Vektörler ve Bağıl Hareket

Vektör nedir?

Büyüklüğü, doğrultusu ve yönü ile tanımlanan büyüklüklere vektörel büyüklük denir: yer değiştirme, hız, ivme, kuvvet, momentum, elektrik ve manyetik alan. Bir vektör okla gösterilir: okun uzunluğu büyüklüğü, ok çizgisi doğrultuyu, ucu yönü belirtir. \(\vec A\) vektörünün büyüklüğü \(|\vec A|\) ya da kısaca \(A\) ile yazılır.

• Büyüklükleri, doğrultuları ve yönleri aynı olan vektörler eşittir; vektörün başlangıç noktası nerede olursa olsun değişmez. Bu yüzden bir vektörü kendine paralel kaydırmak serbesttir.
• Büyüklüğü aynı, yönü zıt vektöre zıt vektör denir: \(-\vec A\).
• Bir vektörün bir sayıyla çarpılması büyüklüğünü değiştirir; sayı negatifse yönü de tersine döner: \(2\vec A\) aynı yönde iki kat, \(-\tfrac12 \vec A\) zıt yönde yarı büyüklüktedir.

Vektörlerin toplanması

Uç uca ekleme (çokgen) yöntemi: İkinci vektörün başlangıcı birincinin ucuna konur; bileşke, ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen vektördür. Bu yöntem istenen sayıda vektöre uygulanabilir. Vektörler kapalı bir çokgen oluşturuyorsa bileşke sıfırdır.

Paralelkenar yöntemi: İki vektörün başlangıçları aynı noktaya konur ve vektörlerin oluşturduğu paralelkenarın köşegeni çizilir. Aralarındaki açı \(\alpha\) olan iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü (kosinüs teoremi):

Bileşkenin alabileceği değerler her zaman \(|A - B| \le R \le A + B\) aralığındadır. Vektörler aynı yöndeyse \(R = A + B\) (en büyük), zıt yöndeyse \(R = |A - B|\) (en küçük) olur; aradaki açı büyüdükçe bileşke küçülür. Sık kullanılan özel durumlar:

Üç kuvvetin bileşkesi ne zaman sıfır olur?

Üç vektörün bileşkesi sıfırsa vektörler uç uca eklendiğinde kapalı bir üçgen oluşturur. Bir üçgende her kenar diğer ikisinin toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır. Bu yüzden büyüklükleri \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) olan üç kuvvetin bileşkesinin sıfır olabilmesi için en büyük kuvvet diğer ikisinin toplamını aşmamalıdır. 3 N, 4 N ve 5 N'luk kuvvetler uygun açılarla dengelenebilir; 2 N, 3 N ve 7 N'luk kuvvetler ise nasıl yönlendirilirse yönlendirilsin dengelenemez, çünkü \(2 + 3 < 7\). Aynı mantıkla, iki kuvvetin bileşkesi ile üçüncü kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönlüyse üç kuvvet dengededir. Bu fikir denge konusunda çok sık kullanılacaktır.

Vektörlerin çıkarılması

Bir vektörü çıkarmak, zıt yönlüsünü eklemektir: \(\vec A - \vec B = \vec A + (-\vec B)\). Paralelkenarda \(\vec A + \vec B\) bir köşegen, \(\vec A - \vec B\) ise diğer köşegendir (\(\vec B\)'nin ucundan \(\vec A\)'nın ucuna). Hız değişimi \(\Delta\vec v = \vec v_{\text{son}} - \vec v_{\text{ilk}}\) ve bağıl hız, vektör çıkarmanın en çok kullanıldığı yerlerdir. Çıkarmanın sırası önemlidir: \(\vec A - \vec B = -(\vec B - \vec A)\).

Bileşenlere ayırma

Bir vektör, birbirine dik iki vektörün toplamı olarak yazılabilir. Yatayla \(\theta\) açısı yapan \(\vec A\) vektörünün bileşenleri:

Sınavda genellikle \(\sin37° = \cos53° = 0{,}6\) ve \(\cos37° = \sin53° = 0{,}8\) verilir; bu açılar 3–4–5 üçgeninden gelir. Çok sayıda vektörün bileşkesini bulmanın en güvenli yolu bileşen yöntemidir: bütün vektörler yatay ve düşey bileşenlerine ayrılır, yatay bileşenler kendi aralarında, düşeyler kendi aralarında işaretleriyle toplanır ve bileşke Pisagor bağıntısıyla bulunur.

Gözlem çerçevesi: Galileo'nun gemisi

Galileo 1632'de şöyle bir düşünce deneyi önerdi: sakin denizde sabit hızla giden bir geminin penceresiz kamarasında top atan, su damlatan ya da kelebek uçuran biri, geminin hareket edip etmediğini hiçbir deneyle anlayamaz. Kamaradaki her şey, gemi limanda duruyormuş gibi davranır. Sabit hızla hareket eden (ivmesiz) gözlem çerçevelerinde fizik yasaları aynıdır; hangi çerçevenin "gerçekten" durduğunu söylemenin bir yolu yoktur. Bağıl hız formülü bu fikrin matematiksel ifadesidir: aynı olayı iki farklı gözlemci farklı hızlarla görür, ama ikisi de aynı yasaları kullanır. Bu ilke, yüzyıllar sonra Einstein'ın özel görelilik kuramının da başlangıç noktası olacaktır (modern fizik konusunda göreceksin).

Bağıl hareket

Hareket görecelidir: bir cismin hızı, gözlemcinin hareketine bağlıdır. Hareket eden bir B gözlemcisinin gördüğü A cisminin hızına bağıl hız denir:

"B'ye göre A'nın hızı" ya da "B'deki gözlemcinin gördüğü A'nın hızı" aynı anlama gelir. Formülü akılda tutmanın kolay yolu şudur: gözlemci kendi hızını görmez; gözlediği cismin hızından kendi hızını çıkarır. Yere göre duran bir gözlemcinin hızı sıfır olduğundan gördüğü hız, yere göre hızdır.

• Aynı doğrultu, aynı yön: Hızların büyüklükleri çıkarılır. 20 m/s ile giden A, 15 m/s ile giden B'yi 5 m/s ile geçiyor görünür.
• Aynı doğrultu, zıt yön: Büyüklükler toplanır. Karşılıklı gelen trenler birbirlerini çok hızlı geçiyor görür.
• Dik doğrultular: \(v_{A,B} = \sqrt{v_A^2 + v_B^2}\); yönü vektör çıkarmayla bulunur.

İki cismin birbirine göre hızı sıfırsa (eşit hız vektörleri) birbirlerine göre durgundur; yan yana aynı hızla giden iki araçtaki yolcular birbirlerini duruyor görür.

Karşılaşma ve yetişme problemleri

Bağıl hız, iki cismin ne zaman karşılaşacağını ya da yetişeceğini bulmayı çok kolaylaştırır. Cisimlerden birini "duruyormuş gibi" düşün; diğeri ona bağıl hızla yaklaşır:

• Karşılıklı gelen iki cisim arasındaki \(d\) uzaklık \(t = \dfrac{d}{v_1 + v_2}\) sürede kapanır.
• Aynı yönde giden iki cisimden hızlı olan yavaşa \(t = \dfrac{d}{v_1 - v_2}\) sürede yetişir.

Örneğin aralarında 300 m bulunan ve karşılıklı 10 m/s ile 5 m/s hızla gelen iki bisikletli \(300/15 = 20\) s sonra karşılaşır. Aynı iki bisikletli aynı yönde gidiyor olsaydı, hızlı olanın yavaşa yetişmesi \(300/5 = 60\) s sürerdi. 120 m uzunluğundaki bir trenin 180 m uzunluğundaki bir tüneli tamamen geçmesi için trenin ön ucunun \(120 + 180 = 300\) m yol alması gerekir; hareketli cismin kendi boyu da hesaba katılır.

Hareketli ortamda hareket

Hareket eden bir zeminin (yürüyen bant, yürüyen merdiven, tren, gemi güvertesi) üzerindeki bir cismin yere göre hızı, cismin zemine göre hızı ile zeminin yere göre hızının vektörel toplamıdır:

20 m/s hızla giden bir trende, trenin gidiş yönünde 2 m/s ile yürüyen bir yolcu yere göre 22 m/s, ters yönde yürüyen 18 m/s hızla hareket eder. Havada uçan bir uçağın yere göre hızı da, havaya göre hızı ile rüzgârın hızının vektörel toplamıdır; pilotlar rüzgârlı havada uçağın burnunu hedefin biraz yanına çevirerek uçar.

Yağmur problemleri

Yağmur damlaları yere göre düşey düşerken hareket eden bir araçtaki yolcu damlaları eğik görür. Yolcuya göre damlanın hızı \(\vec v_{\text{damla}} - \vec v_{\text{araç}}\)'tır: damlanın hızına aracın hızının zıttı eklenir. Araç ne kadar hızlıysa damlalar o kadar yatık görünür; bu yüzden hızlı giden bir otomobilin ön camı yağmurdan daha çok ıslanır, arka cam ise daha az ıslanır.

Ters soru da sorulur: yolcu yağmuru düşey görüyorsa damlalar yere göre aracın hızıyla aynı yatay bileşene sahiptir, yani rüzgâr damlaları aracın gittiği yöne sürüklüyordur.

Nehir problemleri

Akıntı hızı \(\vec v_a\) olan bir nehirde, suya göre hızı \(\vec v_k\) olan bir kayığın yere göre hızı \(\vec v = \vec v_k + \vec v_a\)'dır. Nehrin genişliği \(d\) ise:

Burun karşı kıyıya dik ise:

• Karşıya geçiş süresi yalnızca dik bileşene bağlıdır: \(t = d / v_k\). Bu süre olabilecek en kısa süredir.
• Kayık akıntı yönünde \(x = v_a \cdot t\) kadar sürüklenir.
• Yere göre hızın büyüklüğü \(\sqrt{v_k^2 + v_a^2}\)'dir.

Kayık karşı kıyıda tam karşıya çıkmak istiyorsa (en kısa yol): burnunu akıntıya karşı \(\theta\) açısı kadar çevirmelidir; öyle ki suya göre hızının akıntıya paralel bileşeni akıntıyı dengelesin: \(v_k \sin\theta = v_a\). Bu yalnızca \(v_k > v_a\) ise mümkündür. Bu durumda yere göre hız \(\sqrt{v_k^2 - v_a^2}\)'dir ve karşıya geçiş süresi \(d/\sqrt{v_k^2 - v_a^2}\) olur; en kısa süreden daha uzundur.

Akıntı doğrultusunda hareket (iskele problemleri): Akıntı yönünde giden kayığın yere göre hızı \(v_k + v_a\), akıntıya karşı gidenin \(v_k - v_a\)'dır. Aralarında \(L\) uzaklık olan iki iskele arasında gidip gelme süresi \(\dfrac{L}{v_k + v_a} + \dfrac{L}{v_k - v_a}\)'dır ve bu süre durgun suda gidip gelme süresinden (\(2L/v_k\)) her zaman uzundur: akıntı yardım ettiği sürede kazandırdığından fazlasını, karşı koyduğu sürede kaybettirir.

Rüzgârda rota düzeltme

Nehir problemlerinin aynısı havada da geçerlidir. Havaya göre hızı \(v\) olan bir uçak, yan rüzgâr (\(v_r\)) varken hedefine düz bir çizgiyle gitmek istiyorsa burnunu rüzgâra doğru \(\sin\theta = v_r / v\) açısı kadar çevirmelidir. Bu durumda uçağın yere göre hızı \(\sqrt{v^2 - v_r^2}\)'ye düşer ve yolculuk uzar. Rüzgâr arkadan eserse yere göre hız \(v + v_r\), önden eserse \(v - v_r\) olur. Gidiş–dönüş yapan bir uçakta, nehirdeki iskele problemlerinde olduğu gibi, rüzgâr toplam süreyi her zaman uzatır.

Vektörler neden bu kadar önemli?

AYT fiziğinin neredeyse bütün konuları vektörlerle konuşur: eğik atışta hız bileşenlerine ayrılır, eğik düzlemde ağırlık düzleme paralel (\(mg\sin\theta\)) ve dik (\(mg\cos\theta\)) bileşenlere ayrılır, dengede kuvvetlerin vektörel toplamı sıfırdır, çarpışmalarda momentum vektörel olarak korunur, elektrik ve manyetik alanlar vektörel olarak toplanır. Bu konuda bileşen yöntemine ve birim karelerle çalışmaya ne kadar hâkim olursan sonraki konular o kadar kolaylaşır.