AYT 12. sınıf · 17. konu

Dönüşüm Geometrisi

Öteleme, eksenlere ve doğrulara göre yansıma, orijin ve bir nokta etrafında dönme, bileşke dönüşümler, en kısa yol problemleri, simetri ekseni ve dönme simetrisi.

Bu konuda öğreneceklerin

Bir noktayı ve bir şekli $T(a, b)$ ötelemesiyle taşımayı, ötelemeyi iki noktadan bulmayı
Eksenlere, orijine, $y = x$, $y = -x$, $x = k$, $y = k$ doğrularına ve bir noktaya göre simetriği yazmayı
Bir noktanın $ax + by + c = 0$ doğrusuna göre simetriğini dik doğru ve orta nokta yardımıyla bulmayı
Orijin ve herhangi bir nokta etrafında 90°, 180°, 270° ve özel açılarla dönmeyi hesaplamayı
Dönüşümlerin bileşkesini, şeklin büyüklüğüne ve yönüne etkisini, fonksiyon grafiklerindeki karşılığını yorumlamayı
En kısa yol problemlerini yansıma yöntemiyle çözmeyi; simetri eksenlerini ve dönme simetrisini tanımayı

Dönüşüm nedir?

Koordinat düzleminde her noktaya yine düzlemden bir nokta karşılık getiren kurala dönüşüm denir. $P$ noktasının karşılığına görüntü denir ve genellikle $P'$ ile gösterilir. Bir şeklin görüntüsü, şeklin bütün noktalarının görüntülerinden oluşur. Bir üçgenin görüntüsünü bulmak için üç köşesinin görüntüsünü bulup birleştirmek yeter; çünkü bu bölümde göreceğimiz dönüşümler doğru parçasını doğru parçasına götürür.

Bu konuda üç temel dönüşümle çalışacağız: öteleme (kaydırma), yansıma (simetri) ve dönme. Üçünün ortak özelliği, iki nokta arasındaki uzaklığı değiştirmemeleridir. Uzunluğu koruyan dönüşümlere eşlik dönüşümü (izometri) denir. Bir üçgen eşlik dönüşümüyle taşındığında görüntü üçgeni ilk üçgene eştir: kenar uzunlukları, açıları, alanı ve çevresi aynı kalır. Değişebilen tek şey konum ve yöndür. Şeklin bir tarafını işaretleyip kâğıt üzerinde kaydırırsan ya da döndürürsen işaret hep üstte kalır; kâğıdı ters çevirirsen, yani yansıtırsan işaret alta geçer. Dönüşüm geometrisinin bütün soruları bu iki fikre dayanır: ölçüler korunur, yön yalnızca yansımada değişir.

Öteleme

Bir şeklin bütün noktalarını aynı yönde ve aynı uzaklıkta kaydırmaya öteleme denir. Kaydırma bir vektörle verilir: $\vec{v} = (a, b)$ vektörüyle yapılan ötelemeyi $T(a, b)$ ile gösteririz. Bu öteleme her noktayı yatayda $a$, düşeyde $b$ birim taşır:

$$ T(a, b):\ (x,\ y) \longrightarrow (x + a,\ y + b) $$

$a > 0$ sağa, $a < 0$ sola; $b > 0$ yukarı, $b < 0$ aşağı kaydırma demektir. Ötelemeyi bulmak için bir noktanın ve görüntüsünün bilinmesi yeter: $A(x_1, y_1)$ noktası $A'(x_2, y_2)$ noktasına gidiyorsa $a = x_2 - x_1$, $b = y_2 - y_1$ olur. Aynı öteleme şeklin diğer bütün noktalarına da uygulanır.

Ötelemede her kenar kendisine paralel bir doğru parçasına gider ve uzunluğu değişmez. Bu yüzden ötelemeyle elde edilen üçgen ilk üçgenle eş ve aynı yönlüdür. Art arda iki öteleme yine bir ötelemedir ve vektörleri toplanır: $T(a, b)$ ardından $T(c, d)$ uygulamak $T(a + c, b + d)$ uygulamakla aynıdır. Bir ötelemeyi geri almak için ters vektörlü öteleme kullanılır: $T(a, b)$'nin tersi $T(-a, -b)$'dir. Sıfır vektöründen farklı bir ötelemenin sabit noktası yoktur, yani hiçbir nokta yerinde kalmaz.

Eksenlere ve orijine göre yansıma

Bir $d$ doğrusuna göre yansımada $P$ noktasının görüntüsü, $d$'ye $P$'den indirilen dikmenin öbür tarafında, $d$'ye aynı uzaklıktaki $P'$ noktasıdır. Başka bir deyişle $d$, $[PP']$ doğru parçasının orta dikmesidir. $d$'nin üzerindeki noktalar yerinde kalır.

Eksenlere göre yansıma bu tanımdan hemen çıkar. $x$ eksenine göre yansımada apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir; $y$ eksenine göre yansımada tersi olur. Orijine göre simetride iki koordinat birden işaret değiştirir, çünkü orijin $[PP']$'nün orta noktasıdır:

Dönüşüm	$P(x, y)$ noktasının görüntüsü
$x$ eksenine göre yansıma	$(x,\ -y)$
$y$ eksenine göre yansıma	$(-x,\ y)$
Orijine göre simetri	$(-x,\ -y)$
$y = x$ doğrusuna göre yansıma	$(y,\ x)$
$y = -x$ doğrusuna göre yansıma	$(-y,\ -x)$
$x = k$ doğrusuna göre yansıma	$(2k - x,\ y)$
$y = k$ doğrusuna göre yansıma	$(x,\ 2k - y)$
$M(a, b)$ noktasına göre simetri	$(2a - x,\ 2b - y)$

Yansımalar — P(3, 1) noktasının eksenlere, orijine ve iki köşegen doğruya göre simetrikleri; her kesikli çizgi simetri doğrusuna diktir ve onun tarafından ortalanır.

$y = x$ doğrusuna göre yansımada koordinatların yer değiştirmesinin nedeni şudur: $P(x, y)$ ile $P'(y, x)$ noktalarının orta noktası $\left(\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2}\right)$ olduğundan $y = x$ doğrusunun üzerindedir; $PP'$ doğrusunun eğimi $\frac{x - y}{y - x} = -1$ olduğundan da $y = x$ doğrusuna diktir. İki koşul birlikte simetriyi verir. $y = -x$ için aynı denetim $(-y, -x)$ noktasını verir.

x = k, y = k doğrularına ve bir noktaya göre simetri

Eksenlere paralel bir doğruya göre yansımada, doğruya dik olan koordinat değişir. $x = k$ doğrusuna göre yansımada ordinat aynı kalır; apsis için $k$, $x$ ile $x'$'nün aritmetik ortalaması olmalıdır: $\frac{x + x'}{2} = k$, yani $x' = 2k - x$. Benzer biçimde $y = k$ doğrusuna göre $y' = 2k - y$ olur. Örneğin $(7, -2)$ noktasının $x = 3$ doğrusuna göre simetriği $(-1, -2)$'dir; $x = 3$ doğrusu $7$ ile $-1$'in tam ortasındadır.

Bir $M(a, b)$ noktasına göre simetride $M$, $[PP']$ doğru parçasının orta noktasıdır. Orta nokta formülünden $x' = 2a - x$, $y' = 2b - y$ bulunur. Orijine göre simetri bunun $a = b = 0$ olan özel durumudur. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için paralelkenar, köşegenlerinin kesim noktasına göre simetriktir: $A$'nın simetriği $C$, $B$'nin simetriği $D$'dir. Eksik köşeyi bulmanın en hızlı yolu budur.

Genel bir doğruya göre simetri

$P(x_0, y_0)$ noktasının $d: ax + by + c = 0$ doğrusuna göre simetriğini bulmak için iki yol vardır. Birincisi geometrik yoldur ve her zaman çalışır:

$P$'den $d$'ye dik olan doğruyu yaz. $d$'nin eğimi $m$ ise dik doğrunun eğimi $-\frac{1}{m}$'dir.
Bu dik doğru ile $d$'nin kesim noktası $H$'yi bul. $H$, dikmenin ayağıdır.
$H$, $[PP']$'nün orta noktası olduğundan $P' = 2H - P$, yani $x' = 2x_H - x_0$, $y' = 2y_H - y_0$.

İkinci yol aynı fikrin kısa yazılışıdır. $(a, b)$ vektörü $d$'ye diktir (doğrunun normal vektörü). Simetrik nokta $P' = P + t\,(a, b)$ biçimindedir; orta noktanın $d$ üzerinde olması koşulundan $t$ bulunur ve şu formül çıkar:

$$ P' = \left(x_0 - 2a\,D,\ \ y_0 - 2b\,D\right), \qquad D = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2} $$

$D = 0$ ise $P$ doğrunun üzerindedir ve yerinde kalır. Formülün işaretine dikkat edilmelidir: $D$ hesaplanırken $P$'nin koordinatları doğru denkleminin sol tarafına olduğu gibi yazılır.

Eğimi $1$ ya da $-1$ olan doğrular için daha da kısa bir yol vardır. $y = x + c$ doğrusuna göre $(x_0, y_0)$ noktasının simetriği $(y_0 - c,\ x_0 + c)$, $y = -x + c$ doğrusuna göre simetriği $(c - y_0,\ c - x_0)$'dır. Kısaca: $y = x + c$ doğrusunda $x$ yerine $y - c$, $y$ yerine $x + c$ yazılır. Bu kural formülden de doğrulanabilir.

Parametreli sorularda iki koşul ayrı ayrı yazılır: $A$ ile $B$ noktaları $d$'ye göre simetrikse (1) $[AB]$'nin orta noktası $d$'nin üzerindedir ve (2) $AB$ doğrusu $d$'ye diktir. Bilinmeyen iki tane ise bu iki koşul iki denklem verir.

Orijin etrafında dönme

Bir noktayı bir merkez etrafında belli bir açı kadar döndürmek, noktanın merkeze uzaklığını koruyup onu bir çember yayı boyunca taşımaktır. Matematikte pozitif yön saatin dönme yönünün tersidir; aksi söylenmedikçe dönme açısı bu yönde ölçülür. Saat yönünde $\theta$ kadar dönme, pozitif yönde $360^\circ - \theta$ kadar dönmeyle aynıdır.

Orijin etrafındaki özel açılı dönmeler ezberlenmeye değer:

$$ R_{90^\circ}:\ (x, y) \to (-y,\ x), \qquad R_{180^\circ}:\ (x, y) \to (-x,\ -y), \qquad R_{270^\circ}:\ (x, y) \to (y,\ -x) $$

Neden $90^\circ$'de $(-y, x)$ olduğunu görmek için $P(x, y)$'yi orijine bağlayan vektörü düşün. $(-y, x)$ vektörünün $(x, y)$ ile skaler çarpımı $-xy + yx = 0$ olduğundan iki vektör diktir, uzunlukları da aynıdır. $x, y > 0$ iken $(-y, x)$ ikinci bölgededir; yani dönüş saatin tersi yöndedir. $180^\circ$ dönme ile orijine göre simetri aynı dönüşümdür.

Orijin etrafında dönme — Üçgen orijin etrafında pozitif yönde 90° döner: (x, y) noktası (−y, x) noktasına gider; OB ile OB' dik ve eşit uzunluktadır.

Genel bir $\theta$ açısı için kutupsal düşünmek gerekir. $|OP| = r$ ve $OP$'nin $x$ ekseniyle yaptığı açı $\alpha$ olsun: $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Dönmeden sonra açı $\alpha + \theta$ olur. Toplam formülleri (AYT trigonometri) uygulanınca

$$ x' = x\cos\theta - y\sin\theta, \qquad y' = x\sin\theta + y\cos\theta $$

bulunur. $\theta = 90^\circ$ için $\cos\theta = 0$, $\sin\theta = 1$ yazılırsa $(-y, x)$ çıkar; formül özel durumları da kapsar. Sınavda $\theta$ genellikle $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ gibi özel bir açıdır. Bazen formülü hiç kullanmadan çözmek daha kısadır: $A(2\sqrt{3}, 2)$ noktası orijine 4 birim uzaklıkta ve $30^\circ$ açısındadır; $60^\circ$ döndürülünce $90^\circ$ açısına, yani $(0, 4)$ noktasına gelir.

Bir nokta etrafında dönme

Merkez orijin değilse işi orijine taşırız. $P$ noktası $M(a, b)$ etrafında döndürülecekse:

Ötele: Merkezi orijine götüren $T(-a, -b)$ ötelemesi uygulanır; $P$, $(x - a,\ y - b)$ olur.
Döndür: Bu nokta orijin etrafında istenen açıyla döndürülür.
Geri ötele: Sonuca $T(a, b)$ uygulanır.

Örneğin $P(5, 2)$, $M(2, -1)$ etrafında pozitif yönde $90^\circ$ döndürülsün. $P - M = (3, 3)$; bu vektör $90^\circ$ dönünce $(-3, 3)$ olur; $M$'ye eklenince $P'(-1, 2)$ bulunur. Şekilde $MP$ ve $MP'$ doğru parçalarının eşit ve birbirine dik olduğu görülüyor.

Bir nokta etrafında dönme — P'nin M'ye göre konumu (3, 3) vektörüdür; 90° dönünce (−3, 3) olur ve M'ye eklenince P'(−1, 2) bulunur.

Bu yöntemin güzel bir uygulaması karedir. Köşeleri saatin tersi yönünde $A, B, C, D$ sırasıyla dizilen bir karede $\overrightarrow{BC}$ vektörü, $\overrightarrow{AB}$ vektörünün pozitif yönde $90^\circ$ döndürülmüş hâlidir. İki köşe verildiğinde diğer iki köşe bir dönme ve bir toplama ile bulunur. Eşkenar üçgende de üçüncü köşe, bir kenarın uç noktası etrafında $60^\circ$ dönmeyle elde edilir.

Dönüşümlerin bileşkesi

İki dönüşüm art arda uygulanınca ortaya çıkan dönüşüme bileşke denir. Bileşke hesaplanırken sıra önemlidir: önce uygulanan dönüşüm önce hesaplanır ve sıra değişince sonuç genellikle değişir. Örneğin $(x, y)$ noktasına önce $y = x$ yansıması, sonra $x$ eksenine göre yansıma uygulanırsa $(y, x) \to (y, -x)$ bulunur; bu, saat yönünde $90^\circ$ dönmedir. Sıra değişirse $(x, -y) \to (-y, x)$ bulunur; bu da pozitif yönde $90^\circ$ dönmedir.

İki yansımanın bileşkesi için iki genel kural vardır:

Paralel iki doğru: Aralarındaki uzaklık $h$ olan $d_1$ ve $d_2$ doğrularına göre art arda yansıma, doğrulara dik doğrultuda $2h$ uzunluğunda bir ötelemedir. Yön, birinci doğrudan ikinci doğruya doğrudur. $x = 1$ ve $x = 4$ için $(x, y) \to (2 - x, y) \to (8 - (2 - x), y) = (x + 6, y)$ bulunur.
Kesişen iki doğru: $d_1$ ile $d_2$ bir $O$ noktasında $\alpha$ açısıyla kesişiyorsa bileşke, $O$ etrafında $2\alpha$ açısıyla bir dönmedir. Dönme yönü $d_1$'den $d_2$'ye doğrudur. Doğrular dik ise bileşke $180^\circ$ dönme, yani kesim noktasına göre simetridir.

İki noktaya göre art arda simetri de bir ötelemedir: önce $A$'ya, sonra $B$'ye göre simetri, $P$'yi $P + 2(B - A)$'ya götürür. Çünkü $P \to 2A - P \to 2B - (2A - P)$ olur.

Dönüşümlerin şekle etkisi

Öteleme, yansıma ve dönme uzunlukları, açı ölçülerini, alanı ve çevreyi korur. Doğrular doğrulara, paralel doğrular paralel doğrulara, çemberler aynı yarıçaplı çemberlere gider. Bu yüzden bir üçgenin ağırlık merkezi, görüntü üçgeninin ağırlık merkezine gider; çember merkezi görüntü çemberinin merkezine gider. Bir üçgenin bir dönüşüm altındaki görüntüsünün ağırlık merkezini bulmak için üç köşeyi tek tek taşımak gerekmez, ağırlık merkezini taşımak yeter.

Değişebilen özellik yöndür. $A, B, C$ köşeleri saatin tersi yönünde sıralanmış bir üçgen ötelenir ya da döndürülürse $A', B', C'$ de saatin tersi yönünde sıralanır. Bir doğruya göre yansıtılırsa sıralama saat yönüne döner. İki yansıma yönü iki kez çevirdiği için yönü korur; bileşkesinin öteleme ya da dönme çıkması bundandır.

Bir doğrunun görüntüsünü bulmak için doğrunun iki noktasını taşıyıp yeni doğruyu yazmak her zaman çalışır. Daha kısa yol, ters dönüşümü kullanmaktır: görüntü doğrusunun $(x, y)$ noktası, ters dönüşümle ilk doğrunun bir noktasına gitmelidir. Yansımalar kendi kendisinin tersi olduğundan denklemde koordinatları değiştirmek yeter: $2x - y + 4 = 0$ doğrusunun $x$ eksenine göre simetriği, $y$ yerine $-y$ yazılarak $2x + y + 4 = 0$ bulunur. Orijin etrafında pozitif yönde $90^\circ$ dönmenin tersi $(x, y) \to (y, -x)$ olduğundan, bu dönmede denklemde $x$ yerine $y$, $y$ yerine $-x$ yazılır.

Fonksiyon grafiklerinde dönüşüm

AYT'deki grafik dönüşümleri konusunda gördüğün kurallar, bu bölümün nokta kurallarının fonksiyon diline çevrilmiş hâlidir. $y = f(x)$ grafiğinin $(p, q)$ noktası dönüşümle nereye gidiyorsa grafik de oraya gider:

Grafiğe uygulanan dönüşüm	Yeni grafiğin denklemi
$x$ eksenine göre yansıma	$y = -f(x)$
$y$ eksenine göre yansıma	$y = f(-x)$
Orijine göre yansıma	$y = -f(-x)$
$T(a, b)$ ötelemesi	$y = f(x - a) + b$
$y = x$ doğrusuna göre yansıma	$x = f(y)$; $f$ bire bir ise $y = f^{-1}(x)$

Orijine göre simetrikte $(p, q)$ noktası $(-p, -q)$ noktasına gider. Yeni grafikte $x = -p$ iken $y = -q = -f(p) = -f(-x)$ olur. Tek fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir, çünkü $-f(-x) = f(x)$'tir; çift fonksiyonların grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.

Fonksiyon grafiğinin orijine göre simetriği — f'nin grafiğindeki her (p, q) noktası (−p, −q) noktasına gider; yeni grafik y = −f(−x) fonksiyonunun grafiğidir.

Birden fazla dönüşüm uygulanıyorsa sırayla yazılır. $f$'nin grafiği önce orijine göre yansıtılıp sonra $T(3, 2)$ ile ötelenirse önce $y = -f(-x)$, sonra $x$ yerine $x - 3$ yazılıp 2 eklenir: $y = -f(3 - x) + 2$. Sıra değişirse sonuç başka bir fonksiyon olur.

En kısa yol problemleri

$A$ ve $B$ noktaları bir $d$ doğrusunun aynı tarafında olsun. $A$'dan çıkıp $d$ üzerindeki bir $P$ noktasına uğrayan ve $B$'ye giden yolun en kısa olması için $P$ nerede seçilmelidir? Çözüm yansımadır: $A$'nın $d$'ye göre simetriği $A'$ olsun. $d$, $[AA']$'nün orta dikmesi olduğundan $d$ üzerindeki her $P$ için $|AP| = |A'P|$ olur. O hâlde

$$ |AP| + |PB| = |A'P| + |PB| \ge |A'B| $$

ve eşitlik ancak $P$, $[A'B]$ doğru parçasının üzerindeyse sağlanır (üçgen eşitsizliği). Yani en kısa yol $|A'B|$ uzunluğundadır ve $P$, $A'B$ doğrusunun $d$ ile kesim noktasıdır. $d$ üzerindeki başka her $Q$ noktası için $A'QB$ bir üçgen oluşturur ve yol daha uzundur.

Bu çözümün fizikteki karşılığı ışığın yansımasıdır: en kısa yolda $AP$ ile $PB$, $d$ ile eşit açılar yapar; gelme açısı yansıma açısına eşittir. Yol iki doğruya sırayla uğruyorsa iki yansıma kullanılır: $A \to d_1 \to d_2 \to B$ yolunda $A$'nın $d_1$'e göre simetriği ile $B$'nin $d_2$'ye göre simetriği birleştirilir. Noktalar doğrunun farklı taraflarındaysa yansımaya gerek yoktur; $[AB]$ doğruyu zaten keser ve en kısa yol $|AB|$'dir.

Simetri ekseni ve dönme simetrisi

Bir şekil bir doğruya göre yansıtıldığında kendisiyle çakışıyorsa bu doğruya şeklin simetri ekseni denir. Şekil bir nokta etrafında $0^\circ < \theta < 360^\circ$ olan bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle çakışıyorsa şeklin dönme simetrisi vardır. Kendisiyle çakıştıran en küçük pozitif açı $\theta$ ise dönme simetrisinin derecesi (mertebesi) $\frac{360^\circ}{\theta}$'dır. 180°'lik dönme simetrisine nokta simetrisi (merkezil simetri) de denir.

Düzgün $n$ kenarlı bir çokgenin $n$ simetri ekseni vardır ve şekil merkezi etrafında $\frac{360^\circ}{n}$'nin her katıyla kendisiyle çakışır. $n$ tek ise her eksen bir köşeden ve karşı kenarın orta noktasından geçer. $n$ çift ise eksenlerin yarısı karşılıklı köşelerden, yarısı karşılıklı kenarların orta noktalarından geçer. Düzgün çokgenin nokta simetrisi ancak $n$ çift olduğunda vardır: eşkenar üçgen ve düzgün beşgen $180^\circ$ dönünce kendisiyle çakışmaz.

Düzgün çokgenlerin simetri eksenleri — Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır; en küçük dönme simetrisi açısı 360°/n'dir.

Dörtgenlerde durum şöyledir: kare 4 eksen ve $90^\circ$ dönme simetrisi; dikdörtgen ve eşkenar dörtgen 2 eksen ve $180^\circ$ dönme simetrisi; ikizkenar yamuk 1 eksen ve dönme simetrisi yok; dik olmayan ve kenarları eşit olmayan paralelkenarın hiç simetri ekseni yoktur ama $180^\circ$ dönme simetrisi vardır. Bu son örnek önemlidir: dönme simetrisi olan bir şeklin simetri ekseni olmak zorunda değildir. Üç kollu bir çark gibi "yönlü" kolları olan logolar da yalnızca dönme simetrisine sahiptir.

Basit çizgilerle çizilmiş büyük harflerde A, M, T, U, V, Y düşey bir eksene; B, C, D, E, K yatay bir eksene göre simetriktir. H, I, O, X'in iki ekseni ve $180^\circ$ dönme simetrisi vardır. N, S, Z'nin hiç ekseni yoktur ama $180^\circ$ dönünce kendileriyle çakışır. Bu bilgiler yazı biçimine bağlıdır; sınavda harfler şekille verildiğinde çizime bakarak karar verilir.

Formüller

$$T(a, b):\ (x, y) \to (x + a,\ y + b)$$

Öteleme; ters öteleme T(−a, −b)

$$(x, y) \to (x, -y),\quad (x, y) \to (-x, y)$$

x eksenine ve y eksenine göre yansıma

$$(x, y) \to (-x, -y)$$

Orijine göre simetri = orijin etrafında 180° dönme

$$(x, y) \to (y, x),\quad (x, y) \to (-y, -x)$$

y = x ve y = −x doğrularına göre yansıma

$$x = k:\ (2k - x,\ y),\quad y = k:\ (x,\ 2k - y)$$

Eksenlere paralel doğrulara göre yansıma

$$M(a, b):\ (x, y) \to (2a - x,\ 2b - y)$$

Bir noktaya göre simetri; M orta noktadır

$$P' = P - 2D\,(a, b),\quad D = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}$$

ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetri

$$y = x + c:\ (x_0, y_0) \to (y_0 - c,\ x_0 + c)$$

Eğimi 1 olan doğruya göre kısa yol

$$(x, y) \to (-y,\ x),\quad (x, y) \to (y,\ -x)$$

Orijin etrafında 90° ve 270° (pozitif yönde)

$$x' = x\cos\theta - y\sin\theta,\ \ y' = x\sin\theta + y\cos\theta$$

Orijin etrafında θ kadar dönme

$$P' = M + R_\theta(P - M)$$

M etrafında dönme: ötele, döndür, geri ötele

$$\text{paralel: } 2h \text{ öteleme},\quad \text{kesişen: } 2\alpha \text{ dönme}$$

İki yansımanın bileşkesi

$$y = -f(-x)$$

y = f(x) grafiğinin orijine göre simetriği

$$|AP| + |PB| \ge |A'B|$$

En kısa yol; A', A'nın doğruya göre simetriği

Çözümlü örnekler

Örnek 1Ötelemeyi iki noktadan bulmak

$A(-2, 1)$, $B(1, 4)$, $C(3, 0)$ köşeli ABC üçgeni bir ötelemeyle taşındığında $A$ köşesi $A'(2, -2)$ noktasına geliyor. Bu ötelemeyi $T(a, b)$ biçiminde yazınız ve $B'$, $C'$ köşelerini bulunuz.

Örnek 2Eksenlere paralel doğrulara göre yansıma

$P(-1, 3)$ noktasının $x = 2$ doğrusuna ve $y = -1$ doğrusuna göre simetriklerini bulunuz. $P$'nin düşey bir doğruya göre simetriği $(7, 3)$ ise bu doğrunun denklemi nedir?

Örnek 3Noktaya göre simetri ve paralelkenar

$A(2, -1)$ noktasının bir $M$ noktasına göre simetriği $A'(-4, 7)$'dir. $M$ noktasını bulunuz. Ayrıca köşeleri $A(1, 1)$, $B(6, 2)$, $C(7, 6)$ olan ABCD paralelkenarının $D$ köşesini, paralelkenarın simetri merkezini kullanarak bulunuz.

Örnek 4Genel bir doğruya göre simetri

$P(5, 4)$ noktasının $d: 2x + y - 4 = 0$ doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Örnek 5Orijin etrafında 90° ve 45° dönme

$A(3, 1)$ noktası orijin etrafında pozitif yönde önce $90^\circ$, ayrı bir işlemde de $45^\circ$ döndürülüyor. İki görüntüyü bulunuz.

Örnek 6Bir nokta etrafında dönme

$P(5, 2)$ noktası $M(2, -1)$ noktası etrafında pozitif yönde $90^\circ$ döndürülüyor. Görüntü noktasını bulunuz. Aynı nokta $M$ etrafında $180^\circ$ döndürülseydi nereye giderdi?

Örnek 7İki yansımanın bileşkesi

Bir noktanın önce $y = x$ doğrusuna, sonra $x$ eksenine göre simetriği alınıyor. Bu bileşke tek bir dönüşüm olarak nedir? $P(2, 5)$ noktasının görüntüsü nedir? Yansımaların sırası değişirse $P$'nin görüntüsü ne olur?

Örnek 8Bir doğruya uğrayan en kısa yol

$A(1, 3)$ ve $B(7, 5)$ noktaları veriliyor. $x$ ekseni üzerindeki bir $P$ noktası için $|AP| + |PB|$ toplamının en küçük değerini ve bu değeri veren $P$ noktasını bulunuz.

A ile B arasında x eksenine uğrayan en kısa yol

Örnek 9Bir doğrunun bir doğruya göre simetriği

$\ell: y = 2x + 1$ doğrusunun $d: y = x + 2$ doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. Bu doğrunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Sık yapılan hatalar

$T(a, b)$ ötelemesini bir noktadan bulurken farkı ters almak: $A$'dan $A'$'ne giden vektör "görüntü eksi ilk nokta"dır.
$y = x$ ile $y = -x$ yansımalarını karıştırmak; $y = -x$'te koordinatlar hem yer değiştirir hem işaret değiştirir.
$x = k$ doğrusuna göre yansımada $2k - x$ yerine $k - x$ ya da $x - 2k$ yazmak.
Dönme yönünü belirtmeden çalışmak: "pozitif yön" saatin tersidir; saat yönünde $90^\circ$, $(x, y) \to (y, -x)$ verir.
Bir nokta etrafında dönmede ötelemeyi geri almayı unutmak; orijine taşınan noktayı döndürüp öyle bırakmak.
Genel doğruya göre simetride dikmenin ayağını ($H$) cevap sanmak; simetrik nokta $2H - P$'dir.
Bileşke dönüşümlerde sırayı ters uygulamak; "önce" denen dönüşüm ilk hesaplanır.
En kısa yol sorusunda yansıtmadan doğrudan $|AB|$ yazmak; bu yalnızca noktalar doğrunun farklı taraflarındaysa doğrudur.

Günlük hayatta

Işığın düz bir aynada yansırken izlediği yolun, aynaya uğrayan bütün yollar arasında en kısası olduğunu ilk gösterenlerden biri, MS 1. yüzyılda yaşadığı kabul edilen İskenderiyeli Heron'dur. Heron'un akıl yürütmesi bu bölümdeki yöntemin aynısıdır: kaynağın aynadaki görüntüsü düşünülür ve görüntü ile göz arasındaki doğru parçası çizilir. Aynaya bakarken nesneyi aynanın arkasındaymış gibi görmemizin nedeni de budur; beynimiz ışığın düz bir çizgi boyunca geldiğini varsayar ve nesneyi yansıma noktasının arkasındaki simetrik konuma yerleştirir. Bilardo oyuncularının bant vuruşlarında topun hedefini, masanın kenarına göre yansıtılmış bir noktaya nişan alarak bulması da aynı fikrin uygulamasıdır.

Konu testi

26 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.

1Kolay

Şekilde koordinat düzleminde ABC üçgeni ve bu üçgenin bir $T(a, b)$ ötelemesiyle elde edilen A'B'C' üçgeni gösterilmiştir. Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

2Kolay

Koordinat düzleminde $P(-3, 5)$ noktasının $y = x$ doğrusuna göre simetriği $Q$, $Q$ noktasının $x$ eksenine göre simetriği $R$ noktasıdır. Buna göre $R$ noktası aşağıdakilerden hangisidir?

3Kolay

Koordinat düzleminde $A(-2, 3)$ noktasının $M(1, -1)$ noktasına göre simetriği $B(a, b)$ noktasıdır. Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

4Kolay

Şekildeki K noktası orijin etrafında pozitif yönde (saatin dönme yönünün tersine) $90^\circ$ döndürülüyor. Elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

5Kolay

Düzgün altıgenin simetri ekseni sayısı $a$, altıgeni merkezi etrafında kendisiyle çakıştıran en küçük pozitif dönme açısının ölçüsü $b$ derecedir. Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

6Kolay

Şekilde çizildiği biçimiyle H, N, E, T, X ve Z harflerinden kaç tanesinin hem en az bir simetri ekseni hem de $180^\circ$'lik dönme simetrisi vardır?

7Orta

Şekildeki ABC üçgeni önce $x$ eksenine göre yansıtılıyor, sonra elde edilen üçgen $T(-3, 2)$ ötelemesiyle taşınıyor. Son elde edilen üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

8Orta

Koordinat düzleminde $A(3, 4)$ noktasının $x + 2y - 1 = 0$ doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?

9Orta

$A(1, 7)$ ve $B(5, -1)$ noktaları $d: x - 2y + k = 0$ doğrusuna göre birbirinin simetriğidir. Buna göre $k$ kaçtır?

10Orta

Şekilde $M(1, 1)$ ve $A(4, 3)$ noktaları gösterilmiştir. A noktası M noktası etrafında saat yönünde $90^\circ$ döndürülüyor. Elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

11Orta

$d: 2x - y + 4 = 0$ doğrusu orijin etrafında pozitif yönde $90^\circ$ döndürülüyor. Elde edilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

12Orta

Şekilde $y = 1$ doğrusu boyunca uzanan düz bir yol ile yolun aynı tarafında $A(0, 6)$ ve $B(6, 4)$ noktalarındaki iki ev gösterilmiştir. Yol üzerindeki bir P noktasına bir durak yapılacak ve duraktan iki eve düz yürüyüş yolları açılacaktır. $|AP| + |PB|$ toplamının en küçük değeri kaç birimdir?

13Orta

Dönüşümlerle ilgili I. Sıfır vektöründen farklı bir öteleme, bir doğruyu ya kendisine ya da kendisine paralel bir doğruya dönüştürür. II. Köşeleri saatin dönme yönünün tersine A, B, C sırasıyla dizilen bir üçgen bir doğruya göre yansıtılırsa A', B', C' köşeleri de saatin dönme yönünün tersine sıralanır. III. Orijin etrafında $180^\circ$ dönme ile orijine göre simetri aynı dönüşümdür. ifadelerinden hangileri doğrudur?

14Orta

Şekilde grafiği verilen $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği $y = g(x)$ fonksiyonunun grafiğidir. Buna göre $g(2)$ kaçtır?

15Orta

Bir P noktasının önce $d_1: x = -1$ doğrusuna göre simetriği alınıyor, sonra elde edilen noktanın $d_2: x = 3$ doğrusuna göre simetriği alınıyor ve şekildeki $P'(5, 2)$ noktası elde ediliyor. Buna göre P noktası aşağıdakilerden hangisidir?

16Orta

Koordinat düzleminde $A(2\sqrt{3}, 2)$ noktası orijin etrafında pozitif yönde $120^\circ$ döndürülerek B noktası elde ediliyor. Buna göre $|AB|$ kaç birimdir?

17Orta

Şekilde köşeleri saatin dönme yönünün tersine A, B, C, D sırasıyla dizilen bir ABCD karesinin $A(1, 2)$ ve $B(4, 3)$ köşeleri gösterilmiştir. Buna göre C köşesinin koordinatları toplamı kaçtır?

18Zor

Koordinat düzleminde $y = x$ doğrusu boyunca düz bir kanal uzanmaktadır. Kanalın aynı tarafında $A(4, 1)$ ve $B(9, -2)$ noktalarında iki tarla vardır. Kanal kenarındaki bir P noktasına bir pompa kurulacak ve pompadan iki tarlaya düz borular döşenecektir. Boru uzunlukları toplamı $|PA| + |PB|$ en az kaç birimdir?

19Zor

$A(m, 3)$ noktasının $d: y = 2x - 1$ doğrusuna göre simetriği $B(5, n)$ noktasıdır. Buna göre $m + n$ toplamı kaçtır?

20Orta

Dönme simetrisi, bir şeklin $360^\circ$'den küçük pozitif bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle çakışmasıdır. Şekildeki I, II ve III numaralı logolardan hangilerinin dönme simetrisi vardır ama hiç simetri ekseni yoktur?

21Zor

$P(4, 0)$ noktası önce $A(1, 2)$ noktası etrafında pozitif yönde $90^\circ$ döndürülüyor, sonra elde edilen nokta $y = -x$ doğrusuna göre yansıtılıyor. Son elde edilen nokta aşağıdakilerden hangisidir?

22Zor

$f(x) = x^2 - 2x$ fonksiyonunun grafiği önce orijine göre yansıtılıyor, sonra elde edilen grafik 3 birim sağa ve 2 birim yukarı öteleniyor. Son grafik $y = g(x)$ fonksiyonunun grafiği olduğuna göre $g(x) = 0$ denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

23Zor

Şekilde köşeleri $O(0, 0)$, $A(4, 0)$, $B(4, 4)$ ve $C(0, 4)$ olan OABC karesi ile bu karenin O noktası etrafında pozitif yönde $45^\circ$ döndürülmesiyle elde edilen OA'B'C' karesi gösterilmiştir. İki karenin ortak bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

24Zor

$d_1$ ve $d_2$ farklı iki doğrudur. Bir noktaya önce $d_1$'e, sonra $d_2$'ye göre yansıma uygulanmasıyla elde edilen dönüşüm $S$ ile gösteriliyor. I. $d_1 \parallel d_2$ ise $S$ bir ötelemedir. II. $d_1 \perp d_2$ ise $S$, iki doğrunun kesim noktasına göre simetridir. III. Doğrular nasıl seçilirse seçilsin, önce $d_2$'ye sonra $d_1$'e göre yansıma uygulamak da $S$ dönüşümünü verir. ifadelerinden hangileri doğrudur?

25Zor

$A(3, 4)$ noktasının, orijinden geçen $d: y = mx$ doğrusuna göre simetriği $x$ ekseninin pozitif tarafındaki bir A' noktasıdır. Buna göre $m$ kaçtır?

26Zor

Şekildeki gibi $x$ ekseni ve $y$ ekseni boyunca iki düz ayna yerleştirilmiştir. $A(6, 1)$ noktasından çıkan bir ışın önce $x$ eksenindeki aynaya, sonra $y$ eksenindeki aynaya çarpıp yansıyor ve $B(2, 7)$ noktasından geçiyor. Yansımalarda gelme açısı yansıma açısına eşit olduğuna göre ışının A'dan B'ye kadar aldığı yol kaç birimdir?

İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.

Dönüşüm	\(P(x, y)\) noktasının görüntüsü
\(x\) eksenine göre yansıma	\((x,\ -y)\)
\(y\) eksenine göre yansıma	\((-x,\ y)\)
Orijine göre simetri	\((-x,\ -y)\)
\(y = x\) doğrusuna göre yansıma	\((y,\ x)\)
\(y = -x\) doğrusuna göre yansıma	\((-y,\ -x)\)
\(x = k\) doğrusuna göre yansıma	\((2k - x,\ y)\)
\(y = k\) doğrusuna göre yansıma	\((x,\ 2k - y)\)
\(M(a, b)\) noktasına göre simetri	\((2a - x,\ 2b - y)\)

Grafiğe uygulanan dönüşüm	Yeni grafiğin denklemi
\(x\) eksenine göre yansıma	\(y = -f(x)\)
\(y\) eksenine göre yansıma	\(y = f(-x)\)
Orijine göre yansıma	\(y = -f(-x)\)
\(T(a, b)\) ötelemesi	\(y = f(x - a) + b\)
\(y = x\) doğrusuna göre yansıma	\(x = f(y)\); \(f\) bire bir ise \(y = f^{-1}(x)\)