Çemberde Açı ve Uzunluk, Çemberin Analitiği
Teğet-kiriş, iç ve dış açılar, kirişler ve teğetler dörtgeni, kuvvet ve ortak teğetler; çemberin denklemi, nokta, doğru ve iki çemberin konumu.
- Teğet-kiriş açının, iki kirişin kesiştiği iç açının ve dış noktadan çizilen kesen ya da teğetlerin oluşturduğu dış açının yaylarla ilişkisini
- Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler, teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar toplamlarının eşit olduğunu ve nedenlerini
- Bir noktanın çembere göre kuvvetini: kesişen kirişlerde, iki kesende ve teğet-kesende uzunluk bağıntılarını; iki çemberin ortak teğet uzunluklarını
- Çemberin merkezil ve genel denklemini, genel denklemden merkezi ve yarıçapı bulmayı, eksenlere teğet çemberleri ve üç noktadan geçen çemberi
- Noktanın ve doğrunun çembere göre konumunu, kiriş uzunluğunu ve çemberin bir noktasındaki teğetin denklemini
- İki çemberin birbirine göre durumunu merkezler arası uzaklıkla belirlemeyi ve ortak kirişin denklemini
Teğet-kiriş açı
TYT'de çemberin temel açısını gördük: çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır ve aynı yayı gören çevre açılar eşittir. AYT'de bu kural, köşesi çemberin üzerinde, içinde ya da dışında olan bütün açılara genişler. Hepsinin arkasında aynı fikir vardır: açıyı çevre açılara ya da bir üçgenin dış açısına bağlamak.
İlk durum, kollarından biri teğet olan açıdır. d doğrusu çembere A noktasında teğet olsun ve [AB] bir kiriş olsun. d ile [AB] arasındaki açıya teğet-kiriş açı denir. Bu açı da çevre açı gibi davranır: teğet-kiriş açı, içinde kalan yayın yarısıdır. Nedeni şöyle: küçük AB yayı \(2\alpha\) olsun. O merkezli çemberde OAB üçgeni ikizkenardır ve tepe açısı \(2\alpha\) olduğundan taban açıları \(90^\circ - \alpha\)'dır. Teğet, A noktasındaki yarıçapa dik olduğu için d ile [AB] arasındaki açı \(90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\) olur.
Bu kuralın en çok kullanılan sonucu şudur: teğet-kiriş açı, kirişin öbür tarafındaki yay üzerinde bulunan her çevre açıya eşittir. ABC üçgeni çembere içten çizilmişse ve d doğrusu çembere A noktasında teğetse, d ile [AB] arasındaki açı \(m(\widehat{ACB})\)'ye, d ile [AC] arasındaki açı \(m(\widehat{ABC})\)'ye eşittir. Şekilde bir teğet ve bir kiriş görünce önce bu eşitliği ara.
İç açı ve dış açı
İki kiriş çemberin içinde bir E noktasında kesişsin: [AC] ve [BD]. AEB açısı ile onun ters açısı CED, iki yayı birden görür: AB yayını ve CD yayını. Kural şudur:
Kanıt bir dış açıdır. EBC üçgeninde AEB açısı, E köşesindeki dış açıdır; bu yüzden uzak iki iç açının toplamına eşittir: \(m(\widehat{EBC}) + m(\widehat{ECB})\). DBC çevre açısı CD yayını, ACB çevre açısı AB yayını görür. Yarılarının toplamı formülü verir. Kesişme noktası merkezse iki yay eşit olur ve formül merkez açıya dönüşür; E çembere yaklaştıkça bir yay küçülür ve açı çevre açıya yaklaşır. İç açı, merkez açı ile çevre açının arasında bir yerdedir.
Çemberin dışındaki bir P noktasından iki kesen çizilsin: biri çemberi önce A sonra B noktasında, öbürü önce C sonra D noktasında kessin. Bu kez açı, uzak yay ile yakın yayın farkının yarısıdır:
Kanıt yine dış açıdır. PBC üçgeninde BCD açısı C köşesindeki dış açıdır, yani \(m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{P}) + m(\widehat{PBC})\). BCD çevre açısı BD yayının, ABC çevre açısı da AC yayının yarısıdır. Eşitliği P için çözünce formül çıkar. Aynı kural, kollardan biri ya da ikisi teğet olduğunda da geçerlidir; teğette yakın ve uzak noktalar değme noktasında birleşir. P noktasından iki teğet çizilmişse küçük yay \(b\), büyük yay \(360^\circ - b\) olur ve açı \(\frac{(360^\circ - b) - b}{2} = 180^\circ - b\) çıkar. TYT'de PAOB dörtgeninden bulduğumuz sonuç budur.
Kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeni
Dört köşesi de bir çemberin üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. ABCD kirişler dörtgeninde A açısı BCD yayını, C açısı BAD yayını görür. Bu iki yay birlikte bütün çemberi oluşturur; çevre açılar yayların yarısı olduğundan
olur. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir. Tersi de doğrudur: karşılıklı açıları bütünler olan bir dörtgenin köşeleri bir çember üzerindedir. Buradan iki pratik sonuç çıkar. Birincisi, bir kenarın uzantısıyla oluşan dış açı karşıdaki iç açıya eşittir. İkincisi, köşegenler aynı yayları gördüğü için \(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BDC})\) gibi eşitlikler kurulur; bir köşegen ile bir kenarın arasındaki açı, öbür köşegen ile karşı kenar arasında yeniden belirir. Dikdörtgen ve ikizkenar yamuk her zaman kirişler dörtgenidir; dik olmayan bir paralelkenar ise hiçbir zaman değildir, çünkü karşılıklı açıları eşittir ve toplamları \(180^\circ\) olamaz.
Kirişler dörtgeninin bir de kenarlarla köşegenler arasında kurulan bir bağıntısı vardır. Batlamyus teoremi der ki köşegenlerin çarpımı, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşittir: \(|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|\). ÖSYM bu teoremi doğrudan pek istemez; çoğu soru açılar ve benzer üçgenlerle çözülür. Yine de hızlı bir sonucu bilmeye değer: eşkenar ABC üçgeninin çevrel çemberinde, küçük BC yayı üzerindeki her P noktası için \(|PA| = |PB| + |PC|\) olur. ABPC dörtgenine Batlamyus uygulayıp üç kenarın eşitliğini kullanman yeter.
Dört kenarı da bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Her köşeden çembere çizilen iki teğet parçası eşittir; bu uzunluklara A, B, C, D köşeleri için \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) diyelim. O zaman \(|AB| = a + b\), \(|BC| = b + c\), \(|CD| = c + d\), \(|DA| = d + a\) olur ve
çıkar. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamları eşittir. İç teğet çemberin merkezi köşelere birleştirilince dörtgen, yükseklikleri \(r\) olan dört üçgene ayrılır; bu yüzden alan \(A = r \cdot u\) olur (\(u\) yarı çevre). Kare ve eşkenar dörtgen her zaman teğetler dörtgenidir; kenarları farklı bir dikdörtgen değildir.
Çemberde kuvvet: kirişler, kesenler ve teğetler
Çemberin içindeki bir E noktasından iki kiriş geçsin: [AB] ve [CD]. ACE ve DBE üçgenlerinde E'deki açılar ters açıdır; CAB ve CDB açıları ise aynı BC yayını gördüğü için eşittir. İki açısı eşit olan bu üçgenler benzerdir ve \(\frac{|EA|}{|ED|} = \frac{|EC|}{|EB|}\) oranından şu çıkar:
Çemberin dışındaki bir P noktası için de aynı çarpım sabittir. P'den geçen iki kesen çemberi A, B ve C, D noktalarında kessin (A ve C yakın noktalar). PAD ve PCB üçgenlerinde P açısı ortaktır ve PDA açısı ile PBC açısı aynı AC yayını gördüğü için eşittir; benzerlikten \(|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|\) bulunur. Keseni döndürüp teğet konumuna getirince A ile B, değme noktası T'de birleşir. Bu yüzden teğet-kesen bağıntısı
olur. Bunu doğrudan da gösterebiliriz: PTA ve PBT üçgenlerinde P açısı ortaktır, PTA teğet-kiriş açısı ise TA yayını gören TBA çevre açısına eşittir.
Bu çarpımın değeri yalnızca noktanın merkeze uzaklığına bağlıdır. P'den merkezden geçen keseni çiz: yakın nokta \(|PO| - r\), uzak nokta \(|PO| + r\) uzaklıktadır ve çarpım \(|PO|^2 - r^2\) olur. Bu sayıya P noktasının çembere göre kuvveti denir. Dış noktada kuvvet pozitiftir ve teğet uzunluğunun karesine eşittir, çember üzerindeki noktada sıfırdır, iç noktada negatiftir (iç noktada kirişlerin çarpımı \(r^2 - |PO|^2\)'dir). Bu bakış açısı birazdan analitik geometride çok işimize yarayacak.
İki çemberin ortak teğetleri
Yarıçapları \(R\) ve \(r\), merkezleri arası uzaklığı \(d\) olan iki çember düşünelim. İkisine birden teğet olan doğruya ortak teğet denir. Çemberleri aynı tarafta bırakan teğet dış ortak teğet, aralarından geçen teğet iç ortak teğettir. Değme noktaları arasındaki uzaklığa ortak teğet uzunluğu denir.
Dış ortak teğet çembere A ve B noktalarında değsin. \([O_1A]\) ve \([O_2B]\) teğete diktir, yani \(O_1ABO_2\) bir dik yamuktur. \(O_2\) noktasından teğete paralel bir doğru çizersek hipotenüsü \(d\), bir dik kenarı \(R - r\) olan bir dik üçgen oluşur ve öbür dik kenar \(|AB|\)'dir. İç ortak teğette yarıçaplar teğetin iki yanına düştüğü için bu dik kenar \(R + r\) olur:
Çemberler dıştan teğetse \(d = R + r\) olur ve dış ortak teğet \(\sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} = 2\sqrt{Rr}\) çıkar. İki formülün karelerinin farkı da \(d\)'den bağımsızdır: \(|AB|^2 - |CD|^2 = 4Rr\).
Çemberin denklemi
Analitik düzlemde merkezi \(M(a, b)\) ve yarıçapı \(r\) olan çember, M'ye uzaklığı \(r\) olan \(P(x, y)\) noktalarının kümesidir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü yazıp karesini alınca merkezil denklem çıkar:
Merkez orijindeyse denklem \(x^2 + y^2 = r^2\) olur. Parantezleri açınca \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0\) bulunur. Bu biçime genel denklem denir ve kısaca \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) diye yazılır. Karşılaştırınca \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = a^2 + b^2 - r^2\) görülür; tersinden
olur. Genel denklemden merkezi bulmanın kısa yolu tam kareye tamamlamaktır: \(x^2 - 6x\) yerine \((x - 3)^2 - 9\) yazılır. Bir denklemin çember belirtmesi için üç koşul gerekir: \(x^2\) ile \(y^2\)'nin katsayıları eşit olmalı, \(xy\) terimi bulunmamalı ve \(D^2 + E^2 - 4F > 0\) olmalı. Bu son ifade sıfırsa denklem tek bir noktayı, negatifse hiçbir noktayı göstermez. Katsayılar 1 değilse önce bütün denklem bölünür: \(2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y + 8 = 0\) çemberi \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0\) ile aynıdır, merkezi \((2, -3)\), yarıçapı \(\sqrt{4 + 9 - 4} = 3\)'tür.
Eksenlerle ilişki merkezin koordinatlarından okunur. Merkezin x eksenine uzaklığı \(|b|\), y eksenine uzaklığı \(|a|\)'dır. Bu yüzden çember x eksenine teğetse \(r = |b|\), y eksenine teğetse \(r = |a|\), iki eksene de teğetse \(|a| = |b| = r\) olur. İkinci bölgede iki eksene teğet ve yarıçapı 3 olan çemberin merkezi \((-3, 3)\)'tür. Eksenlerle kesişme noktaları için denklemde \(y = 0\) ya da \(x = 0\) yazılır: \(y = 0\) için \(x^2 + Dx + F = 0\) çıkar. Bu denklemin kökler çarpımı \(F\)'dir; yani çember x eksenini \(x_1\) ve \(x_2\) noktalarında kesiyorsa \(x_1 \cdot x_2 = F\) olur. Bu, orijinin kuvvetinden başka bir şey değildir. Çember orijinden geçiyorsa \(F = 0\)'dır.
Üç noktadan geçen çember. Doğrusal olmayan üç noktadan tek bir çember geçer. Bulmanın iki yolu vardır. Birincisi genel denklemde \(D\), \(E\), \(F\) bilinmeyenleri için üç noktayı yerine koyup üç denklemli sistemi çözmektir; denklemleri birbirinden çıkarınca \(F\) yok olur ve iş iki bilinmeyene iner. İkincisi geometriktir: merkez, iki kirişin orta dikmelerinin kesişim noktasıdır. Bir de kısa yol vardır: üç noktadan ikisini birleştiren kenar öbür köşede dik açı görüyorsa o kenar çaptır ve merkez onun orta noktasıdır. Eğimleri çarpımı \(-1\) olan iki kenar gördüğünde hesaba girişmeden önce bunu düşün.
Noktanın ve doğrunun çembere göre konumu
\(f(x, y) = (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2\) diyelim. Bir \(P(x_0, y_0)\) noktası için \(f(x_0, y_0)\), P'nin merkeze uzaklığının karesi ile \(r^2\)'nin farkıdır. Bu yüzden \(f(x_0, y_0) < 0\) ise P çemberin iç bölgesinde, \(= 0\) ise çember üzerinde, \(> 0\) ise dış bölgededir. Genel denklemde de aynı şey geçerlidir: noktayı \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F\) ifadesinde yerine koyup işaretine bakarsın. Üstelik bu sayı, bir önceki bölümde gördüğümüz kuvvettir. Dış noktadan çizilen teğetin uzunluğu \(\sqrt{f(x_0, y_0)}\)'dır; merkezi ve yarıçapı ayrıca bulmana gerek kalmaz.
Bir doğrunun çembere göre durumu, merkezin doğruya uzaklığı \(d\) ile yarıçap karşılaştırılarak bulunur. Noktanın doğruya uzaklığı formülü \(d = \frac{|kx_0 + ly_0 + m|}{\sqrt{k^2 + l^2}}\)'dir (\(kx + ly + m = 0\) doğrusu için). \(d < r\) ise doğru çemberi iki noktada keser, \(d = r\) ise teğettir, \(d > r\) ise ortak nokta yoktur. Aynı sonuca cebirle de varılır: doğru denkleminden bir değişkeni çekip çember denkleminde yerine koyunca ikinci dereceden bir denklem çıkar ve diskriminantı pozitif, sıfır ya da negatif olur. Uzaklık yolu genellikle daha kısadır; diskriminant yolu ise kesişme noktalarını da verir.
Doğru çemberi kesiyorsa kiriş uzunluğu Pisagor'dan bulunur: merkezden kirişe inen dikme kirişi ortaladığı için kiriş \(2\sqrt{r^2 - d^2}\)'dir.
Teğet denklemi. \(P(x_0, y_0)\) noktası çemberin üzerinde olsun. Teğet, \([MP]\) yarıçapına diktir; yani \((x_0 - a, y_0 - b)\) vektörü teğete diktir. Teğet üzerindeki her \((x, y)\) noktası için \((x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0\) olur. Bu eşitliğe \((x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2\) eşitliğini ekleyince düzgün bir biçim çıkar:
Merkez orijindeyse bu \(x_0 x + y_0 y = r^2\)'dir: \(x^2 + y^2 = 25\) çemberine \((3, 4)\) noktasındaki teğet \(3x + 4y = 25\)'tir. Eğimlerle düşünmek de aynı sonucu verir: yarıçapın eğimi \(\frac{y_0 - b}{x_0 - a}\) ise teğetin eğimi bunun ters işaretlisinin tersidir, çünkü dik doğruların eğimleri çarpımı \(-1\)'dir.
İki çemberin birbirine göre durumu
Merkezleri arası uzaklık \(d\), yarıçapları \(R \ge r\) olan iki çemberin durumu \(d\)'nin \(R + r\) ve \(R - r\) ile karşılaştırılmasından anlaşılır:
| durum | koşul | ortak nokta | ortak teğet sayısı |
|---|---|---|---|
| ayrık (dışarıda) | \(d > R + r\) | 0 | 4 |
| dıştan teğet | \(d = R + r\) | 1 | 3 |
| kesişen | \(R - r < d < R + r\) | 2 | 2 |
| içten teğet | \(d = R - r\) | 1 | 1 |
| biri öbürünün içinde | \(d < R - r\) | 0 | 0 |
Analitik soruda önce iki merkezi ve yarıçapları bulur, sonra \(d\)'yi uzaklık formülüyle hesaplarsın. İçten teğet ve iç içe durumlarında \(R - r\) değil \(|R - r|\) yazmak daha güvenlidir; hangi çemberin büyük olduğu baştan belli olmayabilir.
İki çember kesişiyorsa denklemlerini taraf tarafa çıkarmak \(x^2\) ve \(y^2\) terimlerini yok eder ve geriye bir doğru denklemi kalır. İki kesişim noktası da her iki denklemi sağladığı için bu doğrunun üzerindedir; yani elde edilen doğru ortak kirişin doğrusudur. Ortak kiriş merkezleri birleştiren doğruya diktir. Kiriş uzunluğunu bulmak için çemberlerden birinin merkezinin bu doğruya uzaklığını alıp \(2\sqrt{r^2 - d^2}\) formülünü kullanırsın.
Formüller
Çözümlü örnekler
Şekildeki ABC üçgeni çembere içten çizilmiştir ve d doğrusu çembere A noktasında teğettir. d doğrusunun [AB] ile yaptığı açı \(65^\circ\), [AC] ile yaptığı açı \(50^\circ\)'dir. ABC üçgeninin iç açılarını bulunuz.
- d ile [AB] arasındaki \(65^\circ\)'lik açı teğet-kiriş açıdır ve C'yi içermeyen AB yayını görür: \(m(\overset{\frown}{AB}) = 130^\circ\). Aynı yayı gören ACB çevre açısı bu yayın yarısıdır: \(m(\widehat{ACB}) = 65^\circ\).
- Aynı biçimde \(m(\overset{\frown}{AC}) = 100^\circ\) ve \(m(\widehat{ABC}) = 50^\circ\) olur.
- A noktasında d doğrusu bir doğru açı oluşturur: \(m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 65^\circ - 50^\circ = 65^\circ\). Denetim: \(m(\overset{\frown}{BC}) = 360^\circ - 130^\circ - 100^\circ = 130^\circ\), yarısı \(65^\circ\). A ve C açıları eşit olduğundan üçgen ikizkenardır ve \(|AB| = |BC|\)'dir.
Cevap: m(A) = 65°, m(B) = 50°, m(C) = 65°
Şekilde A, B, C ve D noktaları çember üzerindedir; [AC] ve [BD] kirişleri E noktasında, [BA ve [CD ışınları da çemberin dışındaki P noktasında kesişmektedir. \(m(\widehat{AEB}) = 75^\circ\), \(m(\overset{\frown}{AB}) = 110^\circ\) ve \(m(\overset{\frown}{BC}) = 130^\circ\) olduğuna göre \(m(\widehat{APD})\) kaç derecedir?
- AEB iç açısı AB ve CD yaylarını görür: \(75^\circ = \frac{110^\circ + m(\overset{\frown}{CD})}{2}\), buradan \(m(\overset{\frown}{CD}) = 40^\circ\).
- Kalan yay: \(m(\overset{\frown}{DA}) = 360^\circ - 110^\circ - 130^\circ - 40^\circ = 80^\circ\).
- P noktasından çizilen PAB ve PDC kesenleri arasında yakın yay DA, uzak yay BC'dir: \(m(\widehat{APD}) = \frac{130^\circ - 80^\circ}{2} = 25^\circ\).
Cevap: 25°
Şekildeki ABCD kirişler dörtgeninde \(|AB| = |AD|\) ve \(m(\widehat{BCD}) = 100^\circ\)'dir. Buna göre \(m(\widehat{ACD})\) kaç derecedir?
- Karşılıklı açılar bütünlerdir: \(m(\widehat{BAD}) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
- ABD üçgeni ikizkenardır: \(m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ\).
- ACD ve ABD çevre açıları aynı AD yayını görür: \(m(\widehat{ACD}) = 50^\circ\). Aynı nedenle \(m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ADB}) = 50^\circ\) olur; [CA ışını BCD açısının açıortayıdır. Eşit kirişler eşit yaylar, eşit yaylar da eşit çevre açılar verir.
Cevap: 50°
Şekildeki ABCD dik yamuğunda \([AB] \parallel [DC]\), \([AD] \perp [AB]\) ve yamuğun bütün kenarları yarıçapı 4 cm olan bir çembere teğettir. \(|BC| = 10\) cm olduğuna göre \(|AB|\), \(|DC|\) ve yamuğun alanı nedir?
- Çember iki paralel kenara da teğet olduğu için yükseklik çaptır: \(|AD| = 8\) cm.
- Teğetler dörtgeninde \(|AB| + |DC| = |AD| + |BC| = 18\) cm.
- C'den [AB]'ye dikme indirilince hipotenüsü 10, bir dik kenarı 8 olan dik üçgen oluşur; öbür dik kenar 6'dır, yani \(|AB| - |DC| = 6\). İki denklemden \(|AB| = 12\) cm, \(|DC| = 6\) cm.
- Alan \(\frac{12 + 6}{2} \cdot 8 = 72\ \text{cm}^2\). Denetim: \(r \cdot u = 4 \cdot 18 = 72\).
Cevap: |AB| = 12 cm, |DC| = 6 cm, alan 72 santimetrekare
Şekilde P noktasından çembere çizilen teğet çembere T noktasında değmektedir. P'den geçen iki kesen çemberi A, B ve C, D noktalarında kesmektedir. \(|PA| = 4\) cm, \(|AB| = 5\) cm ve \(|PC| = 3\) cm olduğuna göre \(|PT|\) ve \(|CD|\) kaçtır?
- Teğet-kesen bağıntısı: \(|PT|^2 = |PA| \cdot |PB| = 4 \cdot 9 = 36\), yani \(|PT| = 6\) cm.
- Aynı kuvvet öbür kesende de geçerlidir: \(|PC| \cdot |PD| = 36\), \(3 \cdot |PD| = 36\), \(|PD| = 12\) cm.
- \(|CD| = |PD| - |PC| = 12 - 3 = 9\) cm.
Cevap: |PT| = 6 cm, |CD| = 9 cm
Yarıçapları 9 cm ve 4 cm olan iki çember birbirine dıştan teğettir ve ikisi de \(\ell\) doğrusuna A ve B noktalarında teğettir. Şekildeki gibi iki çembere ve \(\ell\) doğrusuna teğet olan üçüncü bir çember aralarına yerleştiriliyor. \(|AB|\) ve üçüncü çemberin yarıçapı kaçtır?
- \([AB]\) bir dış ortak teğettir ve çemberler dıştan teğettir: \(|AB| = 2\sqrt{9 \cdot 4} = 12\) cm.
- Üçüncü çemberin yarıçapı \(x\), doğruya değme noktası K olsun. Aynı kuralla \(|AK| = 2\sqrt{9x} = 6\sqrt{x}\) ve \(|KB| = 2\sqrt{4x} = 4\sqrt{x}\).
- \(|AK| + |KB| = |AB|\): \(10\sqrt{x} = 12\), \(\sqrt{x} = 1{,}2\) ve \(x = 1{,}44\) cm.
Cevap: |AB| = 12 cm, yarıçap 1,44 cm
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y + k = 0\) denklemi bir çember belirtiyor ve bu çember x eksenine teğettir. Buna göre \(k\) kaçtır? Bu çember y eksenini keser mi?
- Tam kareye tamamla: \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 13 - k\). Merkez \((3, -2)\), \(r^2 = 13 - k\); çember olması için \(k < 13\) olmalı.
- x eksenine teğet olması için yarıçap merkezin x eksenine uzaklığına eşit olmalı: \(r = |-2| = 2\). Buradan \(13 - k = 4\), \(k = 9\).
- Merkezin y eksenine uzaklığı 3'tür ve \(3 > r = 2\); çember y eksenini kesmez. Denetim: \(x = 0\) için \(y^2 + 4y + 9 = 0\) denkleminin diskriminantı \(16 - 36 < 0\).
Cevap: k = 9; y eksenini kesmez
Şekildeki \(A(-1, -1)\), \(B(6, 6)\) ve \(C(-3, 3)\) noktalarından geçen çemberin denklemini, merkezini ve yarıçapını bulunuz.
- Genel denklemde noktaları yerine koy: A için \(2 - D - E + F = 0\), B için \(72 + 6D + 6E + F = 0\), C için \(18 - 3D + 3E + F = 0\).
- B'den A'yı çıkar: \(70 + 7D + 7E = 0\), yani \(D + E = -10\). C'den A'yı çıkar: \(16 - 2D + 4E = 0\), yani \(-D + 2E = -8\). Toplayınca \(3E = -18\), \(E = -6\) ve \(D = -4\). A denkleminden \(F = -2 + D + E = -12\).
- Denklem \(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0\). Merkez \((2, 3)\), yarıçap \(\frac{1}{2}\sqrt{16 + 36 + 48} = 5\). Denetim: \(|MC| = \sqrt{25 + 0} = 5\).
Cevap: \(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0\); merkez (2, 3); r = 5
\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 20\) çemberine \(2x - y + k = 0\) doğrusu teğettir. \(k\)'nin alabileceği değerleri ve değme noktalarını bulunuz.
- Merkez \(M(1, -2)\), \(r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Merkezin doğruya uzaklığı \(\frac{|2 + 2 + k|}{\sqrt{5}}\) yarıçapa eşit olmalı: \(|4 + k| = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10\).
- \(4 + k = 10\) ya da \(4 + k = -10\): \(k = 6\) ya da \(k = -14\). İki teğet doğru paraleldir ve merkezin iki yanındadır.
- Değme noktası, merkezden doğruya dik yönde \(r\) kadar gidilerek bulunur. Doğrunun normal vektörü \((2, -1)\), uzunluğu \(\sqrt{5}\); \(r\) uzunluğunda olan \((4, -2)\)'dir. Noktalar \(M \pm (4, -2)\): \((5, -4)\) ve \((-3, 0)\). \((-3, 0)\) için \(-6 - 0 + k = 0\), \(k = 6\); \((5, -4)\) için \(k = -14\).
- Denetim teğet formülüyle: \((5, -4)\) noktasındaki teğet \(4(x - 1) - 2(y + 2) = 20\), yani \(2x - y - 14 = 0\).
Cevap: k = 6 için (−3, 0); k = −14 için (5, −4)
Sık yapılan hatalar
- Teğet-kiriş açıyı yayın kendisine eşit almak; o da çevre açı gibi yayın yarısıdır.
- İç açıda yayları çıkarmak, dış açıda toplamak; kural tam tersidir: içte toplam, dışta fark.
- Kesen bağıntısında \(|PA| \cdot |AB|\) yazmak; doğrusu P'den iki kesişim noktasına olan uzaklıkların çarpımı, \(|PA| \cdot |PB|\)'dir.
- Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıları eşit sanmak (bütünlerdir); teğetler dörtgeninde komşu kenarları toplamak (karşılıklı kenarlar toplanır).
- Genel denklemde merkezin işaretini karıştırmak: \(-6x\) terimi merkezin apsisinin \(+3\) olduğunu gösterir.
- \(x^2\) ve \(y^2\) katsayıları 1 değilken bölmeden \(D\), \(E\), \(F\) okumak; ya da \(D^2 + E^2 - 4F > 0\) koşulunu denetlememek.
- x eksenine teğet çemberde yarıçapı merkezin apsisi sanmak; x eksenine uzaklık ordinatın mutlak değeridir.
- Teğet olma koşulundaki mutlak değerli denklemin ikinci kökünü unutmak.
Telefonlar ve GPS alıcıları konumu çemberlerin kesişiminden bulur. Düzlemde düşünürsek, bilinen üç vericiye olan uzaklıklar ölçülünce alıcı, merkezleri vericiler olan üç çemberin ortak noktasındadır. Bu üç çember denklemi ikinci derecedendir, ama ikişer ikişer çıkarılınca kareli terimler yok olur ve geriye iki doğru denklemi kalır; bu doğruların kesişimi konumu verir. Ortak kiriş yöntemi, bilgisayarın ikinci dereceden bir sistemi birkaç toplama ve bölmeyle çözmesini sağlar. Kirişler dörtgeninin teoremi de eski bir hesap aracıdır: MS 2. yüzyılda yaşayan Batlamyus (Ptolemaios), Almagest adlı eserinde bu bağıntıyı kullanarak yarım derece aralıklarla bir kiriş tablosu hazırladı. Bu tablo, yüzyıllarca gökbilimcilerin bugünkü sinüs tablolarının yerine kullandığı araç oldu.
Konu testi
26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
Şekilde d doğrusu çembere A noktasında teğettir. B ve C noktaları çember üzerindedir ve C noktası büyük AB yayı üzerindedir. d doğrusu ile [AB] kirişi arasındaki açı \(58^\circ\) olduğuna göre \(m(\widehat{ACB}) = x\) kaç derecedir?
\(58^\circ\)'lik teğet-kiriş açı, içinde kalan küçük AB yayının yarısıdır: \(m(\overset{\frown}{AB}) = 116^\circ\). ACB çevre açısı aynı yayı görür: \(x = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ\). 116, açıyı yayla karıştırınca; 32, açıyı teğete dik yarıçapla tamamlayınca çıkar.
Şekilde [AC] ve [BD] kirişleri E noktasında kesişmektedir. \(m(\overset{\frown}{AB}) = 100^\circ\) ve \(m(\overset{\frown}{CD}) = 60^\circ\) olduğuna göre \(m(\widehat{AEB}) = x\) kaç derecedir?
AEB iç açısı ile ters açısı CED, AB ve CD yaylarını görür. \(x = \frac{100^\circ + 60^\circ}{2} = 80^\circ\). 20, yaylar çıkarılınca (dış açı kuralı) bulunur.
Şekilde P noktasından çizilen iki kesen çemberi A, B ve C, D noktalarında kesmektedir. \(m(\overset{\frown}{BD}) = 110^\circ\) ve \(m(\overset{\frown}{AC}) = 40^\circ\) olduğuna göre \(m(\widehat{APC}) = x\) kaç derecedir?
Dış açı, uzak yay ile yakın yayın farkının yarısıdır. \(x = \frac{110^\circ - 40^\circ}{2} = 35^\circ\). 75, yaylar toplanınca (iç açı kuralı); 70, ikiye bölmeyi unutunca çıkar.
\(x^2 + y^2 + 8x - 2y - 8 = 0\) çemberinin merkezi \(M(a, b)\) ve yarıçapı \(r\) olduğuna göre \(a + b + r\) toplamı kaçtır?
Tam kareye tamamla: \((x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 8 + 16 + 1 = 25\). Merkez \((-4, 1)\), \(r = 5\); toplam \(-4 + 1 + 5 = 2\). 8, merkezin işaretleri ters alınınca; 0, \(r^2\) hesabında \(-8\)'in işareti yanlış alınınca bulunur.
Aşağıdaki noktalardan hangisi \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10\) çemberinin iç bölgesindedir?
Noktayı \((x - 2)^2 + (y + 1)^2\) ifadesine koyup 10 ile karşılaştır. \((-1, 1)\): 13; \((5, 0)\): 10 (çember üzerinde); \((1, 3)\): 17; \((4, 1)\): \(4 + 4 = 8 < 10\); \((2, -5)\): 16. Yalnızca \((4, 1)\) noktasında değer 10'dan küçüktür; bu nokta iç bölgededir.
Merkezi \(M(-3, 4)\) olan ve x eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Merkezin x eksenine uzaklığı ordinatın mutlak değeridir: \(r = 4\). Denklem \((x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16\). \(r = 3\) alan denklem y eksenine teğettir; \(r^2 = 25\) alan çember orijinden geçer.
Şekildeki ABCD kirişler dörtgeninde \(m(\widehat{CAD}) = 28^\circ\) ve \(m(\widehat{ABD}) = 47^\circ\)'dir. Buna göre \(m(\widehat{ABC}) = x\) kaç derecedir?
DBC ve DAC çevre açıları aynı CD yayını görür: \(m(\widehat{DBC}) = 28^\circ\). \(x = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) = 47^\circ + 28^\circ = 75^\circ\). Yaylarla denetim: \(m(\overset{\frown}{AD}) = 94^\circ\), \(m(\overset{\frown}{DC}) = 56^\circ\); ABC açısı ADC yayının yarısıdır, \(75^\circ\). 105, bunun bütünleridir.
Şekildeki ABCD dörtgeninin bütün kenarları yarıçapı 6 cm olan çembere teğettir. \(|AB| = 14\) cm, \(|BC| = 20\) cm ve \(|CD| = 14\) cm olduğuna göre ABCD dörtgeninin alanı kaç \(\text{cm}^2\)'dir?
Teğetler dörtgeninde \(|AB| + |CD| = |BC| + |DA|\): \(|DA| = 28 - 20 = 8\) cm. Yarı çevre \(u = \frac{14 + 20 + 14 + 8}{2} = 28\); alan \(r \cdot u = 6 \cdot 28 = 168\ \text{cm}^2\). 336, yarı çevre yerine çevre kullanılınca; 204, \(|DA|\) yanlış kenar çiftinden 20 bulununca çıkar.
Şekilde [AB] ve [CD] kirişleri E noktasında kesişmektedir. \(|AE| = 4\) cm, \(|EB| = 6\) cm, \(|CE| = x\) cm ve \(|ED| = x + 5\) cm olduğuna göre \(|CD|\) kaç cm'dir?
Kesişen kirişlerde \(|AE| \cdot |EB| = |CE| \cdot |ED|\): \(x(x + 5) = 24\). \(x^2 + 5x - 24 = 0\), \((x + 8)(x - 3) = 0\); uzunluk pozitif olduğundan \(x = 3\). \(|CD| = x + (x + 5) = 3 + 8 = 11\) cm.
Şekilde P noktasından çembere çizilen teğet çembere T noktasında değmekte, P'den geçen kesen ise çemberi A ve B noktalarında kesmektedir. \(|PT| = 6\) cm ve \(|AB| = 5\) cm olduğuna göre \(|PA| = x\) kaç cm'dir?
Teğet-kesen bağıntısı: \(|PT|^2 = |PA| \cdot |PB|\), yani \(36 = x(x + 5)\). \(x^2 + 5x - 36 = 0\), \((x + 9)(x - 4) = 0\); \(x = 4\) cm. 9, \(|PB|\)'dir.
Şekilde \(O_1\) ve \(O_2\) merkezli, yarıçapları 8 cm ve 2 cm olan çemberler dıştan teğettir. [AB] bu iki çemberin dış ortak teğetidir. Buna göre \(|AB|\) kaç cm'dir?
\(|O_1O_2| = 8 + 2 = 10\). \(O_2\)'den \([O_1A]\)'ya dikme indirilince dik kenarlar \(8 - 2 = 6\) ve \(|AB|\), hipotenüs 10 olur. \(|AB| = \sqrt{100 - 36} = 8\) cm; kısaca \(2\sqrt{8 \cdot 2} = 8\). \(2\sqrt{34}\), dik kenar yerine hipotenüs gibi toplama yapılınca (\(\sqrt{100 + 36}\)) çıkar.
\(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\) çemberine \(3x + 4y + k = 0\) doğrusu teğettir. Buna göre \(k\)'nin pozitif değeri kaçtır?
Merkez \((2, -1)\), \(r^2 = 4 + 1 + 4 = 9\), \(r = 3\). Merkezin doğruya uzaklığı \(\frac{|6 - 4 + k|}{5} = 3\), yani \(|k + 2| = 15\): \(k = 13\) ya da \(k = -17\). Pozitif değer 13'tür. 17, merkezin işaretleri ters alınınca; 43, uzaklık \(r^2\)'ye eşitlenince çıkar.
Şekildeki çember x eksenini \(A(-1, 0)\) ve \(B(5, 0)\) noktalarında, y eksenini de \(C(0, 5)\) noktasında kesmektedir. Buna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir?
Merkez [AB]'nin orta dikmesi üzerindedir: \(a = 2\). Merkez \(M(2, b)\) olsun. \(|MA| = |MC|\): \(9 + b^2 = 4 + (5 - b)^2\), \(10b = 20\), \(b = 2\). \(r = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\). 3, \(|AB|\)'nin yarısıdır; o ancak merkez x ekseni üzerindeyse yarıçap olur.
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0\) çemberi için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
- I.Orijinden geçer.
- II.x eksenine teğettir.
- III.\(P(2, 1)\) noktası çemberin dış bölgesindedir.
Sabit terim 0 olduğundan \((0, 0)\) denklemi sağlar; I doğru. Merkez \((3, -4)\), \(r = 5\). Merkezin x eksenine uzaklığı \(4 \ne 5\); çember x eksenini \(x = 0\) ve \(x = 6\) noktalarında keser. II yanlış. \(P(2, 1)\) için \(4 + 1 - 12 + 8 = 1 > 0\); P dış bölgededir. III doğru.
\(x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0\) ve \(x^2 + y^2 - 14x - 20y + k = 0\) çemberleri içten teğet olduğuna göre \(k\) kaçtır?
Birinci çember: merkez \((1, 2)\), \(r_1 = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\). İkinci çember: merkez \((7, 10)\), \(r_2^2 = 49 + 100 - k = 149 - k\). Merkezler arası uzaklık \(\sqrt{36 + 64} = 10\). İçten teğet için \(|r_2 - 3| = 10\); yarıçap pozitif olduğundan \(r_2 = 13\). \(149 - k = 169\), \(k = -20\). 100, dıştan teğet (\(r_2 = 7\)) durumunun cevabıdır.
Şekilde P noktasından çembere çizilen teğet çembere T noktasında değmekte, P'den geçen kesen ise çemberi A ve B noktalarında kesmektedir. \(m(\widehat{TPB}) = 40^\circ\) ve T noktasını içermeyen AB yayının ölçüsü \(120^\circ\) olduğuna göre \(m(\widehat{TAB}) = x\) kaç derecedir?
Yakın yay TA, uzak yay TB olsun: \(m(\overset{\frown}{TA}) + m(\overset{\frown}{TB}) = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\). Dış açı: \(\frac{m(\overset{\frown}{TB}) - m(\overset{\frown}{TA})}{2} = 40^\circ\), yani fark \(80^\circ\). Buradan \(m(\overset{\frown}{TB}) = 160^\circ\), \(m(\overset{\frown}{TA}) = 80^\circ\). TAB çevre açısı A'yı içermeyen TB yayını görür: \(x = 80^\circ\). Denetim: PTA teğet-kiriş açısı \(40^\circ\), PTA üçgeninin A'daki dış açısı \(40^\circ + 40^\circ = 80^\circ\).
Aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
- I.Her dikdörtgen bir kirişler dörtgenidir.
- II.Her eşkenar dörtgen bir teğetler dörtgenidir.
- III.Her paralelkenar bir kirişler dörtgenidir.
I: Dikdörtgenin karşılıklı açıları \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\); köşeleri köşegenlerin kesişim noktası merkezli çember üzerindedir. Doğru. II: Kenarlar eşit olduğundan karşılıklı kenar toplamları eşittir; köşegenlerin kesişim noktası dört kenara eşit uzaklıktadır. Doğru. III: Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir; toplamları ancak ikisi de \(90^\circ\) iken \(180^\circ\) olur. Dik olmayan paralelkenar kirişler dörtgeni değildir. Yanlış.
Şekilde A, B, C ve D noktaları çember üzerindedir ve \(m(\overset{\frown}{AB}) : m(\overset{\frown}{BC}) : m(\overset{\frown}{CD}) : m(\overset{\frown}{DA}) = 3 : 4 : 5 : 6\)'dır. [AB ve [DC ışınları P noktasında kesiştiğine göre \(m(\widehat{BPC}) = x\) kaç derecedir?
Yaylar \(18k = 360^\circ\) ile \(k = 20^\circ\): AB = \(60^\circ\), BC = \(80^\circ\), CD = \(100^\circ\), DA = \(120^\circ\). PAB ve PDC kesenleri arasında yakın yay BC, uzak yay DA'dır. \(x = \frac{120^\circ - 80^\circ}{2} = 20^\circ\). 40, ikiye bölmeyi unutunca çıkar.
\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\) çemberinin \(3x - 4y + 4 = 0\) doğrusu üzerinde ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir?
Merkez \((1, -2)\) ile doğru arasındaki uzaklık \(\frac{|3 + 8 + 4|}{5} = 3\). Kirişin yarısı \(\sqrt{25 - 9} = 4\); kiriş \(2 \cdot 4 = 8\) birim. 4 kirişin yarısı, 10 çaptır.
\(A(-2, 1)\), \(B(4, 1)\) ve \(C(4, 9)\) noktalarından geçen çember, y eksenini iki noktada kesmektedir. Bu iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?
[AB] yatay, [BC] düşeydir; B'deki açı diktir. Dik açıyı gören [AC] çaptır: merkez \((1, 5)\), \(r = \frac{\sqrt{36 + 64}}{2} = 5\). \(x = 0\) için \(1 + (y - 5)^2 = 25\), \((y - 5)^2 = 24\), \(y = 5 \pm 2\sqrt{6}\). Uzaklık \(4\sqrt{6}\). \(2\sqrt{26}\), merkezin y eksenine uzaklığının karesi eklenince (\(25 + 1\)) çıkar.
Merkezi \(y = 2x + 3\) doğrusu üzerinde olan ve iki koordinat eksenine de teğet olan iki çember vardır. Bu iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
İki eksene teğet çemberin merkezi \((a, b)\) için \(|a| = |b| = r\); \(b = a\) ya da \(b = -a\). \(b = a\): \(a = 2a + 3\), \(a = -3\); merkez \((-3, -3)\), \(r = 3\). \(b = -a\): \(-a = 2a + 3\), \(a = -1\); merkez \((-1, 1)\), \(r = 1\). Uzaklık \(\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). 4, iki yarıçapın toplamıdır.
Şekilde ayrık iki çemberin dış ortak teğeti [AB] ve iç ortak teğeti [CD] çizilmiştir. Küçük çemberin yarıçapı 4 cm, \(|AB| = 24\) cm ve \(|CD| = 20\) cm olduğuna göre büyük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?
Merkezler arası uzaklık \(d\), büyük yarıçap \(R\) olsun: \(24^2 = d^2 - (R - 4)^2\) ve \(20^2 = d^2 - (R + 4)^2\). Taraf tarafa çıkar: \(576 - 400 = (R + 4)^2 - (R - 4)^2 = 16R\), \(R = 11\) cm. Denetim: \(d^2 = 576 + 49 = 625\), \(d = 25\) ve \(400 + 225 = 625\). 22, farkı \(8R\) sanınca çıkar.
Şekilde P noktasından çembere çizilen teğet çembere T noktasında değmektedir. P'den ve çemberin O merkezinden geçen doğru çemberi A ve B noktalarında, P'den geçen başka bir kesen de C ve D noktalarında kesmektedir. \(|PT| = 12\) cm, \(|PA| = 8\) cm ve \(|CD| = 7\) cm olduğuna göre \(|PC| = x\) kaç cm'dir?
\(|PT|^2 = |PA| \cdot |PB|\): \(144 = 8 \cdot |PB|\), \(|PB| = 18\) cm. (Bu bilgiden çap 10, yarıçap 5 cm çıkar.) Öbür kesen için \(x(x + 7) = 144\), \(x^2 + 7x - 144 = 0\), \((x + 16)(x - 9) = 0\). \(x = 9\) cm; 16, \(|PD|\)'dir.
Şekildeki ABCD kirişler dörtgeninde \(|AB| = |BC|\)'dir; [AC] ve [BD] köşegenleri E noktasında kesişmektedir. \(m(\widehat{ADC}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{AED}) = 80^\circ\) olduğuna göre \(m(\widehat{BAD}) = x\) kaç derecedir?
ADC çevre açısı ABC yayını görür: \(m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{BC}) = 140^\circ\); eşit kirişler eşit yay verir, her biri \(70^\circ\). AED iç açısı AD ve BC yaylarını görür: \(80^\circ = \frac{m(\overset{\frown}{AD}) + 70^\circ}{2}\), \(m(\overset{\frown}{AD}) = 90^\circ\). Kalan \(m(\overset{\frown}{CD}) = 360^\circ - 140^\circ - 90^\circ = 130^\circ\). BAD açısı BCD yayını görür: \(x = \frac{70^\circ + 130^\circ}{2} = 100^\circ\). 65, CAD açısıdır.
\(y = mx + 6\) doğrusu ile \(x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\) çemberinin hiç ortak noktası yoktur. Buna göre \(m\)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Merkez \((1, 2)\), \(r = \sqrt{5}\). Doğru \(mx - y + 6 = 0\); merkezin uzaklığı \(\frac{|m + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}}\). Ortak nokta yoksa uzaklık \(\sqrt{5}\)'ten büyüktür: \((m + 4)^2 > 5(m^2 + 1)\), \(4m^2 - 8m - 11 < 0\). Kökler \(\frac{2 \pm \sqrt{15}}{2}\), yani yaklaşık \(-0{,}94\) ve \(2{,}94\). Tam sayılar 0, 1, 2; toplam 3. Sınırlar tam sayı olmadığı için uç değer tartışması gerekmez.
Şekildeki \(x^2 + y^2 = 25\) ve \(x^2 + y^2 - 12x + 23 = 0\) çemberleri A ve B noktalarında kesişmektedir. Buna göre ortak kirişin uzunluğu \(|AB|\) kaç birimdir?
Denklemleri taraf tarafa çıkar: \((x^2 + y^2 - 25) - (x^2 + y^2 - 12x + 23) = 12x - 48 = 0\); ortak kiriş \(x = 4\) doğrusu üzerindedir. \(x = 4\) için \(16 + y^2 = 25\), \(y = \pm 3\); A ve B noktaları \((4, 3)\) ve \((4, -3)\). \(|AB| = 6\). 3, kirişin yarısıdır.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.