Sayı Basamakları

Rakam, sayı ve basamak

Sayıları yazmak için kullandığımız on simgeye rakam denir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Rakamlar alfabedeki harflere benzer; harflerden sözcük kurduğumuz gibi rakamlardan da sayı kurarız. 7 hem bir rakam hem bir sayıdır, 74 ise iki rakamdan oluşan bir sayıdır. Bu ayrım soru köklerinde önemlidir: "\(a\) bir rakamdır" dendiğinde \(a\) yalnızca 0 ile 9 arasındaki on doğal sayıdan biri olabilir; "\(a\) bir doğal sayıdır" dendiğinde ise 74 de, 1 000 de olabilir.

Bir sayıyı oluşturan rakamların her birinin bulunduğu yere basamak denir. Kullandığımız sistemde bir basamağın değeri, hemen sağındaki basamağın 10 katıdır. Sağdan sola doğru basamaklar birler, onlar, yüzler, binler, on binler, yüz binler, milyonlar… diye adlandırılır. Uzun sayıları okurken sağdan başlayarak üçerli gruplar (bölükler) oluştururuz: birler bölüğü, binler bölüğü, milyonlar bölüğü. Bu sayfada bölükler arasına boşluk konur: 4 072 593 sayısı "dört milyon yetmiş iki bin beş yüz doksan üç" diye okunur.

Basamak sayısıyla ilgili iki temel bilgi soruların çoğunda kullanılır. Birincisi, çok basamaklı bir sayının en soldaki rakamı 0 olamaz; 052 yazdığımızda aslında iki basamaklı 52 sayısını yazmış oluruz. İkincisi, belirli basamak sayısındaki sayıların sınırları bellidir: iki basamaklı sayılar 10 ile 99, üç basamaklı sayılar 100 ile 999 arasındadır. Buna göre 90 tane iki basamaklı, 900 tane üç basamaklı doğal sayı vardır. Genel olarak \(n\) basamaklı en küçük doğal sayı \(10^{n-1}\), en büyüğü \(10^n - 1\)'dir.

Sayı değeri ve basamak değeri

Bir rakamın sayı değeri, bulunduğu yere bakılmaksızın kendi değeridir. 4 072 593 sayısındaki 7'nin sayı değeri 7'dir. Basamak değeri ise rakamın bulunduğu basamağın değeriyle çarpımıdır. Aynı sayıda 7 on binler basamağında olduğu için basamak değeri \(7 \cdot 10\,000 = 70\,000\)'dir. Aynı rakam farklı basamaklarda farklı basamak değerleri alır: 777 sayısındaki üç 7'nin basamak değerleri 700, 70 ve 7'dir.

Tablodan iki sonuç çıkar. Bir sayının basamak değerlerinin toplamı sayının kendisine eşittir; zaten bir sayıyı yazmak, bu toplamı kısaca göstermektir. Ayrıca 0 rakamının hem sayı değeri hem basamak değeri 0'dır, ama 0 boş bir basamağı tutarak öteki rakamları doğru yerde bırakır. 4 072 593 sayısındaki 0'ı silersek sayı 472 593 olur; yani 0'ın değeri sıfır olsa bile varlığı sayıyı değiştirir.

Sayıların çözümlenmesi

Rakamlarını harflerle gösterdiğimiz sayıları ifade etmek için harflerin üstüne çizgi çekeriz. \(\overline{ab}\), onlar basamağında \(a\), birler basamağında \(b\) rakamı bulunan iki basamaklı sayıdır. Bu yazılış bir çarpım değildir; \(\overline{ab}\) ile \(a \cdot b\) bambaşka şeylerdir. 74 sayısı \(7 \cdot 10 + 4\) olduğu gibi her iki basamaklı sayı da basamak değerlerinin toplamı olarak yazılabilir. Bu yazılışa çözümleme denir:

Burada \(a\) en soldaki rakam olduğu için \(a \neq 0\)'dır. Çözümleme, harfli sayıların sorulduğu her problemin anahtarıdır: sayıları çözümleyip denklemi kurarsın, sonra rakamların 0 ile 9 arasında olduğunu kullanarak çözüme ulaşırsın. Bazı rakamlar sayı olarak da verilebilir: \(\overline{a5b} = 100a + 50 + b\) ve \(\overline{3a0} = 300 + 10a\)'dır.

Çözümlenmiş ifadeleri toplarken ya da çıkarırken aynı harfin katsayılarını toplarız. Örneğin

olur. Demek ki iki basamaklı bir sayı ile rakamlarının yer değiştirmesiyle oluşan sayının toplamı her zaman 11'in katıdır ve bu toplamı 11'e bölünce rakamlar toplamı bulunur. \(\overline{ab} + \overline{ba} = 154\) ise \(a + b = 14\)'tür.

Çözümleme yalnızca rakamları harfle verilen sayılarda değil, kanıtlarda da işe yarar. "İki basamaklı bir sayı rakamları toplamının 4 katıdır" bilgisini \(10a + b = 4(a + b)\) diye yazarsak \(6a = 3b\), yani \(b = 2a\) buluruz. Rakam koşulu olasılıkları sınırlar: \(a = 1, 2, 3, 4\) için sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir; \(a = 5\) olsaydı \(b = 10\) olurdu ki bu bir rakam değildir.

Rakamları yer değiştiren sayılar

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde ortaya çıkan fark da düzgün bir kalıp verir:

Bu eşitliğin bir anlamı da vardır. Rakamları yer değiştirince onlar basamağından \(a - b\) tane onluk eksilir, birler basamağına \(a - b\) tane birlik eklenir. Her onluğun yerine bir birlik gelmesi 9 kaybettirir; toplam kayıp \(9(a - b)\) olur. Aşağıdaki şekil bu fikri 62 ve 26 sayıları için gösteriyor.

"Rakamları yer değiştirince sayı 36 azalıyor" bilgisi bu yüzden \(a - b = 4\) demektir; sayının kendisini vermez. Bu koşulu sağlayan sayılar 51, 62, 73, 84 ve 95'tir. 40 sayısı da \(a - b = 4\) koşulunu sağlar, ama rakamları yer değiştirince 04 yani tek basamaklı 4 elde edilir. Soruda \(\overline{ba}\)'nın da iki basamaklı olduğu söyleniyorsa \(b \neq 0\) alınır ve 40 sayılmaz.

Üç basamaklı sayılarda da benzer kalıplar vardır. Yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirince onlar basamağı yerinde kalır:

Bu farkta \(b\) yoktur; ortadaki rakam ne olursa olsun fark aynıdır. Bu yüzden "\(\overline{abc} - \overline{cba} = 495\)" bilgisi yalnızca \(a - c = 5\) olduğunu söyler, \(b\) serbest kalır. Rakamları döngüsel olarak kaydırarak elde edilen üç sayının toplamı da kullanışlıdır:

Her rakam bir kez yüzler, bir kez onlar, bir kez birler basamağına gelir; bu yüzden her rakamın katsayısı \(100 + 10 + 1 = 111\)'dir. Aynı düşünceyle \(\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} = 11(a + b + c)\) olduğunu da görebilirsin.

Sağına, soluna ya da arasına rakam yazmak

Bir \(x\) doğal sayısının sağına bir \(d\) rakamı yazmak, \(x\)'in bütün rakamlarını bir basamak sola kaydırır ve birler basamağına \(d\)'yi koyar. Sola kayan her rakamın basamak değeri 10 katına çıktığı için yeni sayı

olur. 36'nın sağına 8 yazılırsa \(10 \cdot 36 + 8 = 368\) elde edilir. Sağa 0 yazmak sayıyı 10 ile çarpmak demektir; iki sıfır yazmak 100 ile çarpmaktır.

\(n\) basamaklı bir \(x\) sayısının soluna \(d\) rakamı yazmak ise \(x\)'in rakamlarını yerinde bırakır, yalnızca yeni bir en büyük basamak ekler. Bu basamağın değeri \(10^n\) olduğu için yeni sayı

olur. Üç basamaklı 385'in soluna 6 yazılırsa \(6 \cdot 1\,000 + 385 = 6\,385\) bulunur. Burada sık yapılan hata, soluna yazmayı da 10 ile çarpma sanmaktır; oysa soldaki ekleme \(x\)'i hiç değiştirmez, sayıya yalnızca bir sabit ekler.

Arasına rakam yazmak iki işlemin birleşimidir. \(\overline{ab}\) sayısının rakamları arasına 0 yazılırsa \(\overline{a0b} = 100a + b\) elde edilir. Bir sayıdan rakam silmek ise yazmanın tersidir: dört basamaklı \(N\) sayısının birler basamağındaki \(d\) rakamı silinince geriye kalan üç basamaklı sayıya \(y\) dersek \(N = 10y + d\) olur ve sayı \(N - y = 9y + d\) kadar azalır. Bu tür sorularda bilinmeyen hem \(y\) hem \(d\) olduğu için bir tane eşitlik iki bilinmeyeni belirlemeyebilir. Rakamın 0 ile 9 arasında olması ve \(y\)'nin basamak sayısı, çözümleri ayıklamaya yarar.

Rakamları farklı ya da rakamları toplamı verilen en büyük ve en küçük sayılar

En büyük sayıyı ararken en değerli basamak en soldaki basamaktır. Bu yüzden rakamları soldan sağa seçeriz: en soldaki basamağa koşulun izin verdiği en büyük rakamı yazar, sonra bir sonraki basamağa geçeriz. En küçük sayıda da aynı sırayla gidip bu kez en küçük rakamı seçeriz; yalnız en soldaki rakam 0 olamaz.

Rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayı 987, en küçüğü 102'dir. Rakamları farklı dört basamaklı en büyük tek sayıda ilk üç basamağa 9, 8 ve 7 yazılır; birler basamağına kalan en büyük tek rakam 5'tir ve sayı 9 875 olur. Rakamları farklı dört basamaklı en küçük çift sayı ise 1 024'tür: 1, 0 ve 2 ilk üç basamağı alır, birler basamağına kullanılmamış en küçük çift rakam olan 4 yazılır. 1 022 çift olsa da rakamları farklı değildir.

Rakamları toplamı verilen sayılarda soldan sağa seçim yaparken geride kalan basamakların toplamı tamamlayabilmesine dikkat ederiz. Rakamları toplamı 22 olan dört basamaklı en küçük sayıyı arayalım. Binler basamağına 1 yazarız; geriye kalan üç rakamın toplamı 21 olmalıdır. Son iki rakamın toplamı en çok \(9 + 9 = 18\) olduğundan yüzler basamağı en az \(21 - 18 = 3\)'tür. Sayı 1 399'dur. Kural şudur: en küçük sayıda toplamın yükünü sağdaki basamaklara, en büyük sayıda soldaki basamaklara yükle. Rakamları farklı ve toplamı 15 olan dört basamaklı en büyük sayıda binler basamağına 9 yazılır; kalan üç farklı rakamın toplamı 6'dır. Yüzler basamağına 6 yazılsaydı son iki rakam 0 ve 0 olurdu, bu yasaktır. 5 yazılınca son iki rakam 1 ve 0 olur: sayı 9 510'dur. Rakamların farklı olması koşulu, "soldan en büyüğü seç" alışkanlığını bir adım geri almayı gerektirebilir.

Koşulları sağlayan kaç sayı vardır?

"Koşulu sağlayan kaç sayı yazılabilir?" sorularında iki yol vardır. Birincisi basamak basamak seçenek saymak: her basamağa kaç farklı rakam yazılabileceğini bulup bu sayıları çarparız. Rakamları farklı üç basamaklı sayıları sayarken yüzler basamağı için 9 seçenek (0 hariç), onlar basamağı için yine 9 seçenek (0 artık serbest ama yüzlerdeki rakam kullanıldı), birler için 8 seçenek vardır; \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\) sayı bulunur. Koşul belirli bir basamağı kısıtlıyorsa (sayı çift olsun, 5 ile bitsin) önce kısıtlı basamaktan başlamak gerekir. Kısıt 0 rakamını içeriyorsa durumu ikiye ayırmak çoğu zaman en temiz yoldur; 0 en sola yazılamadığı için onun bulunduğu ve bulunmadığı durumlarda seçenek sayıları farklıdır.

İkinci yol düzenli listelemektir. Rakamları toplamı 8 olan üç basamaklı sayıları sayalım. Yüzler basamağı \(a\) için \(a = 1\) ise \(b + c = 7\) olur ve \(b\) 0'dan 7'ye kadar 8 değer alır; \(a = 2\) ise 7 değer; …; \(a = 8\) ise yalnızca 800 vardır. Toplam \(8 + 7 + \cdots + 1 = 36\) sayı bulunur. Listelemeyi bir değişkene göre düzenli yapmak, hiçbir durumu atlamamayı ve hiçbirini iki kez saymamayı garantiler.

Rakam sayma soruları da bu başlığa girer. Bir kitabın sayfalarını 1'den başlayarak numaralandırmak için kaç rakam gerektiğini hesaplarken sayfaları basamak sayısına göre gruplarız: 1–9 arasında 9 sayfa için 9 rakam, 10–99 arasında 90 sayfa için 180 rakam, 100–999 arasında 900 sayfa için 2 700 rakam kullanılır. 300 sayfalık bir kitapta \(9 + 180 + 201 \cdot 3 = 792\) rakam vardır; çünkü 100'den 300'e kadar \(300 - 100 + 1 = 201\) sayfa bulunur. Bu "bir fazla" ayrıntısı unutulduğunda sonuç 3 rakam eksik çıkar.

Bazı sorular, belli rakamlarla yazılabilen bütün sayıların toplamını sorar. Bunları tek tek yazıp toplamak yerine her rakamın her basamakta kaç kez göründüğünü düşünürüz. 1, 2, 3 rakamlarıyla rakamları farklı altı sayı yazılır (123, 132, 213, 231, 312, 321) ve her rakam her basamakta 2 kez görünür. Toplam \(2 \cdot (1 + 2 + 3) \cdot 111 = 1\,332\) olur.

Toplama şemaları (basamak bilmeceleri)

Harflerin farklı rakamları gösterdiği toplama ya da çıkarma şemaları, çözümlemenin ve eldenin birlikte kullanıldığı sorulardır. Çözüm hep birler basamağından başlar, çünkü birler basamağına başka basamaktan elde gelmez. Her basamakta toplamın birler rakamını yazar, varsa eldeyi bir sonraki basamağa taşırız. Bir basamakta birden fazla olasılık çıkarsa her birini ayrı ayrı izleriz; "harfler farklı rakamları gösterir" koşulu ya da üst basamaklar yanlış olasılıkları eler.

Şemayı çözümleyerek tek bir denkleme çevirmek de mümkündür: \(\overline{ABC} + \overline{BC} + C\) toplamı \(100A + 20B + 3C\)'ye eşittir. Bu toplamda birler basamağına yalnızca \(3C\) katkı yapar; \(3C\)'nin son rakamı verilen toplamın son rakamına eşit olmalıdır. 3 ile çarpımın son rakamları 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7 diye hepsi farklı çıktığı için \(C\) tek türlü belirlenir. Onlar basamağında ise \(2B\)'nin son rakamı söz konusudur ve 2 ile çarpımda iki farklı rakam aynı son rakamı verebilir (\(2 \cdot 3 = 6\), \(2 \cdot 8 = 16\)); bu yüzden \(B\) için iki aday çıkabilir.

10 tabanı dışındaki sayı tabanları

Günlük hayatta kullandığımız sistemde her basamak sağındakinin 10 katı olduğu için ona 10 tabanı denir. Aynı fikir başka bir doğal sayıyla da kurulabilir. \(k \geq 2\) bir doğal sayı olmak üzere \(k\) tabanında her basamak sağındakinin \(k\) katıdır ve kullanılan rakamlar \(0, 1, \ldots, k - 1\)'dir. 5 tabanında 5 rakamı yoktur; tıpkı 10 tabanında "10" diye tek bir rakam olmadığı gibi. \(k\) tabanında yazılmış bir sayıyı \((\ldots)_k\) biçiminde gösteririz ve çözümlemeyi aynı şekilde yaparız:

Örneğin \((231)_4 = 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 1 = 32 + 12 + 1 = 45\). Böylece başka tabandaki bir sayı 10 tabanına çevrilmiş olur. Burada en sık hata, en soldaki rakamın üssünü yanlış almaktır; üç basamaklı sayıda en soldaki basamağın değeri \(4^2\)'dir, \(4^3\) değil. En büyük üs basamak sayısının bir eksiğidir, çünkü birler basamağının değeri \(k^0 = 1\)'dir.

10 tabanındaki bir sayıyı \(k\) tabanına çevirmek için sayıyı art arda \(k\)'ya böleriz. Her bölmede kalanı not alır, bölümü yeniden böleriz; bölüm \(k\)'dan küçük olunca dururuz. Son bölüm en soldaki rakam olur, kalanlar ise sondan başa doğru okunur. Nedeni çözümlemedir: \(75 = 3 \cdot 25 + 0\) yazdığımızda 0, 3 tabanındaki birler basamağıdır; 25'i yeniden 3'e bölmek bir sonraki basamağı verir.

İki farklı taban arasında çeviri yaparken (örneğin 4 tabanından 3 tabanına) sayıyı önce 10 tabanına, sonra istenen tabana çevirmek en güvenli yoldur. Basit işlemler de aynı mantıkla yapılır. 5 tabanında \((243)_5 + (132)_5\) toplamında birler basamağı \(3 + 2 = 5\)'tir; 5 tabanında 5, "1 elde 0" demektir. Onlar basamağında \(4 + 3 + 1 = 8 = 5 + 3\) olur, 3 yazılır ve 1 elde kalır. Yüzler basamağında \(2 + 1 + 1 = 4\) bulunur. Sonuç \((430)_5\)'tir. Denetim: \((243)_5 = 73\), \((132)_5 = 42\) ve \(73 + 42 = 115 = (430)_5\).

Taban bilinmiyorsa çözümleme bir denklem verir. \((132)_a = 72\) ise \(a^2 + 3a + 2 = 72\), yani \(a^2 + 3a - 70 = 0\) ve \((a + 10)(a - 7) = 0\) olur. Taban pozitif olduğu için \(a = 7\) bulunur. Tabanın sayıdaki her rakamdan büyük olması da bir koşuldur; \((132)_a\) yazılabilmesi için \(a \geq 4\) olmalıdır.