayı" bilgisi \(x \neq 0\) demektir, "x bir doğal sayı" bilgisi ise \(x = 0\) olabileceğini de içerir.

Tam sayılarda da bölme her zaman yapılamaz: \(3 \div 4\) bir tam sayı değildir. \(a\) ve \(b\) tam sayı ve \(b \neq 0\) olmak üzere \(\frac{a}{b}\) biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir ve bu küme \(\mathbb{Q}\) ile gösterilir. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır, çünkü \(5 = \frac{5}{1}\) yazılabilir. Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya sonludur (\(\frac{3}{4} = 0{,}75\)) ya da bir noktadan sonra kendini tekrar eder (\(\frac{1}{3} = 0{,}333\dots\)).

Bazı sayılar ise iki tam sayının bölümü olarak hiçbir şekilde yazılamaz. Bunlara irrasyonel sayılar denir ve küme \(\mathbb{I}\) ile gösterilir: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{12}\), \(\pi\) bunlardandır. Ondalık gösterimleri sonsuza kadar sürer ve hiçbir zaman düzenli bir tekrara girmez. \(\pi\) için kullandığımız 3,14 ya da \(\frac{22}{7}\) yalnızca yaklaşık değerlerdir; bu iki sayının kendisi rasyoneldir. Kök içinde bir tam kare varsa sayı rasyoneldir: \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), \(\sqrt{10{,}24} = 3{,}2\). Negatif bir sayının karekökü ise bir gerçek sayı değildir.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi gerçek sayılar kümesini (\(\mathbb{R}\)) oluşturur. Bu iki kümenin ortak elemanı yoktur: bir sayı ya rasyoneldir ya irrasyoneldir. Kümeler arasındaki ilişki şöyle özetlenir:

Her gerçek sayı sayı doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir ve doğrunun her noktası bir gerçek sayıdır. Rasyonel sayılar doğruyu "doldurmaya" yetmez; aralarındaki boşluklarda \(\sqrt{2}\) ve \(\pi\) gibi irrasyonel sayılar bulunur.

\(\sqrt{2}\)'nin neden irrasyonel olduğunu görmek, bu konudaki tek-çift düşüncesine de iyi bir giriştir. \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) ve kesir sadeleşmiş olsun. İki yanın karesi alınınca \(p^2 = 2q^2\) olur; demek ki \(p^2\) çifttir. Tek bir sayının karesi tek olduğundan \(p\) çift olmalıdır: \(p = 2k\). Yerine yazınca \(4k^2 = 2q^2\), yani \(q^2 = 2k^2\) bulunur ve \(q\) de çifttir. Pay ve payda ikisi de çift olunca kesir sadeleşmiş olamaz. Bu çelişki, \(\sqrt{2}\)'nin iki tam sayının bölümü olarak yazılamayacağını gösterir.

Pozitif ve negatif sayılarla işlemler

İşaretleri aynı olan iki sayı toplanırken işaretsiz kısımları toplanır ve ortak işaret korunur: \((-7) + (-5) = -12\). İşaretleri farklıysa büyük olan işaretsiz kısımdan küçük olan çıkarılır ve sonuç, işaretsiz kısmı büyük olanın işaretini alır: \((-7) + 5 = -2\). Çıkarma, ters işaretlinin eklenmesidir: \(a - b = a + (-b)\), bu yüzden \(4 - (-6) = 10\) olur.

Çarpma ve bölmede kural kısadır: aynı işaretliler pozitif, zıt işaretliler negatif sonuç verir.

"Eksi ile eksinin çarpımı neden artı?" sorusunun cevabı dağılma özelliğindedir. \((-1) \cdot (1 + (-1)) = (-1) \cdot 0 = 0\) olmalıdır. Sol yanı dağıtırsak \((-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 0\), yani \(-1 + (-1) \cdot (-1) = 0\) olur. Bu eşitliğin sağlanması için \((-1) \cdot (-1) = 1\) olmak zorundadır.

Birden fazla çarpan varsa negatif çarpanları saymak yeter: negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir. Kuvvetler de bir çarpım olduğundan negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: \((-2)^4 = 16\), \((-2)^3 = -8\), \((-1)^{2n} = 1\), \((-1)^{2n+1} = -1\).

İşaret kuralları, sayıların değerleri bilinmeden işaretlerini bulmaya da yarar. \(a \cdot b < 0\) ise \(a\) ile \(b\) zıt işaretlidir; \(a \cdot b > 0\) ise aynı işaretlidir. Bölme için de aynı kural geçerlidir. \(a^2 \cdot b < 0\) verilirse \(a^2\) pozitif olduğundan \(b < 0\) bulunur, ama \(a\)'nın işareti hakkında hiçbir şey söylenemez. Bir ifadenin işaretini sorarken her çarpanın işaretini ayrı ayrı yazıp sonra birleştirmek en güvenli yoldur. Toplamlarda ise dikkatli olmak gerekir: pozitif bir sayı ile negatif bir sayının toplamının işareti, sayıların büyüklüğüne bağlıdır ve yalnızca işaretlerden bilinemez.

İşlem önceliği ve parantez

Birden fazla işlem içeren bir ifadede sonuç, işlemlerin yapılma sırasına bağlıdır. Herkesin aynı sonucu bulması için şu sıra izlenir:

1. Parantez içleri (iç içe parantezlerde en içteki önce)
2. Üslü ifadeler
3. Çarpma ve bölme, soldan sağa sırayla
4. Toplama ve çıkarma, soldan sağa sırayla

Çarpma ile bölme aynı önceliğe sahiptir; hangisi solda ise o önce yapılır. \(24 \div 4 \cdot 2\) işleminde önce \(24 \div 4 = 6\), sonra \(6 \cdot 2 = 12\) bulunur. Önce çarpmayı yapıp \(24 \div 8 = 3\) bulmak yanlıştır. Toplama ile çıkarma için de durum aynıdır: \(10 - 4 + 3 = 9\) olur, 3 değil. Kesir çizgisi bir parantez gibi davranır: \(\frac{12 + 6}{3}\) ifadesinde önce pay hesaplanır ve sonuç 6'dır.

Üs önceliği, işaret konusundaki tuzakla birleşir: \(2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\) olur, \(6^2 = 36\) değil. \(-3^2\) ifadesinde de önce üs alınır, sonra eksi uygulanır. Uzun bir ifadeyi hesaplarken her adımda yalnızca bir öncelik basamağını işlemek ve ara sonuçları yazmak hataları büyük ölçüde azaltır.

Tek ve çift sayılar

2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift, bölünemeyenlere tek sayı denir. Her çift sayı \(2k\), her tek sayı \(2k + 1\) biçiminde yazılır (\(k\) bir tam sayı). Bu tanım negatif sayıları da kapsar: \(-4\) çift, \(-3\) tektir. 0 bir çift sayıdır, çünkü \(0 = 2 \cdot 0\)'dır.

Toplama ve çarpmadaki kurallar bu yazılıştan doğrudan çıkar. Örneğin iki tek sayının toplamı \((2k+1) + (2m+1) = 2(k + m + 1)\) olduğundan çifttir; çarpımı ise \((2k+1)(2m+1) = 2(2km + k + m) + 1\) olduğundan tektir.

Çıkarma toplamayla aynı sonucu verir: iki sayının farkının tekliği, toplamının tekliğiyle aynıdır. Çarpımda tek bir çift çarpan bütün çarpımı çift yapar; çarpımın tek olması için bütün çarpanların tek olması gerekir. Kuvvetlerde tekliği taban belirler: \(n\) pozitif bir tam sayı ise tek sayının \(n\). kuvveti tek, çift sayının \(n\). kuvveti çifttir. Burada "pozitif" koşulu önemlidir, çünkü \(4^0 = 1\) tektir.

Bu kurallardan sınavda en çok kullanılan sonuçlar şunlardır:

• \(a + b\) tek ise \(a\) ile \(b\)'den biri tek, öteki çifttir. \(a + b\) çift ise ikisi aynı tekliktedir.
• \(a \cdot b\) tek ise ikisi de tektir. \(a \cdot b\) çift ise en az biri çifttir.
• \(a \cdot b\) çift ve \(a + b\) tek ise kesinlikle biri tek, öteki çifttir; ama hangisinin tek olduğu bilinemez.
• Çift katsayılı bir terim toplamın tekliğini değiştirmez: \(4a + b\) ile \(b\) aynı tekliktedir.
• Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift olduğundan \(n(n + 1)\) her zaman çifttir.

Asal sayılar ve aralarında asal sayılar

1'den büyük olup 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir. 50'den küçük asal sayılar şunlardır:

1 asal değildir, çünkü yalnızca bir pozitif böleni vardır. 2, tek çift asal sayıdır; ondan büyük her çift sayı 2'ye bölündüğü için asal olamaz. Bu küçük bilgi birçok sorunun anahtarıdır: iki asal sayının toplamı tek ise bunlardan biri kesinlikle 2'dir, çünkü iki tek asalın toplamı çift olurdu. Örneğin \(a + b = 25\) ve ikisi de asalsa, biri 2, öteki 23'tür.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu, karekökünden küçük ya da ona eşit asal sayılara bölmeyi denemek yeter. Nedeni şudur: \(n = p \cdot q\) ise çarpanlardan en az biri \(\sqrt{n}\)'den büyük olamaz, yoksa çarpım \(n\)'yi aşardı. 97 için \(\sqrt{97} < 10\) olduğundan 2, 3, 5 ve 7'yi denemek yeter; hiçbiri bölmediğinden 97 asaldır. Buna karşılık 91 asal gibi görünse de \(91 = 7 \cdot 13\)'tür. 51 (\(= 3 \cdot 17\)), 57 (\(= 3 \cdot 19\)) ve 87 (\(= 3 \cdot 29\)) da sık karıştırılan asal olmayan sayılardır.

1'den büyük her doğal sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıra dışında tek bir biçimde yazılabilir: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). Asal sayılar bu yüzden sayıların "yapı taşları" gibidir. Asal sayıların sayısı da sonsuzdur. Elimizde sonlu bir asal listesi olduğunu varsayıp hepsini çarpar ve 1 eklersek, elde edilen sayı listedeki hiçbir asala bölünmez; o hâlde ya kendisi asaldır ya da listede olmayan bir asal çarpanı vardır.

1'den başka ortak pozitif böleni olmayan iki tam sayıya aralarında asal denir. 8 ile 15 aralarında asaldır, ama ikisi de asal değildir; demek ki aralarında asal olmak, sayıların kendilerinin asal olmasını gerektirmez. Bazı sık kullanılan sonuçlar:

• Birbirinden farklı iki asal sayı aralarında asaldır.
• 1, her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır.
• Ardışık iki tam sayı aralarında asaldır: ikisini birden bölen bir sayı farklarını, yani 1'i de bölmek zorundadır.
• \(a\) ile \(b\) aralarında asal ise \(a + b\) ile \(b\) de aralarında asaldır; ikisini bölen bir sayı \(a\)'yı da bölerdi.
• İki çift sayı hiçbir zaman aralarında asal olamaz, çünkü 2 ortak bölenleridir.

\(a\) ile \(b\) aralarında asal ise \(\frac{a}{b}\) kesri sadeleşmez. "\(\frac{a}{b}\) en sade biçimde yazılmıştır" bilgisi de aynı anlama gelir.

Ardışık sayılar

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir. En sık kullanılanlar:

• Ardışık tam sayılar: \(n,\ n + 1,\ n + 2,\ \dots\) (aralarındaki fark 1)
• Ardışık çift sayılar: \(2n,\ 2n + 2,\ 2n + 4,\ \dots\) (fark 2)
• Ardışık tek sayılar: \(2n + 1,\ 2n + 3,\ 2n + 5,\ \dots\) (fark 2)
• Ardışık 5'in katları gibi diziler: \(5n,\ 5n + 5,\ \dots\) (fark 5)

Böyle bir dizide terim sayısı şu formülle bulunur:

Sondaki \(+1\), ilk terimin de sayılması içindir. 3'ten 30'a kadar 3'ün katları \(\frac{30 - 3}{3} + 1 = 10\) tanedir (3, 6, …, 30). Bunu bir çit gibi düşünebilirsin: 10 metrelik bir çitte metre başına bir direk dikilirse 10 değil 11 direk gerekir.

Ardışık bir dizinin toplamı için Gauss'un eşleme düşüncesi kullanılır. \(1 + 2 + \dots + 6\) toplamını bir kez baştan, bir kez sondan yazıp alt alta toplarsak her sütun \(1 + 6 = 7\) eder ve 6 sütun vardır. İki toplam \(6 \cdot 7 = 42\) olduğundan aradığımız toplam 21'dir. Aynı düşünce her ardışık dizide işler:

Bu formülden sık kullanılan üç toplam çıkar:

Formüldeki \(\frac{\text{ilk} + \text{son}}{2}\), dizinin ortalamasıdır. Terim sayısı tekse bu değer tam ortadaki terimdir; bu yüzden tek sayıda ardışık terimin toplamı, ortanca terim ile terim sayısının çarpımıdır. Ardışık 7 tek sayının toplamı 161 ise ortanca terim \(161 \div 7 = 23\)'tür; sayılar 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 olur. Terim sayısı çiftse ortada iki terim vardır ve ortalama bu ikisinin ortalamasıdır: ardışık 4 tam sayının toplamı 50 ise ortalama 12,5'tir ve sayılar 11, 12, 13, 14'tür.

Faktöriyel

1'den \(n\)'ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına \(n\) faktöriyel denir ve \(n!\) ile gösterilir:

Faktöriyel çok hızlı büyür: \(5! = 120\), \(6! = 720\), \(7! = 5\,040\), \(10! = 3\,628\,800\). Tanımın en kullanışlı hâli şudur:

\(0! = 1\) tanımı da bu eşitlikten gelir: \(1! = 1 \cdot 0!\) olması için \(0!\) 1 olmalıdır. Faktöriyelli kesirleri sadeleştirmenin yolu, büyük faktöriyeli küçüğüne kadar açmaktır: \(\frac{8!}{6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 56\). Toplam ya da fark varsa önce ortak çarpan parantezine alınır:

Faktöriyel, toplama ve çarpmaya dağılmaz. \(3! + 3! = 12\), oysa \(6! = 720\); \((2n)!\) de \(2 \cdot n!\) demek değildir. \(\frac{8!}{4!}\) ise \(2!\) değil, \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1\,680\)'dir.

Son basamakla ilgili sorularda faktöriyelin bir özelliği işe yarar: \(n \ge 5\) için \(n!\) içinde hem 2 hem 5 çarpanı bulunduğundan son basamağı 0'dır. Örneğin \(1! + 2! + 3! + \dots + 20!\) toplamının birler basamağını bulmak için yalnızca ilk dört terime bakmak yeter: \(1 + 2 + 6 + 24 = 33\) olduğundan birler basamağı 3'tür.

Sondaki sıfır sayısı

Bir sayının sonundaki her sıfır, sayının içindeki bir \(10 = 2 \cdot 5\) çarpanından gelir. Bu yüzden sondaki sıfır sayısı, sayının asal çarpanlarına ayrılışında 2 ile 5'in kuvvetlerinden küçük olanına eşittir. \(n!\) içinde 2'ler her zaman 5'lerden çoktur (her iki sayıdan biri çifttir, ama her beş sayıdan ancak biri 5'in katıdır). O hâlde \(n!\)'in sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısıdır:

Burada \(\lfloor x \rfloor\), \(x\)'in tam kısmıdır (\(\lfloor 7{,}8 \rfloor = 7\)). Pratikte \(n\) art arda 5'e bölünür ve bölümler toplanır. 25'in katları neden bir kez daha sayılıyor? Çünkü \(25 = 5 \cdot 5\) içinde iki tane 5 çarpanı vardır; ilk toplam her 5'in katından bir tane saymıştır, ikinci toplam 25'in katlarındaki ikinci 5'i ekler. Örneğin \(100!\) için \(20 + 4 = 24\) sıfır bulunur; yalnızca \(\frac{100}{5} = 20\) yazmak bir hatadır.

Bu formülün ilginç bir sonucu vardır: \(24!\)'in sonunda 4, \(25!\)'in sonunda ise 6 sıfır vardır. Demek ki sonunda tam 5 sıfır bulunan hiçbir faktöriyel yoktur. Sıfır sayısı verilip \(n\) sorulduğunda cevap çoğu zaman tek bir sayı değil, beş ardışık değerdir: sonunda 6 sıfır olan faktöriyeller \(25!, 26!, 27!, 28!\) ve \(29!\)'dir.

Faktöriyel bir sayı 2'nin ya da 5'in bir kuvvetine bölündüğünde ya da başka bir sayıyla çarpıldığında 2'lerin 5'lerden çok olduğu varsayımı bozulabilir. Bu durumda 2'lerin ve 5'lerin sayısı ayrı ayrı hesaplanır ve küçük olan alınır. \(n!\) içindeki 2 çarpanlarının sayısı da aynı yolla bulunur: \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{8} \right\rfloor + \dots\)

Tanımlı işlemler

Sınavlarda zaman zaman yeni bir işlem tanımlanır: "Gerçek sayılar kümesinde \(a \ast b = 2a - 3b + ab\) işlemi tanımlanıyor." Bu bir kuraldır ve yapılacak tek şey, \(a\) yerine işaretin solundaki sayıyı, \(b\) yerine sağındakini yazmaktır: \(1 \ast 2 = 2 - 6 + 2 = -2\). Tanımlı işlemlerde dikkat edilecek noktalar şunlardır:

• Sıra önemlidir. \(a \ast b\) ile \(b \ast a\) çoğu zaman farklıdır: yukarıdaki işlemde \(2 \ast 1 = 4 - 3 + 2 = 3\) olur.
• İç içe işlemlerde önce parantez içi hesaplanır: \((1 \ast 2) \ast 3\) için önce \(1 \ast 2\) bulunur, sonra sonuç yeni \(a\) olur.
• Negatif sayı yerine yazarken parantez kullanılır: \(a = -2\) için \(2a = 2 \cdot (-2) = -4\).
• Bilinmeyen içeren bir eşitlikte işlem açılıp sıradan bir denklem gibi çözülür.

Bazı tanımlı işlemler çarpanlara ayrılınca çok sadeleşir. \(a \ast b = a + b + ab\) işleminde iki yana 1 eklenirse \(a \ast b + 1 = (a + 1)(b + 1)\) olur. Böylece \(((1 \ast 2) \ast 3) \ast 4\) gibi uzun bir zincir, \(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 1\) hesabına iner. Benzer biçimde \(ab - 2a - 2b + 6 = (a - 2)(b - 2) + 2\) yazılabilir. İşlemin yapısını fark etmek, özellikle uzun zincirlerde hem süre kazandırır hem hata riskini düşürür.

İşlem bazen koşullara göre tanımlanır: "\(a \ge b\) ise \(a \,\Delta\, b = a - b\), \(a < b\) ise \(a \,\Delta\, b = a \cdot b\)." Bu tür bir işlemde her adımda hangi koşulun geçerli olduğuna bakılır. Bilinmeyen varsa her koşul ayrı ayrı denenir ve bulunan değerin o koşulu gerçekten sağlayıp sağlamadığı denetlenir.